第十四章《全等三角形》提升卷—沪科版数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024八上·韶关期末）如图，已知，，添加下列条件仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·耿马期末）如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．80°
3．（2024八上·潮南月考） 如图， ， 记 ， 当 时， 与 之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·攀枝花开学考）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025八上·期末）如图是一款路灯及其平面示意图，已知AB=AD，CF=CG，B，D分别为 CF，CG 的中点， ∠ABF = 122°，∠BAE=59°，则∠ACD 的度数为 ( )
A．58° B．59° C．63° D．70°
6．如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，△ABC的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”D(点D与点A不重合)，使得以点D，B，C为顶点的三角形与△ABC全等，则这样的“好点”D的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024八上·南通月考）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
8．（2025八上·炎陵期末）如图，，．给出下列条件：①；②，③，④．这四个条件中再选一个使，符合条件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024八上·宜兴月考）用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( )
A．SSS B．SAS C．HL D．ASA
10．（2024八上·沙洋月考）如图为个边长相等的正方形的组合图形，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023八上·鹤山月考）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．3
12．（2024八上·从江期中）如图，在平面直角坐标系中，直线相交于点，．下列四个说法：
；
为线段中点；
；
点的坐标为．其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2024八上·义乌月考）一个三角形的三条边的长分别是，，，另一个三角形的三条边的长分别是，，，若这两个三角形全等，则的值是 ．
14．（2024八上·广水期末）如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则 ．
15．（2024八上·双流期末）如图，在中，，，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D，E分别为线段AO和线段AC上一动点，且．当的值最小时，点E的坐标为 ．
16．（2025八上·期中）为改善照明环境，小区物业在一号楼底部和二号楼顶部分别安装了照射灯(灯的高度忽略不计)，如图，已知A处地面灯恰好照射到二号楼顶部灯B处，B灯恰好照射到一号楼顶部C处，且两盏灯的光线与地平面的夹角相等，若一号楼AC的高为44.8m，则二号楼BD的高为
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．（2023八上·湖北期中）如图：小刚站在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转向正南方向直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他从到走了80步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与处电线塔的距离，并说明理由．
18．（2024八上·绍兴月考）如图，如图，点P在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4.
(1)求证： △BDP≌△BCP；
（2）求证：AD=AC.
19．如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证：
（1）；
（2）试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由．
20．（2025八上·期中） 如图， A B∥C D ， AC = DC ，____，求证：
（1）请从①∠AED=∠BCD，②DE=BC，③DC-AE=AB 中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立.你的选择是 (只需填一个序号即可)；
（2）根据(1)中的选择给出证明.
21．（2024八上·斗门期中）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：
方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC至点D，连接BC并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长．
方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离
问：（1）方案1是否可行？并说明理由；
（2）方案2是否可行？并说明理由；
（3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF”换成条 也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上．
22．（2024八上·福田期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，满足；与直线交于点，且点的横坐标为．
（1）求，的值
（2）求四边形的面积
（3）如图2，点是线段上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，连接、；若，求点的坐标；
23．（2024八上·江门月考）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型），解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题．
（1）如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：，、、三点都在直线上，且有，其中为任意锐角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵AC=BD
∴AC+BC=BD+BC
∴AB=CD
对A选项，若A=NCD，则(SAS)，故A能判断全等；
对B选项，若BM=DN，则(SSS)，故B能判断全等；
对C选项，AM||CN，则A=NCD，(SAS)，故C能判断全等；
对D选项，M=N，则为“边边角”，无法判定全等；
答案：D.
【分析】由已知得AB=CD，分别结合选项中的条件，依次判断能否判定全等.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】先利用全等三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质求出∠ADE的度数，最后利用三角形的内角和求出∠DAE的度数即可.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：
∵ △AOB≌△ADC
∴∠ABO=∠ACD=β，∠CAD=∠BAO，AB=AC
∵∠O=∠D=90°
∴在△AOB中 ∠OAB=90°-β
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
∴∠CBA=∠ACB
∵BC∥OA
∴∠CBA=∠OAB=90°-β，∠OAC+∠ACB=180°
∴∠ACB=∠CBA=∠OAB=∠DAC=90°-β
∵∠ABO=α
∴∠OAC+∠ACB=α+∠DAC+∠ACB=180°=α+90°-β+90°-β=180°
∴α-2β=0即α=2β
故答案为B.
