第2章 圆（能力提升）（含答案）
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第2章 圆（能力提升）
一、单选题
1．如图为5×5的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（ ）
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
2．如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心是O点，点A，D在x轴上，点E在反比例函数y= 位于第一象限的图象上，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．如图，四边形ABCD内接于，BC为直径，BD平分，若，则的度数为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
5．如图，矩形的顶点，，若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，矩形的对角线交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、判断题
7．三点确定一个圆．
三、填空题
8．如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为，M是圆上一点，，则圆心C的坐标是 ．
9．如图， 内接于 ，C为弧 的中点，若 ，则 .
10．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 ．
11．如图13，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是 。(结果保留π)
12．如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D，C，B在一条直线上，且，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则是 度．
13．如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是⊙O上一点，∠B＝38°.则∠D的度数是 .
四、计算题
14．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此， 我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是： ．
经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝ cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
，解得r＝75
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
15．如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧 的度数为50°，求∠AOC的度数．
五、解答题
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE；
（3）若AC＝4，BC＝3，CE的长为 ．
17．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm，图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和是多少？弧长的和为多少
18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠PAB=40°，求∠P的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理
3．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；反比例函数图象上点的坐标特征
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
5．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；关于坐标轴对称的点的坐标特征；锐角三角函数的定义；旋转的性质
6．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质
7．【答案】错误
【知识点】确定圆的条件
8．【答案】
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质
9．【答案】120°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
10．【答案】140°
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
11．【答案】6π
【知识点】菱形的性质；弧长的计算
12．【答案】60
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
13．【答案】26°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
14．【答案】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦（非直径）的直径平分弦．
经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=45cm；
用含r的代数式表示OD，OD=（r-15）cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2=452+（r-15）2，
解得r=75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，（r-15），452+（r-15）2．
【知识点】勾股定理的证明；垂径定理的实际应用
15．【答案】解：连接OE，如图，
∵ 的度数为50°，
∴∠COE=50°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=（180°﹣50°）÷2=65°，
∵CE∥AB，
∴∠AOC=∠OCE=65°．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
16．【答案】（1）证明：∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠CAD
（2）证明：连接OC，如图所示：
∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC＝180°，
∵∠DBC+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ABC＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠ABC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，
∴BE⊥CE
（3）
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
17．【答案】解：图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为180×πr2/360=2πcm2。
弧长的和为180πr /180=180π×2/180==2πcm。
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
18．【答案】解：连接OB，∵PA和PB为切线
∴∠PAO=∠PBO=90°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∴∠PAO－∠OAB=∠PBO－∠OBA
∴∠PBA=∠PAB=40°
∴∠P=180°－（∠PAB+∠PBA）=100°.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
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第2章 圆（能力提升）
一、单选题
1．如图为5×5的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（ ）
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
2．如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心是O点，点A，D在x轴上，点E在反比例函数y= 位于第一象限的图象上，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．如图，四边形ABCD内接于，BC为直径，BD平分，若，则的度数为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．120°
5．如图，矩形的顶点，，若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，矩形的对角线交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、判断题
7．三点确定一个圆．
三、填空题
8．如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为，M是圆上一点，，则圆心C的坐标是 ．
9．如图， 内接于 ，C为弧 的中点，若 ，则 .
10．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 ．
11．如图13，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是 。(结果保留π)
12．如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D，C，B在一条直线上，且，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则是 度．
13．如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是⊙O上一点，∠B＝38°.则∠D的度数是 .
四、计算题
14．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此， 我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是： ．
经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝ cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
，解得r＝75
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
15．如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧 的度数为50°，求∠AOC的度数．
五、解答题
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE；
（3）若AC＝4，BC＝3，CE的长为 ．
17．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm，图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和是多少？弧长的和为多少
18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠PAB=40°，求∠P的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理
3．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；反比例函数图象上点的坐标特征
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
5．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；关于坐标轴对称的点的坐标特征；锐角三角函数的定义；旋转的性质
6．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质
7．【答案】错误
【知识点】确定圆的条件
8．【答案】
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质
9．【答案】120°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
10．【答案】140°
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
11．【答案】6π
【知识点】菱形的性质；弧长的计算
12．【答案】60
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
13．【答案】26°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
14．【答案】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦（非直径）的直径平分弦．
经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=45cm；
用含r的代数式表示OD，OD=（r-15）cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2=452+（r-15）2，
解得r=75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，（r-15），452+（r-15）2．
【知识点】勾股定理的证明；垂径定理的实际应用
15．【答案】解：连接OE，如图，
∵ 的度数为50°，
∴∠COE=50°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=（180°﹣50°）÷2=65°，
∵CE∥AB，
∴∠AOC=∠OCE=65°．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
16．【答案】（1）证明：∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠CAD
（2）证明：连接OC，如图所示：
∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC＝180°，
∵∠DBC+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ABC＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠ABC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，
∴BE⊥CE
（3）
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
17．【答案】解：图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为180×πr2/360=2πcm2。
弧长的和为180πr /180=180π×2/180==2πcm。
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
18．【答案】解：连接OB，∵PA和PB为切线
∴∠PAO=∠PBO=90°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∴∠PAO－∠OAB=∠PBO－∠OBA
∴∠PBA=∠PAB=40°
∴∠P=180°－（∠PAB+∠PBA）=100°.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
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