第2章 圆（培优）（含答案）
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第2章 圆（培优）
一、单选题
1．如图，点A，B，C，D在上，连接，，．若，，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．5
2．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点，从点作于点，设的三个内角平分线交于点，当点在弧上从点运动到点时，点所经过的路径长是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在中，，半径为6的与相切于点，与交于点，连接，，，有下列结论：①平分；②；③若，扇形的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC平分∠BGD；③S四边形BCDG＝ CG2；④∠BGE的大小为定值.其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且 为半圆的 ，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为 、 、 ，则下列结论正确的是（ ）。
A． < < B． < <
C． < < D． < <
6．如图，已知点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A，过点C作CE⊥AB于E，CE＝8，cosD＝，则AC的长为（ ）
A．8 B．8 C．10 D．8
二、填空题
7．如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为 .
8．如图，∠AOB=45°，点P、Q都在射线OA上，OP=2，OQ=6.M是射线OB上的一个动点，过P、Q、M三点作圆，当该圆与OB相切时，其半径的长为 .
9．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
10．四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．若四边形OBCD是平行四边形时，那么∠OBA和∠ODA的数量关系是 ．
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，将线段CD绕点C顺时针旋转α至射线l，作点D关于射线l的对称点M，连接BM交直线l于点N，当α＝ °时，线段AN取得最大值；线段AN的最大值为 .
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点.下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF＝AC；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF.其中一定成立的是（只填序号） .
三、计算题
13．地球有多大？多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅．
项目任务 （一） 如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上）测得太阳光与木棍的夹角为，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，l的代数式表示）
项目任务 （二） 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为，，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，，l的代数式表示）
项目任务 （三） 如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了，请据此计算出地球的半径与周长．（用含h，的代数式表示）
四、解答题
14．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14， ≈1.73，结果保留一位小数．)
15．如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．
（1）若点A在优弧上，且圆心O在∠BAD的内部，已知∠BOD=120°，则∠OBA+∠ODA= °．
（2）若四边形OBCD为平行四边形．
①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA+∠ODA的度数；
②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．
16．如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=2 ，弦CD=DE=2，连结OB，OD，求图中两个阴影部分的面积和．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；圆周角定理
5．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
7．【答案】
【知识点】矩形的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
8．【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质
9．【答案】 ﹣
【知识点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
10．【答案】∠OBA﹣∠ODA=60°或∠OBA+∠ODA=60°或∠ODA﹣∠OBA=60°或∠OBA+∠ODA=120°
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理
11．【答案】45；4
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS
12．【答案】①②③④⑤
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定；切线长定理
13．【答案】解：任务（一）：，；
任务（二）：，；
任务（三）：由题意得，当小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，此时小亮视线所在的直线与相切于点H，
同理当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与相切，设这个切点为T，连接，
设地球半径为，
∴，
∵HQ，PT为圆的切线
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴地球的半径为，
∴地球的周长.
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
14．【答案】（1）解：连接OC．
∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD．
∵点C是 的中点，
∴∠DAC=∠EAC．
∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD.
（2）解：∵∠CAD=30°，
∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得：∠COE=60°，
∴OE=2OC=6，EC= OC=3 ， = =π，
∴蚂蚁爬过的路程=3+3 +π≈11.3．
【知识点】切线的性质；弧长的计算
15．【答案】解：（1）如图1，连接BD，∵∠BOD=120°，∴∠BAD=120°÷2=60°，∴∠0BD+∠ODB=180°﹣∠BOD=180°﹣120°=60°，∴∠OBA+∠ODA=180°﹣（∠0BD+∠ODB）﹣∠BAD=180°﹣60°﹣60°=120°﹣60°=60°（2）①如图2，∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，又∵∠BAD+∠BCD=180°，，∴，∴∠B0D=120°，∠BAD=120°÷2=60°，∴∠OBC=∠ODC=180°﹣120°=60°，又∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠OBA+∠ODA=180°﹣（∠OBC+∠ODC）=180°﹣（60°+60°）=180°﹣120°=60°②Ⅰ、如图3，∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，又∵∠BAD+∠BCD=180°，，∴，∴∠B0D=120°，∠BAD=120°÷2=60°，∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠OAD+60°，∵OA=OD，OA=OB，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠OBA=∠ODA+60°．Ⅱ、如图4，∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，又∵∠BAD+∠BCD=180°，，∴，∴∠B0D=120°，∠BAD=120°÷2=60°，∴∠OAB=∠OAD﹣∠BAD=∠OAD﹣60°，∵OA=OD，OA=OB，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠OBA=∠ODA﹣60°，即∠ODA=∠OBA+60°．故答案为：60．
【知识点】圆周角定理
16．【答案】解：∵弦AB=BC，弦CD=DE，
∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，
∴∠BOD=90°，
过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G．
则BF=FC= ，CG=GD=1，∠FOG=45°，
在四边形OFCG中，∠FCD=135°，
过点C作CN∥OF，交OG于点N，
则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，
∴△CNG为等腰三角形，
∴CG=NG=1，
过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC= ，
在等腰三角形MNO中，NO= MN=2，
∴OG=ON+NG=3，
在Rt△OGD中，OD= = = ，
即圆O的半径为 ，
故S阴影=S扇形OBD= = π．
【知识点】扇形面积的计算
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第2章 圆（培优）
一、单选题
1．如图，点A，B，C，D在上，连接，，．若，，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．5
2．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点，从点作于点，设的三个内角平分线交于点，当点在弧上从点运动到点时，点所经过的路径长是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在中，，半径为6的与相切于点，与交于点，连接，，，有下列结论：①平分；②；③若，扇形的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC平分∠BGD；③S四边形BCDG＝ CG2；④∠BGE的大小为定值.其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且 为半圆的 ，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为 、 、 ，则下列结论正确的是（ ）。
A． < < B． < <
C． < < D． < <
6．如图，已知点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A，过点C作CE⊥AB于E，CE＝8，cosD＝，则AC的长为（ ）
A．8 B．8 C．10 D．8
二、填空题
7．如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为 .
