第十三章《三角形中的边角关系、命题与证明》基础卷—沪科版数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024七下·信都月考）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．（2022八上·顺平期中）观察下列图形，是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·拱墅期末）木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为7cm和14cm，第三根木条的长度可以是（ ）
A．5cm B．18cm C．21cm D．23cm
4．（2025七下·衡阳期末）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（ ）
A．120 B．130° C．140° D．150°
5．（2024八上·广州开学考）如图，在中，已知点D，E分别为的中点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2025八上·期中）下列各图中，作△ABC边AB上的高，正确的是 ( )
A． B．
C． D．
7．（2025七下·广州期中）下列语句中，是定义的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
C．对顶角相等
D．同角的余角相等
8．（2023七下·高要期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点之间线段最短 B．内错角都相等
C．连接A，B两点 D．平行于同一直线的两直线平行
9．（2025八上·温州期中）在证明命题“若 “>1，则 a>1”是假命题时，下列选项中所举反例正确的是（ ）
A．a=-2 B．a=2 C．a=3 D．a=4
10．（2024八上·和平期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等
C．三角形的外角大于三角形的内角
D．对顶角相等
11．（2025八上·鄞州期末）如图，在 中，外角 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八上·柯桥月考）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（ ）
A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2024八上·义乌月考）请将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果，那么”的形式： ．
14．（2020八上·高唐期末）定理“等角的补角相等”的逆命题是 ．
15．（2021八上·衢州期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠A＝80°，则∠B＝ °.
16．（2024七下·长沙期末）如图， 已知和是的角平分线， ， 则 ．
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．（2024八上·兴宁期中）在平面直角坐标系中，作出，使各顶点的坐标分别是：，，，并求出的面积．
18． 如图， 已知点A， B在直线a上， 点C， D， E在直线b上.以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形 分别写出这些三角形
19． 如图， 在△ABC 中， AD 是高， AE， BF 是角平分线， 且AE， BF 相交于点O，∠BAC=50°， ∠C=70°. 求∠DAC 和∠BOA 的度数.
20． 如图， CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线， 且 CE 交 BA 的延长线于点E. 求证∠BAC=∠B+2∠E.
21．（2023八上·宁明期中）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．
22．（2024八上·惠州期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”．
（1）【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长；
（2）【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”．
23．（2024八上·拜城期中）阅读材料：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”的度数为；反之，若一个三角形是“优雅三角形”，则这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 ；
（2）如图，，在射线上取一点A，过点A作，交于点B，以A为端点画射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合），得到一个以为“优雅角”的“优雅角三角形”，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选C
【分析】根据钝角三角形的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】∵由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，∴A，B，D错误，只有C符合，
故答案为：C
【分析】根据三角形的定义即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木条的长度为x，则，
即，
∴第三根木条的长度可以是18，
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，即可解答.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；补角
【解析】【解答】解：直角三角板含60°角，则另一个锐角为30°.
∴∠= 180°- 30°= 150°
故答案为：D.
【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为180°是解题关键.先确定三角板的内角，再利用平角的知识，通过角度关系求出∠ .
5．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：点E为AD的中点，，
，
点D为BC的中点，
．
故答案为：C．
【分析】由等底同高三角形面积相等，可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，据此解答即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A 选项中 AD 不是△ABC 边AB 上的高，故A选项不符合题意；
B选项中 AD 是△ABC边BC上的高，故B选项不符合题意；
C选项中 CD不是△ABC边AB上的高，故C 选项不符合题意；
D选项中CD是△ABC边AB上的高，故D 选项符合题意.
故答案为：D
【分析】根据三角形高的定义逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】两点确定一条直线；对顶角及其性质；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A．两点确定一条直线是性质不是定义，故A不符合题意；
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线是定义，故B符合题意；
C．对顶角相等是性质，不是定义，故C不符合题意；
D．同角的余角相等是性质，不是定义，故D不符合题意．
故选：B．
【分析】根据课本中的定义与性质、公理的异同等对每个选项逐一判断求解即可。
8．【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：根据命题的概念可得：连接A、B两点不是命题.