【分析】通过△AOB≌△ADC可得边与角的关系，可得出∠OAB，∠ABC以及等腰三角形ABC，再结合平行线性质列等式，化简等式即可得出α与β之间的数量关系。
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，共4个，
故选：D．
【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形，求出以BC为公共边的三角形，以AB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；补角
【解析】【解答】解：由题可知∠ABF=122°，
∴∠ABC=180°-∠ABF=58°，
∵ ∠BAE=59°，
∴ ∠ACB=180°-∠ABC-∠BAE=63°，
∵ CF=CG，点 B，D 分别为CF，CG的中点，
∴ BC=DC.
在△ABC 和△ADC 中，
故答案为：C
【分析】根据补角可得∠ABC=58°，再根据三角形内角和定理可得 ∠ACB=63°，再根据线段中点可得 BC=DC，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据“好点”的定义，如图，在正方形网格中标出点D，D1，D2，
∵AB=DB，AC=DC，BC=BC，
∴△ABC≌△DBC(SSS)；
∵AB=D1C，AC=D1B，BC=CB，
∴△ABC≌△D1CB(SSS)；
∵AB=D2C，AC=D2B，BC=CB，
∴△ABC≌△D2CB(SSS).
故符合条件的“好点”D有3个.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的判定定理SSS，以BC为公共边，在正方形网格中寻找满足条件的点D.
7．【答案】B
【知识点】一元一次方程的解；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接
平分，平分
，
在和中
在和中
周长为
，
解得：.
故选：.
【分析】这道题综合考查角平分线定义，三角形内角和，全等三角形判定与性质等知识，解题过程需通过作辅助线构造全等三角形，逐步推导线段关系，再结合比例求解.在上截取，连接，由可证得，于是可得，由可证得，于是可得，进而可求得的长.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴添加①，可以用判定；
添加③，可以用判定；
添加④，可以用判定；
添加②不能判定三角形全等．
故选C．
【分析】
一般三角形全等的判定方法共有4各，即、、、，根据已知条件逐项判断即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线，
故答案选C.
【分析】根据全等三角形判定定理可得Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），则∠MOP＝∠NOP，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：对图形进行标注如下：
由图可得：，，，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后求解即可.
11．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；三角形全等及其性质
【解析】【解答】 解：∵AB=20cm，AE=6cm，BC=16cm，
∴EB=14cm，BP=2tcm，PC=（16-2t）cm，
①当EB=PC，BP=QC时，△BPE≌△CQP，
由题意得：16-2t=14，
解得：t=1；
②当BP=CP，BE=QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t=16-2t，
解得：t=4.
故选：B.
【分析】用含t的代数式表示出线段BP和线段PC的长度，再分类讨论两个三角形全等的不同情况，△BPE≌△CQP或△BEP≌△CQP，列出方程，解方程求出t的值.
12．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-SSS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：，
点坐标为，点坐标为，
设直线的解析式为：，
直线经过两点，
，
解得，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
直线经过两点，
，
解得，
直线的解析式为：，
，AB=2，
∴BC2+AC2=AB2，
，故正确，符合题意；
点为直线与轴的交点，
当时，，
点坐标为，
，
为线段中点，故正确，符合题意；
由图象得
，，
，
（SSS），故说法正确，符合题意；
点为直线与轴的交点，
当时，，
点的坐标为，故说法正确，符合题意；
故选：D．
【分析】先用待定系数法分别求出直线的解析式，再根据根据勾股定理的逆定理判断；求出点的坐标，即可判断；用两点间的坐标公式求出的长，从而可以得出两个三角形的边的关系，从而可以判断；点为直线与轴的交点，根据解析式即可求出坐标，从而可以判断．
13．【答案】或
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：依题意，和
解得：，，
；
，
解得：，
∴
故答案为：或．
【分析】
由全等三角形的对边相等可得或，再分别求出即可．
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，
∵AH是△ABC的高线，
∴∠F=∠AHB=90°，
∵AE∥BC，
∴∠EAF=∠CBA，
∵AE=AB，
∴△AEF≌△BAH（AAS），
∴FE=AH，
∵DE=AC，
∴Rt△DEF≌Rt△CAH（HL），
∴CH=DF，S△ACH=S△DFE，
∵S△ABC=S△ABH+S△AHC=2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，
∴S△ABH：S△ADE=2：1，
∴BH：AD=2：1，
∴AD=，
∴DF=CH=1+=，
∴BC=BH+CH=.
