7.3.3　余弦函数的性质与图象 导学案（含答案）

7．3.3　余弦函数的性质与图象
【课程标准】　1.借助单位圆能画出余弦函数的图象.2.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大 (小)值.3.借助图象理解余弦函数在[0，2π]上的性质．
教 材 要 点
知识点一　余弦函数的图象
1．余弦函数与余弦曲线：对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数．函数y＝cos x的图象成为余弦曲线．
2．余弦函数图象的三种画法
(1)描点法：同正弦曲线的画法，通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在[0，2π]上的图象．
(2)五点法：在函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，有5个关键点：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)，描出五个关键点后，用平滑的曲线连接，可得y＝cos x，x∈[0，2π]的图象．
(3)平移法：根据诱导公式cos x＝sin (x＋)，可知y＝cos x的图象可由y＝sin x的图象向左平移个单位得到(如图所示)．
知识点二　余弦函数的性质
函数 y＝cos x
定义域 R
值域 [－1，1]
奇偶性 偶函数
周期性 以________为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性 当x∈______________________时，递增； 当x∈______________________时，递减
最大值与 最小值 当x＝________(k∈Z)时，最大值为____； 当x＝________(k∈Z)时，最小值为____
知识点三　余弦型函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝________．
【学霸笔记】　利用“五点法”作图时需要注意什么？
[提示]　注意的三点：(1)应用的前提条件是精确度要求不高．
(2)利用光滑的曲线连接时，一般最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”的现象．
(3)“五点法”作出的余弦函数一个周期上的图象是余弦曲线的一部分．
基 础 自 测
1．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　)
A．0，，π，，2π B．0，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，
2．使cos x＝1－m有意义的m的取值范围为(　　)
A．m≥0 B．0≤m≤2
C．－11
3．函数y＝2cos x，当x∈[－]时，函数(　　)
A．在区间[，π]上单调递增，在区间[－]上单调递减
B．在区间[－]上单调递增，在区间[，π]上单调递减
C．在区间[0，π]上单调递增，在区间[－，0]，[π，]上单调递减
D．在区间[－，0]，[π，]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减
4．下列结论正确的是(　　)
A．sin (－10°)>sin 50°
B．tan 70°C．cos (－40°)D．cos 130°>cos 200°
5．如果函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω＝________．
题型1用“五点法”作余弦型函数的图象
例1用“五点法”作函数y＝2＋cos x，x∈[0，2π]的简图．
总结　在[0，2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可．
总结
1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点．
2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点．
跟踪训练1　作出函数y＝cos (x＋)，x∈[－]的大致图象．
题型2余弦型函数的单调性
例2(1)函数f(x)＝5cos (3x＋)的一个单调递减区间是(　　)
A． B．
C． D．
(2)设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则(　　)
A．a>c>b B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
(3)函数y＝cos (－2x)的单调递增区间是____________.
总结　(1)先求出函数在定义域上的单调递减区间，再验证．
(2)利用诱导公式化到一个单调区间，再利用单调性比较．
(3)将x的系数负化正后利用单调性求解．
总结
1．余弦型函数单调区间的求法
(1)如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正．
(2)将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围．
(3)若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间．
2．关于三角函数值比较大小
利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间内，利用单调性比较大小．
跟踪训练2　(1)函数y＝|cos x|的一个单调递减区间是(　　)
A．(－) B．()
C．(π，) D．(，2π)
(2)(多选)下列不等式中成立的是(　　)
A．sin 1B．cos >cos 2
C．cos (－70°)>sin 18°
D．sin >sin
题型3余弦函数的最值或值域
例3(1)已知函数y1＝a－b cos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4a sin 3bx的最大值．
总结　欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y 1的最大、最小值，结合分类讨论求解．
(2)已知函数f(x)＝cos (2x－)，x∈[0，]，则f(x)的最小值为________．
利用余弦函数的单调性求最值．
(3)函数f(x)＝的值域是________．
根据余弦函数的有界性，求解函数f(x)的值域．
(4)求函数y＝sin2x＋cosx的值域．
总结　利用同角三角函数关系转化为关于余弦的二次函数求最值．
总结
1．对于求形如y＝a cos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cos x的范围．
2．求定区间上的最值：可先计算t＝ωx＋φ的范围，根据y＝cos t在所求出的范围内的单调性求最值．
3．关于余弦的二次式求最值：可用换元法或配方法求最值．
跟踪训练3　函数y＝sin2x＋cosx(－≤x≤)的值域为________．
题型4正、余弦函数的对称性
【思考探究】　1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？
[提示]　正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形．
2．正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？
[提示]　正弦曲线的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，其对称轴方程为x ＝＋kπ(k∈Z)．
余弦曲线的对称中心坐标为(kπ＋，0)(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)．
3．如何求y＝A cos (ωx＋φ)的对称中心及对称轴方程？
[提示]　只需令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即可求得其对称中心的横坐标．
令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得其对称轴方程．
例4已知函数y＝2cos (2x＋)．
(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．
总结
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
(1)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(或A cos (ωx＋φ))的图象关于x＝x0对称 f(x0)＝A或－A.
