浙江省宁波市镇海蛟川书院2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2025八上·宁波开学考） 如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（ ）
A．50° B．55° C．63° D．65°
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵光线的反射角等于入射角，∠1=50°，∠3=76°，
∴∠6=∠1=50°，∠5 = ∠3 = 76°，∠2=∠4，
∴
故答案为：C.
【分析】由光线的反射角等于入射角得出∠6=∠1=50°，∠5 = ∠3 = 76°，∠2=∠4，由平角的定义和三角形内角和定理求出∠2，即可得出结果.
2．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，M是的中点，E是延长线上的动点，作交的延长线于点F．记，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C．xy D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：连接CM，设AF，ME交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD.
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵∠D=45°
∴∠CAD=∠D=45°
∴CA=CD，
∵AM=MD
∴CM=AM=MD，CM⊥AD，
∵∠AMC=∠EMF=90°，
∴∠AME=∠CMF.
∵∠EAO=∠FMO=90°，∠AOE=∠FOB，
∴∠E =∠F
∴△AME≌△CMF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE-BE=AB=2，
∴CF-BE=2，
∴y- = 2，
∴x-y=-2的值不变.
故答案为：B.
【分析】连接CM，设AF，ME交于点O，证明△AME≌△CMF，推出AE=CF可得结论.
3．（2025八上·宁波开学考） 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
故答案为：D.
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可.
4．（2025八上·宁波开学考） 如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图：图中与△ABC有一条公共边且全等(不含△ABC)的所有格点三角形的个数是5个.
故答案为：A.
【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案.
5．（2025八上·宁波开学考）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作直线 所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点 内角平分线相交于点 根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案.
6．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（ ）
A．12 B．24 C．18 D．20
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为正方形
设边长为x，
由勾股定理可知
AB2+BC2=AC2
(AE+x)2+(x+FC)2=(8+3)2
AE2+x2+2AEx+x2+FC2+2FCx=121
AD2+2AEx+CD2+2FCx=121，
32+82+4S阴影=121，
∴S阴影=12，
故答案为：A.
【分析】根据角平分线性质得到四边形BFDE为正方形，根据正方形的边长和三角形的面积得到关于阴影面积的等式，最后求出阴影部分的面积.
7．（2025八上·宁波开学考） 将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为，
n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为
故答案为：C.
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和.
8．（2025八上·宁波开学考） 如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．6
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CA到点F，使AF=AC，连接BF，
∵点E为BC的中点，
∴AE为△BCF的中位线
∴AE//BF，，
∵AB=AC=4，点E为BC的中点
∴AE⊥BC，BE=CE
∵∠BCD=90°
∴AE//CD，
∴BF//CD，
∵BD//AC，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∴CD=BF.
即CD=2AE
∴，，
∴，
∵AE⊥BC，AB=AC=4，
∴AE2+BE2=AB2=16，
∵(AE-BE)2≥0.
∴AE2-2AE·BE+BE2≥0
即AE2+BE2≥2AE·BE
∴16≥2AE·BE
∴AE·BE≤8.
即的最大值是8，‘
故答案为：A.
【分析】延长CA到点F，使AF=AC，连接BF，可以得出AE为△BCF的中位线，于是有AE//BF，，由等腰三角形三线合一得出AE⊥BC，即可证得AE//CD，于是推出BF//CD，结合BD//AC可得到四边形BDCF是平行四边形，从而得出CD与AE的数量关系，再根据三角形面积公式分别计算△CDE和△ABE的面积，结合完全平方公式及勾股定理即可得出结果.
9．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM=PM，PN=CN.
∴∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，
∵∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，
∴∠BMN=2∠MPA∠BNM=2∠CPN
又∵∠APC=114°
∴∠BMN+∠BNM=2(∠MPA+∠CPN)=2(180°-∠APC)=132°
∴∠ABC =180°-(∠BMN+∠BNM)=48°，
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，可得∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠CPN，求出∠BMN+∠BNM=132°，根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．（2025八上·宁波开学考） 在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，点E是△ADC的外心，过点作AD的垂直平分线交AD于点F，
∴AE=DE，
∴△ADE为等腰三角形，
∵，
∴AD2=2AE2=AE2+DE2
∴∠AED=90°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴，
∴∠C=45°，即△ABC为等腰直角三角形，
∴，
作AC的垂直平分线l，交AC于点H，则2AH2=18，
∴AH2=9，
∴点E区的轨迹为垂直AC的直线l，当点D运动使得点E运动到点H处时，即S△ADE最小，
此时，，
故答案为：D.