故答案为：.
【分析】过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，用AAS证△AEF≌△BAH，得FE=AH，再用HL证明Rt△DEF≌Rt△CAH，得CH=DF，S△ACH=S△DFE，然后根据等高的两个三角形的面积比等于底之比即可解决问题.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两点之间线段最短；三角形全等及其性质
【解析】【解答】过点C作CF⊥BC于点C，且使CF=AB，连接EF，BF，BF交AC于点G
∵AO⊥BC，
∴AO∥FC，
∴∠CAO=∠ACF，
∵AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴∠BAD=∠FCE，
∵AD=CE，
∴，
∴BD=FE，
∴BD+BE=FE+BE，
∴当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，
根据已知条件知：，，
∴OC=6，
∴OA=，
∴A(0，8），B(-6，0），C(6，0），
∴直线AC的解析时为：y=①，
∵CF=AB=AC=10，
∴点F的坐标为（6，10），
∴直线BF的解析式为：y=②，
联立①②，得到方程组：
解得：，
∴点G的坐标为（），
即点E 的坐标为（）。
【分析】首先根据SAS证明，得出BD=FE，从而得出BD+BE=FE+BE，即可得出当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，然后通过求直线AC和直线BF的解析式，进而得出连直线的交点G的坐标为（），即可得出点E 的坐标为（）。
16．【答案】22.4m
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点 B 作 BE⊥AC 于点E，
∴∠BEC=∠BEA=90°，由题意可知AC⊥AD，
∴BE∥DA，
∴∠EBA=∠BAD，
∵两盏灯的光线与地平面的夹角相等，
∴∠CBE=∠BAD，
∴∠CBE=∠EBA，
∵BE=BE，
∴△CBE≌△ABE(ASA)，
∴CE=AE，
∵AC=CE+AE=44.8 m，
∴CE=AE=22.4m，
∵ ∠BEA = ∠BDA = 90°，AB = BA，
∴△AEB≌△BDA(AAS)，
∴BD=AE=22.4m .
故答案为：22.4m
【分析】过点 B 作 BE⊥AC 于点E，根据直线平行判定定理可得BE∥DA，则∠EBA=∠BAD，由题意可得∠CBE=∠EBA，再根据全等三角形判定定理可得△CBE≌△ABE(ASA)，则CE=AE，再根据边之间的关系可得CE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
17．【答案】（1）解：示意图如图所示．
（2）解：40米，理由如下：
在和中，
，
，
，
又小刚走完用了80步，一步大约米，
（米）．
答：小刚在点处时他与处电线塔的距离为40米．
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据题干中的信息作出图形即可；
（2）先利用“ASA”证出，可得AB=DE，再利用“路程=速度×时间”求出DE的长即可.
（1）解：示意图如图所示．
（2）解：40米，理由如下：
在和中，
，
，
，
又小刚走完用了80步，一步大约米，
（米）．
答：小刚在点处时他与处电线塔的距离为40米．
18．【答案】解：
在和中
在和中
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据∠1=∠2，可得到∠DPC=∠CPB，然后结合∠3=∠4，BP=BP，即可证明△BDP≌△BCP；
(2)在第一问的基础上运用全等三角形的性质得到DP=CP，进一步证明，即可得到AD=AC.
