2026人教版高中物理选择性必修第一册--2.3 简谐运动的回复力和能量同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026人教版高中物理选择性必修第一册--2.3 简谐运动的回复力和能量同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 804.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-09-22 16:04:45 | ||
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文档简介
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2026人教版高中物理选择性必修第一册
第二章 机械振动
3 简谐运动的回复力和能量
基础过关练
题组一 简谐运动的回复力
1.关于简谐运动回复力,说法正确的是 ( )
A.回复力是使物体回到平衡位置的力,它只能由物体受到的合外力来提供
B.物体到达平衡位置,回复力一定为零
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
2.(2025重庆合川中学月考)如图所示,物体A置于物体B上,一轻质弹簧一端固定,另一端与B相连,在弹性限度内,A和B一起在光滑水平面上做往复运动(不计空气阻力),A、B之间始终保持相对静止,弹簧的劲度系数为k,A和B的质量分别为M和m(M≠m),A和B之间的最大静摩擦力为fm,则下列说法正确的是 ( )
A.A和B的回复力相同
B.A受到的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C.A对B的静摩擦力对B不做功,而B对A的静摩擦力对A做功
D.A和B一起(相对静止)振动的振幅不能大于
题组二 简谐运动的能量
3.(2025江苏扬州高邮开学摸底)如图所示,弹簧振子在B、C之间做简谐运动,当小球位于O点时,弹簧处于原长。小球从C运动到O的过程中 ( )
A.动能不断增大,加速度不断减小
B.回复力不断增大,系统机械能守恒
C.弹性势能不断减小,加速度不断增大
D.弹性势能不断增大,加速度不断减小
4.(2025贵州贵阳联考)如图甲所示,劲度系数为k的轻弹簧下端挂一质量为m的小球(可视为质点),小球在竖直方向上做简谐运动,弹簧对小球的拉力F随时间变化的图像如图乙所示。已知弹簧弹性势能的表达式为Ep=kx2,x为弹簧的形变量,重力加速度大小为g。下列说法正确的是 ( )
A.在振动过程中,弹簧的弹性势能和小球的动能总和不变
B.小球的振幅为
C.小球在平衡位置时弹簧的弹性势能为
D.小球的最大加速度为3g
5.(2025山东济南联考)如图所示,在倾角为θ的光滑固定斜面上将弹簧一端固定,弹簧另一端连接一质量为m的物体,物体在斜面上做振幅为A的简谐运动,当物体振动到最高点时,弹簧正好为原长,弹簧在弹性限度内,重力加速度大小为g,则物体在振动过程中,下列说法正确的是 ( )
A.弹簧的最大弹性势能等于2mgA
B.弹簧的弹性势能和物体的动能总和不变
C.物体在最低点时的加速度大小应为2g sin θ
D.物体在最低点时的弹力大小应为2mg sin θ
能力提升练
题组一 简谐运动中物理量的变化分析
1.(2025江西宜春丰城九中期中)钓鱼时鱼漂受到扰动后会上下振动,忽略水的阻力和水面波动影响,以竖直向下为正方向,某一时刻开始鱼漂的振动图像如图所示,则鱼漂 ( )
A.在t1时刻加速度为零
B.振动过程中机械能守恒
C.在t2时刻动量最小
D.在t2~t3时间内所受到合力的冲量方向竖直向下
2.(2024江苏苏州中学期中)如图甲所示,弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动,平衡位置为O点,取向右为正方向,以小球从A点开始运动的时刻作为计时起点,小球的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是 ( )
A.振子的振动方程为x=10 sin cm
B.t=0.8 s时,加速度方向向右
C.t=0.8 s到t=1.2 s的时间内,振子的回复力逐渐增大
