7.3.2　正弦型函数的性质与图象 导学案（含答案）

7．3.2　正弦型函数的性质与图象
【课程标准】　1.结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义.2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
教 材 要 点
知识点一　正弦型函数
1．形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数且A≠0，ω≠0)的函数，通常称为正弦型函数．
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0，x∈R)的周期T＝__________，频率f＝__________，初相为__________，值域为________，________也称为振幅，|A|的大小反映了y＝A sin (ωx＋φ)的波动幅度的大小．
【学霸笔记】　当φ为何值时，正弦型函数为奇函数？当φ为何值时，正弦型函数是偶函数？
[提示]　当φ＝kπ，k∈Z时，正弦型函数是奇函数；
当φ＝＋kπ，k∈Z时，正弦型函数是偶函数．
知识点二　A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
1.φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响：
2．ω对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响：
3．A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响：
4．用“变换法”作图：
y＝sin x的图象向____(φ＞0)或向____(φ＜0),平移|φ|个单位长度y＝sin (x＋φ)的图象横坐标变为原来的倍,纵坐标不变y＝sin (ωx＋φ)的图象纵坐标变为原来的____倍,横坐标不变y＝A sin (ωx＋φ)的图象．
【学霸笔记】　由y ＝sin x的图象，通过怎样的变换可以得到y ＝A sin (ωx＋φ)的图象？
[提示]　变化途径有两条：
(1)y ＝sin x相位变换，y＝sin (x＋φ)周期变换，y＝sin (ωx＋φ)振幅变换，y＝A sin (ωx＋φ)．
(2)y＝sin x周期变换，y＝sin ωx相位变换，y＝sin (ωx＋φ)振幅变换，y＝A sin (ωx＋φ)．
知识点三　正弦型函数的性质
1．定义域与值域：定义域为________，值域为________．
2．周期：T＝.
3．奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下，
对于y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)．
当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是________函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是________函数；
当φ≠(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是________函数．
4．单调性：确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的思想是把ωx＋φ看作一个整体．
由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，可得单调________区间；
由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，可得单调________区间．
基 础 自 测
1．下列函数，最小正周期为2π的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝|sin | D．y＝|sin 2x|
2．要得到函数y＝2sin (x＋)的图象，只需将函数y＝2sin x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
3．已知函数y＝3sin (x＋)，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是________，________，________．
4．函数y＝3sin (2x＋φ)图象的一个对称中心为(，0)，图象的对称轴为________________．
5．函数f(x)＝sin (2x＋φ)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ可以为________．(写出一个符合题意的值即可)
题型1正弦型函数的图象与性质
例1(1)用五点法作函数y＝2sin (x－)＋3的图象，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．
总结　先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图象，左、右扩展可得图象，然后根据图象求性质．
(2)已知函数f(x)＝1－sin (x＋)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝________．
总结　求出函数的周期，然后根据周期的性质进行求解．
总结
1．用五点法作y＝A sin (ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图象．
2．求三角函数周期的方法：
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解；
(2)公式法，对形如y＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝；
(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可．
3．对于函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象：
(1)对称中心：由ωx＋φ＝kπ，k∈Z，得对称中心为(，0)，k∈Z，即函数值为0的点；
(2)对称轴：由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，得对称轴x＝，k∈Z，即函数取得最值时对应的与x轴垂直的直线．
注意：相邻两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心的距离为，可以此求周期T．
跟踪训练1　(1)(多选)已知函数f(x)＝sin (2x＋)，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋)是偶函数
D．f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)
(2)已知f(x)＝2sin ()．
①求函数f(x)的最小正周期和最大值，并求出x为何值时，f(x)取得最大值；
②求函数f(x)在上的单调递增区间；
③若x∈，求f(x)的值域．
题型2三角函数的图象变换
例2函数y＝2sin (2x＋)－2的图象是由函数y＝sin x的图象通过怎样的变换得到的？
总结　由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．
总结
三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言．
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位长度．
跟踪训练2　(1)为了得到函数y＝sin ()，x∈R的图象，只需把函数y＝sin x，x∈R的图象上所有的点：
①向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
②向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
③向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；
④向右平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．
其中正确的是________．
(2)将函数y＝sin (2x＋)的图象平移后所得的图象对应的函数为y＝cos 2x，则进行的平移是(　　)
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
题型3求y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