(2)f(x)＝A sin (ωx＋φ)(或A cos (ωx＋φ))的图象关于点(x0，0)中心对称 f(x0)＝0.跟踪训练4　(多选)已知函数f(x)＝cos (πx－)，则(　　)
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的图象关于点(－，0)对称
C．f(x)的图象关于点(－，0)对称
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
能 力 提 升 练
1.已知函数f(x)＝cos (ωx－)(ω>0)在[]上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[1，]
C．[2，] D．[，3]
2．已知函数f(x)＝2cos (2ωx＋)(ω>0)在[0，π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为________．
教材反思
(1)余弦曲线和正弦曲线的关系
(2)余弦函数周期性的释疑
余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
(3)余弦函数的奇偶性
①余弦函数是偶函数，反映在图象上，余弦曲线关于y轴对称．
②余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
(4)余弦函数单调性的说明
①余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
②求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
③确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
(5)余弦函数最值的释疑
①明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1.
②对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依据函数定义域来决定．
③形如y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝A cos z的形式求最值．
温馨提示：请完成课时作业(十)
7．3.3　余弦函数的性质与图象
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点二
2kπ　[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)　2kπ　1　2kπ＋π　－1
知识点三
　
[练习]
1．解析：令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，π，故选B.
答案：B
2．解析：∵－1≤cos x≤1，∴－1≤1－m≤1，
解得0≤m≤2.故选B.
答案：B
3．解析：对于A，由[，π] [0，π]，得y＝2cos x在[，π]上单调递减，A错误；对于B，函数y＝2cos x在[－]上不单调，B错误；对于C，函数y＝2cos x在[0，π]上单调递减，C错误；对于D，函数y＝2cos x在[－，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，在[π，]上单调递增，D正确．故选D.
答案：D
4．解析：对于A，因为sin (－10°)＝－sin 10°<0，sin 50°>0，所以sin (－10°)sin 70°，故B错误；对于C，因为cos (－40°)＝cos 40°，cos 310°＝cos (360°－50°)＝cos 50°，又cos 40°>cos 50°，所以cos (－40°)>cos 310°，故C错误；对于D，因为cos 130°＝cos (90°＋40°)＝－sin 40°，cos 200°＝cos (270°－70°)＝－sin 70°，又sin 40°－sin 70°，即cos 130°>cos 200°，故D正确．故选D.
答案：D
5．解析：∵函数f(x)的相邻两个零点之间的距离为，∴周期T＝2×＝，由＝，得ω＝6.
答案：6
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　列表：
描点连线，如图．
跟踪训练1　解析：∵x∈[－]，∴x＋∈[0，2π].
根据五点法列表得，
描点连线，如图所示．
例2　【解析】　(1)f(x)＝5cos (3x＋)，
由2kπ≤3x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，
得≤x≤(k∈Z)，
所以[－]是f(x)的一个单调递减区间．
(2)sin ＝sin (8π－)＝－sin ＝sin ＝cos ，
cos ＝cos (2π－)＝cos (－)＝cos ，
因为y＝cos x在(0，)上单调递减，
所以cos >cos >cos ，即a>c>b.
