第十五章《轴对称图形和等腰三角形》提升卷—沪科版数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024八上·寻乌期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．（2024八上·兰州期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于东周春秋时期，距今已有2 000多年的历史.如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·南宁月考）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．在学习了角平分线的相关知识后，小华和小丽分别设计了一种作一个角的平分线的方法：
小华 小丽
在∠AOB 中，将两把完全相同的直尺按照如图①所示的方式摆放，则射线 OP为∠AOB 的平分线. 图① 将两个完全相同的等腰直角三角尺按如图②所示摆放，使两个三角尺的斜边分别和∠ABC的两边重叠，两个三角尺的直角顶点重合为顶点P，作射线 BP，则 BP 为∠ABC的角平分线. 图②
则两位同学的作法（ ）
A．小华正确，小丽错误 B．小华错误，小丽正确
C．两人均正确 D．两人均错误
6．（2025八上·期中）下面是作业本上的一道习题，小可，小雨，小齐，小梦四位同学的作法中，错误的是( )
题目： 如图，在△ABC 中，∠B=80°，∠C=40°，借助尺规，在直线AC 上找一点 D，连接 BD，使得∠CBD=∠C.
A．小可的作法
B．小雨的作法
C．小齐的作法
D．小梦的作法
7．（2019八上·重庆期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF.其中，正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024八上·长沙期中）“一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．与的周长相等
10．（2023八上·临海期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（ ）
A．θ=2α+γ B．θ=180°﹣α﹣γ
C．β= D．θ=2α+2β﹣180°
11．（2025八上·海珠期末）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（ ）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
12．如图，等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD=AE，BE 和CD 交于点N，AF⊥BE，FG⊥CD 交 BE 的延长线于点 G.下列说法：①∠ABE=∠FAC；②AN 垂直平分BC；③GE=GM；④BG=AF+FG，其中正确的个数是( ).
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．镜中像 站在一个平面镜面前，大家总能看到自己的像.如果你站在两个有夹角的平面镜前，通常镜子中能看到不止两个你的像.那么当两个平面镜的夹角为60°时，共可以呈现 个你的像.
14．（2024八上·义乌月考）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号）
15．（2024八上·北京市开学考）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ．
16．（2025八上·红花岗期末）如图，中，，，若点是直线上一动点，连接，以为边作等边三角形，若，求的最小距离为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共68分.
17．（2024八上·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中；的三个顶点坐标分别为，，．
（1）请画出将向右平移7个单位得到的；
（2）请画出与关于轴对称的，并写出的坐标；
（3）在轴上找一点使得的面积为3，直接写出点的坐标．
18．（2024八上·义乌月考）第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是4G、3G和2G系统后的延伸.5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接．县电信部门要修建一座5G信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等．发射塔点G应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（请保留作图痕迹，并标注出点G，否则扣分．）
19．如图，小球起始时位于 （3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线 l 对称的点.如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹.
20．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点分别交于点．
（1）连接，若，求的周长；
（2）若，求证：平分．
21．（2024八上·金东期末）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角．
（1）求端点到底座的距离；
（2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？
22．（2024八上·炎陵期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且 BD=DE.
（1）如果∠BAE= 40°，那么∠B= ° ，∠C= ° ；
（2）如果△ABC的周长为13cm，AC=6cm，那么△ABE的周长= cm；
（3）你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论．
23．（2024八上·绍兴竞赛）【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC （填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
24．（2024八上·从江月考）【阅读材料】证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质.如果两条线段不在同一个三角形中，且所在三角形明显不全等，此时就需要添加辅助线来构造全等三角形.
（1）【理解应用】如图(1)所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD>BD，连接AD，小明对△ABC进行了如下操作：在CD上取一点E，使得AE=AD，连接AE，则可证明△ABD≌△ACE，请你补充小明操作过程的证明；
（2）【类比探究】如图(2)所示，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC+∠ADC=180°，求证：CD=CB；
（3）【拓展应用】如图(3)所示，已知△ABC是边长为5 cm的等边三角形，点E在CA的延长线上，且AE=1.5 cm，连接EB，在线段BC上取点F，连接EF，使得EB=EF，请直接写出BF的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意画出小球反弹的路径
弹性小球从点P出发，经过6次反弹又返回到P点
说明小球经过337次循环后又回到P点，然后又碰到矩形的边2次，P-Q-M点
故答案为：C
【分析】首先模拟小球的路径画出草图，寻找它要经过多少次反弹能重返出发点，即找到循环的周期，然后根据题中给定的碰撞次数计算小球循环往复了多少次、还要继续碰撞几次，就能够从图中找到终点。
2．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，
点A第二次关于x轴对称后在第三象限，
点A第三次关于y轴对称后在第四象限，
点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505余1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（ 1，2）．
故答案为：C．
【分析】先利用点对称的特征求出点坐标可得规律每四次对称为一个循环组依次循环，再结合2021÷4＝505余1，最后求出点A的坐标即可.
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：
∴点A在BD的垂直平分线上，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
故答案为： C.