故答案为：C.
【分析】判断一件事情真假的语句，叫做命题，据此判断
9．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：a>1的反例满足a≤1，BCD均大于1，只有A小于1满足条件，
故答案为：A.
【分析】根据反例判断出a的范围，从而求解.
10．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角的概念；同旁内角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、在两直线平行的情况下，同旁内角互补，若两直线不平行，同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”这个命题缺少“两直线平行”的前提，所以原命题是假命题，不符合题意；
B、必须是“两平行直线”被第三条直线所截，截得的内错角相等，所以“两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 "这个命题缺少”两平行直线“的前提，所以原命题是假命题，不符合题意；
C、准确表述应是三角形的外角大于与其不相邻的内角，所以原命题是假命题，不符合题意；
D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】依据平行线性质，三角形外角性质以及对顶角的定义可分别判断各个命题的真假，即可得出答案。
11．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵， ，
又∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD-∠B=100°-40°=60°；
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质： 一个三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可计算得出结果.
12．【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，故A、C不符合题意；
当进入前三强时，那么进入前三强的有、、、共4人，故B不符合题意；
∴应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】若，进入了前三强，那么、、、也均能进入，根据前三强只有三个人，可判断A、B、C；当进行前三强，那么、也进入，可判断D．
13．【答案】两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果，那么”的形式：“如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”；
故答案为：两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
【分析】
命题题设为：两条直线都平行于同一条直线；结论为：这两条直线互相平行．
14．【答案】补角相等的角是等角
【知识点】逆命题
【解析】【解答】命题“等角的补角相等”，题设为：两个角相等，结论为：这两个角的补角相等
所以把题设和结论调换位置就得到命题“等角的补角相等”的逆命题，即“补角相等的角是等角”．
故答案为：补角相等的角是等角．
【分析】根据逆命题的定义求解即可。
15．【答案】30
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110°，∠A=80°，
∴∠B=∠ACD-∠A=110°-80°=30°，
故答案为：30°.
【分析】由外角的性质可得∠A+∠B=∠ACD，据此求解.
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵和是的角平分线，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】先根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理即可求得∠BOC.
17．【答案】解：如图，描点并作，
，，
轴，，
，
，
，
．
【知识点】点的坐标；三角形的面积
【解析】【分析】先根据点A、B、C的坐标画出△ABC，再利用三角形的面积公式求解即可.
18．【答案】解：6个.△ADC，△ADE，△ACE，△BCD，△BDE，△BCE.
【知识点】三角形相关概念
【解析】【分析】根据三角的定义即可求出答案.
19．【答案】解：∵∠BAC=50°，∠C=70°
∴∠ABC=180°-(∠BAC+∠C)=60°
∵AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线
∴
∴在△AOB中
∠BOA=180°-(∠1+∠2)=125°
∵在△ABC中，AD是高
∴∠ADC=90°
∵∠C=70°
∴∠DAC=90°-70°=20°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】根据三角形内角和定理，角平分线定义，三角形高的性质即可求出答案.
20．【答案】证明：在△ABC中，外角∠ACD是∠BAC和∠B的和，即：
∠ACD = ∠BAC + ∠B
∵CE平分∠ACD，故：
∴∠ACE = ∠ECD =∠ACD = ( ∠BAC + ∠B )
在△ACE中，∠BAC是其外角，即：
∠BAC = ∠E + ∠ACE
∴∠BAC = ∠E + ( ∠BAC + ∠B )
将方程整理：
∠ B C ∠BAC = ∠ E +∠ B
∠ BAC = ∠E +∠B
两边乘以2：
∠BAC = 2∠ E + ∠ B
即：∠BAC = ∠B + 2 ∠E
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；三角形的角平分线
【解析】【分析】 通过三角形外角的性质得到∠ACD = ∠BAC + ∠B，∠BAC = ∠E + ∠ACE，利用角平分线性质建立角度关系，最终通过方程变形完成证明，解答即可.
