第十三章《勾股定理》提升卷—华东师大版数学八（上）单元测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2024八上·南海期中）下列为勾股数的是（ ）
A．，， B．
C．，， D．7，24，25
2．（2021八上·福田期末）下列条件：① ；② ；③ ；④ ，能判定 是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2020八上·晋州期中）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（ ）
A．△ACF B．△ACE C．△ABD D．△CEF
4．（2025八上·宁波开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F.已知AD=3，CD=8.求阴影部分面积为（ ）
A．12 B．24 C．18 D．20
5．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025八上·射洪期末）一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2024八上·成都月考）如图，是一个带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八上·绍兴期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·肃州期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025八上·嘉兴期末）如图，已知，，，垂直平分，垂足为，交于点，点在上，且，连接，．下面四个结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分
11．已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设 ．
12．（2025七下·深圳期末）如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影的面积为 ．
13．（2025七下·罗湖期末） 如图，在中，，和的平分线相交于点，交AC于，交BC于，，，，则周长为 .
14．（2024八上·高州月考）图中所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD不能超过 m．
15．（2024八上·龙岗月考）科技改变生活，小莹计划购买一台圆形扫地机器人，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机器人放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机器人能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机器人尺寸最多有 种．
三、解答题：本大题共8小题，共75分
16．（2023八上·碧江期中）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1＝∠A+∠B．
17．请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形：
（1）使它的三边中恰有一边边长不是有理数；
（2）使它的三边中恰有两边边长不是有理数；
（3）使它的三边边长都不是有理数.
18．（2024八上·杭州期中）的三边长分别是a、b、c．且，，，是直角三角形吗？证明你的结论．
19．（2024八上·宁波期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”．
（2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长．
20．（2024八上·苏州月考）如图，在一条紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
（1）根据题意可知：______（填“”、“”、“”）．
（2）若，点B在直线AF上，米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
21．（2024八上·东阳期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理：
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
（3）已知中，，，，求的面积．
22．（2024八上·龙岗月考）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为12 cm，底面周长为18 cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程AB的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点处开始以1 cm/s的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A处以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
23．（2024八上·成都期中）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．
在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接．
（1）【感知特殊】
如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程；
（2）【探究一般】
①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明；
②当时，直接写出线段，，之间的数量关系．
（3）【应用迁移】
已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，，不是整数，故，，不是勾股数，故选项A不符合题意；
B、不是正整数，故不是勾股数，故选项B不符合题意；
C、，，不是正整数，故，，不是勾股数，故选项C不符合题意；
D、，7，24，25是勾股数，故选项D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，找出三个正数中最大的那个，然后再根据，逐一对各个选项进行验证即可求解。
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：① 即 ，△ABC是直角三角形，故①符合题意；
②∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A ∠B，
∴∠A+∠B+∠A ∠B=180°，即∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
③∵ ，
设a= ，b= ，c= ，
则 ，
∴△ABC不是直角三角形，故③不合题意；
④∵ ，
∴∠C= ×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意．
综上，正确的有①②，共2个，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB==，BC=，AC=2．
A、在△ACF中，AF==≠，≠，≠2，则△ACF与△ABC不全等，故本选项错误；
B、在△ACE中，AE=3≠，3≠，3≠2，则△ACE与△ABC不全等，故本选项错误；
C、在△ABD中，AB=AB，AD==BC，BD=AC=2，则由SSS推知△ACF与△ABC全等，故本选项正确；
D、在△CEF中，CF=3≠，3≠，3≠2，则△CEF与△ABC不全等，故本选项错误；
故选：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到相关线段间的等量关系．然后利用勾股定理进行验证．
4．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为正方形，
设边长为x，
由勾股定理可知，
故答案为：A.
