校本作业38 复数-福建省厦门外国语学校2025届高三上学期数学一轮复习（含解析）

厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业38《复数》
班级： 姓名： 座号：
一、选择题
1．[汕头二模] 设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z1=3-i,则z1z2= ( 　)
A．-10 B．10 C．-8 D．8
2．已知x,y∈R,i是虚数单位,且(2x+i)·(1-i)=y,则y的值为 ( 　)
A．-1 B．1 C．-2 D．2
3．(长春实验中学模拟)若复数z的共轭复数为且满足·(1＋2i)＝1－i，则复数z的虚部为(　　)
A． B．－i
C．i D．－
4．已知i是虚数单位，则复数z＝i2 023＋i(i－1)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．(潍坊模拟)在复数范围内，已知p，q为实数，1－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q等于(　 　)
A．2 B．1 C．0 D．－1
7．(青岛模拟)已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为(　 　)
A．1 B．－1 C. ． D．＋1
8．（福建宁德·模拟预测）若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
9．(多选) [潍坊模拟] 设复数z=-+i,则以下结论正确的是 ( 　)
A．z2>0 B．z2=C．z3=1 D．z2020=z
10．(多选) [福建龙岩三模] 下列说法中正确的是 ( 　)
A．=
B．复数(1-i)3的虚部是-2
C．.若复数z=,则复数在复平面内对应的点位于第一象限
D．满足|z+3|-|z-3|=4的复数z在复平面内对应的点的轨迹是双曲线
11．(多选) （2021八省联考）设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． 若，则 D．若，则
12．(多选)把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，则复数z1的代数式和它的辐角分别是(　　)
A．－－i， B．－＋i，
C．－－i， D．－＋i，
二、填空题
13．（1）已知复数z=(其中i是虚数单位),则|z|=　　　　
（2）复数，则_________．
14．(石家庄质检)已知i为虚数单位，复数z＝，则z的虚部为________．
15．(全国Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.
16．若复数z满足|z-1-i|=1,则|z- 4-5i|的最大值为　　　　.
三、解答题
17．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为①实数；②虚数；③纯虚数．
18．(张家口调研)已知复数z满足z2＝3＋4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限．
(1)求复数z；
(2)设a∈R，且＝2，求实数a的值．
19．已知a∈R,b∈R,方程x2+ax+b=0的一个根为1 - i,复数z1=a+bi,|z2|=4.
(1)求复数;
(2)若·z2>0,求复数z2
厦门外国语学校2025届高三上数学校本作业38《复数》
班级： 姓名： 座号：
一、选择题
1．[汕头二模] 设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z1=3-i,则z1z2= (　)
A.-10 B.10 C.-8 D.8
答案.A　[解析] 复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z1=3-i,则z2=-3-i,则z1z2=(3-i)(-3-i)=-(32-i2)=-10,故选A.
2．已知x,y∈R,i是虚数单位,且(2x+i)·(1-i)=y,则y的值为 (　)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
答案.D　[解析] 因为(2x+i)(1-i)=(2x+1)+(1-2x)i=y,
所以解得
3．(长春实验中学模拟)若复数z的共轭复数为且满足·(1＋2i)＝1－i，则复数z的虚部为(　　)
A. B．－i
C.i D．－
答案　A
解析　·(1＋2i)＝1－i，
∴＝＝
＝＝－－i，
∴z＝－＋i，
∴复数z的虚部为.
4．已知i是虚数单位，则复数z＝i2 023＋i(i－1)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　因为z＝i2 023＋i(i－1)＝－i－1－i＝－1－2i，所以复数z在复平面内对应的点是(－1，－2)，位于第三象限．
5．已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得，
，
因为，所以，则，
所以复数z的模的取值范围是.
故选：A.
6．(潍坊模拟)在复数范围内，已知p，q为实数，1－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q等于(　　)
A．2 B．1 C．0 D．－1
答案　C
解析　因为1－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则1＋i是方程x2＋px＋q＝0的另一根，由根与系数的关系可得
解得p＝－2，q＝2，
所以p＋q＝0.
7．(青岛模拟)已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为(　　)
A．1 B.－1 C. D.＋1
答案　B
解析　令z＝x＋yi(x，y∈R)，
则由题意有(x－1)2＋(y－1)2≤1，
∴|z|的最小值即为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的最小距离，
∴|z|的最小值为－1.