D.t=1.2 s到t=1.6 s的时间内,振子的动能逐渐减小
题组二 简谐运动与力学的综合
3.(创新题新考法)(2025湖南长沙期中)如图所示,匀强电场方向与水平方向成60°角,场强E=2.0×105 N/C。质量m=0.4 kg、带电荷量q=2.0×10-6 C的小球与一根轻质、绝缘材料制成的弹簧的右端相连,弹簧劲度系数k=10 N/m,小球穿在水平光滑绝缘细杆上,以O点为平衡位置在B、C间做简谐运动,已知小球做简谐运动的最大速度为0.3 m/s,可以用F-x图像中图线与横轴围成的“面积”代表力F所做的功。下列说法正确的是 ( )
A.小球到达O点时,弹簧的形变量为4 cm
B.小球做简谐运动的振幅为6 cm
C.小球到达B点时的瞬时加速度为0.5 m/s2,方向水平向右
D.运动过程中由小球和弹簧组成的系统机械能守恒
4.(2025陕西西安高新第一中学月考)如图a所示,下端附有重物、粗细均匀的木棒,在水池中沿竖直方向做简谐运动,已知水的密度为ρ,木棒的横截面积为S,重力加速度大小为g,木棒所受的浮力F随时间变化的图像如图b所示,下列说法正确的是 ( )
A.水的浮力是木棒做简谐运动的回复力
B.0.25~0.50 s内木棒的加速度逐渐减小
C.木棒的重力为(F1+F2)
D.木棒所受回复力大小与位移大小的比值为ρS
5.(2025山东日照期中)如图所示,在倾角θ=37°的光滑斜面顶端固定一轻弹簧,弹簧下端连接着小球甲,小球甲与小球乙通过轻绳连接。已知小球甲的质量m甲=200 g,小球乙的质量m乙=400 g,静止时弹簧的伸长量x=18 cm(未超出弹性限度)。现烧断甲、乙之间的轻绳,则甲沿斜面做简谐运动。已知重力加速度g=10 m/s2, sin 37°=0.6, cos 37°=0.8,求:
(1)小球甲做简谐运动的振幅A;
(2)小球甲运动过程中的最大加速度a;
(3)小球甲运动过程中弹簧的最大压缩量Δx。
6.(2025四川达州达中月考)如图所示,将质量为mA=100 g的物体A放在弹簧上端并与之连接,弹簧下端连接一质量为mB=200 g的物体B,物体B放在地面上,形成竖直方向的弹簧振子,使A上下振动。弹簧原长为10 cm,弹簧的劲度系数为k=50 N/m。A、B的厚度可忽略不计,g取10 m/s2。
(1)当系统做简谐运动时,求A的平衡位置离地面的高度;
(2)若物体A在振动过程中弹簧始终不拉伸,当物体A以最大振幅振动时,求物体B对地面的最大压力大小;
(3)在第(2)问的基础上,求弹簧最大的弹性势能及A运动的最大速度大小。
题组三 简谐运动的判断
7.(创新题新考法)(2025河南周口名校协作体联考)如图所示,两个完全相同的劲度系数均为k的轻弹簧下端固定在水平地面上,上端拴接一质量为m的光滑薄平板P,P到平台的竖直距离为h。将一质量也为m的小球Q以初速度v0水平抛出,与平板先后发生两次弹性碰撞,碰撞时间极短,碰撞过程中平板不倾斜,碰后小球水平方向速度不变。不计空气阻力,重力加速度大小为g。
(1)求第一次碰撞前瞬间,小球Q的速度大小;
(2)求第一次碰撞后瞬间,平板P和小球Q的速度大小;
(3)竖直向下建立Oy坐标系,证明第一次碰撞后到第二次碰撞前平板的运动为简谐运动。
8.(2024湖北武汉华中师大附中月考)如图所示,电荷量分别为4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上,相距为d。若杆上套一带电小环C,带电体A、B和C均可视为点电荷。
(1)求小环C受力平衡的位置;
(2)若小环C所带电荷量为-q,将小环C拉离平衡位置一段小位移x(|x| d)后由静止释放,试证明小环C将做简谐运动。[提示:当α 1时,=1-nα]
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 回复力是做简谐运动的物体受到的指向平衡位置的力,在平衡位置时物体所受的回复力等于零,但物体所受的合外力不一定为零,即回复力不一定由物体受到的合外力提供,A错误,B正确;回复力的方向总是指向平衡位置,回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相反,可能跟物体的速度方向相同,也可能跟物体的速度方向相反,C、D错误。