21．【答案】解：设∠A＝x，
∵∠A＝∠B＝∠ACB，
∴∠B＝2x，∠ACB＝3x，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°－30°＝60°，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE＝×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠ACB＝3x，利用三角形的内角和求出x的值，再利用角的运算求出∠ACD＝90°－30°＝60°，利用角平分线的定义可得∠ACE＝×90°＝45°，最后利用角的运算求出∠DCE的度数即可.
22．【答案】（1）解：，，即，
为“好运三角形”，
为偶数，
；
（2）设为偶数，则，
解得，
为偶数，
．
，
又，
是“好运三角形”
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【分析】本题考查三角形的三边关系．
（1）先根据三边关系可列出不等式，解不等式可求出的范围，再根据新定义，可得AC为偶数，据此可求出的长；
（2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系可列出不等式组，解不等式组可求出的取值范围，根据的长为偶数，可求出的长，利用线段的运算可求出的长，再根据新定义可判断为“好运三角形 ．
（1）解：，
，即，
为“好运三角形”，
为偶数，
；
（2）设为偶数，则，
解得，
为偶数，
．
，
又，
是“好运三角形”．
23．【答案】（1）
（2）解：交于点，
，
∵点在线段上
∴
∵，
∴，
∵是以为优雅角的“优雅三角形”，
∴，则，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：，
“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：，
故答案为：.
【分析】（1）利用“优雅三角形”的定义及三角形的内角和及角的运算分析求解即可；
（2）根据是以为优雅角的“优雅三角形”，可得，则，再利用角的运算求出的度数为即可．
（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：，
“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：，
故答案为：；
（2）解：交于点，
，
∵点在线段上
∴
∵，
∴，
∵是以为优雅角的“优雅三角形”，
∴，则，
∴的度数为．
1 / 1第十三章《三角形中的边角关系、命题与证明》基础卷—沪科版数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024七下·信都月考）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选C
【分析】根据钝角三角形的定义即可求出答案.
2．（2022八上·顺平期中）观察下列图形，是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】∵由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，∴A，B，D错误，只有C符合，
故答案为：C
【分析】根据三角形的定义即可求出答案.
3．（2025八上·拱墅期末）木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为7cm和14cm，第三根木条的长度可以是（ ）
A．5cm B．18cm C．21cm D．23cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木条的长度为x，则，
即，
∴第三根木条的长度可以是18，
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，即可解答.
4．（2025七下·衡阳期末）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（ ）
A．120 B．130° C．140° D．150°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；补角
【解析】【解答】解：直角三角板含60°角，则另一个锐角为30°.
∴∠= 180°- 30°= 150°
故答案为：D.
【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为180°是解题关键.先确定三角板的内角，再利用平角的知识，通过角度关系求出∠ .
5．（2024八上·广州开学考）如图，在中，已知点D，E分别为的中点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：点E为AD的中点，，
，
点D为BC的中点，
．
故答案为：C．
【分析】由等底同高三角形面积相等，可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，据此解答即可.
6．（2025八上·期中）下列各图中，作△ABC边AB上的高，正确的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A 选项中 AD 不是△ABC 边AB 上的高，故A选项不符合题意；
B选项中 AD 是△ABC边BC上的高，故B选项不符合题意；
C选项中 CD不是△ABC边AB上的高，故C 选项不符合题意；
D选项中CD是△ABC边AB上的高，故D 选项符合题意.
