第1章 二次函数（培优）（含答案）
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第1章 二次函数（培优）
一、单选题
1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )
A． B． C． D．
2．已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1A．若x10
C．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）＞0 D．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）<0
3．在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线，绕它的顶点旋转180°，那么经两次变换后所得的新抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A(a，0）和B(b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=3；③抛物线上有两点P(x1，y1）和Q（x2，y2），若x1<12，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDGF周长的最小值为 ．其中，判断正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②③④
5．抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点在该抛物线上，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；m+n＝3；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1 x 4时，有y2y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1．正确的为（ ）
A．①④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③
二、填空题
7．已知抛物线：y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论：
①b＜1；②c＜2；③0＜m＜ ；④n≤1．
则所有正确结论的序号是 ．
8．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1 ，
其中正确的是 ．
9．如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为，则下列结论：①；②；③关于的方程有两个相异的实数根；④.其中正确的有 .（只需填写结论序号）
10．如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）．
（1）若该抛物线过原点O，则a= ；
（2）若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4个，则a的取值范围是 ．
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+6x-8与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x112．关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是
三、计算题
13．已知关于的二次函数．
（1）求证：不论为任何实数，方程总有实数根；
（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，点与在抛物线上（点不重合），且，求代数式的值．
14．如图，抛物线L： （常数t>0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线 于点P，且OA·MP=12.
（1）求k值；
（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；
（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.
15．如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ），且AB∥y轴，AD∥x轴． 点P是抛物线 上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点 F．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；
（3）以点E为顶点的抛物线 经过点F，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．
16．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
四、解答题
17． 如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
18． 在二次函数y=x2+2mx+m-1中，
（1）若该二次函数图象经过(0，0)，求该二次函数的解析式和顶点坐标.
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）若m<0时，点A(n-2，p)，B(2，q)，C(n，p)都在这个二次函数图象上且m-1>q>p，求n的取值范围.
19．如图，已知抛物线y=-+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B.
（1）求直线AB的解析式；
（2）设P（x，y）（x>0）是直线y = x上的一点，Q是OP 的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；三角形全等的判定；勾股定理的应用
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
3．【答案】C
【知识点】旋转的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
7．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
8．【答案】①③⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
9．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
10．【答案】（1）﹣
（2）a＜﹣ 或a＞
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质
11．【答案】10【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的其他应用
12．【答案】【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
13．【答案】（1）解：由题意可知，
∵
∴此方程总有实数根；
综上，不论为任何实数时，方程总有实数根．
（2）解：令，则有
解得：，，
因为抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，
所以，
所以抛物线为．
∵点、在抛物线上，且，
∴
∴
即：，
∵、不重合，
∴，
∴
∴
所以代数式的值为24．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
14．【答案】（1）解：设点P (x， y)，则MP=y，由OA的中点为M知O4= 2x，代入OA.MP=12，
得2x.y=12，即xy=6.
∴k= xy=6.
（2）解：当t=1时，令y=0，
∴由B在A左边，得B (-3，0)，A (1， 0)，∴AB=4.
∵L的对称轴为x=-1，而M为( ，0)，
∴MP与L对称轴的距离为 .
（3）解：∵A (t， 0)，B (t-4，0)，
∴L的对称轴为x=t-2.
又MP为x=
当t-2≤ ，即t≤4时，顶点(t-2，2)就是G的最高点；
当t>4时，L与MP的交点( ， )就是G的最高点.
（4）解：5≤t≤8- 或7≤1≤8+
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
15．【答案】（1） ( ， )；
（2）设点 ( ， ).
当四边形 是正方形时， ，
当点 在第二象限时，有 .
解得 ， .
∵ ，
∴ .
∴正方形 的边长为 .
（3）设点 ( ， )，则点E（ ， ），则点F( ， ).
∵ 为抛物线顶点，
∴该抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ，
∴ ，化简得 .
对于 ，令 ，解得 ； 令 ，解得 .
∵点 在正方形 内部，
∴ ＜ ＜ ，且 .
①当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＜ .
②当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＞ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
16．【答案】（1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：
，
解得：b=3，c=4．
抛物线的解析式为y=-x2+3x+4．
（2）如图1所示： ∵令x=0得y=4， ∴OC=4．
∴OC=OB．
∵∠CFP=∠COB=90°， ∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）（a＞0）．
则CF=a，PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|．
∴|a2-3a|=a．
解得：a=2，a=4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC． 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）．则OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a．
∵S四边形PCEB= OB PE= ×4（-a2+3a+4），S△CEB= EB OC= ×4×（4-a），
∴S△PBC=S四边形PCEB-S△CEB=2（-a2+3a+4）-2（4-a）=-2a2+8a．
∵a=-2＜0，
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题
17．【答案】（1）解：∵ 抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），
∴c=0，a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x.
（2）解： 当P为抛物线上的一个动点时，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．
当点P在直线OA上方时，P点坐标为（m，-m2+4m）.
