高考物理一轮复习《考点题型训练》系列
专题04 曲线运动
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 曲线运动 运动的合成与分解 2025·湖南卷、2025·黑吉辽卷 2024·安徽卷 2023·江苏卷、全国乙卷、辽宁卷 2021·辽宁卷 注重基础知识考查，像物体做曲线运动的条件、平抛运动和圆周运动的规律等仍是重点，常以选择题或计算题形式出现。命题会结合生活、科技情境，如以滑雪大跳台、带电粒子在电磁场中的运动等为背景考查曲线运动知识。同时，注重考查综合运用能力，曲线运动常与功能关系、牛顿运动定律等结合命题。此外，开放性、探究性问题增多，鼓励学生深入思考，培养创新思维和解决复杂问题的能力。
考点2 抛体运动 2025·云南卷、2025·北京卷 2024·新课标卷、江苏卷、湖北卷 2023·江苏卷、新课标卷、山东卷 2022·广东卷、河北卷 2021·广东卷、山东卷
考点3 圆周运动 2025·江苏卷、广东卷 2024·广东卷、甘肃卷、黑吉辽卷 2023·江苏卷、全国甲卷、北京卷 2022·北京卷、全国甲卷 2021·全国甲卷、广东卷
【题型考法01】两直线运动的合运动
曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
质点在某一点的速度方向，沿运动轨迹的切线方向；合力方向指向曲线的“凹”侧；
运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
a恒定时，做匀变速曲线运动；a变化，做非匀变速曲线运动。
判断两个直线运动的合运动性质的方法
⑴分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的性质。
⑵常见的情况：
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
【典例1】(2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是( )
【答案】 D
【解析】 小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，故A、B错误；小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力方向与运动方向的夹角始终为锐角，C错误，D正确。
【典例2】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（ ）
A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小
答案 B
【详解】设两边绳与竖直方向的夹角为，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为，将沿绳方向和垂直绳方向分解，将沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得 解得
由于塔块匀速下落时在减小，故可知v一直增大。
故选B。
【典例3】（多选）（2024·安徽·高考真题）一倾角为足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图（1）所示。从开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力和，其大小与时间t的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力。则（ ）
A．物块始终做匀变速曲线运动 B．时，物块的y坐标值为2.5m
C．时，物块的加速度大小为
D．时，物块的速度大小为
【答案】BD
【详解】A．根据图像可得，，故两力的合力为
物块在y轴方向受到的力不变为，x轴方向的力在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误；
B．在y轴方向的加速度为
故时，物块的y坐标值为
故B正确；
C．时，，故此时加速度大小为
故C错误；
D．对x轴正方向，对物块根据动量定理
由于F与时间t成线性关系故可得
解得
此时y轴方向速度为
故此时物块的速度大小为
故D正确。
故选BD。
【题型考法02】小船渡河问题
船的实际运动
明确船的实际运动效果为合运动，同时明确两个匀速直线运动，即船参与水流方向的匀速运动和参与船头朝向（即船的静水速度方向）的匀速运动。要特别两个分运动与合运动的等时性。
区分三种速度
船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际运动速度v。
渡河问题两种模型
渡河时间最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船【典例4】（2021·辽宁·高考真题）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（ ）
A．75s B．95s
C．100s D．300s
【答案】D
【详解】河宽一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船相对静水的速度，渡河时间最短为
故选D。
【典例5】如图所示，一条小船从码头A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA'方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的码头B靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的码头C靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是( )
A.小船沿AB、AC过河的时间相等
B.小船沿AC过河的时间更长
C.v1∶v2＝1∶2
D.当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°
【答案】 A
【详解】 因船头始终垂直于河岸，所以小船过河的时间为t＝，即小船沿AB、AC过河的时间相等，选项A正确，B错误；由题意可知tan 60°＝，tan 30°＝，解得v1∶v2＝1∶3，选项C错误；当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，则合速度应该垂直于河岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角满足cos θ＝，则θ≠60°，选项D错误。
【典例6】 (多选)(2025·山东威海市检测)如图，小船以大小为5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度v1(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是( )
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
【答案】 BD
【详解】 河中水流速度为v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，选项A错误；小船以最短位移渡河的时间为t＝ s＝24 s，选项B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝ s＝36 s，选项C错误；小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则总位移大小s＝＝90 m，选项D正确。
【题型考法03】连接体关联速度问题
题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。
【典例7】甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是( )
A.v1∶v2＝∶3
B.v1∶v2＝3∶7
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
【答案】 B
【详解】 设当乙球距离起点3 m时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1杆＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2杆＝v2sin θ，而v1杆＝v2杆，由题意有cos θ＝，sin θ＝，解得，选项A错误，B正确；甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。
【典例8】(多选)(2024·山东省段考)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B在光滑斜面上。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为β时，物块B的速度大小为v2。斜面倾角为α，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.
