第四章《几何图形初步》提升卷—沪科版数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．如图，小亮为了将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是( )
A．过一点有无数条直线
B．两点之间线段的长度，叫作这两点间的距离
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：∵他在衣架两端各用一个钉子进行固定，
∴两点确定一条直线
故答案为：C
【分析】根据两点确定一条直线结合题意即可求解。
2．（2019七上·利川月考）如图，一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.根据图中三种状态所显示的数字，正方体的正面“？”表示的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：∵与5相邻的数是1、4、3，而与3相邻的数有1、2、5，
∴1、3、5是相邻的数，故“？”表示的数是1.
故答案为：A.
【分析】观察图形发现，与5相邻的数是1、4、3，而与3相邻的数有1、2、5，所以1、3、5、是相邻的数，进行解答.
3．（2024七上·郫都期末）观察图形，下列有四种说法：①经过一点可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有3个交点；④．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：①经过一点可以作无数条直线，①正确；
②射线和射线是同一条射线，都是以为端点，同一方向的射线，②正确；
③三条直线两两相交时，可能有1个交点，也可能有三个交点，③错误；
④由两点之间线段最短可得，④正确；
所以共有3个正确．
故答案为：C．
【分析】本题考查直线、射线、线段.根据经过一点可以作无数条直线，据此可判断①；根据射线的表示方法可判断②；根据过3点的直线的条数可判断③；根据两点之间线段最短可判断④．
4．已知线段AB，CD，ABA．点B在线段CD上(C，D之间) B．点B与点D重合
C．点B在线段CD的延长线上 D．点B在线段DC的延长线上
【答案】A
【知识点】线段的长短比较
【解析】【解答】解：将AB移动到CD的位置，使点A与点C重合，AB与CD叠合，如图，
点B在线段CD上(C、D之间)，故选项A正确；
点B与点D重合，则有AB=CD与AB点B在线段CD的延长线上，则有AB>CD，与AB点B在线段DC的延长线上，没有将AB移动到CD的位置，故选项D不正确；
故答案为：A.
【分析】根据叠合法比较大小的方法始点重合，看终点可得点B在线段CD上，可判断A，点B与点D重合，可得线段AB=CD，可判断B，利用AB>CD，点B在线段CD的延长线上，可判断C，点B在线段DC的延长线上，没有将AB移动到CD的位置，无法比较大小可判断D.
5．（2025七上·海曙期末）将一副直角三角板按下图所示各位置摆放，其中∠α和∠β互余的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解： 故此选项符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故答案为： A.
【分析】根据余角的定义逐项判断即可.
6．将长方形的木桌锯掉一个角，剩余角的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．3或4或5
【答案】D
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：如图所示，
一个方桌的一个角被截去，则剩余的角依次为5、4、3个，
故答案为：D.
【分析】需要考虑锯掉一个角的不同方式，分成多种情况去理解，可借助图形观察.
7．将∠A 与∠B 两个角的关系记为∠A =n∠B(n>0)，探索n 的大小与两个角的类型之间的关系。下列说法正确的是( )
A．当n=2时，若∠A 为锐角，则∠B 为锐角
B．当n=2时，若∠A 为钝角，则∠B 为钝角
C．当 时，若∠A 为锐角，则∠B 为锐角
D．当 时，若∠A 为锐角，则∠B 为钝角
【答案】A
【知识点】角的分类（直角、锐角和钝角）
【解析】【解答】解：当n=2时，则∠A=2∠B，
若∠A为锐角，则0°<2∠B<90°，即0°<∠B<45°，A正确
若∠A为钝角，则90°<2∠B<180°，即45°<∠B<90°，B错误
当 时，则
若∠A 为锐角，，即0°<∠B<180°，C，D错误
故答案为：A
【分析】根据角的关系即锐角，钝角的定义逐项进行判断即可求出答案.
8．（2024七上·裕华期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：
（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D
（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F
（4）作 ，∠DEF即为所求作的角
A．●表示点E B．◎表示PQ
C．⊙表示OQ D． 表示射线EF
【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，●表示点O，故选项A不正确；
◎表示OP或OQ，故选项B不正确；
⊙表示PQ，故选项C不正确；
表示射线EF，故选项D正确；
故答案为：D.
【分析】用尺规作一个角等于已知角，结合点与直线、射线、线段的特点分析判定即可．
9．（2023七上·丹江口期末）如图，，下列结论：①；②图中有两个余角；③若平分，则平分；④的平分线平分．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：①∵，
∴，，
∴；故①不符合题意．
②∵，
∴，
∴有两个余角；故②符合题意；
③∵，平分，
∴，；
∴；
∴平分，故③符合题意．
④∵，（已证）；
∴的平分线与的平分线是同一条射线．故④符合题意．
故选：B．
【分析】此题主要考查角的和差运算，角平分线的定义，余角的含义，根据，由余角的含义，可得判定①不符合题意，②符合题意，再由平分，结合角平分线的定义，可判定③符合题意，结合角的和差运算，证得的平分线与的平分线是同一条射线，可得判定④符合题意．
10．（2018七上·大冶期末）如果线段AB=13cm，MA+MB=17 cm，那么下面说法中正确的是（ ）.