19．【答案】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
∴
（2）解：，理由如下：
如图，设与于G，
∵，
，
，，
，
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，由三角形内角和定理可求解．
20．【答案】（1）①或③(任填一个序号即可)
（2）解：选择①，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠ECD，
∵∠AED 是△CDE的一个外角，
∴∠AED=∠D+∠ECD，
∵∠BCD=∠ACB+∠ECD，∠AED=∠BCD，
∴∠D=∠ACB，
在△ABC 和△CED中，
∴△ABC≌△CED(ASA).
选择③，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠ECD，
∵AC=DC，DC-AE=AB，
∴AC-AE=AB，即CE=AB，
在△ABC 和△CED中，
∴△ABC≌△CED(SAS).
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】选择①：根据直线平行性质可得∠A=∠ECD，再根据三角形外角性质可得∠AED=∠D+∠ECD，再根据角之间的关系可得∠D=∠ACB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
选择③：根据直线平行性质可得∠A=∠ECD，再根据边之间的关系可得CE=AB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
21．【答案】解：（1）在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE；
（2）∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠B＝∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE；
（3）AB∥DE
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（3）只需AB∥DE即可，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE，
故答案为：AB∥DE．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.
（1）根据，利用全等三角形的判定定理SAS定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE；
（2）利用垂直的性质可得∠B＝∠BDE，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE；
（3）AB∥DE，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠BDE，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE．
22．【答案】（1）解：设，则，即，，把A，B坐标代入
得：
解得：，
∴直线解析式为：，
∵与直线交于点E，且点E的横坐标为1，
∴把代入：，得，即点E坐标为：
∵点E在上，把代入，得：
解得：
综上所得：，
（2）解：∴点D坐标为：
又∵点E坐标为，
∴
∴四边形面积
（3）解：
如图：过点G作直线平行于，交y轴于点M，过点O作，垂足为点L，过点M作，垂足为点H
，
∵与的面积相等，且同底，
∴在边上高相等，即，
又∵且
∴
∵点B坐标为：，
∴点M坐标为，直线平行于，
∴直线为：，
∵点G为直线与直线的交点，联立两直线方程得：
解得：
∴点G坐标为：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）设出OB=a后可得A，B的坐标，根据A，B在y=mx+2上可知m的值，根据l2，l1的交点求出点E的坐标后即可求出n；
（2）求出BD的长度后利用割补法求四边形面积即可；
（3）过点G作直线平行于，交y轴于点M，过点O作，垂足为点L，过点M作，垂足为点H后，根据与的面积相等，且同底，则在边上的高相等求得OL=MN，接着利用AAS证得△MHB≌△OLB后可根据B点的坐标求出直线GM，联立GM和L1后可得G点坐标。
（1）解：设，则，即，，
把A，B坐标代入
得：
解得：，
∴直线解析式为：，
∵与直线交于点E，且点E的横坐标为1，
∴把代入：，得，即点E坐标为：
∵点E在上，把代入，得：
解得：
综上所得：，
（2）∴点D坐标为：
又∵点E坐标为，
∴
∴四边形面积
（3）如图：过点G作直线平行于，交y轴于点M，过点O作，垂足为点L，过点M作，垂足为点H
，
∵与的面积相等，且同底，
∴在边上高相等，即，
又∵且
∴
∵点B坐标为：，
∴点M坐标为，直线平行于，
∴直线为：，
∵点G为直线与直线的交点，联立两直线方程得：
解得：
∴点G坐标为：
23．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（2）解： 结论成立，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（3）解：结论不成立，理由如下：
∵，，，
且，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴.
∴.
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由，得，，根据得，进一步得，再由，可证明
，根据全等三角形性质得：，，由图形得，最后可得.
（2）根据，结合图形得：，，
等量代换得：，根据，得，根据全等三角形性质得：，，由图形得，最后可得.
（3）根据，，，
且，进一步得，，再由可证明，从而得，，因为，故.