B.＝cos β
C.轻绳拉力一定大于mgsin α
D.斜面受到地面水平向左的摩擦力
【答案】 ACD
【详解】 根据A、B沿绳方向的速度相等，有v1cos β＝v2，解得，故A正确，B错误；由于A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，轻绳与杆的夹角逐渐减小，则B的速度大小v2逐渐增大，即B沿斜面向上做加速运动，B的加速度沿斜面向上，对B进行受力分析可知轻绳拉力一定大于mgsin α，故C正确；B对斜面有斜向右下方的压力，斜面在该压力作用下有向右运动的趋势，则斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D正确。
【题型考法01】平抛运动规律及应用
平抛运动
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
研究方法：化曲为直
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动。
基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。
平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
两个推论
⑴做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
⑵做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。
【典例9】（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（ ）
A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
【答案】D
【详解】AB．鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有
由于hM < hN，则tM < tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，故AB错误；
CD．在水平方向有x = v0t，如图
过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确。
故选D。
【典例10】 (2024·浙江台州三校联考)近年来，国家大力开展冰雪运动进校园活动，蹬冰踏雪深受学生喜爱。如图6所示，两名滑雪运动员(均视为质点)从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1∶v2＝2∶1，不计空气阻力，重力加速度为g，则两名运动员从飞出至落到斜坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是( )
图6
A.他们飞行时间之比为t1∶t1＝1∶2
B.他们飞行的水平位移之比为x1∶x2＝2∶1
C.他们速度变化之比为Δv1∶Δv2＝2∶1
D.他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝2∶1
【答案】C
【详解】运动员从跳台a处水平飞出，设初速度为v0，飞行时间为t，斜坡的倾角为θ，运动员在空中做平抛运动，落到斜坡上时有tan θ＝＝，解得t＝，可得他们飞行时间之比为t1∶t2＝v1∶v2＝2∶1，A错误；运动员飞行的水平位移为x＝v0t＝，所以他们飞行的水平位移之比为x1∶x2＝v∶v＝4∶1，B错误；两运动员在水平方向的速度不变，在竖直方向的速度变化为Δvy＝gt，因为他们飞行时间之比为t1∶t2＝2∶1，则他们速度变化之比为Δv1∶Δv2＝t1∶t2＝2∶1，C正确；运动员在空中离坡面的最大距离为s＝，他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝v∶v＝4∶1，D错误。
【典例11】(2024·重庆高三模拟)如图8所示，将一小球从A点以某一初速度水平拋出，小球恰好落到斜面底端B点；若在B点正上方与A等高的C点将小球以相同大小的初速度水平抛出，小球落在斜面上的D点，A、B、C、D在同一竖直面上，则为( )
图8
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】 如图，设A、B之间高度差为h，C、D之间高度差为h′，则h＝gt，h′＝gt，可得t1＝，t2＝，斜面倾角的正切值tan θ＝＝，解得h′＝h，所以＝＝，故D正确，A、B、C错误。
【题型考法02】斜抛运动规律及应用
斜抛运动
将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cos θ)t
vx＝v0x＝v0cos θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
(2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时
①射高：h＝。
②斜抛运动的飞行时间：t＝。
③射程：s＝v0cos θ·t＝，
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
【典例12】（2024·江苏·高考真题）某广场喷泉喷出的两水柱如图中a、b所示。不计空气阻力，a、b中的水（ ）
A．加速度相同
B．喷出时的初速度相同
C．在最高点的速度相同
D．在空中的运动时间相同
【答案】A
【详解】A．不计空气阻力，在喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；
D．设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为，水平方向速度为，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间
可知
D错误；
BC．最高点的速度等于水平方向的分速度
由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小，BC错误；
故选A。