A．M点在线段AB上
B．M点在直线AB上
C．M点在直线AB外
D．M点可能在直线AB上，也可能在直线AB外
【答案】D
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（1）当M点在直线外时，M，A，B构成三角形，两边之和大于第三边，能出现MA+MB=17；（2）当M点在线段AB延长线上，也可能出现MA+MB=17．
故答案为：D．
【分析】此题由于没有明确的告知点M的位置，故需要分类讨论：①当M点在直线外时，以M，A，B三点为顶点构成三角形，根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，能出现MA+MB=17；②当M点在线段AB延长线上，也可能出现MA+MB=17，综上所述即可得出答案。
11．（2023七上·新田月考）钟面上从3点到4点，时针与分针成角的时间是（ ）
A．3点30分和3点分 B．3点分和3点分
C．3点分和3点分 D．3点分和3点分
【答案】D
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：钟表盘面被分成12个大格，所以每个大格是30°，每个大格又被分成5个小格，所以时针每小时走一个大格，即走60°，每分钟走0.5°，分针每小时走一周，每分钟走一个小格，即走6°，所以时针与分针成角的时间共有两种情况：
①分针与时针没有重合之前：设3点x分，时针和分针成60°的角，根据题意，得：90+0.5x-6x=60°，解得：x=；
②分针与时针重合之后：设3点y分，时针和分针成60°的角，根据题意，得：6y-(90+0.5y）=60，解得：y=.
故答案为：D.
【分析】根据钟表盘面被分成12个大格，所以每个大格是30°，每个大格又被分成5个小格，所以时针每小时走一个大格，即走60°，每分钟走0.5°，分针每小时走一周，每分钟走一个小格，即走6°，所以时针与分针成角的时间共有两种情况：①分针与时针没有重合之前：设3点x分，时针和分针成60°的角，根据题意，得：90+0.5x-6x=60°，解得：x=；②分针与时针重合之后：设3点y分，时针和分针成60°的角，根据题意，得：6y-(90+0.5y）=60，解得：y=.
12．（2019七上·中期中）图①是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图②所示，若骰子初始位置为图②所示的状态，将骰子向右翻滚 ，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连线完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3点；连续完成2019次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】几何体的展开图；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，
“2点”与“5点”是相对面，“3点”与“4点”是相对面，“1点”与“6点”是相对面，
∵ ，
∴完成2019次翻转为第505组的第三次翻转，
∴骰子朝下一面的点数是5．
故答案为：D．
【分析】根据正方体的表面展开图，可得各个面上的数字，由2019次翻转为第505组的第三次翻转，即可得到答案．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有 种不同的车票．
【答案】30
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：如图：，
车票：AC、CD、DE、EF、FB、AD、AE、AF、AB、CE、CF、CB、DF、DB、EB，BE、BD、FD、BC、FC、EC、BA、FA、EA、DA、BF、FE、ED、DC、CA．
火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有30种不同的车票，
故答案为：30．
【分析】根据每条线段就有两种车票，每两点就是一条线段，可得答案．
14．（2024七上·邛崃期末）神州17号载人飞船已于2023年10月26日上午11时14分成功发射．上午11时14分时钟上时针与分针的夹角是 ．
【答案】
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：如图，由钟面表的定义可知，
，
，
，
．
故答案为：107°。
【分析】钟表上每一个大格的角度为30°，据此求解即可．
15．（2019七上·泊头期中）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个．
【答案】6
【知识点】直线、射线、线段；线段的长短比较
【解析】【解答】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，
∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA
∴发出警报的点P最多有6个．
故答案为：6．
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段六条，所以出现报警次数最多6次．
16．（2023七上·芦淞期末）如图，点О是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，在刻度线OM的右侧．
下列结论：
①；
②若与互补，则射线经过刻度线160；
③若，则图中共有5对角互为余角．
其中正确的是 （填序号）
【答案】①②
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：如图，
①∵，
∴，
∴，故①正确；
②由题意可得：，
∵，
∴，即，
∴，
∴∠EOD=∠EOB+∠BOC+∠COD=，即射线经过刻度线160，故②正确；
③∵，
，
∴，
∴和互为余角，
∵射线OM经过刻度线90，
∴，
∴和，和，和，和，和互为余角，
即共有6对角互为余角，故③错误，
∴正确的有①②.
故答案为：①②．
【分析】根据等量加等量和相等可判断①，根据和为180°的两个角互为补角及角的构成列出方程求出，从而根据角的构成，由∠EOD=∠EOB+∠BOC+∠COD得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据和为90°的两个角互为余角可判断③．
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．（2024七上·江汉期末）如图，已知点A，B，C，D．
（1）按要求画图：
①连接；
②画射线；
③画线段的中点E；
④画一点F，使点F既在直线上又在直线上．
（2）在（1）的基础上，若，，求线段的长，
【答案】（1）解：如下图所示：
（2）解：，
设，，
点为的中点，
，
，
，
，
解得，
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据题意画出相应的直线、射线和线段中点即可求解；
（2）根据题意设，，然后根据中点的性质得到最后根据线段间的数量关系得到方程：，解此方程即可求解.