【分析】利用线段垂直平分线的判定定理判定AC垂直平分BD，再利用四边形面积公式计算即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
，
，
故答案为：C
【分析】首先根据三角形内角和得出∠BAC=72°，再根据线段垂直平分线的性质得出∠CAD=∠C=36°，进而得出∠BAD=36°即可。
5．【答案】C
【知识点】角平分线的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：小华的作法：如解图①，过点 P 分别作PE⊥AO 于点 E，PF⊥BO于点 F，
∵是两把完全相同的长方形直尺，
∴ PE=PF，
∴ OP 平分∠AOB.(角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
小丽的作法：如解图②，过点 P 分别作PH⊥AB 于 H，PI⊥BC 于 I，
∵ Rt△PDE≌Rt△PFG，
∴ PH=PI，∠PHE=∠PIG=90°，
∴BP 为∠ABC的角平分线.(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)
故答案为：C
【分析】小华的作法：根据两把完全相同的长方形直尺，可得出PE=PF，根据角平分线的判定，可得出 OP 平分∠AOB；小丽的作法：根据Rt△PDE≌Rt△PFG，可得出PH=PI，∠PHE=∠PIG=90°，根据角平分线判定，可得出BP 为∠ABC的角平分线，故而得两人均正确。
6．【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：Ａ、根据小可的作法得：BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∴
又∵
∴小可的作法正确，故Ａ错误．
Ｂ、根据小雨的作法得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴小雨的作法错误，故Ｂ正确．
Ｃ、根据小齐的作法得： D在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴小齐的作法正确，故Ｃ错误．
Ｄ、根据小梦的作法得：，
∴小梦的作法正确，故Ｄ错误．
故答案为：B.
【分析】根据小可的作法得：BD平分∠ABC，此时计算出 可得成立，可判断小可的作法正确，根据小雨的作法可知，∠ABD=∠A，此时∠A = 180°-∠ABC-∠ACB = 60°，进一步得∠ABD=60°，算出∠CBD=∠ABC-∠ABD=20°，即∠CBD≠∠C，故小雨的作法错误，由小齐的作法可知，点 D在BC的垂直平分线上，此时BD=CD，故∠CBD=∠C成立，所以小齐的作法正确，由小梦的作法可知，∠CBD=∠C，故小梦的作法正确．
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个.
故答案为：A.
【分析】利用方格纸的特点及等腰三角形的判定方法，分：①以AB为底，②以AB为腰且A为等腰三角形顶角的顶点，③以AB为腰且B为等腰三角形顶角的顶点，三种情况分类讨论即可得出符合条件的点C，从而得出答案。
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，即AD⊥BC，故③正确；
∴AD是BC的垂直平分线，故①正确；
∵AD平分∠BAC，故②正确；
∵△ABD≌△ACD，
∴∠B=∠C，
又∵∠BED=∠CFD，BD=CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴∠BDE=∠CDF，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，从而用SAS判断出△ABD≌△ACD，由全等三角形的对应边相等、对应角相等及平角定义得BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，据此可判断③；根据垂直平分线的定义可直接判断①；由角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断②；由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C，从而利用AAS判断出△BED≌△CFD，由全等三角形的对应角相等得∠BDE=∠CDF，据此可判断④.
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A．∵，
∴平分，即是的角平分线，故A不符合题意；
B．∵，，
∴平分，即是的角平分线，故B不符合题意；
C．根据不能判断是的角平分线，故C符合题意；
D．∵与的周长相等，
∴，
∴，
∵，
∴平分，即是的角平分线，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】
等腰三角形“三线合一”，即底边上的中线与底边上的高、顶角的平分线重合．
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：设AC与A'D相交于点F，如图
∵ 三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE ，
∴ ∠A= ∠A’= α ，∠ADE=∠A'DE ， ∠DEA=∠DEA’=β，
∴∠AFD=∠A'+∠A'EF 且 ∠BDA' =∠A+∠AFD，
∴∠BDA' =∠A+∠A'+∠A'EF，
即 θ =2α+γ，
∴A项正确，
∵∠DEF=∠DEA'- ∠CEA'=β- γ，
∴∠AED+∠DEF=180°，
即β+β- γ=180°，
∴β=90°+，
∴C项正确，
∵∠A+ ∠DEA= ∠BDA' +∠A'DE，
∴α +β =θ +∠ADE，
∵∠ADE=180°-α- β，
∴α +β =θ +180°-α- β，
∴ θ=2α+2β﹣180° ，
∴D项正确，
B项中的式子不能得出，
故答案为：B.
【分析】根据题意分别计算每个选项中的角的关系即可。
11．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
故③正确．
∵，
∴，
故④正确．
若，，则为等腰直角三角形，，但题目中没有此条件，故②错误．
综上所述：正确的结论有①③④，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含30°直角三角形的性质等对每个结论逐一判断求解即可。
12．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵AF⊥BE
∴∠ABE+∠BAF=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ABE+∠FAC=90°
∴∠ABE=∠FAC
故①正确
如图，连接AN
∵ △ABC为等腰直角三角形，
∴AC=AB，∠BAC=90°.
∵AD=AE，∠BAC=∠BAC，AC=AB.
∴Rt△ABE≌Rt△ACD (SAS)，
∴∠ABE=∠ACD， AC=AB.
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠CBN=∠BCN，
BN=CN，
又∵AB=AC，
∴AN垂直平分BC，
故②正确；
∵Rt△ABE≌Rt△ACD，
∴∠BEA=∠ADC，
又∵GF⊥DC，
∴∠FMC+∠DCM=90°，而∠ADC+∠DCM=90°
∴∠AEB=∠FMC，
∴∠GEM=∠GME.