易错警示 分析物体做简谐运动的回复力,首先要明确回复力是效果力,千万不要认为回复力是物体又受到的一种新性质力。
2.B
关键点拨 当A、B间恰好无相对滑动时,它们之间的静摩擦力达到最大,整体达到最大振幅。
A和B始终保持相对静止,则在振动过程中加速度相同,但质量不同,根据牛顿第二定律可知,二者回复力不同,选项A错误;弹簧的弹力提供整体做简谐运动的回复力,根据牛顿第二定律,整体的加速度大小为a=,A的回复力由B对A的静摩擦力提供,根据牛顿第二定律有f=Ma,两式联立,可得f=,则A受到的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比,选项B正确;在振动过程中,A和B的振动方向与所受静摩擦力方向在一条直线上,可知A对B的静摩擦力对B做功,B对A的静摩擦力对A也做功,选项C错误;在振动过程中,A的最大加速度am满足fm=Mam,整体的最大振幅Am满足kAm=am,联立解得Am=,选项D错误。
3.A 弹簧振子做简谐运动,小球由C到O的过程中逐渐衡位置,速度方向指向平衡位置,弹簧弹力充当回复力,也指向平衡位置,速度方向与受力方向相同,所以合外力做正功,动能增大;同时由于偏离平衡位置的位移减小,由回复力公式F=-kx可知,回复力逐渐减小,根据牛顿第二定律可知F=-kx=ma,加速度不断减小,选项A正确。回复力不断减小,整个系统只有系统内的弹力做功,系统的机械能守恒,选项B错误。小球由C到O的过程中弹簧形变量逐渐减小,弹性势能逐渐减小,加速度也逐渐减小,选项C、D错误。
方法技巧
简谐运动的能量
同一简谐运动中的能量只由振幅决定,即振幅不变则系统能量不变,当位移最大时系统的能量体现为势能,动能为零,当处于平衡位置时势能最小,动能最大,这两点是解决此类问题的突破口。
4.B
模型构建
弹簧与小球组成的系统机械能守恒,故在振动过程中,弹簧的弹性势能和小球的机械能总和不变(易错点),选项A错误;在平衡位置时弹簧伸长量为x1=,小球处于最低点时,弹簧的伸长量为x2=,解得小球的振幅为A=x2-x1=,选项B正确;小球在平衡位置时弹簧的弹性势能为Ep=k=,选项C错误;小球在简谐运动的最大位移处加速度最大,可知小球在最高点或最低点时加速度最大,以最低点为例,有3mg-mg=ma,解得小球的最大加速度为a=2g,选项D错误。
一题多解 利用小球最高点求解振幅:小球在最高点时,弹簧处于压缩状态,此时mg=kx3,小球的振幅A=x1+x3=。
5.D
模型构建
因物体振动到最高点时,弹簧正好为原长,此时弹簧的弹力等于零,则有mg sin θ=F回=kA,当物体在最低点时,弹簧的弹性势能最大,物体从最高点运动到最低点,物体减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能,减少的重力势能等于2mgA sin θ(点拨:最低点和最高点相距2A,且在最低点和最高点物体速度均为零),选项A错误;由能量守恒定律知,弹簧的弹性势能和物体的动能、重力势能三者的总和不变,选项B错误;当物体在最低点时,由牛顿第二定律可得F回=mg sin θ=ma,解得a=g sin θ,选项C错误;在最低点,对物体受力分析可知F-mg sin θ=F回,解得F=2mg sin θ,选项D正确。
能力提升练
1.D
题图解读
鱼漂在t1时刻位移最大,所以加速度最大,选项A错误;鱼漂在振动过程中,受到浮力,且浮力做功,所以机械能不守恒,选项B错误;在t2时刻鱼漂处于平衡位置,速度最大,动量最大,选项C错误;以竖直向下为正方向,鱼漂在t2~t3时间内由平衡位置向上振动,鱼漂受到的合力方向向下,合力的冲量方向竖直向下,选项D正确。
2.D 由题图乙可知,振子的振幅为A=10 cm,周期T=1.6 s,所以圆频率ω== rad/s,可得弹簧振子的振动方程为x=10 sin cm,A错误;由题图可知,t=0.8 s时,小球在正向最大位移处,由a==-,知加速度的方向与位移方向相反,故加速度方向向左,B错误;t=0.8 s到t=1.2 s的时间内,小球从正向最大位移处向平衡位置振动,弹簧的形变量变小,回复力逐渐减小,C错误;t=1.2 s到t=1.6 s的时间内,小球从平衡位置向负向最大位移处振动,小球的速度逐渐减小,动能逐渐减小,故D正确。
方法技巧
判断简谐运动中各物理量变化情况的思路