1 / 1第十四章《全等三角形》提升卷—沪科版数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024八上·韶关期末）如图，已知，，添加下列条件仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵AC=BD
∴AC+BC=BD+BC
∴AB=CD
对A选项，若A=NCD，则(SAS)，故A能判断全等；
对B选项，若BM=DN，则(SSS)，故B能判断全等；
对C选项，AM||CN，则A=NCD，(SAS)，故C能判断全等；
对D选项，M=N，则为“边边角”，无法判定全等；
答案：D.
【分析】由已知得AB=CD，分别结合选项中的条件，依次判断能否判定全等.
2．（2024八上·耿马期末）如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．80°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】先利用全等三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质求出∠ADE的度数，最后利用三角形的内角和求出∠DAE的度数即可.
3．（2024八上·潮南月考） 如图， ， 记 ， 当 时， 与 之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：
∵ △AOB≌△ADC
∴∠ABO=∠ACD=β，∠CAD=∠BAO，AB=AC
∵∠O=∠D=90°
∴在△AOB中 ∠OAB=90°-β
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
∴∠CBA=∠ACB
∵BC∥OA
∴∠CBA=∠OAB=90°-β，∠OAC+∠ACB=180°
∴∠ACB=∠CBA=∠OAB=∠DAC=90°-β
∵∠ABO=α
∴∠OAC+∠ACB=α+∠DAC+∠ACB=180°=α+90°-β+90°-β=180°
∴α-2β=0即α=2β
故答案为B.
【分析】通过△AOB≌△ADC可得边与角的关系，可得出∠OAB，∠ABC以及等腰三角形ABC，再结合平行线性质列等式，化简等式即可得出α与β之间的数量关系。
4．（2024八上·攀枝花开学考）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，共4个，
故选：D．
【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形，求出以BC为公共边的三角形，以AB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可.
5．（2025八上·期末）如图是一款路灯及其平面示意图，已知AB=AD，CF=CG，B，D分别为 CF，CG 的中点， ∠ABF = 122°，∠BAE=59°，则∠ACD 的度数为 ( )
A．58° B．59° C．63° D．70°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；补角
【解析】【解答】解：由题可知∠ABF=122°，
∴∠ABC=180°-∠ABF=58°，
∵ ∠BAE=59°，
∴ ∠ACB=180°-∠ABC-∠BAE=63°，
∵ CF=CG，点 B，D 分别为CF，CG的中点，
∴ BC=DC.
在△ABC 和△ADC 中，
故答案为：C
【分析】根据补角可得∠ABC=58°，再根据三角形内角和定理可得 ∠ACB=63°，再根据线段中点可得 BC=DC，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．如图是一个正方形网格，每个小正方形的边长相等，我们把该网格中正方形的顶点称之为“好点”，△ABC的三个顶点都在这个正方形网格的“好点”上，在这个正方形网格图中找一个“好点”D(点D与点A不重合)，使得以点D，B，C为顶点的三角形与△ABC全等，则这样的“好点”D的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据“好点”的定义，如图，在正方形网格中标出点D，D1，D2，
∵AB=DB，AC=DC，BC=BC，
∴△ABC≌△DBC(SSS)；
∵AB=D1C，AC=D1B，BC=CB，
∴△ABC≌△D1CB(SSS)；
∵AB=D2C，AC=D2B，BC=CB，
∴△ABC≌△D2CB(SSS).
故符合条件的“好点”D有3个.
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的判定定理SSS，以BC为公共边，在正方形网格中寻找满足条件的点D.
7．（2024八上·南通月考）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】一元一次方程的解；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接
平分，平分
，
在和中
在和中
周长为
，
解得：.
故选：.
【分析】这道题综合考查角平分线定义，三角形内角和，全等三角形判定与性质等知识，解题过程需通过作辅助线构造全等三角形，逐步推导线段关系，再结合比例求解.在上截取，连接，由可证得，于是可得，由可证得，于是可得，进而可求得的长.
8．（2025八上·炎陵期末）如图，，．给出下列条件：①；②，③，④．这四个条件中再选一个使，符合条件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴添加①，可以用判定；
添加③，可以用判定；
添加④，可以用判定；
添加②不能判定三角形全等．
故选C．
【分析】
一般三角形全等的判定方法共有4各，即、、、，根据已知条件逐项判断即可.