∴GE=GM，
故③正确
如上图，过G作GH⊥BC于K，交AF的延长于点H，连BH.
∵CD⊥FG，AF⊥BG
∴∠GFC+∠BCN=90°，∠CBN+∠BFA=90°，
∴∠GFC=∠AFB.
∴∠GFC=∠HFK，
在△GFK和△HFK中，
∴△GFK≌△HFK(SAS)，
∴GK=KH， GF=FH，
∴AF+FG= AF+FH= AH
∵GK=KH， GH⊥BC
∴BG= BH，
又∵BC⊥GH.
∴∠GBC=∠HBC=∠BCD
∵∠ABC+ ∠ACB=90°，
∴∠ABC+ ∠BCD=90°-∠ACD
∴∠ABC+∠GBC=∠ABC+∠HBC=∠ABH=90°-∠ACD
∵∠BAH= 90°- ∠FAC，∠ABE=∠CAF=∠ACD .∠ABH=∠BAH
∴AH= BH，
∴BG= AH= AF+ FG，
故④正确，
故答案为：D .
【分析】 由余角的性质可求∠ABE=∠FAC，可判断①；由“SAS”可证Rt△ABE≌Rt△ACD，可得∠ABE=∠ACD，可求∠CBN =∠BCN，可得BN =CN，由线段垂直平分线的性质可得AN垂直平分BC，可判断②；由余角的性质可得∠AEB=∠FMC，可得∠GEM =∠GME，可证GE = GM，可判断③；过G作GH⊥BC于K，交AF的延长于点H，连BH，由“SAS”可证△GFK≌△HFK，可得GK = KH， GF= FH，可得AF+ FG =AH，由线段垂直平分线的性质可得BH = BG，由等腰三角形的判定和性质可得AH = BH，可得BG= AH= AF+ FG，可判断④，即可求解.本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定我和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.
13．【答案】5
【知识点】轴对称的性质；镜面对称
【解析】【解答】解：如图所示
故答案为：5.
【分析】把360°按60°等分，可以分成6份，你可以看到6个像点发光，1个点是光源，其余5个是像，也可以用公式，设n为成像数，a为两个平面的夹角，则n=（360°/a）-1.
14．【答案】①②③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵平分，
∴
又∵，
∴
∴，，即平分；故①③正确，
又∵
∴垂直平分，故④正确，
∵在上，
∴，故②正确，
故答案为：①②③④．
【分析】
由角平分线的概念结合已知AC=AD、AB=AB可证明，再由全等的性质可得，则AB垂直平分CD，则CE=DE；又由全等可得，则BA平分，故4个结论全部正确．
15．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵和的角平分线相交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得 ，再根据三角形外角性质可得 ，即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，
∵中，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵等边三角形，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，即点在的垂直平分线上运动，
∴由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
如图，延长，交于点，过点作于点，则的长即为的最小值，
∵，，
∴，
，
又∵，
∴，
在中，，即的最小值为，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，得到，然后根据等边三角形的性质可以得到，，即可得到，然后根据得到，即可得到，发现点在的垂直平分线上运动，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，延长，交于点，过点作于点，则的长即为的最小值，求出∠F的度数，解题即可．
17．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．.
（3）或
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【解答】
（3）
解：设点P坐标为，
的面积为3，
，
，
或，
解得：或，
或.
【分析】
（1）先分别作出A、B、C三点平移后的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）先分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点A2、B2、C2，再顺次连接即可；
（3）设点P坐标为，由的面积为3，可得，再求解即可．
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．，
（3）解：设点P坐标为，
的面积为3，
，
，
或，
解得：或，
或，
18．【答案】见解析
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AB，分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，然后连接两个交点即为所求
以O为圆心，以任意长为半径画弧，与OQ，ON分别交于E、F，连接EF，然后同样以O为圆心，以不同为OE的长为半径画弧与OQ，ON分别交于R、S，连接ES，RF两者交于H，连接OH交AB垂直平分线于G，即为所求G.
【分析】
由于角平分线上点到角两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，因此分别作的平分线和线段的垂直平分线，两直线的交点G即为所求作.
19．【答案】解：小球的运动轨迹是(3，0)→(0，3)→(1，4)→(5，0)→33 →(3，0)→…，其中关于直线l对称的点有（ ）与(7，4)，(0，3)与(8，3)，(3，0)与(5，0).若小球起始时位于(1，0)处，则小球运动的轨迹如图所示.
【知识点】作图﹣轴对称；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】 首先需明确直线l的方程，通常对称轴可能是x=4（根据原轨迹的对称点推测），然后分析轨迹的对称性。对于第二个问题，需考虑起始点变化后轨迹的对称性是否保持，并推导新的轨迹点。
20．【答案】（1）解：∵点P与点M关于对称，
∴．
同理：．
∴的周长；
（2）证明：∵，Q、R为，的中点，
∴，，
∴．
又∵点与点关于对称，点与点关于对称，
∴，
∴平分．
【知识点】轴对称的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据对称点的性质可得，，再根据三角形周长公式即可求出答案，
（2）由题意可得，，则，再根据对称点的性质可得，再根据角平分线的判定定理即可求出答案.
