第十五章《轴对称图形和等腰三角形》基础卷—沪科版数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024八上·福清期中）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·杭州期中）“观成爱我”的首字母缩写为G、C、A、W，其中不是轴对称图形的选项是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·仓山期中）如图所示，△ABC与△DEF 关于直线l对称，下列说法错误的是（ ）
A．AB=DE B．∠BAC=∠EDF
C．点B和点E到直线l的距离相等 D．ACDE
4．（2024八上·东海月考）在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点
5．通过下列尺规作图，能确定BD=CD的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ）
A．21 B．14 C．13 D．9
7．如图，∠B=∠C=90°，M是BC 的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB 的度数为( ).
A．30° B．35° C．45° D．60°
8．（2022八上·青秀月考）观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023八上·东莞期中）在中，，的角平分线交于点，则点到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2025八上·期末） 如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O 上下转动，立柱 OC与地面垂直，当横板AB 的A 端着地时，测得∠OAC=30°，若OC=0.5m ，则AB 的长为 ( )
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
11．（人教版八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
12．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．如图，左边是计算器上的数字“5”，若以直线为对称轴，则它的轴对称图形是数字 .
14．（2023八上·新和期中）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．
15． 如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=6，CF=2，则AC= .
16．（2025八上·期中）“等边三角形中有一个内角等于60°”的的逆命题是 ，这个逆命题 (填“成立”或“不成立”).
三、解答题：本大题共8小题，共68分.
17．（2024八上·北京市期中）在的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是．
（1）请图1中添加一个格点，使得是轴对称图形，且对称轴经过点．
（2）请图2中添加一个格点，使得也是轴对称图形，且对称轴经过点．
18．（2024八上·陆河期末） 如图， 在 Rt 中， 。
（1）尺规作图：作 AB 的垂直平分线 ，交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E （不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 在（1）题图中， 连接 AD ， 若 平分 ， 且 ， 求 的长。
19．（2024八上·吉林期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=17，DC=5，求S△ABD.
20． 如图， AD 是△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E， F，连接EF，EF 与AD 相交于点G. AD 与EF 垂直吗 证明你的结论.
21．（2024八上·益阳开学考）如图，点在线段上，，，，平分．
（1）证明：≌；
（2）若，，求的面积．
22．（2024八上·平南期末）
（1）【问题情境】
我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线是的平分线．请说明此做法的理由；
（2）【拓展实践】
某公园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到休息椅和的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
23．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D 是边AB 上的动点，连接CD，点 B 关于直线CD 的对称点为E，射线AE 与射线CD 交于点 F.
（1）连接CE，求证：∠CAE=∠CEA.
（2）当 BD
（3）若AD=AC，求证：AE=CD.
24．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，.点在边AB上，点在CB延长线，且满足.连接.已知.
（1）若，求的度数.
（2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据：
AE 4cm 6cm 8cm 10cm
BC 2cm 3cm 4cm 5cm
猜想：AE与BC之间的等量关系，并给出证明.
（3）探究三者之间的等量关系，并给出证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项中的字母不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，符合题意；
B选项中的字母是轴对称图形，不符合题意；
C选项中的字母是轴对称图形，不符合题意；
D选项中的字母是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解∶∵△ABC与△DEF 关于直线l对称，∴△ABC≌△DEF，
∴∠BAC=∠EDF， AB=DE，直线l垂直平分线段BE，
∴点B和点E到直线l的距离相等，
由已知条件无法判断ACDE，
故选项A， B， C正确，D错误，
故答案为∶D．
【分析】根据轴对称的性质可得出对应边相等，对应角相等，即可得出A，B正确；再根据对应点连线被对称轴垂直平分，即可得出C正确，根据条件无法得出D正确，故而可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行，
∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点．
故答案为：D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）及生活常识分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：A.通过作图痕迹无法确定BD=CD；
B.作图痕迹表示 BC 的垂直平分线交 BC于点D，能确定BD=CD；
C.作图痕迹表示AD平分∠BAC，不能确定BD=CD；
D.作图痕迹表示AC 的垂直平分线交 BC 于点 D，不能确定BD=CD.