【典例13】(多选)（2024·福建·高考真题）如图，某同学在水平地面上先后两次从点抛出沙包，分别落在正前方地面和处。沙包的两次运动轨迹处于同一竖直平面，且交于点，点正下方地面处设为点。已知两次运动轨迹的最高点离地高度均为，，，，沙包质量为，忽略空气阻力，重力加速度大小取，则沙包（ ）
A．第一次运动过程中上升与下降时间之比
B．第一次经点时的机械能比第二次的小
C．第一次和第二次落地前瞬间的动能之比为
D．第一次抛出时速度方向与落地前瞬间速度方向的夹角比第二次的大
【答案】BD
【详解】A．沙包从抛出到最高点的运动可视为平抛运动的“逆运动”，则可得第一次抛出上升的高度为
上升时间为
最高点距水平地面高为，故下降的时间为
故一次抛出上升时间，下降时间比值为，故A错误；
BC．两条轨迹最高点等高、沙包抛出的位置相同，故可知两次从抛出到落地的时间相等为
故可得第一次，第二次抛出时水平方向的分速度分别为
由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度也相等，为
由于沙包在空中运动过程中只受重力，机械能守恒，故第一次过P点比第二次机械能少
从抛出到落地瞬间根据动能定理可得
则故落地瞬间，第一次，第二次动能之比为，故B正确，C错误；
D．根据前面分析可知两次抛出时竖直方向的分速度相同，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相同，由于第一次的水平分速度较小，物体在水平方向速度不变，如图所示，故可知第一次抛出时速度与水平方向的夹角较大，第一次落地时速度与水平方向的夹角也较大，故可知第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大，故D正确。
故选BD。
【题型考法01】圆周运动的动力学问题
描述圆周运动的各物理量之间的关系
常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图3甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
图3
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图4甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
图4
(3)同轴转动：如图5甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。
图5
【典例14】（2025·江苏·高考真题）游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以、为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与、恰好在同一条直线上。则（ ）
A．A点做匀速圆周运动 B．点做匀速圆周运动
C．此时A点的速度小于点 D．此时A点的速度等于点
【答案】B
【详解】A．A点运动为A点绕的圆周运动和相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，故不做匀速圆周运动，故A错误；
B．根据题意固定在底盘上，故可知围绕O点做匀速圆周运动，故B正确；
CD．杯上A点与、恰好在同一条直线上时且在延长线上，点和点运动运动方向相同，又A点相对点做圆周运动，故此时A的速度大于的速度，故CD错误。
故选B。
【典例15】(多选)(2025·山东烟台市校考)一位同学玩飞镖游戏，已知飞镖距圆盘为L，对准圆盘上边缘的A点水平抛出飞镖，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直于盘面且过盘心O点的水平轴匀速转动。不计空气阻力，重力加速度为g。若飞镖恰好击中A点，下列说法正确的是( )
A.从飞镖抛出到恰好击中A点，A点一定转动到最低点位置
B.从飞镖抛出到恰好击中A点的时间为
C.圆盘的半径为
D.圆盘转动的角速度一定满足(k＝1，2，3，…)
【答案】ABC
【详解】飞镖抛出后做平抛运动，则从飞镖抛出到恰好击中A点，A点一定转动到了圆盘最低点位置，故A正确；飞镖水平抛出，在水平方向做匀速直线运动，因此t＝，故B正确；飞镖击中A点时，A恰好在圆盘最低点，有2r＝gt2，解得r＝，故C正确；飞镖击中A点，则A点转过的角度满足θ＝ωt＝π＋2kπ(k＝0，1，2，…)，故ω＝πv0(k＝0，1，2，…)，故D错误。
【典例16】(多选)(2024·广东深圳高三期中)如图8所示，杂技演员进行表演时，可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则该演员( )
图8
A.受到4个力的作用 B.所需的向心力由弹力提供
C.角速度越大，人受到的摩擦力越大 D.圆筒的角速度ω≥
【答案】 BD
【详解】杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共3个力作用，A错误；由于杂技演员在圆筒内壁上不掉下来，竖直方向根据平衡条件，有mg＝Ff，筒壁的弹力提供向心力，水平方向，有F＝mω2r，角速度越大，人受到的摩擦力不变，弹力变大，B正确，C错误；要想不下滑，最大静摩擦力需要大于等于重力，所以μF≥mg，F＝mω2r，解得ω≥，D正确。
【题型考法02】水平面内圆周运动
运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆。
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。
常见的两种临界极值问题
(1)与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
(2)与弹力有关的临界极值问题
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
【典例17】（多选）（2024·甘肃·高考真题）电动小车在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．小车的动能不变 B．小车的动量守恒
C．小车的加速度不变 D．小车所受的合外力一定指向圆心
【答案】AD
【详解】A．做匀速圆周运动的物体速度大小不变，故动能不变，故A正确；
B．做匀速圆周运动的物体速度方向时刻在改变，故动量不守恒，故B错误；
C．做匀速圆周运动的物体加速度大小不变，方向时刻在改变，故C错误；