3.B
关键点拨
O点为平衡位置,小球在O点时所受合力为零,则由qE cos 60°=kx0,代入数据解得x0=2 cm,选项A错误;B点到O点过程,由动能定理有m=kA2(破题关键),解得A=6 cm,选项B正确;在B点时,由牛顿第二定律有kA=ma,代入数据解得a=1.5 m/s2,选项C错误;小球运动过程中,电场力对小球做功,所以系统机械能不守恒,选项D错误。
4.C
题图解读
木棒做简谐运动的回复力由水的浮力与木棒重力的合力提供,选项A错误;0.25~0.50 s内木棒的浮力减小,则木棒从平衡位置向最高点运动,根据mg-F=ma,可知其加速度逐渐增大,选项B错误;当浮力最大和最小时,若浸入水中的深度分别为h1、h2,则F1=ρgSh1,F2=ρgSh2,根据简谐运动的对称性(解题技法),木棒处于平衡位置时,木棒浸入水中的深度h0=,在平衡位置时木棒的重力大小等于木棒所受的浮力大小,则可知木棒的重力G=ρgSh0=(F1+F2),选项C正确;设向下为正方向,则在平衡位置时,有mg=ρgx0S,在平衡位置下方x处时,有F回复=-[ρg(x+x0)S-mg]=-ρgSx,则木棒所受回复力大小与位移大小的比值为ρgS,选项D错误。
5.答案 (1)12 cm (2)12 m/s2 (3)6 cm
解析 (1)由题意,烧断轻绳前,有
kx=(m甲+m乙)g sin θ
烧断轻绳后,小球甲在平衡位置时,有
kx'=m甲g sin θ
联立解得x'=6 cm
则小球甲做简谐运动的振幅A=x-x'=12 cm
(2)根据简谐运动的特点,可知烧断轻绳瞬间,小球甲有最大加速度,根据牛顿第二定律有
amax==12 m/s2
(3)根据简谐运动的对称性,可知当小球甲运动到斜面最高点时,弹簧具有最大压缩量,且有
kΔx+m甲g sin θ=m甲amax
解得Δx=6 cm
6.答案 (1)0.08 m (2)4 N (3)0.04 J m/s
解析 (1)A在平衡位置时,所受合力为零,设弹簧的压缩量为x0,则mAg=kx0,解得x0=0.02 m,则A的平衡位置离地面的高度h=l-x0=0.08 m。
(2)物体A在振动过程中弹簧始终不拉伸,则最大振幅A=x0=0.02 m(破题关键),A在最低点时,B对地面压力最大,此时弹簧压缩量为2A,物体B对地面的最大压力F=mBg+k·2A=4 N,方向竖直向下。
(3)A运动到最低点时弹簧弹性势能最大,根据机械能守恒定律,弹簧最大弹性势能为Ep=mAg·2A=0.04 J,A运动到平衡位置时速度最大,根据动能定理mAg·A-kA2=mA,解得v0= m/s。
一题多解 (3)弹簧最大的弹性势能Ep=k(2A)2=0.04 J;
以地面为重力势能零势能面,由能量守恒可知mAgl=mA+mAgh+k,解得v0= m/s。(或者先确定合力的平均值为,再由动能定理得x0=mA,同样可得到v0= m/s)
7.答案 (1) (2) v0 (3)见解析
解析 (1)第一次碰撞前,小球做平抛运动,在竖直方向有=2gh
解得v1=
故第一次碰撞前瞬间,小球Q的速度大小v==
(2)小球与平板先后发生两次弹性碰撞,小球第一次刚要与平板碰撞时在竖直方向的速度大小为v1=,
以v1'、v2'分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向上的速度大小,由于碰撞时间极短,在碰撞过程中,小球和平板组成的系统在竖直方向上动量守恒,小球与平板的质量均为m,则有mv1=mv1'+mv2'
碰撞为弹性碰撞,且平板是光滑的,由能量守恒可得m=mv1'2+mv2'2
解得v1'=0
v2'=v1=
碰后小球水平方向速度不变,故碰后瞬间小球Q的速度大小为v0,平板的速度大小为。
(3)以平板平衡位置为坐标原点,根据题意,第一次碰撞后瞬间平板位移为零,弹簧形变量为y0,则2ky0=mg
到第二次碰撞前,设平板运动到某位置时位移为y,则所受合力大小F=2k(y+y0)-mg
化简可得合力大小F=2ky
此时合力方向与y的方向相反,位移满足F=-kx形式故平板做简谐运动。
方法技巧
判断物体做简谐运动的方法
8.答案 (1)在B的右侧,距离B为d处 (2)见解析
解析 (1)设C所带电荷量为Q,在A、B连线的延长线上距离B为l处受力平衡,根据库仑定律及平衡条件有FC=+=0