故答案为：B
【分析】根据垂直平分线性质逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故答案为：C．
【分析】由线段的垂直平分线交于点E，交于点D，得，等量转换的周长.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB//CD，
∴∠DAB=180°-∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，
又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴，
故答案为：B.
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到，计算即可.
8．【答案】C
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故选：Ｃ.
【分析】根据角平分线定义逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，则DE的长是点D到AB的距离
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=，DE⊥AB
∴DE=DC(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵BC=7，BD=4
∴DC=BC-BD=3
∴DE=CD=3
即点D到AB的距离是3.
故答案为：B.
【分析】过D作DE⊥AB于E，则DE的长度是D到AB边的距离，由角平分线性质得出ED=DC，利用DC=BC-BD，求出CD的长，继而得解.
10．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意知，OC⊥AC，
∵∠OAC=30°，OC=0.5m，
∴AO=2OC=1m ，
又∵点O 是AB的中点，
∴AB=2AO=2m.
故答案为：D
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AO=2OC=1m ，再根据线段中点即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：B.
【分析】先添加辅助线连接PC，然后根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，从而确定PB=PC，再根据三角形的三边关系可得最小值.
12．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
13．【答案】2
【知识点】作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】左边是计算器上的数字“5”，若以直线为对称轴，则它的轴对称图形是数字为2，
故答案为2.
【分析】根据轴对称的性质作出图形，然后判断数字即可.
14．【答案】80
【知识点】角平分线的性质；角平分线的应用
【解析】【解答】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是，
∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是．
故答案为：．
【分析】利用角平分线的定义和性质（角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等）分析求解即可.
15．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： EF是AB的垂直平分线，
FA=FB
BF=6，CF=2
AC=FA+FC=FB+FC=8
故答案为：8
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得FA=FB，则AC=FA+FC=FB+FC=8。
16．【答案】有一个内角等于60°的三角形是等边三角形；不成立
【知识点】等边三角形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：根据题意得：
“等边三角形中有一个内角等于60°”的的逆命题是：有一个内角等于60°的三角形是等边三角形．
有一个内角等于60°的等腰三角形才是等边三角形，故“有一个内角等于60°的三角形是等边三角形”不成立．
故答案为：有一个内角等于60°的三角形是等边三角形；不成立.
【分析】把原命题的结论作条件，条件作结论即可得“等边三角形中有一个内角等于60°”的的逆命题，再根据等边三角形的判定定理可知“有一个内角等于60°的三角形是等边三角形”不成立．
17．【答案】（1）解：如下图，
由对称轴的性质，可知点B的对称点是点C，点A的对称点还是点A，连接A、B、C可知是轴对称图形，且对称轴经过点，点C即为所求；
（2）如下图，
由对称轴的性质，可知点A的对称点是点D，点B的对称点还是点B，连接A、B、C可知是轴对称图形，且对称轴经过点，点D即为所求．
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系中轴对称图形的作图。（1）根据轴对称的性质可得：点B的对称点是点C，点A的对称点还是点A，连接A、B、C可作图形，再根据对称轴经过点可判断作出的图形是否正确；
（2）根据轴对称的性质可得：点A的对称点是点D，点B的对称点还是点B，连接A、B、C可作出图形，再根据对称轴经过点可判断作出的图形是否正确；
（1）解：如下图，
由对称轴的性质，可知点B的对称点是点C，点A的对称点还是点A，连接A、B、C可知是轴对称图形，且对称轴经过点，点C即为所求；
（2）如下图，
由对称轴的性质，可知点A的对称点是点D，点B的对称点还是点B，连接A、B、C可知是轴对称图形，且对称轴经过点，点D即为所求．
18．【答案】（1）解：如图所示：直线DE是AB的垂直平分线；
（2）解 ：∵直线DE是AB的垂直平分线，
∴∠BED＝90°，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DC＝DE＝3，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝6，
∴BC＝DC＋BD＝9．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的作图方法及步骤作出图形即可；
（2）先利用角平分线的性质可得DC＝DE＝3，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BD的长，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
19．【答案】解：过D点作DM⊥AB于点M，
∴∠AMD=90°.
