校本作业42 数列的概念及简单表示法-福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学一轮复习（含解析）

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业42《数列的概念及简单表示法》
班级： 姓名： 座号：
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n，则a4的值为(　　)
A．7 B．13
C．28 D．36
2．已知数列{an}中a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则an＝(　　)
A．2－ B.－2
C．2－2n－1 D．2n－1
3．(重庆巴蜀中学月考)数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 021＝(　　)
A． B．
C． D．
4．在数列{an}中,a1=1,an-an+1=2anan+1(n∈N*),则a5= (　)
A． B．9 C． D．10
5．已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋tn＋1，若{an}是递增数列，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6) C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞)
6．已知数列的首项，则 ( )
A． B． C． D．
7．在数列{an}中，an＝(n＋1)，则数列{an}中的最大项是(　　)
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第6项或第7项
8．设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．bn＝－n＋5，则{an·bn}取最大值时n的值为（ ）．
A．5 B.6 C.7 D.8
9．已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　)
A．这个数列的第10项为 B．是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间内 D．数列{an}是单调递减数列
11．(多选) 设数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,Sn+1=2Sn+n,则下列结论正确的是 (　)
A．an+1>Sn B．{an+1}是等比数列 C．是递增数列 D．Sn<2an
12．(多选) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,记Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论正确的是 ( 　)
A．a8=34 B．S8=54 C．S2020=a2022-1 D．a1+a3+a5+…+a2021=a2022
二、填空题
13．设数列{an}满足，则=____________
14．数列{an}的通项为 (n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是_____
15．（湖北）数列中，已知，且（且），则此数列的通项公式为__________.
16．（四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.
三、解答题
17．（1）在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝n数列{an}的通项公
（2）已知数列满足，且，则数列的通项公式
（3）设是首项为1的正项数列且，求数列的通项公式
18．(新高考八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
19．已知数列的前n项和为，且，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，如果对任意都有成立，求实数t的取值范围．
厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业42《数列的概念及简单表示法》
班级： 姓名： 座号：
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n，则a4的值为(　　)
A．7 B．13
C．28 D．36
答案　B
解析　由题可知Sn＝2n2－n，则a4＝S4－S3＝(2×42－4)－(2×32－3)＝13.故选B.
2．已知数列{an}中a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则an＝(　　)
A．2－ B.－2
C．2－2n－1 D．2n－1
答案　A
解析　设an＋c＝(an－1＋c)，易得c＝－2，又a1－2＝－1，所以an－2＝(a1－2)＝－，所以an＝2－，所以选A.
3．(重庆巴蜀中学月考)数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 021＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为a1＝<，所以a2＝2a1＝>，a3＝2a2－1＝>，a4＝2a3－1＝<，a5＝2a4＝，所以数列{an}具有周期性，且周期为4，所以a2 021＝a1＝.故选B.
4．在数列{an}中,a1=1,an-an+1=2anan+1(n∈N*),则a5= (　)
A. B.9 C. D.10
答案A　[解析] 在数列{an}中,n∈N*,an-an+1=2anan+1,易知an≠0,所以-=2,即数列是等差数列,其公差为2,=1,则=2n-1,即an=,所以a5=.故选A.
5．已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋tn＋1，若{an}是递增数列，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6) C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞)
答案　A
解析　解法一：因为{an}是递增数列，所以对于任意的n∈N*，都有an＋1>an，即2(n＋1)2＋t(n＋1)＋1>2n2＋tn＋1，化简得t>－4n－2，所以t>－4n－2对于任意的n∈N*都成立，因为－4n－2≤－6，所以t>－6.故选A．
解法二：设f(x)＝2x2＋tx＋1，其图象的对称轴为x＝－，则数列{an}可表示为f(x)＝2x2＋tx＋1，x∈N*，要使{an}是递增数列，则－<，即t>－6.故选A．
6．已知数列的首项，则 ( C )
A. B. C. D.
7．在数列{an}中，an＝(n＋1)，则数列{an}中的最大项是(　　)
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第6项或第7项
答案　D
解析　假设an最大，则有
即
所以
即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项．
8．设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．bn＝－n＋5，则{an·bn}取最大值时n的值为（ ）．
A．5 B.6 C.7 D.8
答案B
解析　(1)证明：由已知可得2Sn＝an2＋an，且an>0，
当n＝1时，2a1＝a12＋a1，解得a1＝1.
当n≥2时，有2Sn－1＝an－12＋an－1，
所以2an＝2Sn－2Sn－1＝an2－an－12＋an－an－1，
所以an2－an－12＝an＋an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1，
因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)可知an＝n，设cn＝an·bn，则cn＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＝－＋，
因为n∈N*，所以n＝2或3，c2＝c3＝6，因此当n＝2或n＝3时，{an·bn}取最大项，且最大项的值为6.