【分析】根据角平分线性质得到四边形BFDE为正方形，根据正方形的边长和三角形的面积得到关于阴影面积的等式，最后求出阴影部分的面积.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由等面积法可得，化简得，故选项A不符合题意；
B、由等面积法可得，化简得，故选项B不符合题意；
C、由等面积法可得，化简得，故选项C不符合题意；
D、由等面积法可得，即，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据直角梯形面积计算方法及正方形的面积计算方法表示出各个选项图形的面积，同时利用割补法写出另一种各个选项图形的面积表示方法，由等面积法可得等式，再将等式化简，即可判断能否证明勾股定理.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由图形可得，（米），（米），
∵，
∴，
解得：（米），
∵，
∴（米），
∴卡车的外形不得高于米．
故答案为：C．
【分析】先得到，然后利用勾股定理得到长，即可利用得到CH长，解题．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵将一根长为的吸管，置于底面直径为，高度为的圆柱形水杯中，
∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜对角长度，
∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，吸管长为，
最长时等于杯子斜对角长度是：，
∴a的取值范围是：，
即，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理可求出最长时等于杯子斜对角长度，根据杯子内吸管的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，可得到a的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设，，则，
，，即，求得，
在中有，，求得，，，.
故答案为：D.
【分析】设，，等量关系求得，在利用勾股定理，可得，再结合得到，进而判断选项.
9．【答案】A
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，把左侧面展开到水平面上，连接，
，
则，
如图，把右侧面展开到正面上，连接，
，
则；
如图，把向上的面展开到正面上，连接，
，
则；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是，
故答案为：A．
【分析】本题需要分三种情况，即把左侧面展开到水平面上、把右侧面展开到正面上、把向上的面展开到正面上；然后分别利用勾股定理计算，最后再比较计算结果即可得解．
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，即，
故选项A的结论错误，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
若，则，
但题中没有条件说明，
故选项B的结论错误，不符合题意；
若，则，
∵，
∴，即，
但题中没有条件说明，
故选项C的结论错误，不符合题意；
∵，，，，
∴，
即，
故选项D的结论正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用垂直平分线的性质可以得到哦啊，，，即可得到，判断A；然后假设结论成立，得到不符合题意的结论，判断B和C；利用垂直平分线的性质及直角三角形两锐角互余判断D即可解题．
11．【答案】∠B≥90°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
12．【答案】48
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；多边形的面积
【解析】【解答】解：在中：AB=，
∵，
∴∠PBC+∠ACB=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠DCQ+∠ACB=90°，
∴∠PBC=∠DCQ，
在和中：∵∠PBC=∠DCQ，BC=CD，∠BCP=∠CDQ=90°，
∴≌，
∴SRt△PBC=SRt△QCD，
∴S△ABC=S四边形APDQ=，
∴S阴影部分的面积=S正方形ABFG+S正方形ACMN+S△ABC +S四边形APDQ-S正方形BCDE=AB2+AC2+24+24-BC2=48。
故答案为：48 .
【分析】首先可根据ASA证明和全等，从而得出S△ABC=S四边形APDQ，然后根据S阴影部分的面积=S正方形ABFG+S正方形ACMN+S△ABC +S四边形APDQ-S正方形BCDE，即可得出答案。
13．【答案】6
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；直角三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：
过作于，于，于.
因为平分，，，根据角平分线的性质，所以，
同理，平分，，，所以，
因此，，且，
在Rt和Rt中：
∴（HL），
由全等三角形的性质，得，
在Rt和Rt中：
∴（HL），
∴，
又∵，，。
∴（HL），
∴，
∵，，。
∴（HL），
∴，
∴的周长 ，
将，，代入（或利用全等转化 ）：
代入，，，得：
.
故答案为：6.
【分析】 本题通过角平分线性质构造相等线段，再利用HL定理证明多组直角三角形全等，将的周长转化为。核心思路是“全等转化”：用全等三角形的性质将分散的线段关联到已知边长（、、 ），简化计算.
14．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，
连接EF交BC于点G，过F作于H，则根据题意得，，都是等腰直角三角形时， 平板车的长AD 的长取最大值.此时，，，，，.
在中，.
∴，
∴
∴
∴ 平板车的长AD不能超过()
故答案为：.
【分析】连接EF交BC于点G，过F作于H，则根据题意得，，都是等腰直角三角形时， 平板车的长AD 的长取最大值.先求出EF的长，进一步求出GE，从而求出GC，便可求BC，最后可求得AD的最大值.
15．【答案】2
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，
连接AC，构建如图所示直角三角形，则 cm ， cm，
在中，由勾股定理得：
cm .
∴小莹可选择的扫地机器人尺寸不能超过35 cm.