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DC=5，
∴DM=DC=5.
∵AB=17，
∴
即S△ABD=
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意角平分线的性质求出DM=DC=5， 再根据三角形的面积公式计算求解即可。
20．【答案】解：AD 与EF 垂直，理由如下：
∵ AD 是△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD=90°
在Rt△ADE和Rt△ADF中：
DE=DF，
AD=AD
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴∠EDA=∠FDA，
即AD平分∠EDF，
∵DE=DF，
∴AD与EF垂直.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 由于AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，故DE=DF（角平分线上的点到两边距离相等）；连接EF后，△DEF为等腰三角形，通过HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AD是其顶角∠EDF的角平分线；根据等腰三角形三线合一的性质得到AD垂直于EF，解答即可.
21．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：由（1）知≌，
，
又平分，
，，
垂直平分，
，．
，
，
即的面积是．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠A=∠B，再利用“SAS”证出≌即可；
（2）利用全等三角形的性质可得DC=CE，再利用垂直平分线的性质求出，最后利用三角形的面积公式求出即可.
22．【答案】（1）解：理由：由题意得，
，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线.
（2）解：如图，点E即为所求
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，即可得到OC是∠AOB的平分线；
（2）先作出线段MN的垂直平分线，再作出∠BAC的角平分线，它们的交点即是点E.
23．【答案】（1）证明： ：点B关于直线CD的对称点为E，
∴BC = CE，
∵AC= BC，
∴AC = CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠CAE=∠CEA；
（2）解：点B关于直线CD的对称点为E，
∴CF垂直平分BE，
∵CE= CB= CA，
∴∠CAE= ∠CEA， ∠CBE= ∠CEB，
∴∠CEB +∠AEC'= (360°- 90°)÷2 = 135°，
∴∠BEF= 45°，
∴∠AFC = 45°；
（3）相等，证明如下：
由(1) 知，AD= AC= CE，
∵AC = CD，
∴∠ADC= 67.5°，
又∵∠ADC=∠DCB+∠ABC，
∴∠DCB = 22.5°，
又∵点B关于直线CD的对称点为E，
∴∠ECD=∠DCB= 22.5°，
∴ ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，
在△ACD与△CAE中，
∴△ACD≌△CAE（SAS）
∴AE=CD
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】 (1)由点B关于直线CD的对称点为E，得BC = CE再根据AC= BC，可知CA = CE，从而证明结论；
(2)根据等边对等角得∠CAE=∠CEA， ∠CBE=∠CEB，则∠CEB +∠AEC = (360°- 90°)÷2= 135°，再根据CF垂直平分BE，可得答案；
(3)当AD= AC，则∠ADC= 67.5°，得∠BCD= 22.5°，由轴对称的性质得∠ECD=∠DCB =22.5°，从而∠ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，再利用SAS证明△AEC≌△ADC即可.
24．【答案】（1）因为，所以，
所以，因为，
所以，因为，
所以
（2）猜想：，证明如下：
延长BC至点，使得，连接AP，
设，因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以
（3）.
由勾股定理，可得：，
化简，得：，
化简，得：，
由（2）可知：，
所以.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”及直角三角形的“两个锐角互余”得出，即可计算出∠BAD的度数；
（2）根据表格猜想出AE=2BC，延长BC至点，使得，连接AP，根据线段垂直平分线的性质，得AP=AB，再由等腰三角形的性质导角证明出，根据等腰三角形的性质及判定即可证明出结论；
（3）在Rt△ACD、Rt△ACB中分别利用勾股定理，整理计算后即可得到三者之间的等量关系.