【分析】如图，点E是△ADC的外心，过点作AD的垂直平分线交AD于点F，证得△ADE为等腰三角形，再根据三角形得面积，进而即可求解.
二、填空题
11．（2025八上·宁波开学考） 如图，，，则 ．
【答案】20
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△AOB △COD，
∴∠COD=∠AOB=110°
∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∴∠DOB=∠COD-∠BOC=110°-90°=20°
故答案为：20.
【分析】根据△AOB △COD，可得∠COD=∠AOB=110°，再由∠DOB=∠COD-∠BOC可得结果.
12．（2025八上·宁波开学考） 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．
【答案】1或
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当AP=BQ，AC=BP时，△ACP △BPQ(SAS)
∵P、Q运动的路程和时间相同，
∴Q和P的运动速度相同是1cm/s；
当AP=BP，AC=BQ时，△ACP △BQP(SAS)，
∵(cm)，
∴Q运动的时间是3÷1=3(s)
∵BP=AC=4cm，
∴Q运动的速度是(cm/s).
∴当点Q的运动速度为1或cm/s时，△ACP与△BPQ全等
故答案为：1或.
【分析】当AP=BQ，AC=BP时△ACP △BPQ(SAS)，得到Q和P的运动速度相同是1cm/s；当AP=BP，AC=BQ时，△ACP △BQP(SAS)，求出Q运动的时间是3s，即可求出Q运动的速度是cm/s，于是得到答案.
13．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在△AMK和△BKN中，
∴△AMK≌△BKN(SAS)
∴∠AKM=∠BNK
∵∠AKM+∠BKN+∠NKM=180°，∠BKN+∠BNK+∠B=180°，
∴∠B=∠MKN=40°，
∴∠P=180°-2×40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】利用SAS定理证明△AMK≌△BKN，可得∠AKM=∠BNK，再根据等量代换，三角形内角和定理，进而即可求解.
14．（2025八上·宁波开学考） 如图，中，于D，E是上一点，连接并延长交于F，若，，，．则的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠BDE=∠ADC=90°
在△BDE和△ADC中，
∴△BDE≌△ADC(SAS)
∴∠DBE=∠DAC，BE=AC，
∴∠DBE+∠C=∠DAC+∠C=90°，
∴∠BFC=90°.
∴AF⊥BE
∵FC=30，AF=20，
∴BE=AC=FC+AF=30+20=50，
∴，
∴△ABE的面积是500，
故答案为：500.
【分析】由AD⊥BC于D，得∠BDE=∠ADC=90°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BDE≌△ADC，得∠DBE=∠DAC，BE=AC，则∠DBE+∠C=∠DAC+∠C=90°，即可证明AF⊥BE，因为FC=30，AF=20，所以BE=AC=FC+AF=50，即可求得△ABE的面积.
15．（2025八上·宁波开学考） 如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP.
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°
∴△ABP≌△EBP(ASA)
∴S△ABP=S△BEP， AP=PE
∴△APC和△CPE等底同高
∴S△APC=S△PCE，
设△ACE的面积为m，
∴S△ABE=S△ABC+S△ACE=8+m，
又∵S△PBC=S△BPE -S△CPE， ，
∴
故答案为：4.
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积.
16．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：过点B作BE//AC，且BE=AC，在BA上截取BH=AP，连接CH.
∵AB=AC，AP+AQ=AB，AB=AP+BP，AC=AQ+CQ.
∴AQ=BP，CQ=AP=BH，
∵AC//BE.
∴∠A=∠EBH，
在△ACP和△BEH中
∴△ACP △BEH(SAS)
∴CP=HE
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
在△CBQ和△BCH中，
∴△CBQ △BCH(SAS)
∴CH=BQ.
∴BQ+CP=CH+HE.