解得l=d(另一解-d不合题意,舍去)
(2)小环C所带电荷量为-q时,将其拉离平衡位置一段小位移x后,以水平向右为正方向,则C所受合力为FC=+
整理有FC=-·+·
利用近似关系=1-nα(α 1)
化简得FC=-x
满足F=-kx的形式,故小环C做简谐运动。
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第二章 机械振动
3 简谐运动的回复力和能量
基础过关练
题组一 简谐运动的回复力
1.关于简谐运动回复力,说法正确的是 ( )
A.回复力是使物体回到平衡位置的力,它只能由物体受到的合外力来提供
B.物体到达平衡位置,回复力一定为零
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
2.(2025重庆合川中学月考)如图所示,物体A置于物体B上,一轻质弹簧一端固定,另一端与B相连,在弹性限度内,A和B一起在光滑水平面上做往复运动(不计空气阻力),A、B之间始终保持相对静止,弹簧的劲度系数为k,A和B的质量分别为M和m(M≠m),A和B之间的最大静摩擦力为fm,则下列说法正确的是 ( )
A.A和B的回复力相同
B.A受到的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C.A对B的静摩擦力对B不做功,而B对A的静摩擦力对A做功
D.A和B一起(相对静止)振动的振幅不能大于
题组二 简谐运动的能量
3.(2025江苏扬州高邮开学摸底)如图所示,弹簧振子在B、C之间做简谐运动,当小球位于O点时,弹簧处于原长。小球从C运动到O的过程中 ( )
A.动能不断增大,加速度不断减小
B.回复力不断增大,系统机械能守恒
C.弹性势能不断减小,加速度不断增大
D.弹性势能不断增大,加速度不断减小
4.(2025贵州贵阳联考)如图甲所示,劲度系数为k的轻弹簧下端挂一质量为m的小球(可视为质点),小球在竖直方向上做简谐运动,弹簧对小球的拉力F随时间变化的图像如图乙所示。已知弹簧弹性势能的表达式为Ep=kx2,x为弹簧的形变量,重力加速度大小为g。下列说法正确的是 ( )
A.在振动过程中,弹簧的弹性势能和小球的动能总和不变
B.小球的振幅为
C.小球在平衡位置时弹簧的弹性势能为
D.小球的最大加速度为3g
5.(2025山东济南联考)如图所示,在倾角为θ的光滑固定斜面上将弹簧一端固定,弹簧另一端连接一质量为m的物体,物体在斜面上做振幅为A的简谐运动,当物体振动到最高点时,弹簧正好为原长,弹簧在弹性限度内,重力加速度大小为g,则物体在振动过程中,下列说法正确的是 ( )
A.弹簧的最大弹性势能等于2mgA
B.弹簧的弹性势能和物体的动能总和不变
C.物体在最低点时的加速度大小应为2g sin θ
D.物体在最低点时的弹力大小应为2mg sin θ
能力提升练
题组一 简谐运动中物理量的变化分析
1.(2025江西宜春丰城九中期中)钓鱼时鱼漂受到扰动后会上下振动,忽略水的阻力和水面波动影响,以竖直向下为正方向,某一时刻开始鱼漂的振动图像如图所示,则鱼漂 ( )
A.在t1时刻加速度为零
B.振动过程中机械能守恒
C.在t2时刻动量最小
D.在t2~t3时间内所受到合力的冲量方向竖直向下
2.(2024江苏苏州中学期中)如图甲所示,弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动,平衡位置为O点,取向右为正方向,以小球从A点开始运动的时刻作为计时起点,小球的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是 ( )
A.振子的振动方程为x=10 sin cm
B.t=0.8 s时,加速度方向向右
C.t=0.8 s到t=1.2 s的时间内,振子的回复力逐渐增大
D.t=1.2 s到t=1.6 s的时间内,振子的动能逐渐减小
题组二 简谐运动与力学的综合
3.(创新题新考法)(2025湖南长沙期中)如图所示,匀强电场方向与水平方向成60°角,场强E=2.0×105 N/C。质量m=0.4 kg、带电荷量q=2.0×10-6 C的小球与一根轻质、绝缘材料制成的弹簧的右端相连,弹簧劲度系数k=10 N/m,小球穿在水平光滑绝缘细杆上,以O点为平衡位置在B、C间做简谐运动,已知小球做简谐运动的最大速度为0.3 m/s,可以用F-x图像中图线与横轴围成的“面积”代表力F所做的功。下列说法正确的是 ( )
