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重难点02：比较大小的难点解构与思维升级
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢 1
实战演练·能力进阶攀高峰 3
题型一、单调性法比大小（直接法） 3
题型二、媒介值法比大小（以0,1作媒介） 5
题型三、作差、商法比大小 6
题型四、构造函数法比大小 8
题型五、指对同构法比大小 10
题型六、放缩法比大小 12
题型七、指、对、幂及三角函数比大小综合问题 14
底数相同、指数不同的指数式，如，利用指数函数的单调性比较大小。
指数相同、底数不同的幂式，如和，利用幂函数的单调性比较大小。
底数相同、真数不同的对数式，如，利用对数函数的单调性比较大小。
抽象函数定义法比较大小，如函数单调递增（或递减）且，则（或）。
注：除上述函数外，通常也可能结合其它函数（如三角函数、分段函数、对勾函数等）或函数性质（奇偶性、轴对称、点对称等）比较大小
当需要比较的多个数，其底数、指数、真数均不相同，且直接通过作差法、商法等常规方法难以直接判断大小时，就可以使用媒介值法。具体来说，就是寻找像 0、1 或者其他能明确判断数的大小关系的数作为媒介值，然后将需要比较的数分别与媒介值进行比较，再依据这些比较结果，结合函数的单调性等性质，来确定这些数之间的大小关系。
作差法：作差与0比较大小。
作商法：作商与1（或-1）比较大小。
注：作差、商后若不能直观得出与0,1，-1等的大小关系，需要构造函数，利用单调性判断。
作差、商后直接构造函数，利用单调性、极值、最值判断。
观察需比较数的结构，总结同构规律，利用单调性、极值、最值判断。
常见同构模型：
积型：不等式：
同左：变形为，构造函数。
同右：变形为，构造函数。
取对数：变形为，构造函数 。
商型：不等式：
同左：变形为，构造函数。
同右：变形为，构造函数。
取对数：变形为，构造函数 。
和差型：不等式：
同左：变形为，构造函数。
同右：变形为，构造函数。
六大超越函数图像：
解决指数、对数、幂函数、三角函数比较大小时，以下3组切线放缩模型最常用：
指数放缩
）
）
时取等号）
对数放缩
，（当且仅当时取等号）
，当且仅当时取等号。
三角函数放缩
注：不等式链：
【1-1】已知，则（）
A. B. C. D.
【1-2】设，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
【1-3】设，则（）
A. B. C. D.
【2-1】已知，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
【2-2】已知试比较的大小（）
A. B. C. D.
【2-3】已知，则下列大小比较正确的是（）
A. B. C. D.
【3-1】若，则A、B的大小关系为（）
A． B． C． D．无法确定
【3-2】若，则下列不等式中一定不成立的是（）
A. B. C. D.
【3-3作商】设为正实数，且，则（）
A. B. C. D.
【4-1】已知的大小关系为（）
A. B. C. D.
【4-2】设，则（）
A. B. C. D.
【4-3】设，则（）
A. B. C. D.
【5-1】已知，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【5-2】若，则（）
A. B. C. D.
【5-3】设，则下列选项正确的是（）
A. B. C. D.
【6-1】已知为自然对数的底数，则（）
A. B. C. D.
【6-2】已知，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
【6-3】若，则（）
A. B. C. D.
【7-1】已知，则（）
A. B. C. D.
【7-2】已知，则（）
A． B． C． D．
【7-3】设，则（）
A. B. C. D.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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重难点02：比较大小的难点解构与思维升级
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢 1
实战演练·能力进阶攀高峰 3
题型一、单调性法比大小（直接法） 3
题型二、媒介值法比大小（以0,1作媒介） 4
题型三、作差、商法比大小 5
题型四、构造函数法比大小 5
题型五、指对同构法比大小 6
题型六、放缩法比大小 7
题型七、指、对、幂及三角函数比大小综合问题 7
底数相同、指数不同的指数式，如，利用指数函数的单调性比较大小。
指数相同、底数不同的幂式，如和，利用幂函数的单调性比较大小。
底数相同、真数不同的对数式，如，利用对数函数的单调性比较大小。
抽象函数定义法比较大小，如函数单调递增（或递减）且，则（或）。
注：除上述函数外，通常也可能结合其它函数（如三角函数、分段函数、对勾函数等）或函数性质（奇偶性、轴对称、点对称等）比较大小
当需要比较的多个数，其底数、指数、真数均不相同，且直接通过作差法、商法等常规方法难以直接判断大小时，就可以使用媒介值法。具体来说，就是寻找像 0、1 或者其他能明确判断数的大小关系的数作为媒介值，然后将需要比较的数分别与媒介值进行比较，再依据这些比较结果，结合函数的单调性等性质，来确定这些数之间的大小关系。
作差法：作差与0比较大小。
作商法：作商与1（或-1）比较大小。
注：作差、商后若不能直观得出与0,1，-1等的大小关系，需要构造函数，利用单调性判断。
作差、商后直接构造函数，利用单调性、极值、最值判断。
观察需比较数的结构，总结同构规律，利用单调性、极值、最值判断。
常见同构模型：
积型：不等式：
同左：变形为，构造函数。
同右：变形为，构造函数。
取对数：变形为，构造函数 。
商型：不等式：
同左：变形为，构造函数。
同右：变形为，构造函数。
取对数：变形为，构造函数 。
和差型：不等式：
同左：变形为，构造函数。
同右：变形为，构造函数。
六大超越函数图像：
解决指数、对数、幂函数、三角函数比较大小时，以下3组切线放缩模型最常用：
指数放缩
）
）
时取等号）
对数放缩
，（当且仅当时取等号）
，当且仅当时取等号。
三角函数放缩
注：不等式链：
【1-1】已知，则（）
A. B. C. D.
【1-2】设，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
【1-3】设，则（）
A. B. C. D.
【2-1】已知，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
【2-2】已知试比较的大小（）
A. B. C. D.
【2-3】已知，则下列大小比较正确的是（）
A. B. C. D.
【3-1】若，则A、B的大小关系为（）
A． B． C． D．无法确定
【3-2】若，则下列不等式中一定不成立的是（）
A. B. C. D.
【3-3作商】设为正实数，且，则（）
A. B. C. D.
【4-1】已知的大小关系为（）
A. B. C. D.
【4-2】设，则（）
A. B. C. D.
【4-3】设，则（）
A. B. C. D.
【5-1】已知，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【5-2】若，则（）
A. B. C. D.
【5-3】设，则下列选项正确的是（）
A. B. C. D.
【6-1】已知为自然对数的底数，则（）
A. B. C. D.
【6-2】已知，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
【6-3】若，则（）
B. C. D.
【7-1】已知，则（）
A. B. C. D.
【7-2】已知，则（）
A． B． C． D．
【7-3】设，则（）
A. B. C. D.
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