(3)函数y＝cos (－2x)＝cos (2x－)，
令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝cos (2x－)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
【答案】　(1)B　(2)A　(3)[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z
跟踪训练2　解析：(1)画出y＝|cos x|的图象，如图，
可以看出y＝|cos x|的一个单调递减区间为(π，)，其他选项不合要求．故选C.
(2)对于A，∵y＝sin x在(0，)上单调递增，又0<1<<，∴sin 1sin 18°，∴cos (－70°)>sin 18°，C正确；对于D，∵sin ＝sin (π－)＝sin ，sin ＝sin (3π－)＝sin ，又sin sin ，D正确．故选ACD.
答案：(1)C　(2)ACD
例3　【解析】　(1)∵函数y1的最大值是，最小值是－，
当b>0时，由题意得∴
当b<0时，由题意得∴
因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x，
函数的最大值均为2.
(2)因为x∈[0，]，所以2x－∈[－]，
所以由余弦函数图象和性质可知cos (2x－)∈[－，1]，
所以f(x)的最小值为－.
(3)由y＝f(x)＝，可得(1－2y)cos x＝y，
当y＝时等式不成立，∴y≠，则有cos x＝，
∵|cos x|≤1，∴||≤1，3y2－4y＋1≥0，y≤或y≥1，
∴函数f(x)＝的值域是(－∞，
(4)y＝sin2x＋cosx＝1－cos2x＋cosx
＝－cos2x＋cosx＋1＝－(cos x－)2＋，
令t＝cos x，则y＝－(t－)2＋，t∈[－1，1].
因为－1≤t≤1，所以当t＝时，ymax＝；
当t＝－1时，ymin＝－.
因此函数y＝sin2x＋cosx的值域为[－].
【答案】　(1)见解析　(2)－　(3)(－∞，　(4)见解析
跟踪训练3　解析：设cos x＝t，因为－≤x≤，
则t∈[，1]，所以y＝1－cos2x＋cosx＝－(t－)2＋，t∈[，1]，即y在区间上单调递减，
故当t＝，即x＝±时，ymax＝；
当t＝1，即x＝0时，ymin＝1，
所以函数的值域为[1，].
答案：[1，]
例4　【解析】　(1)令2x＋＝kπ(k∈Z)，
解得x＝(k∈Z)．
令k＝0时，x＝－；
令k＝1时，x＝，
∴函数y＝2cos (2x＋)的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝.
(2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，
则f(x)＝2cos [2(x－φ)＋]＝2cos (2x＋－2φ)．
∵y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，
∴f(0)＝2cos (－2φ)＝0，
∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝，
∴φ的最小正值是.
跟踪训练4　解析：因为f(x)＝cos (πx－)，
令πx－＝kπ，k∈Z，则x＝k＋，k∈Z，
所以f(x)的对称轴方程为x＝k＋，k∈Z，
令k＝0，x＝，则D正确，A错误；
令πx－＝kπ＋，k∈Z，则x＝k＋，k∈Z，
所以f(x)的对称轴中心为(k＋，0)，k∈Z，
令k＝－1，则f(x)的一个对称中心为(－，0)，则B正确，C错误．故选BD.
答案：BD
能力提升练
1．解析：因为f(x)在区间[]上单调递减，所以＝，得T≥，所以，所以0<ω≤4，由2kπ≤ωx－≤2kπ＋π，k∈Z，得2kπ＋≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，所以函数的单调递减区间为[](k∈Z)，因为函数f(x)在区间[]上单调递减，所以(k∈Z)，解得8k＋1≤ω≤(k∈Z)，因为0<ω≤4，所以k＝0，得1≤ω≤，所以1≤ω≤，故ω的取值范围为[1，].故选B.
答案：B
2．解析：当x∈[0，π]时，2ωx＋∈[，2πω＋].
因为f(x)在[0，π]上有且仅有2个零点，
所以≤2πω＋<，解得≤ω<.
答案：[)