第十三章《三角形中的边角关系、命题与证明》提升卷—沪科版数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024八上·通道期末）下列语句是命题的是（ ）
A．把绕着点A旋转
B．三角形三个角的平分线的交点是这个三角形的重心吗？
C．作的边上的高
D．三角形一个外角大于这个三角形的任何一个内角
2．（2025八上·余姚期末）对于一次函数，下列命题是假命题的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限
C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点
3．（2024八上·晋城期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么
B．如果两个角都是直角，那么这两个角相等
C．对顶角相等
D．相等的角是内错角
4．（2021八上·于洪期末）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八上·诸暨期末）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．某班有20名同学参加围棋、象棋比赛.甲说：只参加一项的人数大于14人；乙说：两项都参加的人数小于5人.对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是( ).
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
7．（2025八上·宁海期中）如图所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
8．（2025七下·榕城期末）如图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是( )
A． B．
C． D．
9．（2024七下·兰州期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C．或2 D．或
10．（2025七下·长沙期末）如图，在同一平面内将15cm长的细铁丝AB弯折成一个三角形.
（1）量出AP = 4cm：（2）在点P右侧取一点Q，使PQ>4cm；（3）将AP向右翻折，BQ向左翻折.若要使A，B两点能在点M处重合，则PQ长可能为（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
11．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2……第n次移动到 An，则△OA2A2018的面积是（ ）.
A． B． C． D．
12．（2024八上·顺德期末）如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2022八上·长安期末）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： .
14．（2024八上·怀化期末）下列命题中逆命题成立的有 ．（填序号）．
①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果，那么，； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
15．（2023八上·郑州开学考）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3 ．
16．（2024八上·寻乌期末）如图，在中，，，D为边BC延长线上一点，BF平分，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于的一边，则的度数为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共68分
17．（2023八上·南城期中）如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，的三个顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹．
图1图2
（1）三角形的面积为 ；
（2）在图1中画出边上高；
（3）在图2中作出的角平分线．
18．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某兴趣小组统计阅读过这四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
①阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
②阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
③阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数.
若阅读过《三国演义》的人数为4，设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a，b均为整数).
（1）根据题意列出不等式.
（2）请根据以上推理，求出阅读过《水浒传》的人数.
19．（2022八上·新河月考）如图，在中，，三个内角的平分线交于点O．
（1）若，求的度数；
（2）过点O作，交于点D．试说明：．
20．如图，△ABC的三条角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI，分别交AB，AC于点D，E.
（1）请你通过画图、度量，填写下表(图画在草稿纸上，并尽量画准确)
∠BAC的度数 30° 64° 80° 120°
∠BIC的度数
∠BDI的度数
（2）根据表格中的数据，猜想∠BIC与∠BDI之间的数量关系，并说明理由.
21．（2024八上·榕城期末）如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
（1）点的坐标 ；
（2）求直线的表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得的面积是面积的2倍，求点的坐标．
22．如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A 跑到点 B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B 前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B.
（1）若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢 请说明理由.
以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整；
解：乌龟的路线更短，理由如下：
如图②，延长AD交 BC 于点 P，
在 中，AC+CP>AP，
…
（2）请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由.
23．如图，点E在平行线AB，CD之间，且在线段AC的左侧.
（1）求证：∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.
（2）若点E向右移动到线段AC的右侧，此时∠BAE，∠AEC，∠ECD之间的关系仍然满足(1)中的结论吗 若满足，给出证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明.(要求：画出相应的图形)
（3）继续移动点E的位置，还能得到哪些新论断 写出你的论断.
24．综合与探究：
（1）【情境引入】
如图1，BD，CD分别是OABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，证明：∠D=90°+∠A．
（2）【深入探究】
①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ▲ .
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：∵A，C选项未表述完整，无法判断正误，故不是命题，B选项是问句不是陈述句，故不是命题，
故答案为：D
【分析】根据命题的定义：一般地，在数学中，我们把在一定范围内可以用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，进而结合题意分析即可求解。
2．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；真命题与假命题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、∵，∴函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，是真命题，不符合题意；
B、∵，，∴函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B结论正确，是真命题，不符合题意；
C、函数的图象向左平移2个单位后得，不经过原点，故C结论不正确，是假命题，符合题意；
D、当时，，则函数图象与y轴交于点，故D结论正确，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小，据此即可判断A项；根据一次函数图象与系数的关系即可判断B项；根据一次函数的平移和坐标轴的交点即可判断C项和D项.
