校本作业36 平面向量基本定理及其坐标表示-福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学一轮复习（含解析）

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业36《平面向量基本定理及其坐标表示》
班级： 姓名： 座号：
一、选择题
1．(泉州模拟)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则等于(　　)
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
2．下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底是(　　)
A．a＝(1,2)，b＝(0,0)
B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)
C．a＝(3,2)，b＝(9,6)
D．a＝，b＝(3，－2)
3．已知点A(3，2)，B(5，1)，则与方向相反的单位向量为(　　)
A. B.
C. D.
4．已知点A(1，－2)，若向量与向量a＝(2,3)同向，且||＝，则点B的坐标为(　　)
A．(2,3) B．(－2,3) C．(3,1) D．(3，－1)
5．(福建泉州模拟)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是(　　)
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2) D．(－4，2)
6．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A． B． C．2 D．
7． [葫芦岛二模] 在扇形AOB中,∠AOB=,点C为弧AB上任意一点(不含点A,B),若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+2μ的取值范围是 (　)
A.(0,2) B.(1,2] C. D.
8．(广州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若＝x＋y(x>0，y>0)，则的最大值为(　　)
A. B.
C．1 D．2
9．(多选)(聊城一中模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A.＝a＋b B.＝－a＋b
C.＝－a＋b D.＝－a＋b
10．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A．－2 B. C．1 D．－1
11．(多选) [烟台模拟] 如图K27-1所示,点A,B,C是圆O上的三点,OC与AB交于圆内一点P,若=λ,=μ+3μ,则 (　)
图K27-1
A.当P为OC的中点时,μ=B.当P为OC的中点时,μ=
C.无论μ取何值,恒有λ=D.存在μ∈R,使得λ=
12．(多选)如图，B是AC的中点，＝2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y(x，y∈R)，则下列结论中正确的是(　　)
A．当x＝0时，y∈[2,3] B．当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝
C．若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．当P在C点时，x＝1，y＝2
二、填空题
13．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
14．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝
(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为______．
15．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为______．
16．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.则△ABM与△ABC的面积之比为________；若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，则x＋y＝________.
三、解答题
17．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
18．如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值.
19．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设向量m=(a,cos A),n=(b+c,sin B-cos C),且m∥n.
(1)求A的大小;
(2)若a=2,△ABC的面积为3,求△ABC的周长.
厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业36《平面向量基本定理及其坐标表示》
班级： 姓名： 座号：
一、选择题
1．(泉州模拟)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则等于(　　)
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
答案　B
2．下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底是(　　)
A．a＝(1,2)，b＝(0,0)
B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)
C．a＝(3,2)，b＝(9,6)
D．a＝，b＝(3，－2)
答案　B
3．已知点A(3，2)，B(5，1)，则与方向相反的单位向量为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为A(3，2)，B(5，1)，所以＝(2，－1)，则||＝＝，所以与方向相反的单位向量为－＝.故选B.
4．已知点A(1，－2)，若向量与向量a＝(2,3)同向，且||＝，则点B的坐标为(　　)
A．(2,3) B．(－2,3) C．(3,1) D．(3，－1)
答案　C
解析　因为向量与向量a同向，所以＝ka(k>0)，设＝(x，y)，则由||＝得k＝1，故＝＋＝(1，－2)＋(2,3)＝(3,1)．故选C．
5．(福建泉州模拟)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是(　　)
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2) D．(－4，2)
答案　A
解析　设与x轴正半轴的夹角为θ，则cos θ＝，sin θ＝，则由三角函数的定义，可得＝(||cos (θ＋)，||sin)．
∵||cos＝×(cos θcos －sin θsin )＝10×＝－7，
||sin＝×(sin θcos ＋cos θsin )＝10×＝－，
∴＝(－7，－)，即点Q的坐标为(－7，－)．
6．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A． B． C．2 D．
答案　B
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，
则D(0,0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，
∴＝(－2,2)，＝(－2,1)，＝(1,2)，
∵＝λ＋μ，
∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，
∴解得
故λ＋μ＝.