9．（2024八上·宜兴月考）用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( )
A．SSS B．SAS C．HL D．ASA
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线，
故答案选C.
【分析】根据全等三角形判定定理可得Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），则∠MOP＝∠NOP，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
10．（2024八上·沙洋月考）如图为个边长相等的正方形的组合图形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：对图形进行标注如下：
由图可得：，，，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后求解即可.
11．（2023八上·鹤山月考）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．3
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；三角形全等及其性质
【解析】【解答】 解：∵AB=20cm，AE=6cm，BC=16cm，
∴EB=14cm，BP=2tcm，PC=（16-2t）cm，
①当EB=PC，BP=QC时，△BPE≌△CQP，
由题意得：16-2t=14，
解得：t=1；
②当BP=CP，BE=QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t=16-2t，
解得：t=4.
故选：B.
【分析】用含t的代数式表示出线段BP和线段PC的长度，再分类讨论两个三角形全等的不同情况，△BPE≌△CQP或△BEP≌△CQP，列出方程，解方程求出t的值.
12．（2024八上·从江期中）如图，在平面直角坐标系中，直线相交于点，．下列四个说法：
；
为线段中点；
；
点的坐标为．其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-SSS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：，
点坐标为，点坐标为，
设直线的解析式为：，
直线经过两点，
，
解得，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
直线经过两点，
，
解得，
直线的解析式为：，
，AB=2，
∴BC2+AC2=AB2，
，故正确，符合题意；
点为直线与轴的交点，
当时，，
点坐标为，
，
为线段中点，故正确，符合题意；
由图象得
，，
，
（SSS），故说法正确，符合题意；
点为直线与轴的交点，
当时，，
点的坐标为，故说法正确，符合题意；
故选：D．
【分析】先用待定系数法分别求出直线的解析式，再根据根据勾股定理的逆定理判断；求出点的坐标，即可判断；用两点间的坐标公式求出的长，从而可以得出两个三角形的边的关系，从而可以判断；点为直线与轴的交点，根据解析式即可求出坐标，从而可以判断．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．（2024八上·义乌月考）一个三角形的三条边的长分别是，，，另一个三角形的三条边的长分别是，，，若这两个三角形全等，则的值是 ．
【答案】或
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：依题意，和
解得：，，
；
，
解得：，
∴
故答案为：或．
【分析】
由全等三角形的对边相等可得或，再分别求出即可．
14．（2024八上·广水期末）如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，
∵AH是△ABC的高线，
∴∠F=∠AHB=90°，
∵AE∥BC，
∴∠EAF=∠CBA，
∵AE=AB，
∴△AEF≌△BAH（AAS），
∴FE=AH，
∵DE=AC，
∴Rt△DEF≌Rt△CAH（HL），
∴CH=DF，S△ACH=S△DFE，
∵S△ABC=S△ABH+S△AHC=2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，
∴S△ABH：S△ADE=2：1，
∴BH：AD=2：1，
∴AD=，
∴DF=CH=1+=，
∴BC=BH+CH=.
故答案为：.
【分析】过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，用AAS证△AEF≌△BAH，得FE=AH，再用HL证明Rt△DEF≌Rt△CAH，得CH=DF，S△ACH=S△DFE，然后根据等高的两个三角形的面积比等于底之比即可解决问题.