1 / 1第十五章《轴对称图形和等腰三角形》基础卷—沪科版数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024八上·福清期中）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（2024八上·杭州期中）“观成爱我”的首字母缩写为G、C、A、W，其中不是轴对称图形的选项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项中的字母不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，符合题意；
B选项中的字母是轴对称图形，不符合题意；
C选项中的字母是轴对称图形，不符合题意；
D选项中的字母是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．（2023八上·仓山期中）如图所示，△ABC与△DEF 关于直线l对称，下列说法错误的是（ ）
A．AB=DE B．∠BAC=∠EDF
C．点B和点E到直线l的距离相等 D．ACDE
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解∶∵△ABC与△DEF 关于直线l对称，∴△ABC≌△DEF，
∴∠BAC=∠EDF， AB=DE，直线l垂直平分线段BE，
∴点B和点E到直线l的距离相等，
由已知条件无法判断ACDE，
故选项A， B， C正确，D错误，
故答案为∶D．
【分析】根据轴对称的性质可得出对应边相等，对应角相等，即可得出A，B正确；再根据对应点连线被对称轴垂直平分，即可得出C正确，根据条件无法得出D正确，故而可得出答案。
4．（2024八上·东海月考）在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行，
∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点．
故答案为：D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）及生活常识分析求解即可.
5．通过下列尺规作图，能确定BD=CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：A.通过作图痕迹无法确定BD=CD；
B.作图痕迹表示 BC 的垂直平分线交 BC于点D，能确定BD=CD；
C.作图痕迹表示AD平分∠BAC，不能确定BD=CD；
D.作图痕迹表示AC 的垂直平分线交 BC 于点 D，不能确定BD=CD.
故答案为：B
【分析】根据垂直平分线性质逐项进行判断即可求出答案.
6．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ）
A．21 B．14 C．13 D．9
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D，
∴，
∴的周长，
故答案为：C．
【分析】由线段的垂直平分线交于点E，交于点D，得，等量转换的周长.
7．如图，∠B=∠C=90°，M是BC 的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB 的度数为( ).
A．30° B．35° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB//CD，
∴∠DAB=180°-∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，
又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴，
故答案为：B.
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到，计算即可.
8．（2022八上·青秀月考）观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故选：Ｃ.
【分析】根据角平分线定义逐项进行判断即可求出答案.
9．（2023八上·东莞期中）在中，，的角平分线交于点，则点到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，则DE的长是点D到AB的距离
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=，DE⊥AB
∴DE=DC(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵BC=7，BD=4
∴DC=BC-BD=3
∴DE=CD=3
即点D到AB的距离是3.
故答案为：B.
【分析】过D作DE⊥AB于E，则DE的长度是D到AB边的距离，由角平分线性质得出ED=DC，利用DC=BC-BD，求出CD的长，继而得解.
10．（2025八上·期末） 如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O 上下转动，立柱 OC与地面垂直，当横板AB 的A 端着地时，测得∠OAC=30°，若OC=0.5m ，则AB 的长为 ( )
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意知，OC⊥AC，
∵∠OAC=30°，OC=0.5m，
∴AO=2OC=1m ，
又∵点O 是AB的中点，
∴AB=2AO=2m.
故答案为：D
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AO=2OC=1m ，再根据线段中点即可求出答案.
11．（人教版八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：B.
【分析】先添加辅助线连接PC，然后根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，从而确定PB=PC，再根据三角形的三边关系可得最小值.
12．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．如图，左边是计算器上的数字“5”，若以直线为对称轴，则它的轴对称图形是数字 .
【答案】2
【知识点】作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】左边是计算器上的数字“5”，若以直线为对称轴，则它的轴对称图形是数字为2，
故答案为2.
【分析】根据轴对称的性质作出图形，然后判断数字即可.
14．（2023八上·新和期中）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．
【答案】80
【知识点】角平分线的性质；角平分线的应用
【解析】【解答】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是，
∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是．
故答案为：．
【分析】利用角平分线的定义和性质（角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等）分析求解即可.