∴小莹可选择的扫地机器人尺寸最多有2种．
故答案为：2.
【分析】扫地机器人要能出去，尺寸要小于等于AC，故只需要求出AC的长即可，要求AC就得构建直角三角形由勾股定理求解，于是构建如图直角三角形便可求解.
16．【答案】证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，如下图所示：
∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2，
∴∠1＝∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B．
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】根据反证法的一般解题步骤：首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于180°，得到矛盾，所以假设不成立，即可得出三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
17．【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
【知识点】无理数的概念；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：(1)如图所示：△ABC即为所求；
(2)如图所示：△GHP即为所求；
(3)如图所示：△DEF即为所求.
【分析】通过方格纸的边长为单位长度，根据勾股定理来确定三角形三边的长度，判断是否为有理数从而设计出符合要求的直角三角形.
18．【答案】解：是直角三角形．
证明如下：
∵
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方，从而根据完全平方公式计算即可判断得出答案.
19．【答案】（1）证明：如图，过点作于点，
，，，
是边上的中线，，
又∵，
由勾股定理得：，
，
是“梦想三角形”；
（2）解：如图，若是“梦想三角形”，
∵直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴只能是直角边的中线等于对应的直角边，
有以下两种情况：
①当边上的中线时，，
此时，，
②当边上的中线时，，
此时，，即，
解得：（负数值舍去），
综上所述，或．
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由于等腰三角形任何一个腰上的中线都不可能等于腰，因此当一个等腰三角形是梦想三角形时，只能是底边上的中线等底边的长，因此可过点作于点，根据等腰三角形三线合一可知是边上的中线，且，再利用勾股定理求出的长度即可证明；
（2）由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此当一个直角三角形是梦想三角形时，只有其中一条直角边上的中线等于这条直角边，因此可分两种情况：①当边上的中线时，则，利用勾股定理可直接求得；②当边上的中线时，则是，利用勾股定理先求出即可．
（1）证明：如图，过点作于点，
，，，
是边上的中线，，
又∵，
由勾股定理得：，
，
是“梦想三角形”；
（2）解：如图，若是“梦想三角形”，
∵直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴只能是直角边的中线等于对应的直角边，
有以下两种情况：
①当边上的中线时，，
此时，，
②当边上的中线时，，
此时，，即，
解得：（负数值舍去），
综上所述，或．
20．【答案】（1）
（2）解：连接，则点A、B、F三点共线，
在中，（米），
∵（米），
∴在中，（米），
∵，
∴米，
∴小男孩需向右移动的距离为米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用“绳长始终保持不变”分析求解即可；
（2）连接，则点A、B、F三点共线，先利用勾股定理求出AC和BC的长，再利用线段的和差求出CE的长即可.
（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接，则点A、B、F三点共线，
在中，（米），
∵（米），
∴在中，（米），
∵，
∴米，
∴小男孩需向右移动的距离为米．
21．【答案】（1）证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少0.2千米
（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】本题综合考查勾股定理的证明方法及其在实际问题中的应用。
（1）通过两种不同方式表示同一梯形面积，推导出各边长的关系，从而完成勾股定理的证明；
（2）合理设未知数表示等腰三角形的腰长，在直角三角形中依据勾股定理建立方程，求解即可；
（3）通过作垂线构造直角三角形，分别在两个直角三角形中运用勾股定理，勾股方程求出高度，再次利用勾股定理，面积公式即可求出答案。
（1）证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少0.2千米；
（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
．
22．【答案】（1）解：将圆柱形玻璃容器沿AB展开如下图：
由题意得： cm ，cm ， cm ，
∴ cm ，
在中， cm ，
∴苍蝇所走的最短路线的长度为34cm.
（2）解：由题意得，，将长方体展开如下：
设甲、乙两昆虫爬行的时间为t，则，，，
在中，由勾股定理得：即解得：.
∴昆虫乙至少需要才能捕捉到昆虫甲 .
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）将圆柱形玻璃容器沿AB展开，连接SF，由勾股定理求出SF的长即为苍蝇所走的最短路线.
（2）甲、乙两昆虫爬行的时间相同，设为t，则可表示出，，在中，由勾股定理得，解出t即可.