∵直线OA经过原点O（0，0），A（3，3），
∴直线OA的解析式为：y=x.
∵点C在直线OA上，PC⊥x轴，
∴C点坐标为（m，m）.
∴PC=-m2+4m-m，
=-m2+3m，
∴当m=时，线段PC有最大值，最大值为.
（3）解：在抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形.
∵AD⊥x轴，A（3，3），
∴AD=3，
∴=3，
∴m1=，m2=
∴当m=或m=时，以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形.
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题
18．【答案】（1）解： y =x2+2mx+m -1图象经过 (0，0) ，
∴m -1=0，解得：m=1，
∴
∴对称轴直线x=-1，顶点为（-1，-1）.
（2）证明：，
∴ 不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）解：点 A(n-2，p)，C(n，p) 在二次函数图象上 ，
∴对称轴为直线，化简得：n=1-m，
把 B(2，q) 代入解析式，得：4+4m+m-1=q，即q=5m+3，
已知 m-1>q ，即m-1>5m+3，解得：m＜-1，即得：n＞2，
抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ q>p
∴
当时，解得，不符合题意，舍去；
当时，即n+2(1-n)＜-2，解得：n＞4.
∴ n的取值范围是n＞4.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
19．【答案】解：（1）对于y=-+x+4，令x=0，得y=4，即B（0，4）；
令y=0，即-+x+4=0，解得：x1=-2，x2 =4，即A（4，0）
设直线AB的解析式为y =kx+ b，
把A（4，0），B（0，4）分别代入上式，得
，解得：k=-1，b=4，
∴直线AB的解析式为y=-x+4
（2）当点P（x，y）在直线AB上时，由x=-x+4，得：x=2，
当点Q在直线AB上时，依题意可知Q（，），由=-+2，得：x=4，
∴若正方形PEQF与直线AB有公共点，则x的取值范围为2≤x≤4；
（3）当点E（x，）在直线AB上时，=-x+4，解得：x=，
①当2≤x＜时，直线AB分别与PE、PF交于点C、D，此时PC=x-（-x+4）=2x-4，
∵ PD = PC，
∴ S△PCD ==2
∴S=-2=-+8x-8=-+
∵2≤＜，
∴当x=时，=
②当≤x≤4时，直线AB分别与QE、QF交于点M、N，此时，
QN=（-+4）-=-x+4
∵ QM = QN，
∴ S△QMN==
即S=，
其中，当x=时，=
综合①、②，当x=时，=
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；三角形的面积
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第1章 二次函数（培优）
一、单选题
1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )
A． B． C． D．
2．已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1
C．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）＞0 D．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）<0
3．在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线，绕它的顶点旋转180°，那么经两次变换后所得的新抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A(a，0）和B(b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=3；③抛物线上有两点P(x1，y1）和Q（x2，y2），若x1<1
A．①② B．②③ C．①③ D．②③④
5．抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点在该抛物线上，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；m+n＝3；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1 x 4时，有y2y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1．正确的为（ ）
A．①④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③
二、填空题
7．已知抛物线：y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论：
①b＜1；②c＜2；③0＜m＜ ；④n≤1．
则所有正确结论的序号是 ．
8．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1 ，
其中正确的是 ．
9．如图是抛物线的一部分，抛物线经过点，其对称轴为，则下列结论：①；②；③关于的方程有两个相异的实数根；④.其中正确的有 .（只需填写结论序号）
10．如图，O为原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，连结CD，某抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D、点E（1，1）．
（1）若该抛物线过原点O，则a= ；
（2）若点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，要使得符合条件的Q点的个数是4个，则a的取值范围是 ．
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+6x-8与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1
三、计算题
13．已知关于的二次函数．
（1）求证：不论为任何实数，方程总有实数根；
（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，点与在抛物线上（点不重合），且，求代数式的值．
14．如图，抛物线L： （常数t>0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线 于点P，且OA·MP=12.
（1）求k值；
（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；
（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.
15．如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ），且AB∥y轴，AD∥x轴． 点P是抛物线 上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点 F．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；
（3）以点E为顶点的抛物线 经过点F，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．
16．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
四、解答题
17． 如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
18． 在二次函数y=x2+2mx+m-1中，
（1）若该二次函数图象经过(0，0)，求该二次函数的解析式和顶点坐标.
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）若m<0时，点A(n-2，p)，B(2，q)，C(n，p)都在这个二次函数图象上且m-1>q>p，求n的取值范围.
19．如图，已知抛物线y=-+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B.
（1）求直线AB的解析式；
（2）设P（x，y）（x>0）是直线y = x上的一点，Q是OP 的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；三角形全等的判定；勾股定理的应用
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
3．【答案】C
【知识点】旋转的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
7．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
8．【答案】①③⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
9．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
10．【答案】（1）﹣
（2）a＜﹣ 或a＞
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质
11．【答案】10
12．【答案】
13．【答案】（1）解：由题意可知，
∵
∴此方程总有实数根；
综上，不论为任何实数时，方程总有实数根．
（2）解：令，则有
解得：，，
因为抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，
所以，
所以抛物线为．
∵点、在抛物线上，且，
∴
∴
即：，
∵、不重合，
∴，
∴
∴
所以代数式的值为24．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
14．【答案】（1）解：设点P (x， y)，则MP=y，由OA的中点为M知O4= 2x，代入OA.MP=12，
得2x.y=12，即xy=6.