18．（2024七上·黄石期末）如图是一个长方体的表面展开图，一共标有、、、、、六个面，，，，请根据要求回答：
（1）如果面在长方体的底部，那么 面会在上面；
（2）求这个长方体的表面积和体积（用含和的式子表示）。
（3）若，，，，且相对两个面上式子的和都相等，求代表的代数式.
【答案】（1）F
（2）由题意可知，这个长方体的长x，宽为y，高为2，
因此表面积为（xy+2x+2y）×2＝2xy+4x+4y，
体积为：2xy；
（3）由题意可知，
B+D＝C+E，
所以E＝B+D﹣C
＝（a2b﹣3）﹣（a2b﹣6）﹣（a3﹣1）
＝a2b﹣3﹣a2b+3﹣a3+1
＝1﹣a3，
即E所代表的代数式为1﹣a3．
【知识点】整式的加减运算；几何体的展开图
【解析】【解答】解：（1）由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“A”与“F”相对，
“B”与“D”相对，
“C”与“E”相对，
当A面在长方体的底部，则它的对面F在上面，
故答案为：F.
【分析】（1）先利用长方体展开图的特征分析可得“A”与“F”相对，“B”与“D”相对，“C”与“E”相对，再求解即可；
（2）先求出长方体的长、宽、高，再利用表面积的计算方法列出算式求解即可；
（3）先求出E＝B+D﹣C ＝（a2b﹣3）﹣（a2b﹣6）﹣（a3﹣1） ，再利用合并同类项的计算方法分析求解即可.
19．
（1）如图，现有一个19°的“模板”，请设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.
（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来 若能，请简述画法步骤；若不能，请说明理由.
（3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来 若能，请简述画法步骤；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：在平面上取一点O，过点O画一条直线AOB，以19°模板顶点与O重合，一边与OB射线重合，另一边落在射线OB1，仍以O为顶点，角一边重合于OB1，另一边落在射线OB2，这样作出19个19°的角，其总和为361°，∠BOB19就是1°角.
（2）解：利用17°角的模板，要画出1°的角，关键在于找到整数m和n，使得17×m-180×n=1.
事实上17×53-180×5=901-900=1.
所以作法如下：
在平面上任取一点O，过点O画直线AOB，以OB为始边.O为顶点，逆时针方向依次画53个17°的角，设最后的终边为OB53，而5×180°的终边在射线OA，这时∠AOB53即1°的角.
（3）解：若用21°的模板可以画出1°的角，则存在整数m，n，使得21×m-180×n=1，此时我们发现，这样的m，n不存在，因此，用21°角的模板和铅笔不能画出1°的角来.
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）在平面上取一点O，过点O画一条直线AOB，以19°模板顶点与O重合，一边与OB射线重合，另一边落在射线OB1，仍以O为顶点，角一边重合于OB1，另一边落在射线OB2，这样作出19个19°的角，其总和为361°，∠BOB19就是1°角.
（2） 在平面上任取一点O，过点O画直线AOB，以OB为始边.O为顶点，逆时针方向依次画53个17°的角，设最后的终边为OB53，而5×180°的终边在射线OA，这时∠AOB53即1°的角.
（3）若用21°的模板可以画出1°的角，则存在整数m，n，使得21×m-180×n=1，此时我们发现，这样的m，n不存在，因此，用21°角的模板和铅笔不能画出1°的角来.
20．（2024七上·百色期末） 【阅读理解】如图①，射线OC在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“巧分线”.
图① 图②
（1）【解决问题】一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）若，射线OC是的“巧分线”，则 ；
（3）【拓展延伸】如图②，若，射线OP从OA出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线OQ从OB出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是的“巧分线”？并说明理由.
【答案】（1）是
（2）60°或40°或80°
（3）解：当∠AOQ=2∠AOP时，可列方程为1505t=2×10t
t=6
当∠POQ=2∠AOP时，可列方程为
1505t10t=2×10t
t=
当∠AOP=2∠POQ时，可列方程为
10t=2×（1505t10t）
t=7.5
所以当t为6秒或秒或7.5秒时，射线OP是∠AOQ的“巧分线”.