∴当点C，点E，点H三点共线时，BQ+CP有最小值，
此时，AC//BE.
∴∠A=∠EBA，∠ACH=∠BEH
又∵AC=BE.
∴△ACH △BEH(ASA)
∴AH=BH，
∴点H是AB的中点
∴
∴
故答案为：.
【分析】由“SAS”可证△ACP≌△BEH，可得CP=HE，由'SAS”可证△CBQ≌△BCH，可得CH=BQ，则BQ+CP=CH+HE，即当点C，点E，点H三点共线时，BQ+CP有最小值，由“ASA”可证△ACH≌△BEH，可得AH=BH，即可求解.
17．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，在上截取FP=EM，连接BD，
∵DA平分∠BAC，
∴DE=DH
同理可得DF=DH，
∴DE=DF ，
在Rt△ADE和Rt△ADH
∴Rt△ADE≌Rt△ADH(HL)，
∴AE=AH，
同理可得CF=CH，
∵DE=DF，∠DEM=∠DFP，EM=FP，
∴△DEM≌△DFP(SAS)
∴DM=DP，∠EDM=∠FDP，
∴∠EDM+∠MDF=∠PDF+∠MDF，
∴∠MDP=∠EDF，
∵DE⊥AB， BF⊥AB.
∴DE//BF，
∵DF⊥BC，
∴DE⊥DF
∴∠MDP=∠EDF=90°，DF=BE=DE=BF
∵∠MDN=45°，
∴∠PDN=45°
在△DMN和△DPN中
∴△DMN≌△DPN(SAS)，
∴MN=NP=NF+FP=NF+EM
∴△BMN的周长 MN+BM+BN=EM+BM+BN+NF=BE+BF=4.
∴BE=BF=DE=DF=DH=2
设AB=a，BC=b，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD
∴，
∴；
∵AE=AB-BE=a-2，CF=BC-BF=b-2，
∴AC=AH+CH=AE+CF=a-2+b-2=13，
∴a+b=17
∴，
∴Rt△ABC的面积为30，
故答案为：30.
【分析】过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，在E上截取FP=EM，连接BD根据角平分线的性质得到DE=DH=DF，证明Rt△ADE≌Rt△ADH得到AE=AH，证明Rt△CDF≌Rt△CDH得到CF=CH，证明△DEM≌△DFP，得到DM=DP，∠EDM=∠FDP，再证明△DMN≌△DPN(SAS)得到MN=NP=NF+FP=NF+EM，则可求出BE=BF=2，设AB=a，BC=b，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD，可得；根据AC=AH+CH=AE+CF=a-2+b-2=13可得a+b=17，据此可得答案.
18．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，，则的周长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵点F是线段AC的中点，CF=5
∴AC=2CF=2×5=10.
∵DE是线段BC的垂直平分线
∴EB=EC.
∴△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+EC=AB+AC=8+10=18
故答案为：18.
【分析】根据中点的性质求出AC，根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，再根据三角形周长公式计算即可.
三、解答题
19．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和．
【答案】解：由题知AB=AC，∠BAC=90°，
将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，
如图，连接EF，
∴AD=AF，∠BAD=∠CAF，∠ABD=∠ACF=45°，CF=BD=3，△ABD≌△ACF，
∴S△ABD=S△ACF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°
∴∠CAE+∠CAF=45°，即∠FAE=45°.
在△ADE和△AFE中，
∴△ADE≌△AFE(SAS)
∴S△ADE=S△AFE，
∴S△AFE=15，
∵∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF是直角三角形，
∴.
∴S△ABD+S△AEC=S△ACF+S△AEC=S△AFE+S△CEF=15+6=21，即△ABD与△AEC的面积之和为21.
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由旋转的性质可知，AD=AF，∠BAD=∠CAF，∠ABD=∠ACF=45°，CF=BD=3，△ABD≌△ACF，可推出S△ABD=S△ACF，再利用SAS定理证明△ADE≌△AFE，再利用三角形的面积公式进而即可求解.