A.小球到达O点时,弹簧的形变量为4 cm
B.小球做简谐运动的振幅为6 cm
C.小球到达B点时的瞬时加速度为0.5 m/s2,方向水平向右
D.运动过程中由小球和弹簧组成的系统机械能守恒
4.(2025陕西西安高新第一中学月考)如图a所示,下端附有重物、粗细均匀的木棒,在水池中沿竖直方向做简谐运动,已知水的密度为ρ,木棒的横截面积为S,重力加速度大小为g,木棒所受的浮力F随时间变化的图像如图b所示,下列说法正确的是 ( )
A.水的浮力是木棒做简谐运动的回复力
B.0.25~0.50 s内木棒的加速度逐渐减小
C.木棒的重力为(F1+F2)
D.木棒所受回复力大小与位移大小的比值为ρS
5.(2025山东日照期中)如图所示,在倾角θ=37°的光滑斜面顶端固定一轻弹簧,弹簧下端连接着小球甲,小球甲与小球乙通过轻绳连接。已知小球甲的质量m甲=200 g,小球乙的质量m乙=400 g,静止时弹簧的伸长量x=18 cm(未超出弹性限度)。现烧断甲、乙之间的轻绳,则甲沿斜面做简谐运动。已知重力加速度g=10 m/s2, sin 37°=0.6, cos 37°=0.8,求:
(1)小球甲做简谐运动的振幅A;
(2)小球甲运动过程中的最大加速度a;
(3)小球甲运动过程中弹簧的最大压缩量Δx。
6.(2025四川达州达中月考)如图所示,将质量为mA=100 g的物体A放在弹簧上端并与之连接,弹簧下端连接一质量为mB=200 g的物体B,物体B放在地面上,形成竖直方向的弹簧振子,使A上下振动。弹簧原长为10 cm,弹簧的劲度系数为k=50 N/m。A、B的厚度可忽略不计,g取10 m/s2。
(1)当系统做简谐运动时,求A的平衡位置离地面的高度;
(2)若物体A在振动过程中弹簧始终不拉伸,当物体A以最大振幅振动时,求物体B对地面的最大压力大小;
(3)在第(2)问的基础上,求弹簧最大的弹性势能及A运动的最大速度大小。
题组三 简谐运动的判断
7.(创新题新考法)(2025河南周口名校协作体联考)如图所示,两个完全相同的劲度系数均为k的轻弹簧下端固定在水平地面上,上端拴接一质量为m的光滑薄平板P,P到平台的竖直距离为h。将一质量也为m的小球Q以初速度v0水平抛出,与平板先后发生两次弹性碰撞,碰撞时间极短,碰撞过程中平板不倾斜,碰后小球水平方向速度不变。不计空气阻力,重力加速度大小为g。
(1)求第一次碰撞前瞬间,小球Q的速度大小;
(2)求第一次碰撞后瞬间,平板P和小球Q的速度大小;
(3)竖直向下建立Oy坐标系,证明第一次碰撞后到第二次碰撞前平板的运动为简谐运动。
8.(2024湖北武汉华中师大附中月考)如图所示,电荷量分别为4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上,相距为d。若杆上套一带电小环C,带电体A、B和C均可视为点电荷。
(1)求小环C受力平衡的位置;
(2)若小环C所带电荷量为-q,将小环C拉离平衡位置一段小位移x(|x| d)后由静止释放,试证明小环C将做简谐运动。[提示:当α 1时,=1-nα]
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 回复力是做简谐运动的物体受到的指向平衡位置的力,在平衡位置时物体所受的回复力等于零,但物体所受的合外力不一定为零,即回复力不一定由物体受到的合外力提供,A错误,B正确;回复力的方向总是指向平衡位置,回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相反,可能跟物体的速度方向相同,也可能跟物体的速度方向相反,C、D错误。
易错警示 分析物体做简谐运动的回复力,首先要明确回复力是效果力,千万不要认为回复力是物体又受到的一种新性质力。
2.B
关键点拨 当A、B间恰好无相对滑动时,它们之间的静摩擦力达到最大,整体达到最大振幅。