15．（2024八上·双流期末）如图，在中，，，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D，E分别为线段AO和线段AC上一动点，且．当的值最小时，点E的坐标为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两点之间线段最短；三角形全等及其性质
【解析】【解答】过点C作CF⊥BC于点C，且使CF=AB，连接EF，BF，BF交AC于点G
∵AO⊥BC，
∴AO∥FC，
∴∠CAO=∠ACF，
∵AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴∠BAD=∠FCE，
∵AD=CE，
∴，
∴BD=FE，
∴BD+BE=FE+BE，
∴当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，
根据已知条件知：，，
∴OC=6，
∴OA=，
∴A(0，8），B(-6，0），C(6，0），
∴直线AC的解析时为：y=①，
∵CF=AB=AC=10，
∴点F的坐标为（6，10），
∴直线BF的解析式为：y=②，
联立①②，得到方程组：
解得：，
∴点G的坐标为（），
即点E 的坐标为（）。
【分析】首先根据SAS证明，得出BD=FE，从而得出BD+BE=FE+BE，即可得出当B，E，F三点在同一直线上时(即点E与点G重合时），的值最小 ，此时的值为线段BF的长，然后通过求直线AC和直线BF的解析式，进而得出连直线的交点G的坐标为（），即可得出点E 的坐标为（）。
16．（2025八上·期中）为改善照明环境，小区物业在一号楼底部和二号楼顶部分别安装了照射灯(灯的高度忽略不计)，如图，已知A处地面灯恰好照射到二号楼顶部灯B处，B灯恰好照射到一号楼顶部C处，且两盏灯的光线与地平面的夹角相等，若一号楼AC的高为44.8m，则二号楼BD的高为
【答案】22.4m
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点 B 作 BE⊥AC 于点E，
∴∠BEC=∠BEA=90°，由题意可知AC⊥AD，
∴BE∥DA，
∴∠EBA=∠BAD，
∵两盏灯的光线与地平面的夹角相等，
∴∠CBE=∠BAD，
∴∠CBE=∠EBA，
∵BE=BE，
∴△CBE≌△ABE(ASA)，
∴CE=AE，
∵AC=CE+AE=44.8 m，
∴CE=AE=22.4m，
∵ ∠BEA = ∠BDA = 90°，AB = BA，
∴△AEB≌△BDA(AAS)，
∴BD=AE=22.4m .
故答案为：22.4m
【分析】过点 B 作 BE⊥AC 于点E，根据直线平行判定定理可得BE∥DA，则∠EBA=∠BAD，由题意可得∠CBE=∠EBA，再根据全等三角形判定定理可得△CBE≌△ABE(ASA)，则CE=AE，再根据边之间的关系可得CE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
三、解答题：本大题共7小题，共68分.
17．（2023八上·湖北期中）如图：小刚站在河边的点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转向正南方向直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他从到走了80步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与处电线塔的距离，并说明理由．
【答案】（1）解：示意图如图所示．
（2）解：40米，理由如下：
在和中，
，
，
，
又小刚走完用了80步，一步大约米，
（米）．
答：小刚在点处时他与处电线塔的距离为40米．
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据题干中的信息作出图形即可；
（2）先利用“ASA”证出，可得AB=DE，再利用“路程=速度×时间”求出DE的长即可.
（1）解：示意图如图所示．
（2）解：40米，理由如下：
在和中，
，
，
，
又小刚走完用了80步，一步大约米，
（米）．
答：小刚在点处时他与处电线塔的距离为40米．
18．（2024八上·绍兴月考）如图，如图，点P在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4.
(1)求证： △BDP≌△BCP；
（2）求证：AD=AC.
【答案】解：
在和中
在和中
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据∠1=∠2，可得到∠DPC=∠CPB，然后结合∠3=∠4，BP=BP，即可证明△BDP≌△BCP；
(2)在第一问的基础上运用全等三角形的性质得到DP=CP，进一步证明，即可得到AD=AC.
19．如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证：
（1）；
（2）试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
∴
（2）解：，理由如下：
如图，设与于G，
∵，
，
，，
，
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，由三角形内角和定理可求解．
20．（2025八上·期中） 如图， A B∥C D ， AC = DC ，____，求证：
（1）请从①∠AED=∠BCD，②DE=BC，③DC-AE=AB 中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立.你的选择是 (只需填一个序号即可)；
（2）根据(1)中的选择给出证明.
【答案】（1）①或③(任填一个序号即可)
（2）解：选择①，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠ECD，
∵∠AED 是△CDE的一个外角，
∴∠AED=∠D+∠ECD，
∵∠BCD=∠ACB+∠ECD，∠AED=∠BCD，
∴∠D=∠ACB，
在△ABC 和△CED中，
∴△ABC≌△CED(ASA).