8．如图，∠AOB=45°，点P、Q都在射线OA上，OP=2，OQ=6.M是射线OB上的一个动点，过P、Q、M三点作圆，当该圆与OB相切时，其半径的长为 .
9．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
10．四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．若四边形OBCD是平行四边形时，那么∠OBA和∠ODA的数量关系是 ．
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，将线段CD绕点C顺时针旋转α至射线l，作点D关于射线l的对称点M，连接BM交直线l于点N，当α＝ °时，线段AN取得最大值；线段AN的最大值为 .
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点.下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF＝AC；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF.其中一定成立的是（只填序号） .
三、计算题
13．地球有多大？多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅．
项目任务 （一） 如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上）测得太阳光与木棍的夹角为，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，l的代数式表示）
项目任务 （二） 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为，，则______，若测得之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，，l的代数式表示）
项目任务 （三） 如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了，请据此计算出地球的半径与周长．（用含h，的代数式表示）
四、解答题
14．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14， ≈1.73，结果保留一位小数．)
15．如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．
（1）若点A在优弧上，且圆心O在∠BAD的内部，已知∠BOD=120°，则∠OBA+∠ODA= °．
（2）若四边形OBCD为平行四边形．
①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA+∠ODA的度数；
②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．
16．如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=2 ，弦CD=DE=2，连结OB，OD，求图中两个阴影部分的面积和．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；圆周角定理
5．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
7．【答案】
【知识点】矩形的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
8．【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质
9．【答案】 ﹣
【知识点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
10．【答案】∠OBA﹣∠ODA=60°或∠OBA+∠ODA=60°或∠ODA﹣∠OBA=60°或∠OBA+∠ODA=120°
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理
11．【答案】45；4
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS
12．【答案】①②③④⑤
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定；切线长定理
13．【答案】解：任务（一）：，；
任务（二）：，；
任务（三）：由题意得，当小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，此时小亮视线所在的直线与相切于点H，
同理当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与相切，设这个切点为T，连接，
设地球半径为，
∴，
∵HQ，PT为圆的切线
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴地球的半径为，
∴地球的周长.
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
14．【答案】（1）解：连接OC．
∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD．
∵点C是 的中点，
∴∠DAC=∠EAC．
∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD.
（2）解：∵∠CAD=30°，
∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得：∠COE=60°，
∴OE=2OC=6，EC= OC=3 ， = =π，
∴蚂蚁爬过的路程=3+3 +π≈11.3．
【知识点】切线的性质；弧长的计算
15．【答案】解：（1）如图1，连接BD，∵∠BOD=120°，∴∠BAD=120°÷2=60°，∴∠0BD+∠ODB=180°﹣∠BOD=180°﹣120°=60°，∴∠OBA+∠ODA=180°﹣（∠0BD+∠ODB）﹣∠BAD=180°﹣60°﹣60°=120°﹣60°=60°（2）①如图2，∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，又∵∠BAD+∠BCD=180°，，∴，∴∠B0D=120°，∠BAD=120°÷2=60°，∴∠OBC=∠ODC=180°﹣120°=60°，又∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠OBA+∠ODA=180°﹣（∠OBC+∠ODC）=180°﹣（60°+60°）=180°﹣120°=60°②Ⅰ、如图3，∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，又∵∠BAD+∠BCD=180°，，∴，∴∠B0D=120°，∠BAD=120°÷2=60°，∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠OAD+60°，∵OA=OD，OA=OB，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠OBA=∠ODA+60°．Ⅱ、如图4，∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，又∵∠BAD+∠BCD=180°，，∴，∴∠B0D=120°，∠BAD=120°÷2=60°，∴∠OAB=∠OAD﹣∠BAD=∠OAD﹣60°，∵OA=OD，OA=OB，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠OBA=∠ODA﹣60°，即∠ODA=∠OBA+60°．故答案为：60．
【知识点】圆周角定理
16．【答案】解：∵弦AB=BC，弦CD=DE，
∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，
∴∠BOD=90°，
过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G．
则BF=FC= ，CG=GD=1，∠FOG=45°，
在四边形OFCG中，∠FCD=135°，
过点C作CN∥OF，交OG于点N，
则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，
∴△CNG为等腰三角形，
∴CG=NG=1，
过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC= ，
在等腰三角形MNO中，NO= MN=2，
∴OG=ON+NG=3，
在Rt△OGD中，OD= = = ，
即圆O的半径为 ，
故S阴影=S扇形OBD= = π．
【知识点】扇形面积的计算
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