D．做匀速圆周运动的物体所受的合外力一定指向圆心，故D正确。
故选AD。
【典例18】（2024·江苏·高考真题）如图所示，轻绳的一端拴一个蜂鸣器，另一端穿过竖直管握在手中。蜂鸣器在水平面内做匀速圆周运动，缓慢下拉绳子，使蜂鸣器升高到水平面内继续做匀速圆周运动。不计空气阻力和摩擦力，与升高前相比，蜂鸣器（ ）
A．角速度不变 B．线速度减小
C．向心加速度增大 D．所受拉力大小不变
【答案】C
【详解】设绳子与竖直方向夹角为θ，小球做圆周运动的半径为r，小球质量为m。
CD．对小球分析有
，
根据a、b两个位置可知，b位置更高，则θb > θa，代入上式，故此
FTb > FTa，anb > ana
故C正确、D错误；
AB．根据
ma = mωr2
可有
ωb > ωa
线速度大小无法判断，故AB错误。
故选C。
【典例19】(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω＝是b开始滑动的临界角速度
D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
【答案】AC
【详解】小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a有Ffa＝ml，当Ffa＝kmg时，kmg＝ml，ωa＝；对木块b有Ffb＝m·2l，当Ffb＝kmg时，kmg＝m·2l，ωb＝，则ω＝是b开始滑动的临界角速度，即b比a先开始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa【题型考法03】竖直面内圆周运动
绳球、杆球两种模型对比
物理情景 轻绳模型 轻杆模型
实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示 最高点无支撑 最高点有支撑
受力 特征 在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下或等于零 在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下、等于零或向上
受力 示意图
力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
临界 特征 FT＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 FN＝mg
过最高点 的条件 在最高点的速度 v≥ v≥0
竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
【典例20】(多选)（2025·福建·高考真题）春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，，手绢做匀速圆周运动，则（ ）
A．P、Q线速度之比为
B．P、Q角速度之比为
C．P、Q向心加速度之比为
D．P点所受合外力总是指向O
【答案】AD
【详解】B．手绢做匀速圆周运动，由图可知、属于同轴传动模型，故角速度相等，即角速度之比为，B错误；
A．由
可知，、线速度之比
得A正确；
C．由
可知，、向心加速度之比
得C错误；
D．做匀速圆周运动的物体，其合外力等于向心力，故合力总是指向圆心，D正确。
故选AD。
【典例21】（2022·北京·高考真题）我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验（ ）
A．小球的速度大小均发生变化 B．小球的向心加速度大小均发生变化
C．细绳的拉力对小球均不做功 D．细绳的拉力大小均发生变化
【答案】C
【详解】AC．在地面上做此实验，忽略空气阻力，小球受到重力和绳子拉力的作用，拉力始终和小球的速度垂直，不做功，重力会改变小球速度的大小；在“天宫”上，小球处于完全失重的状态，小球仅在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，绳子拉力仍然不做功，A错误，C正确；
BD．在地面上小球运动的速度大小改变，根据和（重力不变）可知小球的向心加速度和拉力的大小发生改变，在“天宫”上小球的向心加速度和拉力的大小不发生改变，BD错误。
故选C。
【典例22】(多选)(2025·山东烟台市校考)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球直径略小于管道的尺寸，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A.小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B.小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】BC
【详解】小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即FN－Fmg＝m，因此，外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧管壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，小球做圆周运动所需的向心力可能由内侧壁对小球的作用力和重力的合力提供，D错误。
【题型考法04】倾斜面内圆周运动
物体在倾斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，平行斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力。
在转动过程中，转动越快，物体最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时，有μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R。
【典例23】(2025·山东潍坊市模拟)如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r＝1.5 m。筒壁内有一小物体(可视为质点)与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60°，重力加速度g取10 m/s2，则ω的最小值是( )