7． [葫芦岛二模] 在扇形AOB中,∠AOB=,点C为弧AB上任意一点(不含点A,B),若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+2μ的取值范围是 (　)
A.(0,2) B.(1,2]
C. D.
答案.D　[解析] 以O为坐标原点,OA所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设扇形AOB的半径为1,则=(1,0),==,则λ+μ=(λ,0)+=.设C(cos θ,sin θ),则=(cos θ,sin θ).∵=λ+μ,∴,解得
,∴λ+2μ=sin θ+cos θ=sin(θ+φ),由此可知sin φ=,0<φ<.∵0<θ<,∴φ<θ+φ<+φ,∴sin φ8．(广州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若＝x＋y(x>0，y>0)，则的最大值为(　　)
A. B.
C．1 D．2
答案　A
解析　设BD，AE交于O，因为DE∥AB，
所以△AOB∽△EOD，所以＝＝2，
所以AO＝2OE，则＝，
所以＝x＋y＝x＋y，
因为O，F，B三点共线，
所以x＋y＝1，即2－3x＝2y，
所以＝＝，
因为x>0，y>0，
所以4y＋≥2＝4，
当且仅当4y＝，即y＝时等号成立，
此时x＝，
所以＝≤＝.
9．(多选)(聊城一中模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A.＝a＋b B.＝－a＋b
C.＝－a＋b D.＝－a＋b
答案　ABD
解析　＝＋＝＋＝a＋b，
故A正确；
＝＋＋＝－＋＋
＝－a＋b，故B正确；
＝＋＝－＋＝－a＋b，
故C错误；
＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b，故D正确．
10．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A．－2 B. C．1 D．－1
答案　ABD
解析　各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝
(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．
11．(多选) [烟台模拟] 如图K27-1所示,点A,B,C是圆O上的三点,OC与AB交于圆内一点P,若=λ,=μ+3μ,则 (　)
图K27-1
A.当P为OC的中点时,μ=B.当P为OC的中点时,μ=
C.无论μ取何值,恒有λ=D.存在μ∈R,使得λ=
答案.AC　[解析] 由已知得=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,因为与共线,所以=,解得λ=,故C正确,D错误;当P为OC中点时,有=,则1-λ=μ,λ=×3μ,可得μ=,故A正确,B错误.故选AC.
12．(多选)如图，B是AC的中点，＝2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y(x，y∈R)，则下列结论中正确的是(　　)
A．当x＝0时，y∈[2,3] B．当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝
C．若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．当P在C点时，x＝1，y＝2
答案　BC
解析　当＝y时，点P在线段BE上，故1≤y≤3，故A中结论错误；
当P是线段CE的中点时，
＝＋＝3＋(＋)
＝3＋(－2＋)
＝3＋(－2＋－)
＝－＋，故B中结论正确；
当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是一条线段，故C中结论正确；
因为＝(＋)，
所以＝2－，
则＝－＋2，
所以x＝－1，y＝2，D错误．
二、填空题
13．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
答案　(2,4)
解析　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，
AB∥CD，
∴＝2，
设点D的坐标为(x，y)，则
＝(4－x,2－y)，又＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
即
∴
∴点D的坐标为(2,4)．
14．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝
(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为______．
答案　(0,2)
解析　因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2,2)，
所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以即
所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．
15．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为______．
答案　3
解析　∵·＝0，
∴⊥，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则＝(1,0)，＝(0，)，
＝m＋n＝(m，n)．
∵tan 30°＝＝，
∴m＝3n，即＝3.
16．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.则△ABM与△ABC的面积之比为________；若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，则x＋y＝________.
答案　1∶4　
解析　由＝＋，
可知点M，B，C三点共线，
令＝λ(λ∈R)，
则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，
所以λ＝，即点M在边BC上，如图所示，
所以＝＝.
由＝x＋y，
得＝x＋，
＝＋y，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线得解得
所以x＋y＝.
三、解答题
17．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，解得k＝－.
(2)方法一　∵A，B，C三点共线，
∴＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
方法二　＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝.
18．如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值.
解　以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
由tan α＝7知α为锐角，
则sin α＝，cos α＝，
故cos(α＋45°)＝－，sin(α＋45°)＝.
∴点B，C的坐标分别为
，，
∴＝，＝.
又＝m＋n，
∴＝m(1，0)＋n，
∴解得
∴m＋n＝＋＝.
19．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设向量m=(a,cos A),n=(b+c,sin B-cos C),且m∥n.
(1)求A的大小;
(2)若a=2,△ABC的面积为3,求△ABC的周长.
解:(1)∵m∥n,∴a(sin B-cos C)=(b+c)cos A,由正弦定理得sin Asin B-sin Acos C=sin Bcos A+sin Ccos A,即sin B(sin A-cos A)=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B,
又sin B≠0,∴sin A-cos A=1,
即sin=,
又A∈(0,π),∴A-=,∴A=.
(2)由(1)知A=,则bcsin A=bc×=3,∴bc=12.
∵a2=b2+c2-2bccos A,∴28=b2+c2-2bccos =(b+c)2-3bc=(b+c)2-36,
∴(b+c)2=64,∴b+c=8.
故△ABC的周长为8+2.