3．【答案】A
【知识点】等式的基本性质；内错角的概念；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：、命题“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”，该命题是真命题，符合题意；
、“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么两个角都是直角”，该命题是假命题，不符合题意；
、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，该命题是假命题，不符合题意；
、“相等的角是内错角”的逆命题为“如果两个角是内错角，那么它们相等”，该命题是假命题，不符合题意；
故答案为：．
【分析】先分别求出每个选项的逆命题，再利用真命题的定义逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、，是无理数，不符合题意；
B、，是无理数，不符合题意；
C、，是有理数，符合题意；
D、，是无理数，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】将x的值代入计算，再根据无理数的定义逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：A、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意；
B、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意；
C、此项中，但，能作为反例，则此项符合题意；
D、此项中，不能作为反例，则此项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据，逐项判断解题．
6．【答案】B
【知识点】推理与论证；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：若甲说法正确，则只参加一项的人数大于14人，假设参加一项的人数为15人，那么两项都参加的人数为5人，
∴此时乙说法错误；
若乙说法正确，则两项都参加的人数小于5人，那么两项都参加的人数最多为4人，此时只参加一项的人数为16人，
∴甲说法正确；
故答案为：B.
【分析】先分别假设甲或者乙是正确的，然后再结合题意进行分析即可求解.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°
故答案为：A．
【分析】利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的概念求得∠CAD的度数即可．
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A： 两段小棒的和＜ 另一根小棒 ，不能构成三角形，所以不符合题意
B： 两段小棒 的和＞ 另一根小棒 ，能够构成三角形，所以符合题意
C：剪断的小棒中一小段与另一段之和＜剪断的小棒中的较长段，所以不符合题意
D：两段小棒 的和= 另一根小棒 ，不能够构成三角形，所以不符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据三角形三边之间的关系，分别进行判断，即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当为腰长时，
∵等腰的周长为20，
∴的底边长为：，
∴“优美比”为；
当为底边长时，的腰长为：，
∴“优美比”为；
故答案为：D．
【分析】一边长为8，可分为两种情况：①为腰长②8为底边长，分别求出“优美比”即可得出答案．
10．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】先由PA的长得PB的长，则BQ可用PQ的代数式表示，再在中应用三边关系得，解不等式并结合已知可得PQ的取值范围，再逐项判断即可.
11．【答案】A
【知识点】三角形的面积；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵A2(1，1)，A4(2，0)，A6(3，1)，A8(4，0)，A10(5，1)…，
∴
故答案为：A.
【分析】首先根据点A2(1，1)，A4(2，0)，A6(3，1)，A8(4，0)，A10(5，1)…，得出，然后根据三角形面积计算公式求得 △OA2A2018的面积 。
12．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠CAE=2∠EAD=2∠DAC，
∵∠EAC是△ABC的一个外角，
∴∠EAC=∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=2∠ABC=2∠ACB，
∴∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC，
∵∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，①正确；
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴，②正确；
∵CD平分∠ACF，
∴，
∵∠ACF是△ABC的一个外角，
∴∠BAC=∠ACF-∠ABC，
∵∠DCF是△DCB的一个外角，
∴，
∴∠BAC=2∠BDC，③正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ABC=2∠ABD，∠DAC=∠ABC，
∴∠DAC=2∠ABD，
∵∠ADC+∠ACD+∠DAC=180°，
∴2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，④正确；
∴以上结论，其中正确的是①②③④，；
故答案为：D.
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠CAE=2∠EAD=2∠DAC，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠EAC=2∠ABC=2∠ACB，推得∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC，根据同位角相等，两直线平行即可得出AD∥BC，判断①正确，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，根据角平分线的等于可得，推得，判断②正确，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BAC=∠ACF-∠ABC，，即∠BAC=2∠BDC，判断③正确，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠DCF，推得∠ACD=∠ADC，∠DAC=2∠ABD，根据三角形内角和是180°可得2∠ADC+2∠ABD=180°，即∠ADC+∠ABD=90°，判断④正确，即可得出答案.
13．【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零.
故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零.
【分析】原命题的条件为：两个数互为相反数，结论为这两个数的和为零，然后根据如果后面是条件，那么后面是结论进行解答.
14．【答案】①③
【知识点】逆命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：①的逆命题为： 两直线平行，同旁内角互补，正确；
②的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，错误；
③的逆命题为：如果 ， ，那么 ，正确；
④的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们相等，错误.