A.1 rad/s B. rad/s C. rad/s D.5 rad/s
【答案】C
【详解】对小物体受力分析如图所示，
由牛顿第二定律有mgcos 60°＋FN＝mω2r，Ff＝mgsin 60°≤μFN，解得ω≥ rad/s，故A、B、D错误，C正确。
【典例24】(2024·山东青岛市期中)如图所示，一倾斜圆盘可绕通过圆心、垂直于盘面的固定轴以不同的角速度匀速转动，盘面上距离转轴l＝5 cm处有一可视为质点的物块在圆盘上且始终与圆盘保持相对静止。已知物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面间的夹角θ＝30°，重力加速度大小g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A.若圆盘角速度逐渐增大，物块会在最高点发生相对滑动
B.圆盘转动时角速度可能为5 rad/s
C.物块运动到最高点时所受摩擦力方向一定背离圆心
D.物块运动到与圆盘圆心等高点时，摩擦力的方向垂直于物体和圆盘圆心的连线
【答案】C
【详解】物块在最低点即将滑动时，此时圆盘角速度最大，由牛顿第二定律有μmgcos 30°－mgsin 30°＝ml，解得ω1＝5 rad/s，故B错误；物块在最高点恰好不受摩擦力时，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝ml，解得ω2＝10 rad/s>5 rad/s，物块运动到最高点摩擦力一定背离圆心，但不会发生相对滑动，故A错误，C正确；由于物块做匀速圆周运动，合力方向指向圆盘中心，重力沿盘面的下滑分力与摩擦力的合力提供向心力，则与圆盘圆心等高点处摩擦力的方向不垂直于物块和圆盘圆心的连线，故D错误。
【题型考法05】圆周运动综合问题
【典例25】(多选)如图所示，半径R＝3l的光滑圆筒竖直固定，长度为5l的轻绳，一端固定在圆筒轴线上一点，另一端悬挂可视为质点、质量为m的小球。现使小球在水平面内做匀速圆周运动，小球始终在圆筒内，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.小球角速度越大，轻绳的拉力越大
B.小球角速度ω＝时，轻绳的拉力为5mg
C.小球角速度ω＝时，小球受两个力的作用
D.小球角速度ω＝时，筒壁与小球之间作用力大小为mg
【答案】 CD
【详解】当小球角速度较小时，此时小球与圆筒未接触，对小球受力分析得绳子拉力为FT＝，可知此时随着小球角速度越大θ越大，绳子的拉力越大，当小球与圆筒接触后，小球角速度再大时θ不变，故此时绳子的拉力不变，故A错误；当小球与圆筒刚好接触时有mgtan θ＝mω2R，tan θ＝，解得ω＝，故可知当ω>时，小球此时与圆筒间有弹力，故当小球角速度ω＝时，此时小球与圆筒间有弹力，绳子的拉力为FT＝mg，当小球角速度ω＝<时，小球未与圆筒接触，此时只受重力和绳子的拉力两个力的作用，故B错误，C正确；当小球角速度ω＝时，此时小球与圆筒间有弹力作用，对小球受力分析FTsin θ＋FN＝mω2R，FTcos θ＝mg，解得筒壁与小球之间作用力大小为FN＝mg，故D正确。
【典例26】(多选)如图所示，竖直平面内有一半径为R＝0.35 m且内壁光滑的圆形轨道，轨道底端与光滑水平面相切，一小球(可视为质点)以大小为3.5 m/s的初速度v0进入轨道，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A.小球不会脱离圆轨道
B.小球会脱离圆轨道
C.小球脱离圆轨道时的速度大小为 m/s
D.小球脱离圆轨道的位置与圆心的连线和水平方向间的夹角为30°
【答案】 BCD
【详解】若小球恰能到达最高点，由重力提供向心力，则有mg＝m，解得v＝ m/s，若小球从最低点恰好能到最高点，根据机械能守恒定律得mv0'2＝mg·2R＋mv2，解得v0'＝ m/s>v0＝3.5 m/s，故小球不可能运动到最高点，若小球恰好到达与圆心等高的点，则mv0″2＝mgR，得v0″＝ m/s在脱离点，支持力等于0，由牛顿第二定律得mgsin θ＝m，从最低点到脱离点，由机械能守恒定律得m＝mgR(1＋sin θ)＋m，联立解得sin θ＝，即θ＝30°，
则v1＝ m/s，故C、D正确。
【典例27】（2024 河南模拟）如图所示，轻杆上端可绕光滑铰链O在竖直平面内自由转动。可视为质点的小球A固定在轻杆末端。用细绳连接小球B，绳的另一端穿过位于O点正下方的小孔P与A相连。用沿绳斜向上的拉力F作用于小球A，使杆保持水平，某时刻撤去拉力，小球A、B带动轻杆绕O点转动。已知小球A、B的质量均为m，杆长为3L，OP长为5L，重力加速度为g，忽略一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．杆保持水平时，轻杆对小球A的拉力大小为
B．运动过程中，两小球速度大小相等时的速度值为
C．运动过程中，两小球速度大小相等时细绳对小球A的拉力大小为
D．运动过程中，两小球速度大小相等时轻杆对小球A的拉力大小为
【答案】 C
【详解】解：A、对小球A受力分析如图1，可知三力构成的矢量三角形与△OPA相似，根据相似三角形性质有：
代入数据解得：，故A错误；
B、小球A绕O点转动做圆周运动，速度方向沿圆周轨迹切线方向，又因小球A、B通过细绳连接在一起，两者沿绳方向的分速度相等，故两小球速度大小相等时，细绳与小球A的圆周轨迹相切，如图2所示，由几何关系得：，
此时小球A下降的高度：
小球B下降的高度：
对系统由机械能守恒有：mghA+mghB
联立代入数据解得：，故B错误；
C、两小球速度大小相等时，对小球A受力分析如图3，沿绳方向应有：T'+mgcosθ＝ma1
小球B与小球A沿绳方向的加速度大小相等，则对小球B有：mg﹣T'＝ma1
将角度θ代入并联立解得：，故C正确；
D、对A球，在速度最大时，沿杆方向应有：
代入数据解得：，故D错误。
故选：C。高考物理一轮复习《考点题型训练》系列
专题04 曲线运动
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 曲线运动 运动的合成与分解 2025·湖南卷、2025·黑吉辽卷 2024·安徽卷 2023·江苏卷、全国乙卷、辽宁卷 2021·辽宁卷 注重基础知识考查，像物体做曲线运动的条件、平抛运动和圆周运动的规律等仍是重点，常以选择题或计算题形式出现。命题会结合生活、科技情境，如以滑雪大跳台、带电粒子在电磁场中的运动等为背景考查曲线运动知识。同时，注重考查综合运用能力，曲线运动常与功能关系、牛顿运动定律等结合命题。此外，开放性、探究性问题增多，鼓励学生深入思考，培养创新思维和解决复杂问题的能力。