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵角平分线的定义为这个角是以它的其中一边与角平分线的为两边的角的两倍，
∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”，
故答案为：是；
（2），
①当是的角平分线时，
；
②当是三等分线时，较小时，
；
③当是三等分线时，较大时，
；
故答案为：或或；
【分析】（1）根据角平分线的定义结合“巧分线”的定义即可求解；
（2）根据题意分类讨论：①当是的角平分线时，②当是三等分线时，较小时，③当是三等分线时，较大时，进而即可求解；
（3）根据题意分类讨论：当∠AOQ=2∠AOP时，当∠POQ=2∠AOP时，当∠AOP=2∠POQ时，进而根据角的运算结合题意列出一元一次方程，从而即可求解。
21． 张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上.如图1，MN是量角器的直径，点O是圆心，教鞭OC与OM 重合，直角三角板的一个顶点放在点 O 处，一边 OB 与 ON 重合，∠AOB=30°。如图2，现将教鞭OC 绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时将直角三角板绕点 O逆时针方向以每秒 2°的速度旋转，当OC 与ON 重合时，三角板和教鞭OC 同时停止运动.设旋转时间为t秒。
（1）在旋转过程中，求∠AON 的度数。（用含t的代数式表示）
（2）在旋转过程中，当t为何值时，OA⊥MN。
（3）在旋转过程中，若射线OC，OA，OB 中的两条射线组成的角（指大于 0°而不超过 180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时t的值。
【答案】（1）解：因为∠AOB=30°，∠BON=(2t)°，
所以∠AON=∠AOB+∠BON=(30+2t)°
（2）解：当OA⊥MN时，∠AON=90°，
由(1)知∠AON=(30+2t)°；
所以(30+2t)°=90°，
解得t=30。
所以当t=30秒时，OA⊥MN
（3）解：①当 OA 平分∠COB 时，如图 1，∠COA=∠AOB=30°，
所以∠COM+∠BON=180°-∠COB，
所以3t+2t=180-60，解得t=24。
②当 OC 平分∠AOB 时，如图 2，∠AOC=∠COB =
所以∠COM+∠BON=180°-∠COB，即 3t+2t=180-15，
解得t=33。
③当OB平分∠AOC时，如图3，∠AOB=∠COB=30°，
所以∠COM+∠BON-∠COB=180°，
所以3t+2t-30=180，解得t=42。
所以综上所述，当t=24秒或33秒或42秒时，射线 OC，OA，OB中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由∠AOB=30°，∠BON=（2t）°，即可求出含t的代数式表示∠AON的度数；
（2）根据题目可知∠AON=90°，结合（1）中求出的代数式即可求出结果；
（3）分三种情况讨论：①OA 平分∠COB ，②OC 平分∠AOB，③OB平分∠AOC，结合图形列出方程求解即可.
22．建立模型
18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 .
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 .
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.
（4）模型应用
如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数.
【答案】（1）6；6；V+F-E=2
（2）20
（3）解：这个多面体的面数为x+y，棱数为 (条).
根据V+F-E=2，可得24+(x+y)-36=2，
∴x+y=14.
（4）解：设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个.
因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数 E为
又因为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数V=
由欧拉公式V+F-E=2得(
解得x=12.
所以正五边形只要12个.
又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着3个正五边形，
所以六边形个数 即需20个正六边形.
【知识点】几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：由图可得，四面体的棱数为4+4-2=6
长方体的棱数为8+6-2=13
∴正八面体的顶点数为12+2-8=6
∴顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式为V+F-E=2
故答案为：6；6；V+F-E=2
（2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8
由（1）可得：x-8+x-30=2
解得：x=20
故答案为：20
【分析】（1）由图，结合多面体的特征即可求出答案.
（2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，化简即可求出答案.
（4）设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个，根据题意可得球表面的棱数 E为 ，顶点数V= ，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2024七上·硚口期末）
图1 图2 图3
【问题提出】如图1，（），OC在内，OD在外，OM平分，ON平分，试探究和的数量关系．
（1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，若．
①直接写出的大小是 ▲ ，的大小是 ▲ ；
②直接写出的值．
（2）【问题拓展】再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立
（3）如图3，，在绕着点O旋转一周的过程中，OM平分，ON平分，当时，直接写出的大小．
【答案】（1）①，；②
（2）平分，
．
设，
，
，
平分，
（3）假设射线OC从OB出发，顺时针旋转的度数为x，
本题分四种情况讨论：
①当时，如图，
解得：；
②当时，如图，，解得：；
③当时，如图，，
解得：；
③当时，如图，，
解得：；（舍去）
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：【问题探究】（1）①∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵平分，
∴；
∵，
又∵平分，
∴，
∴，
∴②；
【分析】本题考查角平分线的定义、几何图形中角的计算，一元一次方程的应用．
问题探究：（1）
①先利用角的运算可求出的值，再根据平分，利用角平分线的定义可得：；再利用角的运算可求出，再根据平分，利用角平分线的定义可求出，再根据，代入数据可求出的大小；
②根据和的度数，直接代入进行计算可求出答案；
（2）根据平分，利用角平分线的定义可得，设，利用角的运算可得：，再根据平分，利用角平分线的定义可得：，利用角的运算可得，代入进行计算可证明结论；
（3）假设射线OC从OB出发，顺时针旋转的度数为x，分四种情况： ①当时， ②当时， ③当时， ③当时， 依次画出图形，并利用角的运算可列出方程：，，，，解方程可求出x的值，进而可求出答案.
