湘教版数学九年级下册全册综合题（培优）（含答案）
文档属性
| 名称 | 湘教版数学九年级下册全册综合题（培优）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 466.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-24 07:57:56 | ||
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文档简介
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湘教版数学九年级下册全册综合题（培优）
一、单选题
1．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6cm，AB＝6 cm，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数y＝﹣x2＋x＋c（c＜0），当自变量为x1时，其函数值y1大于零；当自变量为x1﹣1与x1＋1时，其函数值分别为y2，y3，则（ ）
A．y2＞0，y3＞0 B．y2＞0，y3＜0
C．y2＜0，y3＜0 D．y2＜0，y3＞0
3．抛物线（，，是常数，）经过，，三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④
4．如图，已知E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点F，D.若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
5．已知二次函数 的图象经过点M(-2，c).当自变量x取时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，y4，则下列说法中，正确的是（ ）
A．若y3y4+1>y3+y4，则y1y2+1> y1+y2
B．若，则
C．若则y3y4+1＜y3+y4
D．若则y2y4+1<
6．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．π
二、填空题
7．如图，已知⊙O的半径为3cm，点A、B、C把⊙O三等分，分别以OA、OB、OC为直径作圆，则图中阴影部分的面积为 .
8．平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为 ．
9．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R，圆内接正n边形的边长、面积分别为an，Sn，圆内接正2n边形边长、面积分别为a2n，S2n．刘徽用以下公式求出a2n和S2n． ， ．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为 ．
10．如图，正方形 和正 都内接于半径为1的 ， 与 、 分别相交于点 、 ，则 的长为 .
11．一个几何体是由一些相同的小正方体构成，该几何体从正面看 主视图 和从上面看 俯视图 如图所示 那么构成这个几何体的小正方体至少有 块，至多有 块
12．抛物线y＝（a2+1）x2+bx+c经过点A（﹣3，t）、B（4，t）两点，则不等式（a2+1）（x-2）2+bx<2b-c+t的解集是 .
三、计算题
13．如图，抛物线L： （常数t>0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线 于点P，且OA·MP=12.
（1）求k值；
（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；
（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.
14．已知关于的二次函数．
（1）求证：不论为任何实数，方程总有实数根；
（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，点与在抛物线上（点不重合），且，求代数式的值．
15．如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ），且AB∥y轴，AD∥x轴． 点P是抛物线 上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点 F．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；
（3）以点E为顶点的抛物线 经过点F，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．
16．如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
四、解答题
17．回答下列问题：
（1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？
（2）由多个平面围成的几何体叫做多面体．若一个多面体的面数为f，顶点个数为v，棱数为e，分别计算第（1）题中两个多面体的f+v﹣e的值？你发现什么规律？
（3）应用上述规律解决问题：一个多面体的顶点数比面数大8，且有50条棱，求这个几何体的面数．
18．顶点为的抛物线交轴于、，交轴于点，直线经过点，交轴于．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图，点为线段上不与、重合的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
（3）点为轴的正半轴上一个动点，过作轴的垂线，交直线于，交抛物线于，连接，将沿翻折，若点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出点的坐标．
19．如图，在中，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作与AC相切于点，在AC边上取一点，使，连接DF．
（1）判断直线DF与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求的半径．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
4．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
6．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
7．【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
8．【答案】
【知识点】二次函数-动态几何问题
9．【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
10．【答案】1
【知识点】圆内接正多边形
11．【答案】5；7
【知识点】由三视图判断几何体
12．【答案】-1＜x＜6
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用
13．【答案】（1）解：设点P (x， y)，则MP=y，由OA的中点为M知O4= 2x，代入OA.MP=12，
得2x.y=12，即xy=6.
∴k= xy=6.
（2）解：当t=1时，令y=0，
∴由B在A左边，得B (-3，0)，A (1， 0)，∴AB=4.
∵L的对称轴为x=-1，而M为( ，0)，
∴MP与L对称轴的距离为 .
（3）解：∵A (t， 0)，B (t-4，0)，
∴L的对称轴为x=t-2.
又MP为x=
当t-2≤ ，即t≤4时，顶点(t-2，2)就是G的最高点；
当t>4时，L与MP的交点( ， )就是G的最高点.
（4）解：5≤t≤8- 或7≤1≤8+
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
14．【答案】（1）解：由题意可知，
∵
∴此方程总有实数根；
综上，不论为任何实数时，方程总有实数根．
（2）解：令，则有
解得：，，
因为抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，
所以，
所以抛物线为．
∵点、在抛物线上，且，
∴
∴
即：，
∵、不重合，
∴，
∴
∴
所以代数式的值为24．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
15．【答案】（1） ( ， )；
（2）设点 ( ， ).