9．已知数列的首项为，，且，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，因此有，
得：，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由可得：，
因为数列单调递增，所以有，
即，解得：，
故选：C
10．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　)
A．这个数列的第10项为 B．是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间内 D．数列{an}是单调递减数列
答案　BC
解析　an＝＝
＝，
令n＝10得a10＝，故A错误；
令＝得n＝33∈N*，
故是数列中的项，故B正确；
因为an＝＝＝1－，
又n∈N*.
所以数列{an}是单调递增数列，
所以≤an＜1，故C正确，D不正确．
11．(多选) 设数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,Sn+1=2Sn+n,则下列结论正确的是 (　)
A．an+1>Sn B．{an+1}是等比数列 C．是递增数列 D．Sn<2an
答案ACD　[解析] 由Sn+1=2Sn+n得an+1=Sn+n,故an+1>Sn,故A正确.Sn+1=2Sn+n,Sn=2Sn-1+n-1(n≥2),两式相减得an+1=2an+1,即an+1+1=2(an+1)(n≥2),所以=2(n≥2).对于Sn+1=2Sn+n,令n=1得S2=2S1+1,即3+a1=2a1+1,解得a1=2,因为a2+1≠2(a1+1),所以{an+1}从第二项开始依次成等比数列,其公比为2,故B错误.当n≥2时,an+1=2n-2(a2+1)=2n,即an=2n-1,所以an=所以Sn=令cn==则当n≥2时,cn+1-cn=>0,即cn+1>cn,而c2=>c1,所以数列{cn}为递增数列,故C正确.当n≥2时,Sn-2an=2n+1-n-1-(2n+1-2)=1-n≤-1,又S1<2a1显然成立,故Sn<2an恒成立,故D正确.故选ACD.
12．(多选) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,记Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论正确的是 ( 　)
A．a8=34 B．S8=54 C．S2020=a2022-1 D．a1+a3+a5+…+a2021=a2022
答案.BCD　[解析] 由题意可知a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,a8=21,….对于A,根据数据的规律可知a8=21,故A错误;对于B,S8=1+1+2+3+5+8+13+21=54,故B正确;对于C,Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+(a3-a1)+(a4-a2)+…+(an+1-an-1)=-a2+an+an+1=an+2-1,所以S2020=a2022-1,故C正确;对于D,a1+a3+a5+…+a2021=a2+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2022-a2020)=a2022,故D正确.故选BCD.
二、填空题
13．设数列{an}满足，则=____________
解：（Ⅰ）∵a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，
当n＝1时，a1＝2，
当n＝2时，a1+3a2＝4，
∴a2，
∵a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，①，
∴n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1），②
①﹣②得：（2n﹣1） an＝2，
∴an，
又n＝1时，a1＝2满足上式，
∴；
14．数列{an}的通项为 (n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是_____
答案　
解析　当n≤4时，an＝2n－1递增，因此n＝4时取最大值，a4＝24－1＝15.当n≥5时，an＝－n2＋(a－1)n＝－2＋.∵a5是{an}中的最大值，∴解得9≤a≤12.∴a的取值范围是[9,12]．
15．（湖北）数列中，已知，且（且），则此数列的通项公式为__________.
【答案】
【解析】由得：
（且）
（且）即（且）
数列是第二项起公比为的等比数列，
（且）又不满足上式，
16．（四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.
【答案】
【解析】解：因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以
所以
故答案为：
三、解答题
17．（1）在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝n数列{an}的通项公
（2）已知数列满足，且，则数列的通项公式
（3）设是首项为1的正项数列且，求数列的通项公式
解　（1）因为an·an＋1＝n，
所以an＋1·an＋2＝n＋1，
所以＝，即an＋2＝an.
可知an＋2＝an，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，为公比的等比数列，
所以a2n－1＝n－1，a2n＝n，
所以an＝
（2）【解析】∵，
∴，
即．又，，
∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴数列的通项公式．
故答案为：.
（3）依题意，
所以，
当时，，所以.
当时，，
所以
，
也符合上式.
所以.
综上所述，或.
18．(新高考八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
解　(1)证明：由an＋2＝2an＋1＋3an可得，
an＋2＋an＋1＝3an＋1＋3an＝3(an＋1＋an)，
因为数列{an}的各项都为正数，
所以a1＋a2>0，
所以{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．
(2)构造an＋2－3an＋1＝k(an＋1－3an)，
整理得an＋2＝(k＋3)an＋1－3kan，
所以k＝－1，即an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，
因为a2－3a1＝－3×＝0，
所以an＋1－3an＝0 an＋1＝3an，
所以{an}是以a1＝为首项，3为公比的等比数列．
所以an＝(n∈N*)．
19．已知数列的前n项和为，且，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，如果对任意都有成立，求实数t的取值范围．
【详解】
（1）由，
即，
所以，
所以，
即，
∴是公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得
∴
当时，符合通项，∴．
所以；
当时，，，当时，，，
当时，，
∴，当或4时，有最大值，如果对任意都有成立，则只需成立，解得或．