选择③，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠ECD，
∵AC=DC，DC-AE=AB，
∴AC-AE=AB，即CE=AB，
在△ABC 和△CED中，
∴△ABC≌△CED(SAS).
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】选择①：根据直线平行性质可得∠A=∠ECD，再根据三角形外角性质可得∠AED=∠D+∠ECD，再根据角之间的关系可得∠D=∠ACB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
选择③：根据直线平行性质可得∠A=∠ECD，再根据边之间的关系可得CE=AB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
21．（2024八上·斗门期中）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：
方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC至点D，连接BC并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长．
方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离
问：（1）方案1是否可行？并说明理由；
（2）方案2是否可行？并说明理由；
（3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF”换成条 也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上．
【答案】解：（1）在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE；
（2）∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠B＝∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE；
（3）AB∥DE
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（3）只需AB∥DE即可，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE，
故答案为：AB∥DE．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.
（1）根据，利用全等三角形的判定定理SAS定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE；
（2）利用垂直的性质可得∠B＝∠BDE，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE；
（3）AB∥DE，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠BDE，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE．
22．（2024八上·福田期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，满足；与直线交于点，且点的横坐标为．
（1）求，的值
（2）求四边形的面积
（3）如图2，点是线段上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，连接、；若，求点的坐标；
【答案】（1）解：设，则，即，，把A，B坐标代入
得：
解得：，
∴直线解析式为：，
∵与直线交于点E，且点E的横坐标为1，
∴把代入：，得，即点E坐标为：
∵点E在上，把代入，得：
解得：
综上所得：，
（2）解：∴点D坐标为：
又∵点E坐标为，
∴
∴四边形面积
（3）解：
如图：过点G作直线平行于，交y轴于点M，过点O作，垂足为点L，过点M作，垂足为点H
，
∵与的面积相等，且同底，
∴在边上高相等，即，
又∵且
∴
∵点B坐标为：，
∴点M坐标为，直线平行于，
∴直线为：，
∵点G为直线与直线的交点，联立两直线方程得：
解得：
∴点G坐标为：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）设出OB=a后可得A，B的坐标，根据A，B在y=mx+2上可知m的值，根据l2，l1的交点求出点E的坐标后即可求出n；
（2）求出BD的长度后利用割补法求四边形面积即可；
（3）过点G作直线平行于，交y轴于点M，过点O作，垂足为点L，过点M作，垂足为点H后，根据与的面积相等，且同底，则在边上的高相等求得OL=MN，接着利用AAS证得△MHB≌△OLB后可根据B点的坐标求出直线GM，联立GM和L1后可得G点坐标。
（1）解：设，则，即，，
把A，B坐标代入
得：
解得：，
∴直线解析式为：，
∵与直线交于点E，且点E的横坐标为1，
∴把代入：，得，即点E坐标为：
∵点E在上，把代入，得：
解得：
综上所得：，
（2）∴点D坐标为：
又∵点E坐标为，
∴
∴四边形面积
（3）如图：过点G作直线平行于，交y轴于点M，过点O作，垂足为点L，过点M作，垂足为点H
，
∵与的面积相等，且同底，
∴在边上高相等，即，
又∵且
∴
∵点B坐标为：，
∴点M坐标为，直线平行于，
∴直线为：，
∵点G为直线与直线的交点，联立两直线方程得：
解得：
∴点G坐标为：
23．（2024八上·江门月考）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型），解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题．
（1）如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：，、、三点都在直线上，且有，其中为任意锐角，那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（2）解： 结论成立，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴.
（3）解：结论不成立，理由如下：
∵，，，
且，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴.
∴.
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）由，得，，根据得，进一步得，再由，可证明
，根据全等三角形性质得：，，由图形得，最后可得.
（2）根据，结合图形得：，，
等量代换得：，根据，得，根据全等三角形性质得：，，由图形得，最后可得.
（3）根据，，，
且，进一步得，，再由可证明，从而得，，因为，故.
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