当四边形 是正方形时， ，
当点 在第二象限时，有 .
解得 ， .
∵ ，
∴ .
∴正方形 的边长为 .
（3）设点 ( ， )，则点E（ ， ），则点F( ， ).
∵ 为抛物线顶点，
∴该抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ，
∴ ，化简得 .
对于 ，令 ，解得 ； 令 ，解得 .
∵点 在正方形 内部，
∴ ＜ ＜ ，且 .
①当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＜ .
②当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＞ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
16．【答案】解：（1）由题知点在抛物线上，
得，
解得，
∴，
∴当时，
∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）可以通过，理由如下：
由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）
当x=2或x=10时，，
所以可以通过；
（3）令，即，
可得，
解得
答：两排灯的水平距离最小是.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
17．【答案】解：（1）图甲折叠后底面和侧面都是长方形，所以是长方体；图乙折叠后底面是五边形，侧面是三角形，实际上是五棱锥的展开图，所以是五棱锥．（2）甲：f=6，e=12，v=8，f+v﹣e=2；乙：f=6，e=10，v=6，f+v﹣e=2；规律：顶点数+面数﹣棱数=2．（3）设这个多面体的面数为x，则x+x+8﹣50=2解得x=22．
【知识点】几何体的展开图
18．【答案】（1）解：将点代入直线解析式中，
，
解得，
解析式为，
，
，
则有
解得
抛物线的解析式为：．
（2）解：，
，
设直线的解析式为，代入点、，
解得
直线的解析式为，
则点的坐标为，
，
当时，有最大值，最大值为．
（3）解：存在
如图所示，
设点的坐标为，
则点，，
，
沿翻折，的对应点为点，落在轴上，
而轴，
，，，
，
，
，
，
，
，
当时，
解得舍，，
此时点．
当时，
解得舍，，
此时点．
综上，点的坐标为或．
【知识点】二次函数-动态几何问题
19．【答案】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接OE，过点O作于点P
相切于点
，OE为的半径
点，分别为，的中点
四边形ODCE是矩形
在和中，
，即OP为的半径
则直线与相切；
（2）解：设的半径为，则，
点，分别为，的中点
在中，
由（1）已证：
在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故的半径为1．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
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湘教版数学九年级下册全册综合题（培优）
一、单选题
1．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6cm，AB＝6 cm，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数y＝﹣x2＋x＋c（c＜0），当自变量为x1时，其函数值y1大于零；当自变量为x1﹣1与x1＋1时，其函数值分别为y2，y3，则（ ）
A．y2＞0，y3＞0 B．y2＞0，y3＜0
C．y2＜0，y3＜0 D．y2＜0，y3＞0
3．抛物线（，，是常数，）经过，，三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④
4．如图，已知E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点F，D.若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
5．已知二次函数 的图象经过点M(-2，c).当自变量x取时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，y4，则下列说法中，正确的是（ ）
A．若y3y4+1>y3+y4，则y1y2+1> y1+y2
B．若，则
C．若则y3y4+1＜y3+y4
D．若则y2y4+1<
6．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．π
二、填空题
7．如图，已知⊙O的半径为3cm，点A、B、C把⊙O三等分，分别以OA、OB、OC为直径作圆，则图中阴影部分的面积为 .
8．平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为 ．
9．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R，圆内接正n边形的边长、面积分别为an，Sn，圆内接正2n边形边长、面积分别为a2n，S2n．刘徽用以下公式求出a2n和S2n． ， ．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为 ．
10．如图，正方形 和正 都内接于半径为1的 ， 与 、 分别相交于点 、 ，则 的长为 .
11．一个几何体是由一些相同的小正方体构成，该几何体从正面看 主视图 和从上面看 俯视图 如图所示 那么构成这个几何体的小正方体至少有 块，至多有 块
12．抛物线y＝（a2+1）x2+bx+c经过点A（﹣3，t）、B（4，t）两点，则不等式（a2+1）（x-2）2+bx<2b-c+t的解集是 .
三、计算题
13．如图，抛物线L： （常数t>0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线 于点P，且OA·MP=12.
（1）求k值；
（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；
（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.