∴k= xy=6.
（2）解：当t=1时，令y=0，
∴由B在A左边，得B (-3，0)，A (1， 0)，∴AB=4.
∵L的对称轴为x=-1，而M为( ，0)，
∴MP与L对称轴的距离为 .
（3）解：∵A (t， 0)，B (t-4，0)，
∴L的对称轴为x=t-2.
又MP为x=
当t-2≤ ，即t≤4时，顶点(t-2，2)就是G的最高点；
当t>4时，L与MP的交点( ， )就是G的最高点.
（4）解：5≤t≤8- 或7≤1≤8+
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
15．【答案】（1） ( ， )；
（2）设点 ( ， ).
当四边形 是正方形时， ，
当点 在第二象限时，有 .
解得 ， .
∵ ，
∴ .
∴正方形 的边长为 .
（3）设点 ( ， )，则点E（ ， ），则点F( ， ).
∵ 为抛物线顶点，
∴该抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ，
∴ ，化简得 .
对于 ，令 ，解得 ； 令 ，解得 .
∵点 在正方形 内部，
∴ ＜ ＜ ，且 .
①当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＜ .
②当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＞ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
16．【答案】（1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：
，
解得：b=3，c=4．
抛物线的解析式为y=-x2+3x+4．
（2）如图1所示： ∵令x=0得y=4， ∴OC=4．
∴OC=OB．
∵∠CFP=∠COB=90°， ∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）（a＞0）．
则CF=a，PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|．
∴|a2-3a|=a．
解得：a=2，a=4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC． 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）．则OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a．
∵S四边形PCEB= OB PE= ×4（-a2+3a+4），S△CEB= EB OC= ×4×（4-a），
∴S△PBC=S四边形PCEB-S△CEB=2（-a2+3a+4）-2（4-a）=-2a2+8a．
∵a=-2＜0，
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题
17．【答案】（1）解：∵ 抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），
∴c=0，a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x.
（2）解： 当P为抛物线上的一个动点时，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．
当点P在直线OA上方时，P点坐标为（m，-m2+4m）.
∵直线OA经过原点O（0，0），A（3，3），
∴直线OA的解析式为：y=x.
∵点C在直线OA上，PC⊥x轴，
∴C点坐标为（m，m）.
∴PC=-m2+4m-m，
=-m2+3m，
∴当m=时，线段PC有最大值，最大值为.
（3）解：在抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形.
∵AD⊥x轴，A（3，3），
∴AD=3，
∴=3，
∴m1=，m2=
∴当m=或m=时，以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形.
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题
18．【答案】（1）解： y =x2+2mx+m -1图象经过 (0，0) ，
∴m -1=0，解得：m=1，
∴
∴对称轴直线x=-1，顶点为（-1，-1）.
（2）证明：，
∴ 不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）解：点 A(n-2，p)，C(n，p) 在二次函数图象上 ，
∴对称轴为直线，化简得：n=1-m，
把 B(2，q) 代入解析式，得：4+4m+m-1=q，即q=5m+3，
已知 m-1>q ，即m-1>5m+3，解得：m＜-1，即得：n＞2，
抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ q>p
∴
当时，解得，不符合题意，舍去；
当时，即n+2(1-n)＜-2，解得：n＞4.
∴ n的取值范围是n＞4.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
19．【答案】解：（1）对于y=-+x+4，令x=0，得y=4，即B（0，4）；
令y=0，即-+x+4=0，解得：x1=-2，x2 =4，即A（4，0）
设直线AB的解析式为y =kx+ b，
把A（4，0），B（0，4）分别代入上式，得
，解得：k=-1，b=4，
∴直线AB的解析式为y=-x+4
（2）当点P（x，y）在直线AB上时，由x=-x+4，得：x=2，
当点Q在直线AB上时，依题意可知Q（，），由=-+2，得：x=4，
∴若正方形PEQF与直线AB有公共点，则x的取值范围为2≤x≤4；
（3）当点E（x，）在直线AB上时，=-x+4，解得：x=，
①当2≤x＜时，直线AB分别与PE、PF交于点C、D，此时PC=x-（-x+4）=2x-4，
∵ PD = PC，
∴ S△PCD ==2
∴S=-2=-+8x-8=-+
∵2≤＜，
∴当x=时，=
②当≤x≤4时，直线AB分别与QE、QF交于点M、N，此时，
QN=（-+4）-=-x+4
∵ QM = QN，
∴ S△QMN==
即S=，
其中，当x=时，=
综合①、②，当x=时，=
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；三角形的面积
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