15． 如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=6，CF=2，则AC= .
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： EF是AB的垂直平分线，
FA=FB
BF=6，CF=2
AC=FA+FC=FB+FC=8
故答案为：8
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得FA=FB，则AC=FA+FC=FB+FC=8。
16．（2025八上·期中）“等边三角形中有一个内角等于60°”的的逆命题是 ，这个逆命题 (填“成立”或“不成立”).
【答案】有一个内角等于60°的三角形是等边三角形；不成立
【知识点】等边三角形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：根据题意得：
“等边三角形中有一个内角等于60°”的的逆命题是：有一个内角等于60°的三角形是等边三角形．
有一个内角等于60°的等腰三角形才是等边三角形，故“有一个内角等于60°的三角形是等边三角形”不成立．
故答案为：有一个内角等于60°的三角形是等边三角形；不成立.
【分析】把原命题的结论作条件，条件作结论即可得“等边三角形中有一个内角等于60°”的的逆命题，再根据等边三角形的判定定理可知“有一个内角等于60°的三角形是等边三角形”不成立．
三、解答题：本大题共8小题，共68分.
17．（2024八上·北京市期中）在的正方形网格中建立如图1、2所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是．
（1）请图1中添加一个格点，使得是轴对称图形，且对称轴经过点．
（2）请图2中添加一个格点，使得也是轴对称图形，且对称轴经过点．
【答案】（1）解：如下图，
由对称轴的性质，可知点B的对称点是点C，点A的对称点还是点A，连接A、B、C可知是轴对称图形，且对称轴经过点，点C即为所求；
（2）如下图，
由对称轴的性质，可知点A的对称点是点D，点B的对称点还是点B，连接A、B、C可知是轴对称图形，且对称轴经过点，点D即为所求．
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系中轴对称图形的作图。（1）根据轴对称的性质可得：点B的对称点是点C，点A的对称点还是点A，连接A、B、C可作图形，再根据对称轴经过点可判断作出的图形是否正确；
（2）根据轴对称的性质可得：点A的对称点是点D，点B的对称点还是点B，连接A、B、C可作出图形，再根据对称轴经过点可判断作出的图形是否正确；
（1）解：如下图，
由对称轴的性质，可知点B的对称点是点C，点A的对称点还是点A，连接A、B、C可知是轴对称图形，且对称轴经过点，点C即为所求；
（2）如下图，
由对称轴的性质，可知点A的对称点是点D，点B的对称点还是点B，连接A、B、C可知是轴对称图形，且对称轴经过点，点D即为所求．
18．（2024八上·陆河期末） 如图， 在 Rt 中， 。
（1）尺规作图：作 AB 的垂直平分线 ，交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E （不写作法，保留作图痕迹）；
（2） 在（1）题图中， 连接 AD ， 若 平分 ， 且 ， 求 的长。
【答案】（1）解：如图所示：直线DE是AB的垂直平分线；
（2）解 ：∵直线DE是AB的垂直平分线，
∴∠BED＝90°，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DC＝DE＝3，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝6，
∴BC＝DC＋BD＝9．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的作图方法及步骤作出图形即可；
（2）先利用角平分线的性质可得DC＝DE＝3，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BD的长，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
19．（2024八上·吉林期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=17，DC=5，求S△ABD.
【答案】解：过D点作DM⊥AB于点M，
∴∠AMD=90°.
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DC=5，
∴DM=DC=5.
∵AB=17，
∴
即S△ABD=
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意角平分线的性质求出DM=DC=5， 再根据三角形的面积公式计算求解即可。
20． 如图， AD 是△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E， F，连接EF，EF 与AD 相交于点G. AD 与EF 垂直吗 证明你的结论.