综上，正确的有①③.
故答案为：①③.
【分析】先把每一个命题的结论和条件互换，得出它的逆命题，再判断它的逆命题的真假即可.
15．【答案】18
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵CG：GF＝2：1 ，三角形AFG的面积为3
∴三角形ACG的面积为6
∴三角形ACF的面积为3+6=9
∵F为AB中点
∴
∴三角形ABC的面积为18
故答案为：18.
【分析】根据高相等的两个三角形面积之比等于底边之比，再利用三角形的重心定理即可求解.
16．【答案】9°、51°、129°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：当时，如图所示
当于G时，如图所示
当时，如图所示
综上，的度数为9°或51°或129°
故答案为：9°、51°、129°
【分析】题中没有明确直线CE垂直于的哪一边，故需要分三种情况分别讨论，先勾画出三种情况的草图，逐一分析；根据已知角和角平分线定义及垂直带来的直角，把可求的角度在图上标示出来，易由余角定义、外角定理、三角形内角和定理计算出的度数。
17．【答案】（1）4
（2）解：如图1，线段即为所求；
图1
（3）解：如图2，射线即为所求。
图2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：
（1）；
（2）如图1所示，CH是AB边上的高；
（3）如图2所示，AP是∠BAC的角平分线.
【分析】（1）根据三角形面积公式即可求解；
（2）如图1，取格点D，连接CD交AB于点H，线段CH是AB边上的高；
（3）如图2，取格点D，连接BD，过格点P，射线AP是∠BAC的角平分线.
18．【答案】（1）解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b
由题意可得：
（2）解：∵a，b均为整数，且4
∴4∴阅读过《水浒传》的人数可能是5，也可能是6．
【知识点】推理与论证；不等式的性质的实际应用
【解析】【分析】（1）设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b，根据题意即可列出不等式组.
（2）根据a，b取整数即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图，连接．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴．
（2）说明过程如下：
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
由（1）可知，．
∴．
∴．
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理求出的度数，由结合角平分线的定义可求得的度数，在△AOB中，由三角形内角和定理可求解；
（2）由三角形外角的性质求得，由角平分线的定义和三角形内角和定理求得，即可判断求解．
（1）解：如图，连接．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴．
（2）说明过程如下：
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
由（1）可知，．
∴．
∴．
∴．
20．【答案】（1）解： 通过画图、度量， 可得：
∠BAC的度数 30° 64° 80° 120°
∠BIC的度数 105° 122° 130° 150°
∠BDI的度数 105° 122° 130° 150°
（2）证明：∠BIC=∠BDI.理由如下：
∵IB，IC是角平分线，
∴，，
∴，
即
∵IA是角平分线，
∴，
∵DE⊥AI，
∴∠AID=90°，
∴，
∴∠BIC=∠BDI.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】（1）根据题意，作图，并度量，即可得到答案.
（2）观察表格得到关系，再证明即可：由IB，IC是角平分线，可证 由DE⊥AI，IA是角平分线，可证∠BDI=90°+∠BAC，即可得∠BIC=∠BDI.
21．【答案】（1）
（2）解：设直线的表达式为，
根据图象知：将；代入表达式，
，解得，
直线的表达式为；
（3）解：由，
解得
，
，
（4）解：与底边都是 ，的面积是面积的2倍，
高就是点 到直线的距离的2倍，即，
点纵坐标是，
，令，
，
解得，
，令，
，
解得，
综上所述，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）将y=0代入，
可得：0=-3x+3，
解得：x=1，
∴点D的坐标为（1，0），
故答案为（1，0）.
【分析】（1）将y=0代入解析式，求出x的值，即可得到点D的坐标；
（2）；代入表达式，求出k、b的值，即可得到函数解析式；
（3）先求出点C的坐标，再结合AD的长，利用三角形的面积公式求出△ADC的面积即可；
（4）先求出点P的纵坐标，再将其代入解析式求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标.
22．【答案】（1）解：补全过程如下：
在△BPD中，PB+DP>BD，
∴AC+CP+PB+DP>AD+DP+BD，
∴AC+BC>AD+BD，
∴乌龟的路线更短
（2）解：选路线②，理由如下：
如解图，延长FE交AD 于点M，延长EF交BD 于点N，
在△AEM中，AM+ME>AE，
在△BFN中，BN+FN>BF，
在△DMN中，DM+DN>MN，
∴DM+DN>ME+EF+FN，
∴AM+ME+BN+FN+DM+DN>AE+BF+ME+EF+FN，
∴AM+DM+BN+DN>AE+BF+EF，
∴AD+DB>AE+BF+EF.