故答案为：D
【分析】根据三角形高的定义逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025七下·广州期中）下列语句中，是定义的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
C．对顶角相等
D．同角的余角相等
【答案】B
【知识点】两点确定一条直线；对顶角及其性质；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A．两点确定一条直线是性质不是定义，故A不符合题意；
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线是定义，故B符合题意；
C．对顶角相等是性质，不是定义，故C不符合题意；
D．同角的余角相等是性质，不是定义，故D不符合题意．
故选：B．
【分析】根据课本中的定义与性质、公理的异同等对每个选项逐一判断求解即可。
8．（2023七下·高要期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点之间线段最短 B．内错角都相等
C．连接A，B两点 D．平行于同一直线的两直线平行
【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：根据命题的概念可得：连接A、B两点不是命题.
故答案为：C.
【分析】判断一件事情真假的语句，叫做命题，据此判断
9．（2025八上·温州期中）在证明命题“若 “>1，则 a>1”是假命题时，下列选项中所举反例正确的是（ ）
A．a=-2 B．a=2 C．a=3 D．a=4
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：a>1的反例满足a≤1，BCD均大于1，只有A小于1满足条件，
故答案为：A.
【分析】根据反例判断出a的范围，从而求解.
10．（2024八上·和平期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等
C．三角形的外角大于三角形的内角
D．对顶角相等
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角的概念；同旁内角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、在两直线平行的情况下，同旁内角互补，若两直线不平行，同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”这个命题缺少“两直线平行”的前提，所以原命题是假命题，不符合题意；
B、必须是“两平行直线”被第三条直线所截，截得的内错角相等，所以“两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 "这个命题缺少”两平行直线“的前提，所以原命题是假命题，不符合题意；
C、准确表述应是三角形的外角大于与其不相邻的内角，所以原命题是假命题，不符合题意；
D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】依据平行线性质，三角形外角性质以及对顶角的定义可分别判断各个命题的真假，即可得出答案。
11．（2025八上·鄞州期末）如图，在 中，外角 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵， ，
又∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD-∠B=100°-40°=60°；
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质： 一个三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可计算得出结果.
12．（2024八上·柯桥月考）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（ ）
A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E
【答案】D
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，故A、C不符合题意；
当进入前三强时，那么进入前三强的有、、、共4人，故B不符合题意；
∴应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】若，进入了前三强，那么、、、也均能进入，根据前三强只有三个人，可判断A、B、C；当进行前三强，那么、也进入，可判断D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2024八上·义乌月考）请将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果，那么”的形式： ．
【答案】两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果，那么”的形式：“如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”；
故答案为：两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
【分析】
命题题设为：两条直线都平行于同一条直线；结论为：这两条直线互相平行．
14．（2020八上·高唐期末）定理“等角的补角相等”的逆命题是 ．
【答案】补角相等的角是等角
【知识点】逆命题
【解析】【解答】命题“等角的补角相等”，题设为：两个角相等，结论为：这两个角的补角相等
所以把题设和结论调换位置就得到命题“等角的补角相等”的逆命题，即“补角相等的角是等角”．
故答案为：补角相等的角是等角．
【分析】根据逆命题的定义求解即可。
15．（2021八上·衢州期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠A＝80°，则∠B＝ °.
【答案】30
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110°，∠A=80°，
∴∠B=∠ACD-∠A=110°-80°=30°，
故答案为：30°.
【分析】由外角的性质可得∠A+∠B=∠ACD，据此求解.
16．（2024七下·长沙期末）如图， 已知和是的角平分线， ， 则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵和是的角平分线，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】先根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理即可求得∠BOC.
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．（2024八上·兴宁期中）在平面直角坐标系中，作出，使各顶点的坐标分别是：，，，并求出的面积．
【答案】解：如图，描点并作，
，，
轴，，
，
，
，
．
【知识点】点的坐标；三角形的面积
【解析】【分析】先根据点A、B、C的坐标画出△ABC，再利用三角形的面积公式求解即可.
18． 如图， 已知点A， B在直线a上， 点C， D， E在直线b上.以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形 分别写出这些三角形
【答案】解：6个.△ADC，△ADE，△ACE，△BCD，△BDE，△BCE.
【知识点】三角形相关概念
【解析】【分析】根据三角的定义即可求出答案.