20．（2025八上·宁波开学考） 已知，均为等腰直角三角形，
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，在图1的基础上延长和相交于点，过点作于点，若，，求的长；
（3）如图3，点，分别在上，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，求证：．
【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∴△ABE △ACD(SAS)，
∴BE=CD
（2）解：连接AG，作AN⊥DG于点N，
由(1)知，△BAE≌△CAD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵AE=AD，∠AFE=∠AND=90°，
∴△AEF≌△ADN (AAS)
∴AF=AN，EF=DN，∠EAF=∠NAC，
∴∠FAN=∠DAE=90°，
∴四边形AFGN为正方形
∴FG=GN.
同理△ABF≌△ACN(AAS)
∴BF=CN.
设BF=x，则CN=x.
∴FG=GN=CG+CN=2+x，
∴x+2+x=7，
∴x=2.5
∴BF=2.5
（3）证明：在CE上取点M，使得EM=DG，连接AM，
∵DH⊥CE.
∴∠DHE=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ADH+∠AEH=180°
∵∠ADH+∠ADG=180°
∴∠ADG=∠AEM，
在△ADG与△AEM中
∴△ADG≌△AEM(SAS)，
∴AG=AM，∠GAD=∠MAE
∵AG//BC
∴∠GAD=∠ACB=45°
∴∠GAD=∠DAM，
在△ACG与△ACM中
∴△ACG≌△ACM(SAS)
∴CG=CM.
∴CG+DG=CM+EM=CE
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明△ABE≌△ACD(SAS)得出BE=CD；
(2)连接AG，作AN⊥CD于点N，由(1)知△BAE≌△CAD，证明△AEF≌△ADN(AAS)，得AF=AN，EF=DN，∠EAF=∠NAC，证出FQ=FN，证明四边形AFGN为正方形，得FG=GN，同理△ABF≌△ACN(AAS)，得BF=CN，则可得出答案；
(3)在CE上取点M，使得EM=DG，连接AM，证明△ADG≌△AEM(SAS)，得出AG=AM，∠GAD=∠MAE，证明△ACG≌△ACM(SAS)，得出CG=CM，则可得出结论.
1 / 1浙江省宁波市镇海蛟川书院2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷
一、单选题
1．（2025八上·宁波开学考） 如图，一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若，则的度数为（ ）
A．50° B．55° C．63° D．65°
2．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，M是的中点，E是延长线上的动点，作交的延长线于点F．记，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C．xy D．
3．（2025八上·宁波开学考） 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025八上·宁波开学考） 如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．（2025八上·宁波开学考）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
6．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（ ）
A．12 B．24 C．18 D．20
7．（2025八上·宁波开学考） 将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八上·宁波开学考） 如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．6
9．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
10．（2025八上·宁波开学考） 在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题
11．（2025八上·宁波开学考） 如图，，，则 ．
12．（2025八上·宁波开学考） 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．
13．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．
14．（2025八上·宁波开学考） 如图，中，于D，E是上一点，连接并延长交于F，若，，，．则的面积是 ．
15．（2025八上·宁波开学考） 如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ．
16．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ．
17．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为 ．
18．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，，则的周长为 ．
三、解答题
19．（2025八上·宁波开学考） 如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和．
20．（2025八上·宁波开学考） 已知，均为等腰直角三角形，
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，在图1的基础上延长和相交于点，过点作于点，若，，求的长；
（3）如图3，点，分别在上，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵光线的反射角等于入射角，∠1=50°，∠3=76°，
∴∠6=∠1=50°，∠5 = ∠3 = 76°，∠2=∠4，
∴
故答案为：C.
【分析】由光线的反射角等于入射角得出∠6=∠1=50°，∠5 = ∠3 = 76°，∠2=∠4，由平角的定义和三角形内角和定理求出∠2，即可得出结果.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：连接CM，设AF，ME交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD.
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵∠D=45°
∴∠CAD=∠D=45°
∴CA=CD，
∵AM=MD
∴CM=AM=MD，CM⊥AD，
∵∠AMC=∠EMF=90°，
∴∠AME=∠CMF.
∵∠EAO=∠FMO=90°，∠AOE=∠FOB，
∴∠E =∠F
∴△AME≌△CMF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE-BE=AB=2，
∴CF-BE=2，
∴y- = 2，
∴x-y=-2的值不变.