考点2 抛体运动 2025·云南卷、2025·北京卷 2024·新课标卷、江苏卷、湖北卷 2023·江苏卷、新课标卷、山东卷 2022·广东卷、河北卷 2021·广东卷、山东卷
考点3 圆周运动 2025·江苏卷、广东卷 2024·广东卷、甘肃卷、黑吉辽卷 2023·江苏卷、全国甲卷、北京卷 2022·北京卷、全国甲卷 2021·全国甲卷、广东卷
【题型考法01】两直线运动的合运动
曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
质点在某一点的速度方向，沿运动轨迹的切线方向；合力方向指向曲线的“凹”侧；
运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
a恒定时，做匀变速曲线运动；a变化，做非匀变速曲线运动。
判断两个直线运动的合运动性质的方法
⑴分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的性质。
⑵常见的情况：
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
【典例1】(2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是( )
【典例2】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（ ）
A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【典例3】（多选）（2024·安徽·高考真题）一倾角为足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图（1）所示。从开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力和，其大小与时间t的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力。则（ ）
A．物块始终做匀变速曲线运动 B．时，物块的y坐标值为2.5m
C．时，物块的加速度大小为
D．时，物块的速度大小为
【题型考法02】小船渡河问题
船的实际运动
明确船的实际运动效果为合运动，同时明确两个匀速直线运动，即船参与水流方向的匀速运动和参与船头朝向（即船的静水速度方向）的匀速运动。要特别两个分运动与合运动的等时性。
区分三种速度
船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际运动速度v。
渡河问题两种模型
渡河时间最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船【典例4】（2021·辽宁·高考真题）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（ ）
A．75s B．95s
C．100s D．300s
【典例5】如图所示，一条小船从码头A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA'方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的码头B靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的码头C靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是( )
A.小船沿AB、AC过河的时间相等
B.小船沿AC过河的时间更长
C.v1∶v2＝1∶2
D.当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°
【典例6】 (多选)(2025·山东威海市检测)如图，小船以大小为5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度v1(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是( )
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
【题型考法03】连接体关联速度问题
题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。
【典例7】甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是( )
A.v1∶v2＝∶3 B.v1∶v2＝3∶7
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
【典例8】(多选)(2024·山东省段考)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B在光滑斜面上。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为β时，物块B的速度大小为v2。斜面倾角为α，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A. B.＝cos β
C.轻绳拉力一定大于mgsin α D.斜面受到地面水平向左的摩擦力
【题型考法01】平抛运动规律及应用
平抛运动
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
研究方法：化曲为直
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动。
基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。
平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
两个推论
⑴做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