23．【答案】（1）证明：由旋转的性质可知，；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∵；
∴
∴是的垂直平分线；
∴；
∴为等腰直角三角形．
（2）①如下图，当时，设；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∴；
由（1）可知，为等腰直角三角形；
∴；
过点作CM⊥，垂足为；
∴为等腰直角三角形
∵，；
∴；
∴；
即．
②如下图所示，同理由（1）可知，是等腰直角三角形；
当时，设；
∵；
∴；
∵；
∴；
∴；
∴；
过点作CM⊥，垂足为；
∴；
∵；
∴；
在等腰直角三角形中；
；
即，．
（3）解：如下图，当时；
在等腰直角三角形中，；
∴；
∵；
∴；
∵；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
第二种情况，如下图，当时；
同理，可求，；
∵；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
∴.
答：EC的值为h或.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质和等腰三角形的三线合一并结合三角形内角和等于180°可得和，由角的和差可求出，然后根据线段的垂直平分线的性质可求解；
（2）①由题意画出图形，由（1）可得△ADE为等腰直角三角形，过点作CM⊥，垂足为；易得△CEM为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求解；
②由题意画出图形，同理可求解；
（3）由（2）可知，分类两种情况讨论：①当时；②当时；由题意分别画出图形，根据勾股定理和线段的构成可求解．
（1）证明：由旋转的性质可知，；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∵；
∴
∴是的垂直平分线；
∴；
∴为等腰直角三角形．
（2）①如下图，当时，设；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∴；
由第一问可以知道，为等腰直角三角形；
∴；
直接过点作的垂线，垂足为；
∴为等腰直角三角形
∵，；
∴；
∴；
即，．
②如下图所示，同理由第问可以证明，依然是等腰直角三角形性；
当时，设；
∵；
∴；
∵；
∴；
∴；
∴；
直接过点作的垂线，垂足为；
∴；
∵；
∴；
在等腰直角三角形中；
；
即，．
（3）解：如下图，当时；
在等腰直角三角形中，；
∴；
∵；
∴；
∵；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
第二种情况，如下图，当时；
同理，可求，；
∵；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
∴；
1 / 1第十三章《勾股定理》提升卷—华东师大版数学八（上）单元测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2024八上·南海期中）下列为勾股数的是（ ）
A．，， B．
C．，， D．7，24，25
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、，，不是整数，故，，不是勾股数，故选项A不符合题意；
B、不是正整数，故不是勾股数，故选项B不符合题意；
C、，，不是正整数，故，，不是勾股数，故选项C不符合题意；
D、，7，24，25是勾股数，故选项D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，找出三个正数中最大的那个，然后再根据，逐一对各个选项进行验证即可求解。
2．（2021八上·福田期末）下列条件：① ；② ；③ ；④ ，能判定 是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：① 即 ，△ABC是直角三角形，故①符合题意；
②∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A ∠B，
∴∠A+∠B+∠A ∠B=180°，即∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
③∵ ，
设a= ，b= ，c= ，
则 ，
∴△ABC不是直角三角形，故③不合题意；
④∵ ，
∴∠C= ×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意．
综上，正确的有①②，共2个，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项判断即可。
3．（2020八上·晋州期中）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（ ）
A．△ACF B．△ACE C．△ABD D．△CEF
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB==，BC=，AC=2．
A、在△ACF中，AF==≠，≠，≠2，则△ACF与△ABC不全等，故本选项错误；
B、在△ACE中，AE=3≠，3≠，3≠2，则△ACE与△ABC不全等，故本选项错误；
C、在△ABD中，AB=AB，AD==BC，BD=AC=2，则由SSS推知△ACF与△ABC全等，故本选项正确；
D、在△CEF中，CF=3≠，3≠，3≠2，则△CEF与△ABC不全等，故本选项错误；
故选：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到相关线段间的等量关系．然后利用勾股定理进行验证．
4．（2025八上·宁波开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F.已知AD=3，CD=8.求阴影部分面积为（ ）
A．12 B．24 C．18 D．20
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为正方形，
设边长为x，
由勾股定理可知，
故答案为：A.
【分析】根据角平分线性质得到四边形BFDE为正方形，根据正方形的边长和三角形的面积得到关于阴影面积的等式，最后求出阴影部分的面积.