A和B始终保持相对静止,则在振动过程中加速度相同,但质量不同,根据牛顿第二定律可知,二者回复力不同,选项A错误;弹簧的弹力提供整体做简谐运动的回复力,根据牛顿第二定律,整体的加速度大小为a=,A的回复力由B对A的静摩擦力提供,根据牛顿第二定律有f=Ma,两式联立,可得f=,则A受到的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比,选项B正确;在振动过程中,A和B的振动方向与所受静摩擦力方向在一条直线上,可知A对B的静摩擦力对B做功,B对A的静摩擦力对A也做功,选项C错误;在振动过程中,A的最大加速度am满足fm=Mam,整体的最大振幅Am满足kAm=am,联立解得Am=,选项D错误。
3.A 弹簧振子做简谐运动,小球由C到O的过程中逐渐衡位置,速度方向指向平衡位置,弹簧弹力充当回复力,也指向平衡位置,速度方向与受力方向相同,所以合外力做正功,动能增大;同时由于偏离平衡位置的位移减小,由回复力公式F=-kx可知,回复力逐渐减小,根据牛顿第二定律可知F=-kx=ma,加速度不断减小,选项A正确。回复力不断减小,整个系统只有系统内的弹力做功,系统的机械能守恒,选项B错误。小球由C到O的过程中弹簧形变量逐渐减小,弹性势能逐渐减小,加速度也逐渐减小,选项C、D错误。
方法技巧
简谐运动的能量
同一简谐运动中的能量只由振幅决定,即振幅不变则系统能量不变,当位移最大时系统的能量体现为势能,动能为零,当处于平衡位置时势能最小,动能最大,这两点是解决此类问题的突破口。
4.B
模型构建
弹簧与小球组成的系统机械能守恒,故在振动过程中,弹簧的弹性势能和小球的机械能总和不变(易错点),选项A错误;在平衡位置时弹簧伸长量为x1=,小球处于最低点时,弹簧的伸长量为x2=,解得小球的振幅为A=x2-x1=,选项B正确;小球在平衡位置时弹簧的弹性势能为Ep=k=,选项C错误;小球在简谐运动的最大位移处加速度最大,可知小球在最高点或最低点时加速度最大,以最低点为例,有3mg-mg=ma,解得小球的最大加速度为a=2g,选项D错误。
一题多解 利用小球最高点求解振幅:小球在最高点时,弹簧处于压缩状态,此时mg=kx3,小球的振幅A=x1+x3=。
5.D
模型构建
因物体振动到最高点时,弹簧正好为原长,此时弹簧的弹力等于零,则有mg sin θ=F回=kA,当物体在最低点时,弹簧的弹性势能最大,物体从最高点运动到最低点,物体减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能,减少的重力势能等于2mgA sin θ(点拨:最低点和最高点相距2A,且在最低点和最高点物体速度均为零),选项A错误;由能量守恒定律知,弹簧的弹性势能和物体的动能、重力势能三者的总和不变,选项B错误;当物体在最低点时,由牛顿第二定律可得F回=mg sin θ=ma,解得a=g sin θ,选项C错误;在最低点,对物体受力分析可知F-mg sin θ=F回,解得F=2mg sin θ,选项D正确。
能力提升练
1.D
题图解读
鱼漂在t1时刻位移最大,所以加速度最大,选项A错误;鱼漂在振动过程中,受到浮力,且浮力做功,所以机械能不守恒,选项B错误;在t2时刻鱼漂处于平衡位置,速度最大,动量最大,选项C错误;以竖直向下为正方向,鱼漂在t2~t3时间内由平衡位置向上振动,鱼漂受到的合力方向向下,合力的冲量方向竖直向下,选项D正确。
2.D 由题图乙可知,振子的振幅为A=10 cm,周期T=1.6 s,所以圆频率ω== rad/s,可得弹簧振子的振动方程为x=10 sin cm,A错误;由题图可知,t=0.8 s时,小球在正向最大位移处,由a==-,知加速度的方向与位移方向相反,故加速度方向向左,B错误;t=0.8 s到t=1.2 s的时间内,小球从正向最大位移处向平衡位置振动,弹簧的形变量变小,回复力逐渐减小,C错误;t=1.2 s到t=1.6 s的时间内,小球从平衡位置向负向最大位移处振动,小球的速度逐渐减小,动能逐渐减小,故D正确。
方法技巧
判断简谐运动中各物理量变化情况的思路
3.B
关键点拨
O点为平衡位置,小球在O点时所受合力为零,则由qE cos 60°=kx0,代入数据解得x0=2 cm,选项A错误;B点到O点过程,由动能定理有m=kA2(破题关键),解得A=6 cm,选项B正确;在B点时,由牛顿第二定律有kA=ma,代入数据解得a=1.5 m/s2,选项C错误;小球运动过程中,电场力对小球做功,所以系统机械能不守恒,选项D错误。
4.C