8．（福建宁德·模拟预测）若，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】因为，所以，故设，则，
所以.故选：D
9．(多选) [潍坊模拟] 设复数z=-+i,则以下结论正确的是 (　)
A.z2>0 B.z2=C.z3=1 D.z2020=z
BCD　[解析] ∵z=-+i,∴z2==-i-=--i=,z3=z·z2=·=-i2=1,∴zn+3=zn(n∈N*),则z2020=z3×673+1=z,∴A选项错误,B选项正确,C选项正确,D选项正确.故选BCD.
10．(多选) [福建龙岩三模] 下列说法中正确的是 (　)
A.=
B.复数(1-i)3的虚部是-2
C.若复数z=,则复数在复平面内对应的点位于第一象限
D.满足|z+3|-|z-3|=4的复数z在复平面内对应的点的轨迹是双曲线
答案 .AB　[解析] 对于A,===,故A正确;对于B,(1-i)3=(1-i)2(1-i)=-2i(1-i)=-2-2i,故其虚部为-2,故B正确;对于C,z===+i,所以=-i,且在复平面内对应的点的坐标为,位于第四象限,故C错误;对于D,根据复数的几何意义可知,|z+3|-|z-3|=4表示复数z在复平面内对应的点Z(x,y)到F1(-3,0)与F2(3,0)的距离之差为常数4,所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的双曲线的右支,故D错误.故选AB.
11．(多选) （2021八省联考）设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
取特殊值法可判断AD错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.
【详解】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；
由可得，因为，所以，即，B正确；
因为，，而，所以，所以，C正确；
取，显然满足，但，D错误.
故选：BC
12．(多选)把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，则复数z1的代数式和它的辐角分别是(　　)
A．－－i， B．－＋i，
C．－－i， D．－＋i，
答案　BD
解析　由题意可知z1
＝z2，
则z1＝
＝，
∴z1＝＝＝
＝－＋i＝2，
可知z1对应的坐标为，则它的辐角主值为，
故可以作为复数－＋i的辐角的是＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，＋2π＝.
二、填空题
13．复数，则_________．
【答案】1
提示：
14． (石家庄质检)已知i为虚数单位，复数z＝，则z的虚部为________．
答案　－
解析　i2 021＝i4×505＋1＝i，i2 018＝i4×504＋2＝i2＝－1，∴复数z＝＝＝－i，则z的虚部为－.
15．(全国Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.
答案　2
解析　方法一　设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为z1＋z2＝＋i，
所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i，
2z2＝(－a)＋(1－b)i.
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以＝4，①
＝4，②
①2＋②2，得a2＋b2＝12.
所以|z1－z2|＝＝2.
方法二　设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，
则z1＋z2对应向量＋.
由题意知||＝||＝|＋|＝2，
如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z1－z2对应向量，
且||＝||＝||＝2，
可得||＝2||sin 60°＝2.
故|z1－z2|＝||＝2.
16．若复数z满足|z-1-i|=1,则|z-4-5i|的最大值为　　　　.
答案6　[解析] 设复数z在复平面内对应的点为P,因为复数z满足|z-1-i|=1,所以点P在圆(x-1)2+(y-1)2=1上,|z-4-5i|的几何意义是点P到点(4,5)的距离.因为点P所在圆的圆心为(1,1),半径为1,所以点P到点(4,5)的距离的最大值为1+=6.
三、解答题
17．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为①实数；②虚数；③纯虚数．
解　①当
即m＝2时，复数z是实数．
②当m2－2m≠0，且m≠0，
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
③当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
18．(张家口调研)已知复数z满足z2＝3＋4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限．
(1)求复数z；
(2)设a∈R，且＝2，求实数a的值．
解　(1)设z＝c＋di(c<0，d<0)，
则z2＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cdi＝3＋4i，
∴
解得或(舍去)．
∴z＝－2－i.
(2)∵＝－2＋i，
∴＝＝＝＝i，
∴2 023＝i2 023＝i2 020＋3＝i505×4＋3＝－i，
∴|a－i|＝＝2，
∴a＝±.
19．已知a∈R,b∈R,方程x2+ax+b=0的一个根为1-i,复数z1=a+bi,|z2|=4.
(1)求复数;
(2)若·z2>0,求复数z2
.解:(1)依题意,得(1-i)2+a(1-i)+b=0,即(a+b)+(-2-a)i=0,
则解得
故z1=-2+2i,则=-2-2i.
(2)设z2=x+yi(x∈R,y∈R),由|z2|=4,得x2+y2=16.
·z2=(-2-2i)(x+yi)=(-2x+2y)-(2x+2y)i,
·z2>0,则即
所以解得
所以z2=-2+2i.