5．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由等面积法可得，化简得，故选项A不符合题意；
B、由等面积法可得，化简得，故选项B不符合题意；
C、由等面积法可得，化简得，故选项C不符合题意；
D、由等面积法可得，即，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据直角梯形面积计算方法及正方形的面积计算方法表示出各个选项图形的面积，同时利用割补法写出另一种各个选项图形的面积表示方法，由等面积法可得等式，再将等式化简，即可判断能否证明勾股定理.
6．（2025八上·射洪期末）一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由图形可得，（米），（米），
∵，
∴，
解得：（米），
∵，
∴（米），
∴卡车的外形不得高于米．
故答案为：C．
【分析】先得到，然后利用勾股定理得到长，即可利用得到CH长，解题．
7．（2024八上·成都月考）如图，是一个带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵将一根长为的吸管，置于底面直径为，高度为的圆柱形水杯中，
∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜对角长度，
∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，吸管长为，
最长时等于杯子斜对角长度是：，
∴a的取值范围是：，
即，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理可求出最长时等于杯子斜对角长度，根据杯子内吸管的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，可得到a的取值范围.
8．（2023八上·绍兴期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设，，则，
，，即，求得，
在中有，，求得，，，.
故答案为：D.
【分析】设，，等量关系求得，在利用勾股定理，可得，再结合得到，进而判断选项.
9．（2024八上·肃州期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，把左侧面展开到水平面上，连接，
，
则，
如图，把右侧面展开到正面上，连接，
，
则；
如图，把向上的面展开到正面上，连接，
，
则；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是，
故答案为：A．
【分析】本题需要分三种情况，即把左侧面展开到水平面上、把右侧面展开到正面上、把向上的面展开到正面上；然后分别利用勾股定理计算，最后再比较计算结果即可得解．
10．（2025八上·嘉兴期末）如图，已知，，，垂直平分，垂足为，交于点，点在上，且，连接，．下面四个结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，即，
故选项A的结论错误，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
若，则，
但题中没有条件说明，
故选项B的结论错误，不符合题意；
若，则，
∵，
∴，即，
但题中没有条件说明，
故选项C的结论错误，不符合题意；
∵，，，，
∴，
即，
故选项D的结论正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用垂直平分线的性质可以得到哦啊，，，即可得到，判断A；然后假设结论成立，得到不符合题意的结论，判断B和C；利用垂直平分线的性质及直角三角形两锐角互余判断D即可解题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分
11．已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设 ．
【答案】∠B≥90°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
12．（2025七下·深圳期末）如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影的面积为 ．
【答案】48
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；多边形的面积
【解析】【解答】解：在中：AB=，
∵，
∴∠PBC+∠ACB=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠DCQ+∠ACB=90°，
∴∠PBC=∠DCQ，
在和中：∵∠PBC=∠DCQ，BC=CD，∠BCP=∠CDQ=90°，
∴≌，
∴SRt△PBC=SRt△QCD，
∴S△ABC=S四边形APDQ=，
∴S阴影部分的面积=S正方形ABFG+S正方形ACMN+S△ABC +S四边形APDQ-S正方形BCDE=AB2+AC2+24+24-BC2=48。
故答案为：48 .
【分析】首先可根据ASA证明和全等，从而得出S△ABC=S四边形APDQ，然后根据S阴影部分的面积=S正方形ABFG+S正方形ACMN+S△ABC +S四边形APDQ-S正方形BCDE，即可得出答案。
13．（2025七下·罗湖期末） 如图，在中，，和的平分线相交于点，交AC于，交BC于，，，，则周长为 .
【答案】6
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；直角三角形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：
过作于，于，于.
因为平分，，，根据角平分线的性质，所以，
同理，平分，，，所以，
因此，，且，
在Rt和Rt中：
∴（HL），
由全等三角形的性质，得，
在Rt和Rt中：
∴（HL），
∴，
又∵，，。
∴（HL），
∴，
∵，，。
∴（HL），
∴，
∴的周长 ，
将，，代入（或利用全等转化 ）：
代入，，，得：
.
故答案为：6.