题图解读
木棒做简谐运动的回复力由水的浮力与木棒重力的合力提供,选项A错误;0.25~0.50 s内木棒的浮力减小,则木棒从平衡位置向最高点运动,根据mg-F=ma,可知其加速度逐渐增大,选项B错误;当浮力最大和最小时,若浸入水中的深度分别为h1、h2,则F1=ρgSh1,F2=ρgSh2,根据简谐运动的对称性(解题技法),木棒处于平衡位置时,木棒浸入水中的深度h0=,在平衡位置时木棒的重力大小等于木棒所受的浮力大小,则可知木棒的重力G=ρgSh0=(F1+F2),选项C正确;设向下为正方向,则在平衡位置时,有mg=ρgx0S,在平衡位置下方x处时,有F回复=-[ρg(x+x0)S-mg]=-ρgSx,则木棒所受回复力大小与位移大小的比值为ρgS,选项D错误。
5.答案 (1)12 cm (2)12 m/s2 (3)6 cm
解析 (1)由题意,烧断轻绳前,有
kx=(m甲+m乙)g sin θ
烧断轻绳后,小球甲在平衡位置时,有
kx'=m甲g sin θ
联立解得x'=6 cm
则小球甲做简谐运动的振幅A=x-x'=12 cm
(2)根据简谐运动的特点,可知烧断轻绳瞬间,小球甲有最大加速度,根据牛顿第二定律有
amax==12 m/s2
(3)根据简谐运动的对称性,可知当小球甲运动到斜面最高点时,弹簧具有最大压缩量,且有
kΔx+m甲g sin θ=m甲amax
解得Δx=6 cm
6.答案 (1)0.08 m (2)4 N (3)0.04 J m/s
解析 (1)A在平衡位置时,所受合力为零,设弹簧的压缩量为x0,则mAg=kx0,解得x0=0.02 m,则A的平衡位置离地面的高度h=l-x0=0.08 m。
(2)物体A在振动过程中弹簧始终不拉伸,则最大振幅A=x0=0.02 m(破题关键),A在最低点时,B对地面压力最大,此时弹簧压缩量为2A,物体B对地面的最大压力F=mBg+k·2A=4 N,方向竖直向下。
(3)A运动到最低点时弹簧弹性势能最大,根据机械能守恒定律,弹簧最大弹性势能为Ep=mAg·2A=0.04 J,A运动到平衡位置时速度最大,根据动能定理mAg·A-kA2=mA,解得v0= m/s。
一题多解 (3)弹簧最大的弹性势能Ep=k(2A)2=0.04 J;
以地面为重力势能零势能面,由能量守恒可知mAgl=mA+mAgh+k,解得v0= m/s。(或者先确定合力的平均值为,再由动能定理得x0=mA,同样可得到v0= m/s)
7.答案 (1) (2) v0 (3)见解析
解析 (1)第一次碰撞前,小球做平抛运动,在竖直方向有=2gh
解得v1=
故第一次碰撞前瞬间,小球Q的速度大小v==
(2)小球与平板先后发生两次弹性碰撞,小球第一次刚要与平板碰撞时在竖直方向的速度大小为v1=,
以v1'、v2'分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向上的速度大小,由于碰撞时间极短,在碰撞过程中,小球和平板组成的系统在竖直方向上动量守恒,小球与平板的质量均为m,则有mv1=mv1'+mv2'
碰撞为弹性碰撞,且平板是光滑的,由能量守恒可得m=mv1'2+mv2'2
解得v1'=0
v2'=v1=
碰后小球水平方向速度不变,故碰后瞬间小球Q的速度大小为v0,平板的速度大小为。
(3)以平板平衡位置为坐标原点,根据题意,第一次碰撞后瞬间平板位移为零,弹簧形变量为y0,则2ky0=mg
到第二次碰撞前,设平板运动到某位置时位移为y,则所受合力大小F=2k(y+y0)-mg
化简可得合力大小F=2ky
此时合力方向与y的方向相反,位移满足F=-kx形式故平板做简谐运动。
方法技巧
判断物体做简谐运动的方法
8.答案 (1)在B的右侧,距离B为d处 (2)见解析
解析 (1)设C所带电荷量为Q,在A、B连线的延长线上距离B为l处受力平衡,根据库仑定律及平衡条件有FC=+=0
解得l=d(另一解-d不合题意,舍去)
(2)小环C所带电荷量为-q时,将其拉离平衡位置一段小位移x后,以水平向右为正方向,则C所受合力为FC=+
整理有FC=-·+·
利用近似关系=1-nα(α 1)
化简得FC=-x
满足F=-kx的形式,故小环C做简谐运动。
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