故答案为：B.
【分析】连接CM，设AF，ME交于点O，证明△AME≌△CMF，推出AE=CF可得结论.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
故答案为：D.
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图：图中与△ABC有一条公共边且全等(不含△ABC)的所有格点三角形的个数是5个.
故答案为：A.
【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作直线 所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点 内角平分线相交于点 根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为正方形
设边长为x，
由勾股定理可知
AB2+BC2=AC2
(AE+x)2+(x+FC)2=(8+3)2
AE2+x2+2AEx+x2+FC2+2FCx=121
AD2+2AEx+CD2+2FCx=121，
32+82+4S阴影=121，
∴S阴影=12，
故答案为：A.
【分析】根据角平分线性质得到四边形BFDE为正方形，根据正方形的边长和三角形的面积得到关于阴影面积的等式，最后求出阴影部分的面积.
7．【答案】C
【知识点】正方形的性质；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为，
n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为
故答案为：C.
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CA到点F，使AF=AC，连接BF，
∵点E为BC的中点，
∴AE为△BCF的中位线
∴AE//BF，，
∵AB=AC=4，点E为BC的中点
∴AE⊥BC，BE=CE
∵∠BCD=90°
∴AE//CD，
∴BF//CD，
∵BD//AC，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∴CD=BF.
即CD=2AE
∴，，
∴，
∵AE⊥BC，AB=AC=4，
∴AE2+BE2=AB2=16，
∵(AE-BE)2≥0.
∴AE2-2AE·BE+BE2≥0
即AE2+BE2≥2AE·BE
∴16≥2AE·BE
∴AE·BE≤8.
即的最大值是8，‘
故答案为：A.
【分析】延长CA到点F，使AF=AC，连接BF，可以得出AE为△BCF的中位线，于是有AE//BF，，由等腰三角形三线合一得出AE⊥BC，即可证得AE//CD，于是推出BF//CD，结合BD//AC可得到四边形BDCF是平行四边形，从而得出CD与AE的数量关系，再根据三角形面积公式分别计算△CDE和△ABE的面积，结合完全平方公式及勾股定理即可得出结果.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM=PM，PN=CN.
∴∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，
∵∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，
∴∠BMN=2∠MPA∠BNM=2∠CPN
又∵∠APC=114°
∴∠BMN+∠BNM=2(∠MPA+∠CPN)=2(180°-∠APC)=132°
∴∠ABC =180°-(∠BMN+∠BNM)=48°，
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，可得∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠CPN，求出∠BMN+∠BNM=132°，根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，点E是△ADC的外心，过点作AD的垂直平分线交AD于点F，
∴AE=DE，
∴△ADE为等腰三角形，
∵，
∴AD2=2AE2=AE2+DE2
∴∠AED=90°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴，
∴∠C=45°，即△ABC为等腰直角三角形，
∴，
作AC的垂直平分线l，交AC于点H，则2AH2=18，
∴AH2=9，
∴点E区的轨迹为垂直AC的直线l，当点D运动使得点E运动到点H处时，即S△ADE最小，
此时，，
故答案为：D.
【分析】如图，点E是△ADC的外心，过点作AD的垂直平分线交AD于点F，证得△ADE为等腰三角形，再根据三角形得面积，进而即可求解.
11．【答案】20
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△AOB △COD，
∴∠COD=∠AOB=110°
∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∴∠DOB=∠COD-∠BOC=110°-90°=20°
故答案为：20.
【分析】根据△AOB △COD，可得∠COD=∠AOB=110°，再由∠DOB=∠COD-∠BOC可得结果.
12．【答案】1或
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当AP=BQ，AC=BP时，△ACP △BPQ(SAS)
∵P、Q运动的路程和时间相同，
∴Q和P的运动速度相同是1cm/s；
当AP=BP，AC=BQ时，△ACP △BQP(SAS)，
∵(cm)，
∴Q运动的时间是3÷1=3(s)
∵BP=AC=4cm，
∴Q运动的速度是(cm/s).
∴当点Q的运动速度为1或cm/s时，△ACP与△BPQ全等
故答案为：1或.