∴路线②的路程比路线③短，
∴乌龟可选路线②
【知识点】三角形三边关系；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系可得PB+DP>BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长FE交AD 于点M，延长EF交BD 于点N，根据三角形三边关系，结合边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°.
∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，
∴∠BAE+∠ECD+∠AEC=∠BAC+∠EAC+∠ECA+∠ACD+∠AEC=(∠BAC+∠ACD)+(∠EAC+∠ECA+∠AEC)=360°.
（2）解：不满足原结论，正确的结论是∠BAE+∠ECD=∠AEC，证明如下：
如图，连接AE，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°.
∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，
∴∠BAE+∠ECD=∠BAC－∠EAC+∠DCA－∠ECA=(∠BAC+∠DCA)－(180°－∠AEC)=∠AEC.
即∠BAE+∠ECD=∠AEC.
（3）解：当点E移动到直线AB上方时，如图：
有∠BAE+∠AEC=∠ECD，
当点E移动到直线CD下方时，如图：
有∠BAE=∠AEC+∠ECD.
【知识点】三角形内角和定理；证明的含义与一般步骤；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.
（2）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD=∠AEC.
（3）分别移动点E的位置到直线AB上方和直线CB下方，观察结论即可.
24．【答案】（1）证明：∵BD，CD分别是的内角，的平分线.
（2）①.
②，理由如下：
分别是的一个内角和一个外角的平分线，
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解：（1）∵BD，CD分别是的两个外角的平分线，∴∠DBC=∠EBC=(∠A+∠ACB)，∠DCB=∠FCB=(∠A+∠ABC).
∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB
=180°-(∠EBC+∠FCB)
=180°-(180°+∠A)
=90°-∠A，
故答案为.
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得出，再结合角分线的定义推导得出结论.
（2）①根据三角形外角的性质得出∠DBC和∠DCB，再根据内角和定理推导出∠D.
②∠DCE＝∠D+∠DBC，由此可推导出结论.
1 / 1第十三章《三角形中的边角关系、命题与证明》提升卷—沪科版数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024八上·通道期末）下列语句是命题的是（ ）
A．把绕着点A旋转
B．三角形三个角的平分线的交点是这个三角形的重心吗？
C．作的边上的高
D．三角形一个外角大于这个三角形的任何一个内角
【答案】D
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：∵A，C选项未表述完整，无法判断正误，故不是命题，B选项是问句不是陈述句，故不是命题，
故答案为：D
【分析】根据命题的定义：一般地，在数学中，我们把在一定范围内可以用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，进而结合题意分析即可求解。
2．（2025八上·余姚期末）对于一次函数，下列命题是假命题的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限
C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；真命题与假命题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、∵，∴函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，是真命题，不符合题意；
B、∵，，∴函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B结论正确，是真命题，不符合题意；
C、函数的图象向左平移2个单位后得，不经过原点，故C结论不正确，是假命题，符合题意；
D、当时，，则函数图象与y轴交于点，故D结论正确，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小，据此即可判断A项；根据一次函数图象与系数的关系即可判断B项；根据一次函数的平移和坐标轴的交点即可判断C项和D项.
3．（2024八上·晋城期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么
B．如果两个角都是直角，那么这两个角相等
C．对顶角相等
D．相等的角是内错角
【答案】A
【知识点】等式的基本性质；内错角的概念；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：、命题“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”，该命题是真命题，符合题意；
、“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么两个角都是直角”，该命题是假命题，不符合题意；
、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，该命题是假命题，不符合题意；
、“相等的角是内错角”的逆命题为“如果两个角是内错角，那么它们相等”，该命题是假命题，不符合题意；
故答案为：．
【分析】先分别求出每个选项的逆命题，再利用真命题的定义逐项分析判断即可.
4．（2021八上·于洪期末）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、，是无理数，不符合题意；
B、，是无理数，不符合题意；
C、，是有理数，符合题意；
D、，是无理数，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】将x的值代入计算，再根据无理数的定义逐项判断即可。
5．（2025八上·诸暨期末）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：A、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意；
B、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意；
C、此项中，但，能作为反例，则此项符合题意；
D、此项中，不能作为反例，则此项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据，逐项判断解题．
6．某班有20名同学参加围棋、象棋比赛.甲说：只参加一项的人数大于14人；乙说：两项都参加的人数小于5人.对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是( ).