1 / 1第四章《几何图形初步》提升卷—沪科版数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．如图，小亮为了将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是( )
A．过一点有无数条直线
B．两点之间线段的长度，叫作这两点间的距离
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
2．（2019七上·利川月考）如图，一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.根据图中三种状态所显示的数字，正方体的正面“？”表示的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
3．（2024七上·郫都期末）观察图形，下列有四种说法：①经过一点可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有3个交点；④．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知线段AB，CD，ABA．点B在线段CD上(C，D之间) B．点B与点D重合
C．点B在线段CD的延长线上 D．点B在线段DC的延长线上
5．（2025七上·海曙期末）将一副直角三角板按下图所示各位置摆放，其中∠α和∠β互余的是（ ）
A． B．
C． D．
6．将长方形的木桌锯掉一个角，剩余角的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．3或4或5
7．将∠A 与∠B 两个角的关系记为∠A =n∠B(n>0)，探索n 的大小与两个角的类型之间的关系。下列说法正确的是( )
A．当n=2时，若∠A 为锐角，则∠B 为锐角
B．当n=2时，若∠A 为钝角，则∠B 为钝角
C．当 时，若∠A 为锐角，则∠B 为锐角
D．当 时，若∠A 为锐角，则∠B 为钝角
8．（2024七上·裕华期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：
（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q
（2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D
（3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F
（4）作 ，∠DEF即为所求作的角
A．●表示点E B．◎表示PQ
C．⊙表示OQ D． 表示射线EF
9．（2023七上·丹江口期末）如图，，下列结论：①；②图中有两个余角；③若平分，则平分；④的平分线平分．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2018七上·大冶期末）如果线段AB=13cm，MA+MB=17 cm，那么下面说法中正确的是（ ）.
A．M点在线段AB上
B．M点在直线AB上
C．M点在直线AB外
D．M点可能在直线AB上，也可能在直线AB外
11．（2023七上·新田月考）钟面上从3点到4点，时针与分针成角的时间是（ ）
A．3点30分和3点分 B．3点分和3点分
C．3点分和3点分 D．3点分和3点分
12．（2019七上·中期中）图①是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图②所示，若骰子初始位置为图②所示的状态，将骰子向右翻滚 ，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连线完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3点；连续完成2019次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有 种不同的车票．
14．（2024七上·邛崃期末）神州17号载人飞船已于2023年10月26日上午11时14分成功发射．上午11时14分时钟上时针与分针的夹角是 ．
15．（2019七上·泊头期中）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个．
16．（2023七上·芦淞期末）如图，点О是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，在刻度线OM的右侧．
下列结论：
①；
②若与互补，则射线经过刻度线160；
③若，则图中共有5对角互为余角．
其中正确的是 （填序号）
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．（2024七上·江汉期末）如图，已知点A，B，C，D．
（1）按要求画图：
①连接；
②画射线；
③画线段的中点E；
④画一点F，使点F既在直线上又在直线上．
（2）在（1）的基础上，若，，求线段的长，
18．（2024七上·黄石期末）如图是一个长方体的表面展开图，一共标有、、、、、六个面，，，，请根据要求回答：
（1）如果面在长方体的底部，那么 面会在上面；
（2）求这个长方体的表面积和体积（用含和的式子表示）。
（3）若，，，，且相对两个面上式子的和都相等，求代表的代数式.
19．
（1）如图，现有一个19°的“模板”，请设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.
（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来 若能，请简述画法步骤；若不能，请说明理由.
（3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来 若能，请简述画法步骤；若不能，请说明理由.
20．（2024七上·百色期末） 【阅读理解】如图①，射线OC在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“巧分线”.
图① 图②
（1）【解决问题】一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）若，射线OC是的“巧分线”，则 ；
（3）【拓展延伸】如图②，若，射线OP从OA出发，以每秒的速度顺时针方向旋转，同时射线OQ从OB出发，以每秒的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与的边重合时，运动停止，设运动的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是的“巧分线”？并说明理由.
21． 张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上.如图1，MN是量角器的直径，点O是圆心，教鞭OC与OM 重合，直角三角板的一个顶点放在点 O 处，一边 OB 与 ON 重合，∠AOB=30°。如图2，现将教鞭OC 绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时将直角三角板绕点 O逆时针方向以每秒 2°的速度旋转，当OC 与ON 重合时，三角板和教鞭OC 同时停止运动.设旋转时间为t秒。
（1）在旋转过程中，求∠AON 的度数。（用含t的代数式表示）
（2）在旋转过程中，当t为何值时，OA⊥MN。
（3）在旋转过程中，若射线OC，OA，OB 中的两条射线组成的角（指大于 0°而不超过 180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时t的值。
22．建立模型
18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 .
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 .
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.
（4）模型应用
如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数.
23．（2024七上·硚口期末）
图1 图2 图3
【问题提出】如图1，（），OC在内，OD在外，OM平分，ON平分，试探究和的数量关系．
（1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，若．
①直接写出的大小是 ▲ ，的大小是 ▲ ；
②直接写出的值．
（2）【问题拓展】再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立
（3）如图3，，在绕着点O旋转一周的过程中，OM平分，ON平分，当时，直接写出的大小．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：∵他在衣架两端各用一个钉子进行固定，
∴两点确定一条直线
故答案为：C
【分析】根据两点确定一条直线结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：∵与5相邻的数是1、4、3，而与3相邻的数有1、2、5，
∴1、3、5是相邻的数，故“？”表示的数是1.