21．【答案】（1）解：过点C作于点F，如图所示：
∴∠CFD=90°，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴CF=DF，
∵CD=16 cm，CF2+DF2=CD2，
∴，
∴点C到底座的距离为：．
（2）解：过点C作于点F，如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∴此时点C到底座的距离为：．
∴端点到底座的距离减少了．
【知识点】点到直线的距离；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点C作于点F，可证明△CDF为等腰直角三角形，再等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解；
（2）过点C作于点F，计算得∠CDE=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出旋转后点C离底座的距离，即可求出降低的高度．
（1）解：过点C作于点F，如图所示：
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点C到底座的距离为：．
（2）解：过点C作于点F，如图所示：
旋转后，
∵，
∴，
∴点C到底座的距离为：．
∴端点到底座的距离减少了．
22．【答案】（1）70；35
（2）7
（3）解：AB+BD=DC．
证明：∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AB=AE，BD=DE，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE，
∴AB+BD=AE+DE=DC．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=EC．
∵BD=DE，AD⊥BC，
∴AB=AE．
∴∠ABE=∠AEB=2∠C=（180°-40°）÷2=140°÷2=70°，∠C=35°．
（2）∵△ABC的周长为13cm，AC=6cm，
∴AB+BC=13-6=7，
∴△ABE的周长=AB+BC=7cm．
【分析】（1）利用垂直平分线的性质得出AB=AE，进而得出角之间的关系∠ABE=∠AEB=2∠C，代入数据求解即可；
（2）利用线段的等量代换得到△ABE的周长=AB+BC，据此求解；
（3）由AD⊥BC，BD=DE，点E在AC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=EC，AB=AE，进而证得AB+BD=AE+DE=DC．
23．【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC与△ACD互为“形似三角形”
∴CD为△ABC的等腰分割线.
（3）解：105°或112.5°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=36°，
∵∠B=72°，
∴∠BDC=72°
∴ △CBD与△ABC 互为“形似三角形”.
故答案为：是.
（3）Ⅰ、当△ACD是等腰三角形时，
①如图1，
当AD=CD时，则∠ACD=∠A=45°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=90°，
此时，△ABC、△CBD是“形似三角形”，∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=90°（不符合题意，故舍去）；
②如图2，
当AC=AD时，则∠ACD=∠ADC==67.5°，
此时△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∠BCD=∠A=45°，
∠ACB=∠BCD+∠ACD=112.5°；
③AC=CD情况不存在；
Ⅱ、当△BCD是等腰三角形时，
①如图3，
当CD=BD时，则∠BCD=∠B，
此时，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∠ACD=∠B，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°；
∴∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°，
即45°+3∠B=180°，
∴∠B=45°，
此时∠ACB=90°（不符合题意，故舍去）；
②如图4，
当BC=BD时，则∠BCD=∠BDC，
此时△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知可知∠ACD=∠B，
∵∠BDC=∠A+∠ACD且∠BDC+∠BCD+∠B=180°，
即3∠B+2∠A=108°，
∴∠B=30°，
此时∠ACB=180°-∠A-∠B=105°；
③当CD=CB时，情况不存在.
故答案为：105°或112.5°.
【分析】（1）利用等腰三角形和角平分线的性质即可得出结论.
（2）利用角平分线的性质和三角形的内角和定理，可得△BCD是等腰三角形，△ABC与△ACD互为“形似三角形”，即可得出结论.
（3）需要△ACD和△BCD分别是等腰三角形两种情况讨论，再根据在等腰三角形中哪俩条边相等进行分析，计算出∠ACB的度数即可。
24．【答案】（1）解：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠ABC=∠ACB，∠EDA=∠DEA.
∴∠BDA=∠CEA.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(AAS).
（2）解：证明：如图所示，在AB上截取AD=AE，连接CE.
∵AC平分∠DAB，
∴∠EAC=∠DAC.
在△ADC和△AEC中，
∴△ADC≌△AEC(SAS).
∴EC=DC，∠ADC=∠AEC.
∵∠ABC+∠ADC=180°=∠CEB+∠AEC，
∴∠ABC=∠CEB.
∴CB=CE.
∴CD=CB.
（3）BF的长为3.5 cm.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）FE=BE，
∠EBF=∠EFB，
△ABC是等边三角形，
∠ABC=∠C=60°，
∠EBF=∠EBA+60°，∠EFB=∠FEC+60°，
∠EBA=∠FEC，
在AC上取点M，连接MF，使得FM=FC，如图，
∠ACB=60°，
△CFM是等边三角形，
∠CMF=60°，
∠BAE=∠EMF=120°，
AE=MF，
FM=CF，
CF=AE=1.5cm，
BC=5cm，
BF=BC-CF=3.5cm，
故BF的长为3.5 cm.
【分析】（1）根据AB=AC，AD=AE，可得∠ABC=∠ACB，∠EDA=∠DEA，进而得到∠BDA=∠CEA，利用AAS可证明△ABD≌△ACE；
（2） 在AB上截取AD=AE，连接CE ，根据角平分线的性质可得 ∠EAC=∠DAC ，进而证明△ADC≌△AEC，利用全等三角形的性质有EC=DC，∠ADC=∠AEC，结合已知条件利用平角的定义求得∠ABC=∠CEB，得到CB=CE，从而得出结论；
（3）利用AAS证明根据全等三角形的性质可得AE=MF，从而求解.