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
【答案】B
【知识点】推理与论证；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：若甲说法正确，则只参加一项的人数大于14人，假设参加一项的人数为15人，那么两项都参加的人数为5人，
∴此时乙说法错误；
若乙说法正确，则两项都参加的人数小于5人，那么两项都参加的人数最多为4人，此时只参加一项的人数为16人，
∴甲说法正确；
故答案为：B.
【分析】先分别假设甲或者乙是正确的，然后再结合题意进行分析即可求解.
7．（2025八上·宁海期中）如图所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°
故答案为：A．
【分析】利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的概念求得∠CAD的度数即可．
8．（2025七下·榕城期末）如图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A： 两段小棒的和＜ 另一根小棒 ，不能构成三角形，所以不符合题意
B： 两段小棒 的和＞ 另一根小棒 ，能够构成三角形，所以符合题意
C：剪断的小棒中一小段与另一段之和＜剪断的小棒中的较长段，所以不符合题意
D：两段小棒 的和= 另一根小棒 ，不能够构成三角形，所以不符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据三角形三边之间的关系，分别进行判断，即可得出答案。
9．（2024七下·兰州期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C．或2 D．或
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当为腰长时，
∵等腰的周长为20，
∴的底边长为：，
∴“优美比”为；
当为底边长时，的腰长为：，
∴“优美比”为；
故答案为：D．
【分析】一边长为8，可分为两种情况：①为腰长②8为底边长，分别求出“优美比”即可得出答案．
10．（2025七下·长沙期末）如图，在同一平面内将15cm长的细铁丝AB弯折成一个三角形.
（1）量出AP = 4cm：（2）在点P右侧取一点Q，使PQ>4cm；（3）将AP向右翻折，BQ向左翻折.若要使A，B两点能在点M处重合，则PQ长可能为（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】先由PA的长得PB的长，则BQ可用PQ的代数式表示，再在中应用三边关系得，解不等式并结合已知可得PQ的取值范围，再逐项判断即可.
11．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2……第n次移动到 An，则△OA2A2018的面积是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵A2(1，1)，A4(2，0)，A6(3，1)，A8(4，0)，A10(5，1)…，
∴
故答案为：A.
【分析】首先根据点A2(1，1)，A4(2，0)，A6(3，1)，A8(4，0)，A10(5，1)…，得出，然后根据三角形面积计算公式求得 △OA2A2018的面积 。
12．（2024八上·顺德期末）如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠CAE=2∠EAD=2∠DAC，
∵∠EAC是△ABC的一个外角，
∴∠EAC=∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=2∠ABC=2∠ACB，
∴∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC，
∵∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，①正确；
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴，②正确；
∵CD平分∠ACF，
∴，
∵∠ACF是△ABC的一个外角，
∴∠BAC=∠ACF-∠ABC，
∵∠DCF是△DCB的一个外角，
∴，
∴∠BAC=2∠BDC，③正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ABC=2∠ABD，∠DAC=∠ABC，
∴∠DAC=2∠ABD，
∵∠ADC+∠ACD+∠DAC=180°，
∴2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，④正确；
∴以上结论，其中正确的是①②③④，；
故答案为：D.
【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠CAE=2∠EAD=2∠DAC，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠EAC=2∠ABC=2∠ACB，推得∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC，根据同位角相等，两直线平行即可得出AD∥BC，判断①正确，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，根据角平分线的等于可得，推得，判断②正确，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BAC=∠ACF-∠ABC，，即∠BAC=2∠BDC，判断③正确，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠DCF，推得∠ACD=∠ADC，∠DAC=2∠ABD，根据三角形内角和是180°可得2∠ADC+2∠ABD=180°，即∠ADC+∠ABD=90°，判断④正确，即可得出答案.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2022八上·长安期末）把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： .
【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零.
故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零.
【分析】原命题的条件为：两个数互为相反数，结论为这两个数的和为零，然后根据如果后面是条件，那么后面是结论进行解答.
14．（2024八上·怀化期末）下列命题中逆命题成立的有 ．（填序号）．
①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果，那么，； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
【答案】①③
【知识点】逆命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：①的逆命题为： 两直线平行，同旁内角互补，正确；
②的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，错误；
③的逆命题为：如果 ， ，那么 ，正确；
④的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们相等，错误.