故答案为：A.
【分析】观察图形发现，与5相邻的数是1、4、3，而与3相邻的数有1、2、5，所以1、3、5、是相邻的数，进行解答.
3．【答案】C
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：①经过一点可以作无数条直线，①正确；
②射线和射线是同一条射线，都是以为端点，同一方向的射线，②正确；
③三条直线两两相交时，可能有1个交点，也可能有三个交点，③错误；
④由两点之间线段最短可得，④正确；
所以共有3个正确．
故答案为：C．
【分析】本题考查直线、射线、线段.根据经过一点可以作无数条直线，据此可判断①；根据射线的表示方法可判断②；根据过3点的直线的条数可判断③；根据两点之间线段最短可判断④．
4．【答案】A
【知识点】线段的长短比较
【解析】【解答】解：将AB移动到CD的位置，使点A与点C重合，AB与CD叠合，如图，
点B在线段CD上(C、D之间)，故选项A正确；
点B与点D重合，则有AB=CD与AB点B在线段CD的延长线上，则有AB>CD，与AB点B在线段DC的延长线上，没有将AB移动到CD的位置，故选项D不正确；
故答案为：A.
【分析】根据叠合法比较大小的方法始点重合，看终点可得点B在线段CD上，可判断A，点B与点D重合，可得线段AB=CD，可判断B，利用AB>CD，点B在线段CD的延长线上，可判断C，点B在线段DC的延长线上，没有将AB移动到CD的位置，无法比较大小可判断D.
5．【答案】A
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解： 故此选项符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故答案为： A.
【分析】根据余角的定义逐项判断即可.
6．【答案】D
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：如图所示，
一个方桌的一个角被截去，则剩余的角依次为5、4、3个，
故答案为：D.
【分析】需要考虑锯掉一个角的不同方式，分成多种情况去理解，可借助图形观察.
7．【答案】A
【知识点】角的分类（直角、锐角和钝角）
【解析】【解答】解：当n=2时，则∠A=2∠B，
若∠A为锐角，则0°<2∠B<90°，即0°<∠B<45°，A正确
若∠A为钝角，则90°<2∠B<180°，即45°<∠B<90°，B错误
当 时，则
若∠A 为锐角，，即0°<∠B<180°，C，D错误
故答案为：A
【分析】根据角的关系即锐角，钝角的定义逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，●表示点O，故选项A不正确；
◎表示OP或OQ，故选项B不正确；
⊙表示PQ，故选项C不正确；
表示射线EF，故选项D正确；
故答案为：D.
【分析】用尺规作一个角等于已知角，结合点与直线、射线、线段的特点分析判定即可．
9．【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：①∵，
∴，，
∴；故①不符合题意．
②∵，
∴，
∴有两个余角；故②符合题意；
③∵，平分，
∴，；
∴；
∴平分，故③符合题意．
④∵，（已证）；
∴的平分线与的平分线是同一条射线．故④符合题意．
故选：B．
【分析】此题主要考查角的和差运算，角平分线的定义，余角的含义，根据，由余角的含义，可得判定①不符合题意，②符合题意，再由平分，结合角平分线的定义，可判定③符合题意，结合角的和差运算，证得的平分线与的平分线是同一条射线，可得判定④符合题意．
10．【答案】D
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（1）当M点在直线外时，M，A，B构成三角形，两边之和大于第三边，能出现MA+MB=17；（2）当M点在线段AB延长线上，也可能出现MA+MB=17．
故答案为：D．
【分析】此题由于没有明确的告知点M的位置，故需要分类讨论：①当M点在直线外时，以M，A，B三点为顶点构成三角形，根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，能出现MA+MB=17；②当M点在线段AB延长线上，也可能出现MA+MB=17，综上所述即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：钟表盘面被分成12个大格，所以每个大格是30°，每个大格又被分成5个小格，所以时针每小时走一个大格，即走60°，每分钟走0.5°，分针每小时走一周，每分钟走一个小格，即走6°，所以时针与分针成角的时间共有两种情况：
①分针与时针没有重合之前：设3点x分，时针和分针成60°的角，根据题意，得：90+0.5x-6x=60°，解得：x=；
②分针与时针重合之后：设3点y分，时针和分针成60°的角，根据题意，得：6y-(90+0.5y）=60，解得：y=.
故答案为：D.
【分析】根据钟表盘面被分成12个大格，所以每个大格是30°，每个大格又被分成5个小格，所以时针每小时走一个大格，即走60°，每分钟走0.5°，分针每小时走一周，每分钟走一个小格，即走6°，所以时针与分针成角的时间共有两种情况：①分针与时针没有重合之前：设3点x分，时针和分针成60°的角，根据题意，得：90+0.5x-6x=60°，解得：x=；②分针与时针重合之后：设3点y分，时针和分针成60°的角，根据题意，得：6y-(90+0.5y）=60，解得：y=.