例3如图所示的是函数y＝A sin (ωx＋φ)(|φ|<)的图象，确定其中一个函数解析式．
总结　解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图象所过的点确定φ．
总结
确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知
)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
跟踪训练3已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的部分函数图象如图所示，求此函数的解析式．
题型4函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性
【思考探究】　1.如何求函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴方程？
[提示]　与正弦曲线一样，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．
函数y＝A sin (ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin (ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
2．如何求函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称中心？
[提示]　与正弦曲线一样，函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．
函数y＝A sin (ωx＋φ)对称中心的求法：令sin (ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象关于点(，0)(k∈Z)成中心对称．
例4已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)．
(1)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
(2)若函数f(x)＝sin (2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．
总结
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等考查．
2．有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质的运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．
跟踪训练4　(1)函数y＝sin (2x＋)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于点(，0)对称
D．关于点(，0)对称
(2)已知函数f(x)＝sin 2x－a cos 2x(a>0)的一个对称中心为(，0)，则函数g(x)＝a sin 2x＋cos 2x的对称轴为(　　)
A．x＝，k∈Z
B．x＝－，k∈Z
C．x＝，k∈Z
D．x＝－，k∈Z
能 力 提 升 练
1.(多选)已知函数f(x)＝2sin (2x＋)，把f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．g(x)是奇函数
B．g(x)的图象关于直线x＝－对称
C．g(x)在[0，]上单调递增
D．不等式g(x)≤0的解集为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z
2．某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式；
(2)先将y＝f(x)图象上的所有点，向左平移m(m>0)个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y＝g(x)的图象，若y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，求当m取得最小值时，函数y＝g(x)的单调递增区间．
教材反思
(1)φ对函数y＝sin (x＋φ)的图象的影响
函数y＝sin (x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
(2)ω(ω>0)对函数y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin (ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin (x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
(3)A(A>0)对函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin (ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0(4)由y＝sin x变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
①先平移后伸缩
②先伸缩后平移
7．3.2　正弦型函数的性质与图象
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
2.　　φ　[－|A|，|A|]　|A|
知识点二
1．左　右
2．缩短　伸长
3．伸长　缩短
4．左　右　A
知识点三
1．R　[－|A|，|A|]
3．奇　偶　非奇非偶
4．递增　递减
[练习]
1．解析：函数y＝sin 的最小正周期为T＝＝4π，故A不符合；函数y＝sin 2x，其最小正周期为T＝＝π，故B不符合；因为函数y＝sin 的最小正周期为T＝4π，所以函数y＝的最小正周期为2π，故C符合；因为函数y＝sin 2x的最小正周期为T＝＝π，所以函数y＝，故D不符合．故选C.
答案：C
2．解析：根据相位变换的左加右减有y＝2sin x向左移动个单位得到y＝2sin .
答案：A
3．解析：由函数y＝3sin 的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝＝10π，初相为.
答案：10π　3　
4．解析：函数y＝3sin (2x＋φ)的图象对称中心为，
可知2×＋φ＝kπ，可得φ＝kπ－π(k∈Z)，
y＝3sin (k∈Z)，
令2x－π＝kπ＋，
得x＝(k∈Z)．
答案：x＝(k∈Z)
5．解析：因为函数f(x)＝sin (2x＋φ)图象的一条对称轴是直线x＝，
所以2×＋kπ(k∈Z)，
所以φ＝＋kπ(k∈Z)，
所以当k＝0时，φ可以为.
答案：(答案不唯一)
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)①列表：
②描点连线作出一周期的函数图象．
③把此图象左、右扩展，即得y＝2sin ＋3的图象如图所示．
由图象可知函数的定义域为R，值域为[1，5]，
周期为T＝＝2π，频率为f＝，初相为φ＝－，最大值为5，最小值为1.
令2kπ－≤2kπ＋(k∈Z)得原函数的增区间为[，2kπ＋](k∈Z)；
令2kπ＋≤2kπ＋(k∈Z)得原函数的减区间为[，2kπ＋](k∈Z)．
令x－＝kπ＋(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)易知函数f(x)＝1－sin 的最小正周期T＝＝6，
而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
＝(1－1)＋＋＋[1－(－1)]＋＋＝6，
由周期性知，这样连续六项的和均为6，
而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)共有2 023项，2 023＝6×337＋1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝337×6＋f(1)＝2 022＋(1－1)＝2 022.
【答案】　(1)见解析　(2)2 022
跟踪训练1　解析：(1)对于A，由三角函数的性质，可得f(x)的最小正周期为T＝＝π，所以A正确；
对于B，当x＝时，可得f＝sin ＝≠±1，
所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，所以B错误；
对于C，由f＝sin [＋]＝sin ，
此时函数f为非奇非偶函数，所以C错误；
对于D，令＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数的单调递减区间为[，kπ＋]，k∈Z，所以D正确．故选AD.
(2)①T＝＝4π，当＋2kπ(k∈Z)，
即x＝＋4kπ，k∈Z时，f(x)的最大值为2.