1 / 1第十五章《轴对称图形和等腰三角形》提升卷—沪科版数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2024八上·寻乌期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【知识点】生活中的轴对称现象；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意画出小球反弹的路径
弹性小球从点P出发，经过6次反弹又返回到P点
说明小球经过337次循环后又回到P点，然后又碰到矩形的边2次，P-Q-M点
故答案为：C
【分析】首先模拟小球的路径画出草图，寻找它要经过多少次反弹能重返出发点，即找到循环的周期，然后根据题中给定的碰撞次数计算小球循环往复了多少次、还要继续碰撞几次，就能够从图中找到终点。
2．（2024八上·兰州期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，
点A第二次关于x轴对称后在第三象限，
点A第三次关于y轴对称后在第四象限，
点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505余1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（ 1，2）．
故答案为：C．
【分析】先利用点对称的特征求出点坐标可得规律每四次对称为一个循环组依次循环，再结合2021÷4＝505余1，最后求出点A的坐标即可.
3．风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于东周春秋时期，距今已有2 000多年的历史.如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：
∴点A在BD的垂直平分线上，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
故答案为： C.
【分析】利用线段垂直平分线的判定定理判定AC垂直平分BD，再利用四边形面积公式计算即可.
4．（2024八上·南宁月考）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
由作图可知垂直平分线段，
，
，
，
故答案为：C
【分析】首先根据三角形内角和得出∠BAC=72°，再根据线段垂直平分线的性质得出∠CAD=∠C=36°，进而得出∠BAD=36°即可。
5．在学习了角平分线的相关知识后，小华和小丽分别设计了一种作一个角的平分线的方法：
小华 小丽
在∠AOB 中，将两把完全相同的直尺按照如图①所示的方式摆放，则射线 OP为∠AOB 的平分线. 图① 将两个完全相同的等腰直角三角尺按如图②所示摆放，使两个三角尺的斜边分别和∠ABC的两边重叠，两个三角尺的直角顶点重合为顶点P，作射线 BP，则 BP 为∠ABC的角平分线. 图②
则两位同学的作法（ ）
A．小华正确，小丽错误 B．小华错误，小丽正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【答案】C
【知识点】角平分线的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：小华的作法：如解图①，过点 P 分别作PE⊥AO 于点 E，PF⊥BO于点 F，
∵是两把完全相同的长方形直尺，
∴ PE=PF，
∴ OP 平分∠AOB.(角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
小丽的作法：如解图②，过点 P 分别作PH⊥AB 于 H，PI⊥BC 于 I，
∵ Rt△PDE≌Rt△PFG，
∴ PH=PI，∠PHE=∠PIG=90°，
∴BP 为∠ABC的角平分线.(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)
故答案为：C
【分析】小华的作法：根据两把完全相同的长方形直尺，可得出PE=PF，根据角平分线的判定，可得出 OP 平分∠AOB；小丽的作法：根据Rt△PDE≌Rt△PFG，可得出PH=PI，∠PHE=∠PIG=90°，根据角平分线判定，可得出BP 为∠ABC的角平分线，故而得两人均正确。
6．（2025八上·期中）下面是作业本上的一道习题，小可，小雨，小齐，小梦四位同学的作法中，错误的是( )
题目： 如图，在△ABC 中，∠B=80°，∠C=40°，借助尺规，在直线AC 上找一点 D，连接 BD，使得∠CBD=∠C.
A．小可的作法
B．小雨的作法
C．小齐的作法
D．小梦的作法
【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：Ａ、根据小可的作法得：BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∴
又∵
∴小可的作法正确，故Ａ错误．
Ｂ、根据小雨的作法得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴小雨的作法错误，故Ｂ正确．
Ｃ、根据小齐的作法得： D在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴小齐的作法正确，故Ｃ错误．
Ｄ、根据小梦的作法得：，
∴小梦的作法正确，故Ｄ错误．
故答案为：B.
【分析】根据小可的作法得：BD平分∠ABC，此时计算出 可得成立，可判断小可的作法正确，根据小雨的作法可知，∠ABD=∠A，此时∠A = 180°-∠ABC-∠ACB = 60°，进一步得∠ABD=60°，算出∠CBD=∠ABC-∠ABD=20°，即∠CBD≠∠C，故小雨的作法错误，由小齐的作法可知，点 D在BC的垂直平分线上，此时BD=CD，故∠CBD=∠C成立，所以小齐的作法正确，由小梦的作法可知，∠CBD=∠C，故小梦的作法正确．
7．（2019八上·重庆期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个.
故答案为：A.
【分析】利用方格纸的特点及等腰三角形的判定方法，分：①以AB为底，②以AB为腰且A为等腰三角形顶角的顶点，③以AB为腰且B为等腰三角形顶角的顶点，三种情况分类讨论即可得出符合条件的点C，从而得出答案。
8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF.其中，正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，即AD⊥BC，故③正确；
∴AD是BC的垂直平分线，故①正确；
∵AD平分∠BAC，故②正确；
∵△ABD≌△ACD，
∴∠B=∠C，
又∵∠BED=∠CFD，BD=CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴∠BDE=∠CDF，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，从而用SAS判断出△ABD≌△ACD，由全等三角形的对应边相等、对应角相等及平角定义得BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，据此可判断③；根据垂直平分线的定义可直接判断①；由角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断②；由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C，从而利用AAS判断出△BED≌△CFD，由全等三角形的对应角相等得∠BDE=∠CDF，据此可判断④.