12．【答案】D
【知识点】几何体的展开图；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，
“2点”与“5点”是相对面，“3点”与“4点”是相对面，“1点”与“6点”是相对面，
∵ ，
∴完成2019次翻转为第505组的第三次翻转，
∴骰子朝下一面的点数是5．
故答案为：D．
【分析】根据正方体的表面展开图，可得各个面上的数字，由2019次翻转为第505组的第三次翻转，即可得到答案．
13．【答案】30
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：如图：，
车票：AC、CD、DE、EF、FB、AD、AE、AF、AB、CE、CF、CB、DF、DB、EB，BE、BD、FD、BC、FC、EC、BA、FA、EA、DA、BF、FE、ED、DC、CA．
火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有30种不同的车票，
故答案为：30．
【分析】根据每条线段就有两种车票，每两点就是一条线段，可得答案．
14．【答案】
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：如图，由钟面表的定义可知，
，
，
，
．
故答案为：107°。
【分析】钟表上每一个大格的角度为30°，据此求解即可．
15．【答案】6
【知识点】直线、射线、线段；线段的长短比较
【解析】【解答】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，
∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA
∴发出警报的点P最多有6个．
故答案为：6．
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段六条，所以出现报警次数最多6次．
16．【答案】①②
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：如图，
①∵，
∴，
∴，故①正确；
②由题意可得：，
∵，
∴，即，
∴，
∴∠EOD=∠EOB+∠BOC+∠COD=，即射线经过刻度线160，故②正确；
③∵，
，
∴，
∴和互为余角，
∵射线OM经过刻度线90，
∴，
∴和，和，和，和，和互为余角，
即共有6对角互为余角，故③错误，
∴正确的有①②.
故答案为：①②．
【分析】根据等量加等量和相等可判断①，根据和为180°的两个角互为补角及角的构成列出方程求出，从而根据角的构成，由∠EOD=∠EOB+∠BOC+∠COD得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据和为90°的两个角互为余角可判断③．
17．【答案】（1）解：如下图所示：
（2）解：，
设，，
点为的中点，
，
，
，
，
解得，
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据题意画出相应的直线、射线和线段中点即可求解；
（2）根据题意设，，然后根据中点的性质得到最后根据线段间的数量关系得到方程：，解此方程即可求解.
18．【答案】（1）F
（2）由题意可知，这个长方体的长x，宽为y，高为2，
因此表面积为（xy+2x+2y）×2＝2xy+4x+4y，
体积为：2xy；
（3）由题意可知，
B+D＝C+E，
所以E＝B+D﹣C
＝（a2b﹣3）﹣（a2b﹣6）﹣（a3﹣1）
＝a2b﹣3﹣a2b+3﹣a3+1
＝1﹣a3，
即E所代表的代数式为1﹣a3．
【知识点】整式的加减运算；几何体的展开图
【解析】【解答】解：（1）由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“A”与“F”相对，
“B”与“D”相对，
“C”与“E”相对，
当A面在长方体的底部，则它的对面F在上面，
故答案为：F.
【分析】（1）先利用长方体展开图的特征分析可得“A”与“F”相对，“B”与“D”相对，“C”与“E”相对，再求解即可；
（2）先求出长方体的长、宽、高，再利用表面积的计算方法列出算式求解即可；
（3）先求出E＝B+D﹣C ＝（a2b﹣3）﹣（a2b﹣6）﹣（a3﹣1） ，再利用合并同类项的计算方法分析求解即可.
19．【答案】（1）解：在平面上取一点O，过点O画一条直线AOB，以19°模板顶点与O重合，一边与OB射线重合，另一边落在射线OB1，仍以O为顶点，角一边重合于OB1，另一边落在射线OB2，这样作出19个19°的角，其总和为361°，∠BOB19就是1°角.
（2）解：利用17°角的模板，要画出1°的角，关键在于找到整数m和n，使得17×m-180×n=1.
事实上17×53-180×5=901-900=1.
所以作法如下：
在平面上任取一点O，过点O画直线AOB，以OB为始边.O为顶点，逆时针方向依次画53个17°的角，设最后的终边为OB53，而5×180°的终边在射线OA，这时∠AOB53即1°的角.
（3）解：若用21°的模板可以画出1°的角，则存在整数m，n，使得21×m-180×n=1，此时我们发现，这样的m，n不存在，因此，用21°角的模板和铅笔不能画出1°的角来.
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）在平面上取一点O，过点O画一条直线AOB，以19°模板顶点与O重合，一边与OB射线重合，另一边落在射线OB1，仍以O为顶点，角一边重合于OB1，另一边落在射线OB2，这样作出19个19°的角，其总和为361°，∠BOB19就是1°角.
（2） 在平面上任取一点O，过点O画直线AOB，以OB为始边.O为顶点，逆时针方向依次画53个17°的角，设最后的终边为OB53，而5×180°的终边在射线OA，这时∠AOB53即1°的角.