综上，正确的有①③.
故答案为：①③.
【分析】先把每一个命题的结论和条件互换，得出它的逆命题，再判断它的逆命题的真假即可.
15．（2023八上·郑州开学考）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3 ．
【答案】18
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵CG：GF＝2：1 ，三角形AFG的面积为3
∴三角形ACG的面积为6
∴三角形ACF的面积为3+6=9
∵F为AB中点
∴
∴三角形ABC的面积为18
故答案为：18.
【分析】根据高相等的两个三角形面积之比等于底边之比，再利用三角形的重心定理即可求解.
16．（2024八上·寻乌期末）如图，在中，，，D为边BC延长线上一点，BF平分，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于的一边，则的度数为 ．
【答案】9°、51°、129°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：当时，如图所示
当于G时，如图所示
当时，如图所示
综上，的度数为9°或51°或129°
故答案为：9°、51°、129°
【分析】题中没有明确直线CE垂直于的哪一边，故需要分三种情况分别讨论，先勾画出三种情况的草图，逐一分析；根据已知角和角平分线定义及垂直带来的直角，把可求的角度在图上标示出来，易由余角定义、外角定理、三角形内角和定理计算出的度数。
三、解答题：本大题共8小题，共68分
17．（2023八上·南城期中）如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，的三个顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹．
图1图2
（1）三角形的面积为 ；
（2）在图1中画出边上高；
（3）在图2中作出的角平分线．
【答案】（1）4
（2）解：如图1，线段即为所求；
图1
（3）解：如图2，射线即为所求。
图2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：
（1）；
（2）如图1所示，CH是AB边上的高；
（3）如图2所示，AP是∠BAC的角平分线.
【分析】（1）根据三角形面积公式即可求解；
（2）如图1，取格点D，连接CD交AB于点H，线段CH是AB边上的高；
（3）如图2，取格点D，连接BD，过格点P，射线AP是∠BAC的角平分线.
18．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某兴趣小组统计阅读过这四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
①阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
②阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
③阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数.
若阅读过《三国演义》的人数为4，设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b(a，b均为整数).
（1）根据题意列出不等式.
（2）请根据以上推理，求出阅读过《水浒传》的人数.
【答案】（1）解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b
由题意可得：
（2）解：∵a，b均为整数，且4∴4∴阅读过《水浒传》的人数可能是5，也可能是6．
【知识点】推理与论证；不等式的性质的实际应用
【解析】【分析】（1）设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b，根据题意即可列出不等式组.
（2）根据a，b取整数即可求出答案.
19．（2022八上·新河月考）如图，在中，，三个内角的平分线交于点O．
（1）若，求的度数；
（2）过点O作，交于点D．试说明：．
【答案】（1）解：如图，连接．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴．
（2）说明过程如下：
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
由（1）可知，．
∴．
∴．
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理求出的度数，由结合角平分线的定义可求得的度数，在△AOB中，由三角形内角和定理可求解；
（2）由三角形外角的性质求得，由角平分线的定义和三角形内角和定理求得，即可判断求解．
（1）解：如图，连接．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴．
（2）说明过程如下：
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
由（1）可知，．
∴．
∴．
∴．
20．如图，△ABC的三条角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI，分别交AB，AC于点D，E.
（1）请你通过画图、度量，填写下表(图画在草稿纸上，并尽量画准确)
∠BAC的度数 30° 64° 80° 120°
∠BIC的度数
∠BDI的度数
（2）根据表格中的数据，猜想∠BIC与∠BDI之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解： 通过画图、度量， 可得：
∠BAC的度数 30° 64° 80° 120°
∠BIC的度数 105° 122° 130° 150°
∠BDI的度数 105° 122° 130° 150°
（2）证明：∠BIC=∠BDI.理由如下：
∵IB，IC是角平分线，
∴，，
∴，
即
∵IA是角平分线，
∴，
∵DE⊥AI，
∴∠AID=90°，
∴，
∴∠BIC=∠BDI.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】（1）根据题意，作图，并度量，即可得到答案.
（2）观察表格得到关系，再证明即可：由IB，IC是角平分线，可证 由DE⊥AI，IA是角平分线，可证∠BDI=90°+∠BAC，即可得∠BIC=∠BDI.