【分析】 本题通过角平分线性质构造相等线段，再利用HL定理证明多组直角三角形全等，将的周长转化为。核心思路是“全等转化”：用全等三角形的性质将分散的线段关联到已知边长（、、 ），简化计算.
14．（2024八上·高州月考）图中所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD不能超过 m．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，
连接EF交BC于点G，过F作于H，则根据题意得，，都是等腰直角三角形时， 平板车的长AD 的长取最大值.此时，，，，，.
在中，.
∴，
∴
∴
∴ 平板车的长AD不能超过()
故答案为：.
【分析】连接EF交BC于点G，过F作于H，则根据题意得，，都是等腰直角三角形时， 平板车的长AD 的长取最大值.先求出EF的长，进一步求出GE，从而求出GC，便可求BC，最后可求得AD的最大值.
15．（2024八上·龙岗月考）科技改变生活，小莹计划购买一台圆形扫地机器人，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机器人放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机器人能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机器人尺寸最多有 种．
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，
连接AC，构建如图所示直角三角形，则 cm ， cm，
在中，由勾股定理得：
cm .
∴小莹可选择的扫地机器人尺寸不能超过35 cm.
∴小莹可选择的扫地机器人尺寸最多有2种．
故答案为：2.
【分析】扫地机器人要能出去，尺寸要小于等于AC，故只需要求出AC的长即可，要求AC就得构建直角三角形由勾股定理求解，于是构建如图直角三角形便可求解.
三、解答题：本大题共8小题，共75分
16．（2023八上·碧江期中）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1＝∠A+∠B．
【答案】证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，如下图所示：
∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2，
∴∠1＝∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B．
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【分析】根据反证法的一般解题步骤：首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于180°，得到矛盾，所以假设不成立，即可得出三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
17．请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形：
（1）使它的三边中恰有一边边长不是有理数；
（2）使它的三边中恰有两边边长不是有理数；
（3）使它的三边边长都不是有理数.
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
【知识点】无理数的概念；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：(1)如图所示：△ABC即为所求；
(2)如图所示：△GHP即为所求；
(3)如图所示：△DEF即为所求.
【分析】通过方格纸的边长为单位长度，根据勾股定理来确定三角形三边的长度，判断是否为有理数从而设计出符合要求的直角三角形.
18．（2024八上·杭州期中）的三边长分别是a、b、c．且，，，是直角三角形吗？证明你的结论．
【答案】解：是直角三角形．
证明如下：
∵
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方，从而根据完全平方公式计算即可判断得出答案.
19．（2024八上·宁波期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”．
（2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长．
【答案】（1）证明：如图，过点作于点，
，，，
是边上的中线，，
又∵，
由勾股定理得：，
，
是“梦想三角形”；
（2）解：如图，若是“梦想三角形”，
∵直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴只能是直角边的中线等于对应的直角边，
有以下两种情况：
①当边上的中线时，，
此时，，
②当边上的中线时，，
此时，，即，
解得：（负数值舍去），
综上所述，或．
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由于等腰三角形任何一个腰上的中线都不可能等于腰，因此当一个等腰三角形是梦想三角形时，只能是底边上的中线等底边的长，因此可过点作于点，根据等腰三角形三线合一可知是边上的中线，且，再利用勾股定理求出的长度即可证明；
（2）由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此当一个直角三角形是梦想三角形时，只有其中一条直角边上的中线等于这条直角边，因此可分两种情况：①当边上的中线时，则，利用勾股定理可直接求得；②当边上的中线时，则是，利用勾股定理先求出即可．
（1）证明：如图，过点作于点，
，，，
是边上的中线，，
又∵，
由勾股定理得：，
，
是“梦想三角形”；
（2）解：如图，若是“梦想三角形”，
∵直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴只能是直角边的中线等于对应的直角边，
有以下两种情况：
①当边上的中线时，，
此时，，
②当边上的中线时，，
此时，，即，
解得：（负数值舍去），
综上所述，或．
20．（2024八上·苏州月考）如图，在一条紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
（1）根据题意可知：______（填“”、“”、“”）．
（2）若，点B在直线AF上，米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）解：连接，则点A、B、F三点共线，
在中，（米），
∵（米），
∴在中，（米），
∵，
∴米，
∴小男孩需向右移动的距离为米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用“绳长始终保持不变”分析求解即可；
（2）连接，则点A、B、F三点共线，先利用勾股定理求出AC和BC的长，再利用线段的和差求出CE的长即可.