（3）若用21°的模板可以画出1°的角，则存在整数m，n，使得21×m-180×n=1，此时我们发现，这样的m，n不存在，因此，用21°角的模板和铅笔不能画出1°的角来.
20．【答案】（1）是
（2）60°或40°或80°
（3）解：当∠AOQ=2∠AOP时，可列方程为1505t=2×10t
t=6
当∠POQ=2∠AOP时，可列方程为
1505t10t=2×10t
t=
当∠AOP=2∠POQ时，可列方程为
10t=2×（1505t10t）
t=7.5
所以当t为6秒或秒或7.5秒时，射线OP是∠AOQ的“巧分线”.
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵角平分线的定义为这个角是以它的其中一边与角平分线的为两边的角的两倍，
∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”，
故答案为：是；
（2），
①当是的角平分线时，
；
②当是三等分线时，较小时，
；
③当是三等分线时，较大时，
；
故答案为：或或；
【分析】（1）根据角平分线的定义结合“巧分线”的定义即可求解；
（2）根据题意分类讨论：①当是的角平分线时，②当是三等分线时，较小时，③当是三等分线时，较大时，进而即可求解；
（3）根据题意分类讨论：当∠AOQ=2∠AOP时，当∠POQ=2∠AOP时，当∠AOP=2∠POQ时，进而根据角的运算结合题意列出一元一次方程，从而即可求解。
21．【答案】（1）解：因为∠AOB=30°，∠BON=(2t)°，
所以∠AON=∠AOB+∠BON=(30+2t)°
（2）解：当OA⊥MN时，∠AON=90°，
由(1)知∠AON=(30+2t)°；
所以(30+2t)°=90°，
解得t=30。
所以当t=30秒时，OA⊥MN
（3）解：①当 OA 平分∠COB 时，如图 1，∠COA=∠AOB=30°，
所以∠COM+∠BON=180°-∠COB，
所以3t+2t=180-60，解得t=24。
②当 OC 平分∠AOB 时，如图 2，∠AOC=∠COB =
所以∠COM+∠BON=180°-∠COB，即 3t+2t=180-15，
解得t=33。
③当OB平分∠AOC时，如图3，∠AOB=∠COB=30°，
所以∠COM+∠BON-∠COB=180°，
所以3t+2t-30=180，解得t=42。
所以综上所述，当t=24秒或33秒或42秒时，射线 OC，OA，OB中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由∠AOB=30°，∠BON=（2t）°，即可求出含t的代数式表示∠AON的度数；
（2）根据题目可知∠AON=90°，结合（1）中求出的代数式即可求出结果；
（3）分三种情况讨论：①OA 平分∠COB ，②OC 平分∠AOB，③OB平分∠AOC，结合图形列出方程求解即可.
22．【答案】（1）6；6；V+F-E=2
（2）20
（3）解：这个多面体的面数为x+y，棱数为 (条).
根据V+F-E=2，可得24+(x+y)-36=2，
∴x+y=14.
（4）解：设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个.
因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数 E为
又因为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数V=
由欧拉公式V+F-E=2得(
解得x=12.
所以正五边形只要12个.
又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着3个正五边形，
所以六边形个数 即需20个正六边形.
【知识点】几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：由图可得，四面体的棱数为4+4-2=6
长方体的棱数为8+6-2=13
∴正八面体的顶点数为12+2-8=6
∴顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式为V+F-E=2
故答案为：6；6；V+F-E=2
（2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8
由（1）可得：x-8+x-30=2
解得：x=20
故答案为：20
【分析】（1）由图，结合多面体的特征即可求出答案.
（2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，化简即可求出答案.
（4）设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个，根据题意可得球表面的棱数 E为 ，顶点数V= ，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）①，；②
（2）平分，
．
设，
，
，
平分，
（3）假设射线OC从OB出发，顺时针旋转的度数为x，
本题分四种情况讨论：
①当时，如图，
解得：；
②当时，如图，，解得：；
③当时，如图，，
解得：；
③当时，如图，，
解得：；（舍去）
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：【问题探究】（1）①∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵平分，
∴；
∵，
又∵平分，
∴，
∴，
∴②；
【分析】本题考查角平分线的定义、几何图形中角的计算，一元一次方程的应用．
问题探究：（1）
①先利用角的运算可求出的值，再根据平分，利用角平分线的定义可得：；再利用角的运算可求出，再根据平分，利用角平分线的定义可求出，再根据，代入数据可求出的大小；
②根据和的度数，直接代入进行计算可求出答案；
（2）根据平分，利用角平分线的定义可得，设，利用角的运算可得：，再根据平分，利用角平分线的定义可得：，利用角的运算可得，代入进行计算可证明结论；
（3）假设射线OC从OB出发，顺时针旋转的度数为x，分四种情况： ①当时， ②当时， ③当时， ③当时， 依次画出图形，并利用角的运算可列出方程：，，，，解方程可求出x的值，进而可求出答案.
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