9．（2024八上·长沙期中）“一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．与的周长相等
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A．∵，
∴平分，即是的角平分线，故A不符合题意；
B．∵，，
∴平分，即是的角平分线，故B不符合题意；
C．根据不能判断是的角平分线，故C符合题意；
D．∵与的周长相等，
∴，
∴，
∵，
∴平分，即是的角平分线，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】
等腰三角形“三线合一”，即底边上的中线与底边上的高、顶角的平分线重合．
10．（2023八上·临海期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（ ）
A．θ=2α+γ B．θ=180°﹣α﹣γ
C．β= D．θ=2α+2β﹣180°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：设AC与A'D相交于点F，如图
∵ 三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE ，
∴ ∠A= ∠A’= α ，∠ADE=∠A'DE ， ∠DEA=∠DEA’=β，
∴∠AFD=∠A'+∠A'EF 且 ∠BDA' =∠A+∠AFD，
∴∠BDA' =∠A+∠A'+∠A'EF，
即 θ =2α+γ，
∴A项正确，
∵∠DEF=∠DEA'- ∠CEA'=β- γ，
∴∠AED+∠DEF=180°，
即β+β- γ=180°，
∴β=90°+，
∴C项正确，
∵∠A+ ∠DEA= ∠BDA' +∠A'DE，
∴α +β =θ +∠ADE，
∵∠ADE=180°-α- β，
∴α +β =θ +180°-α- β，
∴ θ=2α+2β﹣180° ，
∴D项正确，
B项中的式子不能得出，
故答案为：B.
【分析】根据题意分别计算每个选项中的角的关系即可。
11．（2025八上·海珠期末）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（ ）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
故③正确．
∵，
∴，
故④正确．
若，，则为等腰直角三角形，，但题目中没有此条件，故②错误．
综上所述：正确的结论有①③④，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含30°直角三角形的性质等对每个结论逐一判断求解即可。
12．如图，等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD=AE，BE 和CD 交于点N，AF⊥BE，FG⊥CD 交 BE 的延长线于点 G.下列说法：①∠ABE=∠FAC；②AN 垂直平分BC；③GE=GM；④BG=AF+FG，其中正确的个数是( ).
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵AF⊥BE
∴∠ABE+∠BAF=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ABE+∠FAC=90°
∴∠ABE=∠FAC
故①正确
如图，连接AN
∵ △ABC为等腰直角三角形，
∴AC=AB，∠BAC=90°.
∵AD=AE，∠BAC=∠BAC，AC=AB.
∴Rt△ABE≌Rt△ACD (SAS)，
∴∠ABE=∠ACD， AC=AB.
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠CBN=∠BCN，
BN=CN，
又∵AB=AC，
∴AN垂直平分BC，
故②正确；
∵Rt△ABE≌Rt△ACD，
∴∠BEA=∠ADC，
又∵GF⊥DC，
∴∠FMC+∠DCM=90°，而∠ADC+∠DCM=90°
∴∠AEB=∠FMC，
∴∠GEM=∠GME.
∴GE=GM，
故③正确
如上图，过G作GH⊥BC于K，交AF的延长于点H，连BH.
∵CD⊥FG，AF⊥BG
∴∠GFC+∠BCN=90°，∠CBN+∠BFA=90°，
∴∠GFC=∠AFB.
∴∠GFC=∠HFK，
在△GFK和△HFK中，
∴△GFK≌△HFK(SAS)，
∴GK=KH， GF=FH，
∴AF+FG= AF+FH= AH
∵GK=KH， GH⊥BC
∴BG= BH，
又∵BC⊥GH.
∴∠GBC=∠HBC=∠BCD
∵∠ABC+ ∠ACB=90°，
∴∠ABC+ ∠BCD=90°-∠ACD
∴∠ABC+∠GBC=∠ABC+∠HBC=∠ABH=90°-∠ACD
∵∠BAH= 90°- ∠FAC，∠ABE=∠CAF=∠ACD .∠ABH=∠BAH
∴AH= BH，
∴BG= AH= AF+ FG，
故④正确，
故答案为：D .
【分析】 由余角的性质可求∠ABE=∠FAC，可判断①；由“SAS”可证Rt△ABE≌Rt△ACD，可得∠ABE=∠ACD，可求∠CBN =∠BCN，可得BN =CN，由线段垂直平分线的性质可得AN垂直平分BC，可判断②；由余角的性质可得∠AEB=∠FMC，可得∠GEM =∠GME，可证GE = GM，可判断③；过G作GH⊥BC于K，交AF的延长于点H，连BH，由“SAS”可证△GFK≌△HFK，可得GK = KH， GF= FH，可得AF+ FG =AH，由线段垂直平分线的性质可得BH = BG，由等腰三角形的判定和性质可得AH = BH，可得BG= AH= AF+ FG，可判断④，即可求解.本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定我和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.
13．镜中像 站在一个平面镜面前，大家总能看到自己的像.如果你站在两个有夹角的平面镜前，通常镜子中能看到不止两个你的像.那么当两个平面镜的夹角为60°时，共可以呈现 个你的像.
【答案】5
【知识点】轴对称的性质；镜面对称
【解析】【解答】解：如图所示
故答案为：5.