21．（2024八上·榕城期末）如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
（1）点的坐标 ；
（2）求直线的表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得的面积是面积的2倍，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：设直线的表达式为，
根据图象知：将；代入表达式，
，解得，
直线的表达式为；
（3）解：由，
解得
，
，
（4）解：与底边都是 ，的面积是面积的2倍，
高就是点 到直线的距离的2倍，即，
点纵坐标是，
，令，
，
解得，
，令，
，
解得，
综上所述，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）将y=0代入，
可得：0=-3x+3，
解得：x=1，
∴点D的坐标为（1，0），
故答案为（1，0）.
【分析】（1）将y=0代入解析式，求出x的值，即可得到点D的坐标；
（2）；代入表达式，求出k、b的值，即可得到函数解析式；
（3）先求出点C的坐标，再结合AD的长，利用三角形的面积公式求出△ADC的面积即可；
（4）先求出点P的纵坐标，再将其代入解析式求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标.
22．如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A 跑到点 B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B 前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B.
（1）若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢 请说明理由.
以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整；
解：乌龟的路线更短，理由如下：
如图②，延长AD交 BC 于点 P，
在 中，AC+CP>AP，
…
（2）请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由.
【答案】（1）解：补全过程如下：
在△BPD中，PB+DP>BD，
∴AC+CP+PB+DP>AD+DP+BD，
∴AC+BC>AD+BD，
∴乌龟的路线更短
（2）解：选路线②，理由如下：
如解图，延长FE交AD 于点M，延长EF交BD 于点N，
在△AEM中，AM+ME>AE，
在△BFN中，BN+FN>BF，
在△DMN中，DM+DN>MN，
∴DM+DN>ME+EF+FN，
∴AM+ME+BN+FN+DM+DN>AE+BF+ME+EF+FN，
∴AM+DM+BN+DN>AE+BF+EF，
∴AD+DB>AE+BF+EF.
∴路线②的路程比路线③短，
∴乌龟可选路线②
【知识点】三角形三边关系；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系可得PB+DP>BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长FE交AD 于点M，延长EF交BD 于点N，根据三角形三边关系，结合边之间的关系即可求出答案.
23．如图，点E在平行线AB，CD之间，且在线段AC的左侧.
（1）求证：∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.
（2）若点E向右移动到线段AC的右侧，此时∠BAE，∠AEC，∠ECD之间的关系仍然满足(1)中的结论吗 若满足，给出证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明.(要求：画出相应的图形)
（3）继续移动点E的位置，还能得到哪些新论断 写出你的论断.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°.
∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，
∴∠BAE+∠ECD+∠AEC=∠BAC+∠EAC+∠ECA+∠ACD+∠AEC=(∠BAC+∠ACD)+(∠EAC+∠ECA+∠AEC)=360°.
（2）解：不满足原结论，正确的结论是∠BAE+∠ECD=∠AEC，证明如下：
如图，连接AE，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°.
∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，
∴∠BAE+∠ECD=∠BAC－∠EAC+∠DCA－∠ECA=(∠BAC+∠DCA)－(180°－∠AEC)=∠AEC.
即∠BAE+∠ECD=∠AEC.
（3）解：当点E移动到直线AB上方时，如图：
有∠BAE+∠AEC=∠ECD，
当点E移动到直线CD下方时，如图：
有∠BAE=∠AEC+∠ECD.
【知识点】三角形内角和定理；证明的含义与一般步骤；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.
（2）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD=∠AEC.
（3）分别移动点E的位置到直线AB上方和直线CB下方，观察结论即可.
24．综合与探究：
（1）【情境引入】
如图1，BD，CD分别是OABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，证明：∠D=90°+∠A．
（2）【深入探究】
①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ▲ .
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵BD，CD分别是的内角，的平分线.
（2）①.
②，理由如下：
分别是的一个内角和一个外角的平分线，
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解：（1）∵BD，CD分别是的两个外角的平分线，∴∠DBC=∠EBC=(∠A+∠ACB)，∠DCB=∠FCB=(∠A+∠ABC).
∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB
=180°-(∠EBC+∠FCB)
=180°-(180°+∠A)
=90°-∠A，
故答案为.
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得出，再结合角分线的定义推导得出结论.
（2）①根据三角形外角的性质得出∠DBC和∠DCB，再根据内角和定理推导出∠D.
②∠DCE＝∠D+∠DBC，由此可推导出结论.
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