⑵做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。
【典例9】（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（ ）
A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
【典例10】 (2024·浙江台州三校联考)近年来，国家大力开展冰雪运动进校园活动，蹬冰踏雪深受学生喜爱。如图6所示，两名滑雪运动员(均视为质点)从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1∶v2＝2∶1，不计空气阻力，重力加速度为g，则两名运动员从飞出至落到斜坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是( )
图6
A.他们飞行时间之比为t1∶t1＝1∶2
B.他们飞行的水平位移之比为x1∶x2＝2∶1
C.他们速度变化之比为Δv1∶Δv2＝2∶1
D.他们在空中离坡面的最大距离之比为s1∶s2＝2∶1
【典例11】(2024·重庆高三模拟)如图8所示，将一小球从A点以某一初速度水平拋出，小球恰好落到斜面底端B点；若在B点正上方与A等高的C点将小球以相同大小的初速度水平抛出，小球落在斜面上的D点，A、B、C、D在同一竖直面上，则为( )
图8
A. B.
C. D.
【题型考法02】斜抛运动规律及应用
斜抛运动
将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
(1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
(2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时
①射高：h＝。
②斜抛运动的飞行时间：t＝。
③射程：s＝v0cos θ·t＝，
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
【典例12】（2024·江苏·高考真题）某广场喷泉喷出的两水柱如图中a、b所示。不计空气阻力，a、b中的水（ ）
A．加速度相同 B．喷出时的初速度相同
C．在最高点的速度相同 D．在空中的运动时间相同
【典例13】(多选)（2024·福建·高考真题）如图，某同学在水平地面上先后两次从点抛出沙包，分别落在正前方地面和处。沙包的两次运动轨迹处于同一竖直平面，且交于点，点正下方地面处设为点。已知两次运动轨迹的最高点离地高度均为，，，，沙包质量为，忽略空气阻力，重力加速度大小取，则沙包（ ）
A．第一次运动过程中上升与下降时间之比
B．第一次经点时的机械能比第二次的小
C．第一次和第二次落地前瞬间的动能之比为
D．第一次抛出时速度方向与落地前瞬间速度方向的夹角比第二次的大
【题型考法01】圆周运动的动力学问题
描述圆周运动的各物理量之间的关系
常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图3甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
图3
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图4甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
图4
(3)同轴转动：如图5甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。
图5
【典例14】（2025·江苏·高考真题）游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以、为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与、恰好在同一条直线上。则（ ）
A．A点做匀速圆周运动 B．点做匀速圆周运动
C．此时A点的速度小于点 D．此时A点的速度等于点
【典例15】(多选)(2025·山东烟台市校考)一位同学玩飞镖游戏，已知飞镖距圆盘为L，对准圆盘上边缘的A点水平抛出飞镖，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直于盘面且过盘心O点的水平轴匀速转动。不计空气阻力，重力加速度为g。若飞镖恰好击中A点，下列说法正确的是( )
A.从飞镖抛出到恰好击中A点，A点一定转动到最低点位置
B.从飞镖抛出到恰好击中A点的时间为
C.圆盘的半径为
D.圆盘转动的角速度一定满足(k＝1，2，3，…)
【典例16】(多选)(2024·广东深圳高三期中)如图8所示，杂技演员进行表演时，可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则该演员( )
图8
A.受到4个力的作用 B.所需的向心力由弹力提供
C.角速度越大，人受到的摩擦力越大 D.圆筒的角速度ω≥
【题型考法02】水平面内圆周运动
运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆。
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。
常见的两种临界极值问题
(1)与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
(2)与弹力有关的临界极值问题
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
【典例17】（多选）（2024·甘肃·高考真题）电动小车在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．小车的动能不变 B．小车的动量守恒
C．小车的加速度不变 D．小车所受的合外力一定指向圆心
【典例18】（2024·江苏·高考真题）如图所示，轻绳的一端拴一个蜂鸣器，另一端穿过竖直管握在手中。蜂鸣器在水平面内做匀速圆周运动，缓慢下拉绳子，使蜂鸣器升高到水平面内继续做匀速圆周运动。不计空气阻力和摩擦力，与升高前相比，蜂鸣器（ ）
A．角速度不变 B．线速度减小
C．向心加速度增大 D．所受拉力大小不变