【答案】解：AD 与EF 垂直，理由如下：
∵ AD 是△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD=90°
在Rt△ADE和Rt△ADF中：
DE=DF，
AD=AD
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴∠EDA=∠FDA，
即AD平分∠EDF，
∵DE=DF，
∴AD与EF垂直.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 由于AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，故DE=DF（角平分线上的点到两边距离相等）；连接EF后，△DEF为等腰三角形，通过HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AD是其顶角∠EDF的角平分线；根据等腰三角形三线合一的性质得到AD垂直于EF，解答即可.
21．（2024八上·益阳开学考）如图，点在线段上，，，，平分．
（1）证明：≌；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：由（1）知≌，
，
又平分，
，，
垂直平分，
，．
，
，
即的面积是．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠A=∠B，再利用“SAS”证出≌即可；
（2）利用全等三角形的性质可得DC=CE，再利用垂直平分线的性质求出，最后利用三角形的面积公式求出即可.
22．（2024八上·平南期末）
（1）【问题情境】
我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线是的平分线．请说明此做法的理由；
（2）【拓展实践】
某公园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到休息椅和的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）解：理由：由题意得，
，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线.
（2）解：如图，点E即为所求
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，即可得到OC是∠AOB的平分线；
（2）先作出线段MN的垂直平分线，再作出∠BAC的角平分线，它们的交点即是点E.
23．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D 是边AB 上的动点，连接CD，点 B 关于直线CD 的对称点为E，射线AE 与射线CD 交于点 F.
（1）连接CE，求证：∠CAE=∠CEA.
（2）当 BD（3）若AD=AC，求证：AE=CD.
【答案】（1）证明： ：点B关于直线CD的对称点为E，
∴BC = CE，
∵AC= BC，
∴AC = CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠CAE=∠CEA；
（2）解：点B关于直线CD的对称点为E，
∴CF垂直平分BE，
∵CE= CB= CA，
∴∠CAE= ∠CEA， ∠CBE= ∠CEB，
∴∠CEB +∠AEC'= (360°- 90°)÷2 = 135°，
∴∠BEF= 45°，
∴∠AFC = 45°；
（3）相等，证明如下：
由(1) 知，AD= AC= CE，
∵AC = CD，
∴∠ADC= 67.5°，
又∵∠ADC=∠DCB+∠ABC，
∴∠DCB = 22.5°，
又∵点B关于直线CD的对称点为E，
∴∠ECD=∠DCB= 22.5°，
∴ ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，
在△ACD与△CAE中，
∴△ACD≌△CAE（SAS）
∴AE=CD
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】 (1)由点B关于直线CD的对称点为E，得BC = CE再根据AC= BC，可知CA = CE，从而证明结论；
(2)根据等边对等角得∠CAE=∠CEA， ∠CBE=∠CEB，则∠CEB +∠AEC = (360°- 90°)÷2= 135°，再根据CF垂直平分BE，可得答案；
(3)当AD= AC，则∠ADC= 67.5°，得∠BCD= 22.5°，由轴对称的性质得∠ECD=∠DCB =22.5°，从而∠ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，再利用SAS证明△AEC≌△ADC即可.
24．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，.点在边AB上，点在CB延长线，且满足.连接.已知.
（1）若，求的度数.
（2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据：
AE 4cm 6cm 8cm 10cm
BC 2cm 3cm 4cm 5cm
猜想：AE与BC之间的等量关系，并给出证明.
（3）探究三者之间的等量关系，并给出证明.
【答案】（1）因为，所以，
所以，因为，
所以，因为，
所以
（2）猜想：，证明如下：
延长BC至点，使得，连接AP，
设，因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以
（3）.
由勾股定理，可得：，
化简，得：，
化简，得：，
由（2）可知：，
所以.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”及直角三角形的“两个锐角互余”得出，即可计算出∠BAD的度数；
（2）根据表格猜想出AE=2BC，延长BC至点，使得，连接AP，根据线段垂直平分线的性质，得AP=AB，再由等腰三角形的性质导角证明出，根据等腰三角形的性质及判定即可证明出结论；
（3）在Rt△ACD、Rt△ACB中分别利用勾股定理，整理计算后即可得到三者之间的等量关系.
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