（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接，则点A、B、F三点共线，
在中，（米），
∵（米），
∴在中，（米），
∵，
∴米，
∴小男孩需向右移动的距离为米．
21．（2024八上·东阳期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理：
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
（3）已知中，，，，求的面积．
【答案】（1）证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少0.2千米
（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】本题综合考查勾股定理的证明方法及其在实际问题中的应用。
（1）通过两种不同方式表示同一梯形面积，推导出各边长的关系，从而完成勾股定理的证明；
（2）合理设未知数表示等腰三角形的腰长，在直角三角形中依据勾股定理建立方程，求解即可；
（3）通过作垂线构造直角三角形，分别在两个直角三角形中运用勾股定理，勾股方程求出高度，再次利用勾股定理，面积公式即可求出答案。
（1）证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少0.2千米；
（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
．
22．（2024八上·龙岗月考）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为12 cm，底面周长为18 cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程AB的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点处开始以1 cm/s的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A处以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
【答案】（1）解：将圆柱形玻璃容器沿AB展开如下图：
由题意得： cm ，cm ， cm ，
∴ cm ，
在中， cm ，
∴苍蝇所走的最短路线的长度为34cm.
（2）解：由题意得，，将长方体展开如下：
设甲、乙两昆虫爬行的时间为t，则，，，
在中，由勾股定理得：即解得：.
∴昆虫乙至少需要才能捕捉到昆虫甲 .
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）将圆柱形玻璃容器沿AB展开，连接SF，由勾股定理求出SF的长即为苍蝇所走的最短路线.
（2）甲、乙两昆虫爬行的时间相同，设为t，则可表示出，，在中，由勾股定理得，解出t即可.
23．（2024八上·成都期中）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．
在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接．
（1）【感知特殊】
如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程；
（2）【探究一般】
①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明；
②当时，直接写出线段，，之间的数量关系．
（3）【应用迁移】
已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长．
【答案】（1）证明：由旋转的性质可知，；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∵；
∴
∴是的垂直平分线；
∴；
∴为等腰直角三角形．
（2）①如下图，当时，设；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∴；
由（1）可知，为等腰直角三角形；
∴；
过点作CM⊥，垂足为；
∴为等腰直角三角形
∵，；
∴；
∴；
即．
②如下图所示，同理由（1）可知，是等腰直角三角形；
当时，设；
∵；
∴；
∵；
∴；
∴；
∴；
过点作CM⊥，垂足为；
∴；
∵；
∴；
在等腰直角三角形中；
；
即，．
（3）解：如下图，当时；
在等腰直角三角形中，；
∴；
∵；
∴；
∵；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
第二种情况，如下图，当时；
同理，可求，；
∵；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
∴.
答：EC的值为h或.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质和等腰三角形的三线合一并结合三角形内角和等于180°可得和，由角的和差可求出，然后根据线段的垂直平分线的性质可求解；
（2）①由题意画出图形，由（1）可得△ADE为等腰直角三角形，过点作CM⊥，垂足为；易得△CEM为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求解；
②由题意画出图形，同理可求解；
（3）由（2）可知，分类两种情况讨论：①当时；②当时；由题意分别画出图形，根据勾股定理和线段的构成可求解．
（1）证明：由旋转的性质可知，；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∵；
∴
∴是的垂直平分线；
∴；
∴为等腰直角三角形．
（2）①如下图，当时，设；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∴；
由第一问可以知道，为等腰直角三角形；
∴；
直接过点作的垂线，垂足为；
∴为等腰直角三角形
∵，；
∴；
∴；
即，．
②如下图所示，同理由第问可以证明，依然是等腰直角三角形性；
当时，设；
∵；
∴；
∵；
∴；
∴；
∴；
直接过点作的垂线，垂足为；
∴；
∵；
∴；
在等腰直角三角形中；
；
即，．
（3）解：如下图，当时；
在等腰直角三角形中，；
∴；
∵；
∴；
∵；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
第二种情况，如下图，当时；
同理，可求，；
∵；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
∴；
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