②令－＋2kπ≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
设A＝[－2π，2π]，B＝[＋4kπ，]，k∈Z，
所以A∩B＝，即函数f(x)在[－2π，2π]上的单调递增区间为.
③由x∈[0，2π]得∈，
根据正弦函数图象可知sin ∈，
所以f(x)∈.
答案：(1)AD　(2)见解析
例2　【解析】　方法一　
y＝sin x
y＝sin 2x
y＝sin
y＝2sin
y＝2sin －2.
方法二　y＝sin x
y＝sin
y＝sin
y＝2sin
y＝2sin －2.
跟踪训练2　解析：(1)y＝sin xy＝sin
y＝sin .故③正确．
(2)对于A，y＝sin 向左平移个单位，
可得到y＝sin [＋]＝sin ＝cos 2x，符合；
对于B，y＝sin 向右平移个单位，
可得到y＝sin [＋]＝sin 2x≠cos 2x，不符合；
对于C，y＝sin 向右平移个单位，
可得到y＝sin [＋]＝sin ≠cos 2x，不符合；
对于D，y＝sin 向左平移个单位，
可得到y＝sin [＋]＝sin ≠cos 2x，不符合．故选A.
答案：(1)③　(2)A
例3　【解析】　由图象，知A＝3，T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
又图象过点，则sin ＝0，
解得φ＝，∴y＝3sin .
跟踪训练3　解析：由图象可知A＝2，
＝1，
∴T＝2，
∴T＝＝2，∴ω＝π，
∴y＝2sin (πx＋φ)，
代入得2sin ＝2，
∴sin ＝1，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∵，∴φ＝，∴y＝2sin .
例4　【解析】　(1)∵f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋(k∈Z)，
又φ∈(0，π)，∴φ＝.
(2)∵f(x)＝sin (2x＋φ)关于x＝对称，
∴f(0)＝f，即sin φ＝sin ＝cos φ，
∴tan φ＝1，φ＝kπ＋(k∈Z)．
又φ∈(0，π)，∴φ＝，
∴f(x)＝sin .
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，
由2x＋＝kπ，得x＝(k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程为x＝(k∈Z)，
对称中心为(k∈Z)．
跟踪训练4　解析：(1)f＝sin ＝sin ≠±1，所以函数不关于直线x＝对称，故A错误；
f＝sin [＋]＝sin ＝－1，所以函数关于直线x＝－对称，故B正确；
f＝sin ＝sin ＝1≠0，所以函数不关于点对称，故C错误；
f＝sin ＝sin ≠0，所以函数不关于点对称，故D错误．故选B.
(2)因为f(x)＝sin 2x－a cos 2x＝sin (2x＋φ)，其中tan φ＝－a，
因为函数的对称中心为，
令2x＋φ＝kπ，k∈Z，
代入x＝，得φ＝－＋kπ，k∈Z，
所以tan φ＝tan ＝－，k∈Z，
所以a＝，则g(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，
令2x＋＋kπ，k∈Z，
解得x＝，k∈Z，即函数g(x)＝a sin 2x＋cos 2x的对称轴方程为x＝，k∈Z.故选A.
答案：(1)B　(2)A
能力提升练
1．解析：A选项，g(x)＝2sin ＝2sin (2x＋π)＝－2sin 2x，由于g(x)的定义域为R，且g(－x)＝－2sin (－2x)＝2sin 2x＝－g(x)，故g(x)为奇函数，故A正确；B选项，＝－2sin ＝2，故g(x)的图象关于直线x＝－对称，故B正确；C选项，x∈时，2x∈[0，π]，其中y＝－sin 2x在2x∈[0，π]上不单调，故g(x)＝－2sin 2x在x∈上不单调，故C错误；D选项，g(x)≤0，则sin 2x≥0，则2x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，故x∈，k∈Z，故D错误．故选AB.
答案：AB
2．解析：(1)根据表中已知数据，得A＝2，T＝4×()＝π，可得ω＝2，
当x＝时，2×＋φ＝π，解得φ＝－，
所以f(x)＝2sin (2x－)．
数据补全如下表．
x
ωx＋φ 0 π 2π
A sin (ωx＋φ) 0 2 0 －2 0
(2)将f(x)图象上所有的点向左平移m(m>0)个单位长度，
得到y＝2sin (2x＋2m－)的图象，
再把所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y＝g(x)的图象，
所以g(x)＝2sin (4x＋2m－)，
因为y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，
所以4×＋2m－＝kπ＋，k∈Z，
解得m＝，k∈Z，
因为m>0，所以mmin＝，
此时g(x)＝2sin (4x＋)，
由2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得≤x≤，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[]，k∈Z.