【分析】把360°按60°等分，可以分成6份，你可以看到6个像点发光，1个点是光源，其余5个是像，也可以用公式，设n为成像数，a为两个平面的夹角，则n=（360°/a）-1.
14．（2024八上·义乌月考）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号）
【答案】①②③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵平分，
∴
又∵，
∴
∴，，即平分；故①③正确，
又∵
∴垂直平分，故④正确，
∵在上，
∴，故②正确，
故答案为：①②③④．
【分析】
由角平分线的概念结合已知AC=AD、AB=AB可证明，再由全等的性质可得，则AB垂直平分CD，则CE=DE；又由全等可得，则BA平分，故4个结论全部正确．
15．（2024八上·北京市开学考）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵和的角平分线相交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得 ，再根据三角形外角性质可得 ，即可求出答案.
16．（2025八上·红花岗期末）如图，中，，，若点是直线上一动点，连接，以为边作等边三角形，若，求的最小距离为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，
∵中，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵等边三角形，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，即点在的垂直平分线上运动，
∴由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
如图，延长，交于点，过点作于点，则的长即为的最小值，
∵，，
∴，
，
又∵，
∴，
在中，，即的最小值为，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，得到，然后根据等边三角形的性质可以得到，，即可得到，然后根据得到，即可得到，发现点在的垂直平分线上运动，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，延长，交于点，过点作于点，则的长即为的最小值，求出∠F的度数，解题即可．
三、解答题：本大题共8小题，共68分.
17．（2024八上·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中；的三个顶点坐标分别为，，．
（1）请画出将向右平移7个单位得到的；
（2）请画出与关于轴对称的，并写出的坐标；
（3）在轴上找一点使得的面积为3，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．.
（3）或
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【解答】
（3）
解：设点P坐标为，
的面积为3，
，
，
或，
解得：或，
或.
【分析】
（1）先分别作出A、B、C三点平移后的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）先分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点A2、B2、C2，再顺次连接即可；
（3）设点P坐标为，由的面积为3，可得，再求解即可．
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．，
（3）解：设点P坐标为，
的面积为3，
，
，
或，
解得：或，
或，
18．（2024八上·义乌月考）第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是4G、3G和2G系统后的延伸.5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接．县电信部门要修建一座5G信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等．发射塔点G应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（请保留作图痕迹，并标注出点G，否则扣分．）
【答案】见解析
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AB，分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，然后连接两个交点即为所求
以O为圆心，以任意长为半径画弧，与OQ，ON分别交于E、F，连接EF，然后同样以O为圆心，以不同为OE的长为半径画弧与OQ，ON分别交于R、S，连接ES，RF两者交于H，连接OH交AB垂直平分线于G，即为所求G.
【分析】
由于角平分线上点到角两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，因此分别作的平分线和线段的垂直平分线，两直线的交点G即为所求作.
19．如图，小球起始时位于 （3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线 l 对称的点.如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹.
【答案】解：小球的运动轨迹是(3，0)→(0，3)→(1，4)→(5，0)→33 →(3，0)→…，其中关于直线l对称的点有（ ）与(7，4)，(0，3)与(8，3)，(3，0)与(5，0).若小球起始时位于(1，0)处，则小球运动的轨迹如图所示.
【知识点】作图﹣轴对称；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】 首先需明确直线l的方程，通常对称轴可能是x=4（根据原轨迹的对称点推测），然后分析轨迹的对称性。对于第二个问题，需考虑起始点变化后轨迹的对称性是否保持，并推导新的轨迹点。
20．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点分别交于点．
（1）连接，若，求的周长；
（2）若，求证：平分．
【答案】（1）解：∵点P与点M关于对称，
∴．
同理：．
∴的周长；
（2）证明：∵，Q、R为，的中点，
∴，，
∴．
又∵点与点关于对称，点与点关于对称，
∴，
∴平分．
【知识点】轴对称的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据对称点的性质可得，，再根据三角形周长公式即可求出答案，
（2）由题意可得，，则，再根据对称点的性质可得，再根据角平分线的判定定理即可求出答案.
21．（2024八上·金东期末）如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角．
（1）求端点到底座的距离；
（2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？
【答案】（1）解：过点C作于点F，如图所示：
∴∠CFD=90°，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴CF=DF，
∵CD=16 cm，CF2+DF2=CD2，
∴，
∴点C到底座的距离为：．
（2）解：过点C作于点F，如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∴此时点C到底座的距离为：．
∴端点到底座的距离减少了．
【知识点】点到直线的距离；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点C作于点F，可证明△CDF为等腰直角三角形，再等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解；
（2）过点C作于点F，计算得∠CDE=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出旋转后点C离底座的距离，即可求出降低的高度．
（1）解：过点C作于点F，如图所示：
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点C到底座的距离为：．
（2）解：过点C作于点F，如图所示：
旋转后，
∵，
∴，
∴点C到底座的距离为：．
∴端点到底座的距离减少了．
22．（2024八上·炎陵期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且 BD=DE.