19． 如图， 在△ABC 中， AD 是高， AE， BF 是角平分线， 且AE， BF 相交于点O，∠BAC=50°， ∠C=70°. 求∠DAC 和∠BOA 的度数.
【答案】解：∵∠BAC=50°，∠C=70°
∴∠ABC=180°-(∠BAC+∠C)=60°
∵AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线
∴
∴在△AOB中
∠BOA=180°-(∠1+∠2)=125°
∵在△ABC中，AD是高
∴∠ADC=90°
∵∠C=70°
∴∠DAC=90°-70°=20°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】根据三角形内角和定理，角平分线定义，三角形高的性质即可求出答案.
20． 如图， CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线， 且 CE 交 BA 的延长线于点E. 求证∠BAC=∠B+2∠E.
【答案】证明：在△ABC中，外角∠ACD是∠BAC和∠B的和，即：
∠ACD = ∠BAC + ∠B
∵CE平分∠ACD，故：
∴∠ACE = ∠ECD =∠ACD = ( ∠BAC + ∠B )
在△ACE中，∠BAC是其外角，即：
∠BAC = ∠E + ∠ACE
∴∠BAC = ∠E + ( ∠BAC + ∠B )
将方程整理：
∠ B C ∠BAC = ∠ E +∠ B
∠ BAC = ∠E +∠B
两边乘以2：
∠BAC = 2∠ E + ∠ B
即：∠BAC = ∠B + 2 ∠E
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；三角形的角平分线
【解析】【分析】 通过三角形外角的性质得到∠ACD = ∠BAC + ∠B，∠BAC = ∠E + ∠ACE，利用角平分线性质建立角度关系，最终通过方程变形完成证明，解答即可.
21．（2023八上·宁明期中）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．
【答案】解：设∠A＝x，
∵∠A＝∠B＝∠ACB，
∴∠B＝2x，∠ACB＝3x，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°－30°＝60°，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE＝×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠ACB＝3x，利用三角形的内角和求出x的值，再利用角的运算求出∠ACD＝90°－30°＝60°，利用角平分线的定义可得∠ACE＝×90°＝45°，最后利用角的运算求出∠DCE的度数即可.
22．（2024八上·惠州期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”．
（1）【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长；
（2）【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”．
【答案】（1）解：，，即，
为“好运三角形”，
为偶数，
；
（2）设为偶数，则，
解得，
为偶数，
．
，
又，
是“好运三角形”
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【分析】本题考查三角形的三边关系．
（1）先根据三边关系可列出不等式，解不等式可求出的范围，再根据新定义，可得AC为偶数，据此可求出的长；
（2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系可列出不等式组，解不等式组可求出的取值范围，根据的长为偶数，可求出的长，利用线段的运算可求出的长，再根据新定义可判断为“好运三角形 ．
（1）解：，
，即，
为“好运三角形”，
为偶数，
；
（2）设为偶数，则，
解得，
为偶数，
．
，
又，
是“好运三角形”．
23．（2024八上·拜城期中）阅读材料：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”的度数为；反之，若一个三角形是“优雅三角形”，则这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 ；
（2）如图，，在射线上取一点A，过点A作，交于点B，以A为端点画射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合），得到一个以为“优雅角”的“优雅角三角形”，求的度数．
【答案】（1）
（2）解：交于点，
，
∵点在线段上
∴
∵，
∴，
∵是以为优雅角的“优雅三角形”，
∴，则，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：，
“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：，
故答案为：.
【分析】（1）利用“优雅三角形”的定义及三角形的内角和及角的运算分析求解即可；
（2）根据是以为优雅角的“优雅三角形”，可得，则，再利用角的运算求出的度数为即可．
（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：，
“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：，
故答案为：；
（2）解：交于点，
，
∵点在线段上
∴
∵，
∴，
∵是以为优雅角的“优雅三角形”，
∴，则，
∴的度数为．
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