【典例19】(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω＝是b开始滑动的临界角速度
D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
【题型考法03】竖直面内圆周运动
绳球、杆球两种模型对比
物理情景 轻绳模型 轻杆模型
实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示 最高点无支撑 最高点有支撑
受力 特征 在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下或等于零 在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下、等于零或向上
受力 示意图
力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
临界 特征 FT＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 FN＝mg
过最高点 的条件 在最高点的速度 v≥ v≥0
竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
【典例20】(多选)（2025·福建·高考真题）春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，，手绢做匀速圆周运动，则（ ）
A．P、Q线速度之比为
B．P、Q角速度之比为
C．P、Q向心加速度之比为
D．P点所受合外力总是指向O
【典例21】（2022·北京·高考真题）我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验（ ）
A．小球的速度大小均发生变化 B．小球的向心加速度大小均发生变化
C．细绳的拉力对小球均不做功 D．细绳的拉力大小均发生变化
【典例22】(多选)(2025·山东烟台市校考)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球直径略小于管道的尺寸，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A.小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B.小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【题型考法04】倾斜面内圆周运动
物体在倾斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，平行斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力。
在转动过程中，转动越快，物体最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时，有μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R。
【典例23】(2025·山东潍坊市模拟)如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r＝1.5 m。筒壁内有一小物体(可视为质点)与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60°，重力加速度g取10 m/s2，则ω的最小值是( )
A.1 rad/s B. rad/s C. rad/s D.5 rad/s
【典例24】(2024·山东青岛市期中)如图所示，一倾斜圆盘可绕通过圆心、垂直于盘面的固定轴以不同的角速度匀速转动，盘面上距离转轴l＝5 cm处有一可视为质点的物块在圆盘上且始终与圆盘保持相对静止。已知物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面间的夹角θ＝30°，重力加速度大小g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A.若圆盘角速度逐渐增大，物块会在最高点发生相对滑动
B.圆盘转动时角速度可能为5 rad/s
C.物块运动到最高点时所受摩擦力方向一定背离圆心
D.物块运动到与圆盘圆心等高点时，摩擦力的方向垂直于物体和圆盘圆心的连线
【题型考法05】圆周运动综合问题
【典例25】(多选)如图所示，半径R＝3l的光滑圆筒竖直固定，长度为5l的轻绳，一端固定在圆筒轴线上一点，另一端悬挂可视为质点、质量为m的小球。现使小球在水平面内做匀速圆周运动，小球始终在圆筒内，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.小球角速度越大，轻绳的拉力越大
B.小球角速度ω＝时，轻绳的拉力为5mg
C.小球角速度ω＝时，小球受两个力的作用
D.小球角速度ω＝时，筒壁与小球之间作用力大小为mg
【典例26】(多选)如图所示，竖直平面内有一半径为R＝0.35 m且内壁光滑的圆形轨道，轨道底端与光滑水平面相切，一小球(可视为质点)以大小为3.5 m/s的初速度v0进入轨道，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A.小球不会脱离圆轨道
B.小球会脱离圆轨道
C.小球脱离圆轨道时的速度大小为 m/s
D.小球脱离圆轨道的位置与圆心的连线和水平方向间的夹角为30°
【典例27】（2024 河南模拟）如图所示，轻杆上端可绕光滑铰链O在竖直平面内自由转动。可视为质点的小球A固定在轻杆末端。用细绳连接小球B，绳的另一端穿过位于O点正下方的小孔P与A相连。用沿绳斜向上的拉力F作用于小球A，使杆保持水平，某时刻撤去拉力，小球A、B带动轻杆绕O点转动。已知小球A、B的质量均为m，杆长为3L，OP长为5L，重力加速度为g，忽略一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．杆保持水平时，轻杆对小球A的拉力大小为
B．运动过程中，两小球速度大小相等时的速度值为
C．运动过程中，两小球速度大小相等时细绳对小球A的拉力大小为
D．运动过程中，两小球速度大小相等时轻杆对小球A的拉力大小为