（1）如果∠BAE= 40°，那么∠B= ° ，∠C= ° ；
（2）如果△ABC的周长为13cm，AC=6cm，那么△ABE的周长= cm；
（3）你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论．
【答案】（1）70；35
（2）7
（3）解：AB+BD=DC．
证明：∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AB=AE，BD=DE，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE，
∴AB+BD=AE+DE=DC．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=EC．
∵BD=DE，AD⊥BC，
∴AB=AE．
∴∠ABE=∠AEB=2∠C=（180°-40°）÷2=140°÷2=70°，∠C=35°．
（2）∵△ABC的周长为13cm，AC=6cm，
∴AB+BC=13-6=7，
∴△ABE的周长=AB+BC=7cm．
【分析】（1）利用垂直平分线的性质得出AB=AE，进而得出角之间的关系∠ABE=∠AEB=2∠C，代入数据求解即可；
（2）利用线段的等量代换得到△ABE的周长=AB+BC，据此求解；
（3）由AD⊥BC，BD=DE，点E在AC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=EC，AB=AE，进而证得AB+BD=AE+DE=DC．
23．（2024八上·绍兴竞赛）【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC （填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC与△ACD互为“形似三角形”
∴CD为△ABC的等腰分割线.
（3）解：105°或112.5°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=36°，
∵∠B=72°，
∴∠BDC=72°
∴ △CBD与△ABC 互为“形似三角形”.
故答案为：是.
（3）Ⅰ、当△ACD是等腰三角形时，
①如图1，
当AD=CD时，则∠ACD=∠A=45°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=90°，
此时，△ABC、△CBD是“形似三角形”，∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=90°（不符合题意，故舍去）；
②如图2，
当AC=AD时，则∠ACD=∠ADC==67.5°，
此时△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∠BCD=∠A=45°，
∠ACB=∠BCD+∠ACD=112.5°；
③AC=CD情况不存在；
Ⅱ、当△BCD是等腰三角形时，
①如图3，
当CD=BD时，则∠BCD=∠B，
此时，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∠ACD=∠B，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°；
∴∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°，
即45°+3∠B=180°，
∴∠B=45°，
此时∠ACB=90°（不符合题意，故舍去）；
②如图4，
当BC=BD时，则∠BCD=∠BDC，
此时△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知可知∠ACD=∠B，
∵∠BDC=∠A+∠ACD且∠BDC+∠BCD+∠B=180°，
即3∠B+2∠A=108°，
∴∠B=30°，
此时∠ACB=180°-∠A-∠B=105°；
③当CD=CB时，情况不存在.
故答案为：105°或112.5°.
【分析】（1）利用等腰三角形和角平分线的性质即可得出结论.
（2）利用角平分线的性质和三角形的内角和定理，可得△BCD是等腰三角形，△ABC与△ACD互为“形似三角形”，即可得出结论.
（3）需要△ACD和△BCD分别是等腰三角形两种情况讨论，再根据在等腰三角形中哪俩条边相等进行分析，计算出∠ACB的度数即可。
24．（2024八上·从江月考）【阅读材料】证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质.如果两条线段不在同一个三角形中，且所在三角形明显不全等，此时就需要添加辅助线来构造全等三角形.
（1）【理解应用】如图(1)所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD>BD，连接AD，小明对△ABC进行了如下操作：在CD上取一点E，使得AE=AD，连接AE，则可证明△ABD≌△ACE，请你补充小明操作过程的证明；
（2）【类比探究】如图(2)所示，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC+∠ADC=180°，求证：CD=CB；
（3）【拓展应用】如图(3)所示，已知△ABC是边长为5 cm的等边三角形，点E在CA的延长线上，且AE=1.5 cm，连接EB，在线段BC上取点F，连接EF，使得EB=EF，请直接写出BF的长.
【答案】（1）解：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠ABC=∠ACB，∠EDA=∠DEA.
∴∠BDA=∠CEA.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(AAS).
（2）解：证明：如图所示，在AB上截取AD=AE，连接CE.
∵AC平分∠DAB，
∴∠EAC=∠DAC.
在△ADC和△AEC中，
∴△ADC≌△AEC(SAS).
∴EC=DC，∠ADC=∠AEC.
∵∠ABC+∠ADC=180°=∠CEB+∠AEC，
∴∠ABC=∠CEB.
∴CB=CE.
∴CD=CB.
（3）BF的长为3.5 cm.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）FE=BE，
∠EBF=∠EFB，
△ABC是等边三角形，
∠ABC=∠C=60°，
∠EBF=∠EBA+60°，∠EFB=∠FEC+60°，
∠EBA=∠FEC，
在AC上取点M，连接MF，使得FM=FC，如图，
∠ACB=60°，
△CFM是等边三角形，
∠CMF=60°，
∠BAE=∠EMF=120°，
AE=MF，
FM=CF，
CF=AE=1.5cm，
BC=5cm，
BF=BC-CF=3.5cm，
故BF的长为3.5 cm.
【分析】（1）根据AB=AC，AD=AE，可得∠ABC=∠ACB，∠EDA=∠DEA，进而得到∠BDA=∠CEA，利用AAS可证明△ABD≌△ACE；
（2） 在AB上截取AD=AE，连接CE ，根据角平分线的性质可得 ∠EAC=∠DAC ，进而证明△ADC≌△AEC，利用全等三角形的性质有EC=DC，∠ADC=∠AEC，结合已知条件利用平角的定义求得∠ABC=∠CEB，得到CB=CE，从而得出结论；
（3）利用AAS证明根据全等三角形的性质可得AE=MF，从而求解.
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