14．已知关于的二次函数．
（1）求证：不论为任何实数，方程总有实数根；
（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，点与在抛物线上（点不重合），且，求代数式的值．
15．如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ），且AB∥y轴，AD∥x轴． 点P是抛物线 上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点 F．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；
（3）以点E为顶点的抛物线 经过点F，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．
16．如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
四、解答题
17．回答下列问题：
（1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？
（2）由多个平面围成的几何体叫做多面体．若一个多面体的面数为f，顶点个数为v，棱数为e，分别计算第（1）题中两个多面体的f+v﹣e的值？你发现什么规律？
（3）应用上述规律解决问题：一个多面体的顶点数比面数大8，且有50条棱，求这个几何体的面数．
18．顶点为的抛物线交轴于、，交轴于点，直线经过点，交轴于．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图，点为线段上不与、重合的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
（3）点为轴的正半轴上一个动点，过作轴的垂线，交直线于，交抛物线于，连接，将沿翻折，若点的对应点恰好落在轴上时，请直接写出点的坐标．
19．如图，在中，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作与AC相切于点，在AC边上取一点，使，连接DF．
（1）判断直线DF与的位置关系，并说明理由；
（2）当时，求的半径．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
4．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
6．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
7．【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
8．【答案】
【知识点】二次函数-动态几何问题
9．【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
10．【答案】1
【知识点】圆内接正多边形
11．【答案】5；7
【知识点】由三视图判断几何体
12．【答案】-1＜x＜6
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用
13．【答案】（1）解：设点P (x， y)，则MP=y，由OA的中点为M知O4= 2x，代入OA.MP=12，
得2x.y=12，即xy=6.
∴k= xy=6.
（2）解：当t=1时，令y=0，
∴由B在A左边，得B (-3，0)，A (1， 0)，∴AB=4.
∵L的对称轴为x=-1，而M为( ，0)，
∴MP与L对称轴的距离为 .
（3）解：∵A (t， 0)，B (t-4，0)，
∴L的对称轴为x=t-2.
又MP为x=
当t-2≤ ，即t≤4时，顶点(t-2，2)就是G的最高点；
当t>4时，L与MP的交点( ， )就是G的最高点.
（4）解：5≤t≤8- 或7≤1≤8+
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
14．【答案】（1）解：由题意可知，
∵
∴此方程总有实数根；
综上，不论为任何实数时，方程总有实数根．
（2）解：令，则有
解得：，，
因为抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，
所以，
所以抛物线为．
∵点、在抛物线上，且，
∴
∴
即：，
∵、不重合，
∴，
∴
∴
所以代数式的值为24．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
15．【答案】（1） ( ， )；
（2）设点 ( ， ).
当四边形 是正方形时， ，
当点 在第二象限时，有 .
解得 ， .
∵ ，
∴ .
∴正方形 的边长为 .
（3）设点 ( ， )，则点E（ ， ），则点F( ， ).
∵ 为抛物线顶点，
∴该抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ，
∴ ，化简得 .
对于 ，令 ，解得 ； 令 ，解得 .
∵点 在正方形 内部，
∴ ＜ ＜ ，且 .
①当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＜ .
②当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＞ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
16．【答案】解：（1）由题知点在抛物线上，
得，
解得，
∴，
∴当时，
∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）可以通过，理由如下：
由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）
当x=2或x=10时，，
所以可以通过；
（3）令，即，
可得，
解得
答：两排灯的水平距离最小是.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
17．【答案】解：（1）图甲折叠后底面和侧面都是长方形，所以是长方体；图乙折叠后底面是五边形，侧面是三角形，实际上是五棱锥的展开图，所以是五棱锥．（2）甲：f=6，e=12，v=8，f+v﹣e=2；乙：f=6，e=10，v=6，f+v﹣e=2；规律：顶点数+面数﹣棱数=2．（3）设这个多面体的面数为x，则x+x+8﹣50=2解得x=22．
【知识点】几何体的展开图
18．【答案】（1）解：将点代入直线解析式中，
，
解得，
解析式为，
，
，
则有
解得
抛物线的解析式为：．
（2）解：，
，
设直线的解析式为，代入点、，
解得
直线的解析式为，
则点的坐标为，
，
当时，有最大值，最大值为．
（3）解：存在
如图所示，
设点的坐标为，
则点，，
，
沿翻折，的对应点为点，落在轴上，
而轴，
，，，
，
，
，
，
，
，
当时，
解得舍，，
此时点．
当时，
解得舍，，
此时点．
综上，点的坐标为或．
【知识点】二次函数-动态几何问题
19．【答案】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接OE，过点O作于点P
相切于点
，OE为的半径
点，分别为，的中点
四边形ODCE是矩形
在和中，
，即OP为的半径
则直线与相切；
（2）解：设的半径为，则，
点，分别为，的中点
在中，
由（1）已证：
在中，，即
解得或（不符题意，舍去）
故的半径为1．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
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