【分析】当AP=BQ，AC=BP时△ACP △BPQ(SAS)，得到Q和P的运动速度相同是1cm/s；当AP=BP，AC=BQ时，△ACP △BQP(SAS)，求出Q运动的时间是3s，即可求出Q运动的速度是cm/s，于是得到答案.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在△AMK和△BKN中，
∴△AMK≌△BKN(SAS)
∴∠AKM=∠BNK
∵∠AKM+∠BKN+∠NKM=180°，∠BKN+∠BNK+∠B=180°，
∴∠B=∠MKN=40°，
∴∠P=180°-2×40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】利用SAS定理证明△AMK≌△BKN，可得∠AKM=∠BNK，再根据等量代换，三角形内角和定理，进而即可求解.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠BDE=∠ADC=90°
在△BDE和△ADC中，
∴△BDE≌△ADC(SAS)
∴∠DBE=∠DAC，BE=AC，
∴∠DBE+∠C=∠DAC+∠C=90°，
∴∠BFC=90°.
∴AF⊥BE
∵FC=30，AF=20，
∴BE=AC=FC+AF=30+20=50，
∴，
∴△ABE的面积是500，
故答案为：500.
【分析】由AD⊥BC于D，得∠BDE=∠ADC=90°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BDE≌△ADC，得∠DBE=∠DAC，BE=AC，则∠DBE+∠C=∠DAC+∠C=90°，即可证明AF⊥BE，因为FC=30，AF=20，所以BE=AC=FC+AF=50，即可求得△ABE的面积.
15．【答案】4
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP.
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°
∴△ABP≌△EBP(ASA)
∴S△ABP=S△BEP， AP=PE
∴△APC和△CPE等底同高
∴S△APC=S△PCE，
设△ACE的面积为m，
∴S△ABE=S△ABC+S△ACE=8+m，
又∵S△PBC=S△BPE -S△CPE， ，
∴
故答案为：4.
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积.
16．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：过点B作BE//AC，且BE=AC，在BA上截取BH=AP，连接CH.
∵AB=AC，AP+AQ=AB，AB=AP+BP，AC=AQ+CQ.
∴AQ=BP，CQ=AP=BH，
∵AC//BE.
∴∠A=∠EBH，
在△ACP和△BEH中
∴△ACP △BEH(SAS)
∴CP=HE
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
在△CBQ和△BCH中，
∴△CBQ △BCH(SAS)
∴CH=BQ.
∴BQ+CP=CH+HE.
∴当点C，点E，点H三点共线时，BQ+CP有最小值，
此时，AC//BE.
∴∠A=∠EBA，∠ACH=∠BEH
又∵AC=BE.
∴△ACH △BEH(ASA)
∴AH=BH，
∴点H是AB的中点
∴
∴
故答案为：.
【分析】由“SAS”可证△ACP≌△BEH，可得CP=HE，由'SAS”可证△CBQ≌△BCH，可得CH=BQ，则BQ+CP=CH+HE，即当点C，点E，点H三点共线时，BQ+CP有最小值，由“ASA”可证△ACH≌△BEH，可得AH=BH，即可求解.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，在上截取FP=EM，连接BD，
∵DA平分∠BAC，
∴DE=DH
同理可得DF=DH，
∴DE=DF ，
在Rt△ADE和Rt△ADH
∴Rt△ADE≌Rt△ADH(HL)，
∴AE=AH，
同理可得CF=CH，
∵DE=DF，∠DEM=∠DFP，EM=FP，
∴△DEM≌△DFP(SAS)
∴DM=DP，∠EDM=∠FDP，
∴∠EDM+∠MDF=∠PDF+∠MDF，
∴∠MDP=∠EDF，
∵DE⊥AB， BF⊥AB.
∴DE//BF，
∵DF⊥BC，
∴DE⊥DF
∴∠MDP=∠EDF=90°，DF=BE=DE=BF
∵∠MDN=45°，
∴∠PDN=45°
在△DMN和△DPN中
∴△DMN≌△DPN(SAS)，
∴MN=NP=NF+FP=NF+EM
∴△BMN的周长 MN+BM+BN=EM+BM+BN+NF=BE+BF=4.
∴BE=BF=DE=DF=DH=2
设AB=a，BC=b，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD
∴，
∴；
∵AE=AB-BE=a-2，CF=BC-BF=b-2，
∴AC=AH+CH=AE+CF=a-2+b-2=13，
∴a+b=17
∴，
∴Rt△ABC的面积为30，
故答案为：30.
【分析】过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，在E上截取FP=EM，连接BD根据角平分线的性质得到DE=DH=DF，证明Rt△ADE≌Rt△ADH得到AE=AH，证明Rt△CDF≌Rt△CDH得到CF=CH，证明△DEM≌△DFP，得到DM=DP，∠EDM=∠FDP，再证明△DMN≌△DPN(SAS)得到MN=NP=NF+FP=NF+EM，则可求出BE=BF=2，设AB=a，BC=b，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD，可得；根据AC=AH+CH=AE+CF=a-2+b-2=13可得a+b=17，据此可得答案.
18．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵点F是线段AC的中点，CF=5
∴AC=2CF=2×5=10.
∵DE是线段BC的垂直平分线
∴EB=EC.
∴△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+EC=AB+AC=8+10=18
故答案为：18.
【分析】根据中点的性质求出AC，根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，再根据三角形周长公式计算即可.
19．【答案】解：由题知AB=AC，∠BAC=90°，
将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，
如图，连接EF，
∴AD=AF，∠BAD=∠CAF，∠ABD=∠ACF=45°，CF=BD=3，△ABD≌△ACF，
∴S△ABD=S△ACF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°
∴∠CAE+∠CAF=45°，即∠FAE=45°.
在△ADE和△AFE中，
∴△ADE≌△AFE(SAS)
∴S△ADE=S△AFE，
∴S△AFE=15，
∵∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF是直角三角形，
∴.
∴S△ABD+S△AEC=S△ACF+S△AEC=S△AFE+S△CEF=15+6=21，即△ABD与△AEC的面积之和为21.
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由旋转的性质可知，AD=AF，∠BAD=∠CAF，∠ABD=∠ACF=45°，CF=BD=3，△ABD≌△ACF，可推出S△ABD=S△ACF，再利用SAS定理证明△ADE≌△AFE，再利用三角形的面积公式进而即可求解.
20．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∴△ABE △ACD(SAS)，
∴BE=CD
（2）解：连接AG，作AN⊥DG于点N，
由(1)知，△BAE≌△CAD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵AE=AD，∠AFE=∠AND=90°，
∴△AEF≌△ADN (AAS)
∴AF=AN，EF=DN，∠EAF=∠NAC，
∴∠FAN=∠DAE=90°，
∴四边形AFGN为正方形
∴FG=GN.
同理△ABF≌△ACN(AAS)
∴BF=CN.
设BF=x，则CN=x.
∴FG=GN=CG+CN=2+x，
∴x+2+x=7，
∴x=2.5
∴BF=2.5
（3）证明：在CE上取点M，使得EM=DG，连接AM，
∵DH⊥CE.
∴∠DHE=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ADH+∠AEH=180°
∵∠ADH+∠ADG=180°
∴∠ADG=∠AEM，
在△ADG与△AEM中
∴△ADG≌△AEM(SAS)，
∴AG=AM，∠GAD=∠MAE
∵AG//BC
∴∠GAD=∠ACB=45°
∴∠GAD=∠DAM，
在△ACG与△ACM中
∴△ACG≌△ACM(SAS)
∴CG=CM.
∴CG+DG=CM+EM=CE
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明△ABE≌△ACD(SAS)得出BE=CD；
(2)连接AG，作AN⊥CD于点N，由(1)知△BAE≌△CAD，证明△AEF≌△ADN(AAS)，得AF=AN，EF=DN，∠EAF=∠NAC，证出FQ=FN，证明四边形AFGN为正方形，得FG=GN，同理△ABF≌△ACN(AAS)，得BF=CN，则可得出答案；
(3)在CE上取点M，使得EM=DG，连接AM，证明△ADG≌△AEM(SAS)，得出AG=AM，∠GAD=∠MAE，证明△ACG≌△ACM(SAS)，得出CG=CM，则可得出结论.
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