江苏省无锡市2025年中考数学真题
1．（2025·无锡）计算﹣2+3的结果为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．（2025·无锡）2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次．数据819000用科学记数法表示为（ ）
A．8.19×105 B．81.9×104 C．0.819×105 D．0.819×106
3．（2025·无锡）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．a2 a4＝a6 C．（a2）4＝a6 D．a4÷a＝a4
4．（2025·无锡）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15
5．（2025·无锡）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝4，则BC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2025·无锡）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为90°，则这条弧的长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
7．（2025·无锡）分解因式a3﹣4a的结果是（ ）
A．a（a2+4） B．a（a﹣4）
C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a2﹣1）
8．（2025·无锡）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．5 D．10
10．（2025·无锡）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：
①函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1不具有“对偶关系”；
②函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1；
③若1是函数y1＝kx+3与函数y2＝的“对偶值”，则k＝2；
④若函数y1＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y2＝（x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b≤．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
11．（2025·无锡）|﹣3|= ．
12．（2025·无锡）函数y=中的自变量x的取值范围
13．（2025·无锡）请写出单项式a2b的一个同类项： ．
14．（2025·无锡）请写出命题“若a＞b，则a+1＞b+1”的逆命题： ．
15．（2025·无锡）正七边形的内角和为 度．
16．（2025·无锡）如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为 ．
17．（2025·无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为 ．
18．（2025·无锡）在平行四边形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝8．现将该纸片折叠，折痕与纸片ABCD的两边交于点E、F．若E与A重合，F在BC上，且EF⊥BC，则被折痕分成的△EBF与四边形EFCD的面积的比为 ；若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1：3，则折痕EF长的取值范围是 ．
19．（2025·无锡）（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0；
（2）解不等式组：．
20．（2025·无锡）先化简，再求值：，其中m＝3．
21．（2025·无锡）如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE＝CF，连接AE、DF．
求证：
（1）△ABE≌△DCF；
（2）∠EAD＝∠FDA．
22．（2025·无锡）一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同．
（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是 ；
（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（2025·无锡）2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“3D打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ▲ ，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
（2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；
（3）根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议．
24．（2025·无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出∠EFA的度数）
25．（2025·无锡）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AB＝3，cos∠ABE＝，求AD的长．
26．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．
求妙光塔AB的高度．
27．（2025·无锡）已知二次函数y＝﹣m（m≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C．
（1）若该函数图象经过点，求点A的横坐标；
（2）若m＜3，点P（2，y1）和Q（4，y2）在该函数图象上，证明：y1＞y2；
（3）若△ABC是等腰三角形，求m的值．
28．（2025·无锡）【数学发现】
某校数学兴趣小组进行了如下探究：以△ABC内部任意一点O为中心，画出与△ABC成中心对称的△A'B'C'．当点O处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化．
【问题解决】
组员小明选择面积为1的△ABC，以其内部任意一点O为中心，画出与之成中心对称的△A'B'C'，探究了下列问题，请你帮他解答．
（1）如图3，BC＝2，当点A关于点O的对称点A'落在边BC上时，两个三角形重叠部分为 AQA'P．
①若AA'⊥BC，求AO的长；（请直接写出答案）
②若 AQA'P的面积为，求A'C的长．
（2）如图4，点D为BC的中点，点O在AD上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”EFGHMN，求“平行六边形”EFGHMN面积的最大值，并指出此时点O的位置．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】根据有理数的加法法则计算解答．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：A.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方法则和合并同类项法则进行判断即可．
4．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：平均数为：，
5个数据中，14出现了2次，出现的次数最多，因此众数为：14，
故选：A．
【分析】根据平均数和众数的定义进行计算即可．
5．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，如图所示，
∵D、E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：D．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
6．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】利用弧长的计算公式计算即可．
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故选：C.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，
根据题意，可得．
故选：A．
【分析】设小红的骑行速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两点两垂线型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】设，即可得到，则，，进而得到，再由，列式解答即可．
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①设函数上点坐标轴为 ，
∵关于轴对称
∴点坐标为
若点或点的纵坐标称相等，
∴解得：，
则存在这样的点，使得他们关于轴对称，
∴函数与函数具有“对偶关系”
所以①错误；故不符合题意；
②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意；
③当时，则，解得；
因为是函数与函数的“对偶值”，
所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意；
④设点坐标为，则点坐标为 ，
∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等
∴，整理得，
∵，对于函数，y随m的增大而增大，
当时，；
当时，；
∴，而不是，所以④错误，故不符合题意；
故选：B.
【分析】根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可.
11．【答案】3
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：|﹣3|=3．
故答案为：3．
【分析】根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案． 此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键．
12．【答案】x≠4
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣4≠0，
解得：x≠4．
故答案为：x≠4．
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可．
14．【答案】若，则
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“若，则”的逆命题为：若，则，
故答案为：若，则．
【分析】一个命题的题设和结论互换位置的得到的命题是逆命题．由此即可解答．
15．【答案】900
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正七边形的内角和为，
故答案为：900．
【分析】根据多边形内角和公式计算即可得出答案．
16．【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质证明，根据对应边成比例求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可．
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的边长为2，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先证明为等边三角形，进而得到，根据三线合一求出的长，进而得到哦啊四边形为平行四边形，即可得到得到，推出，再根据勾股定理进行求解即可．
18．【答案】；或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：若与重合，在上，且，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴与四边形的面积的比为．
若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，
如图，取的中点，的中点，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为，
连接，，交于点，当过点时，四边形的面积与四边形的面积的比为，
∴四边形的面积与四边形的面积的比为，
当时，取最小值，由可知，的最小值为，
作，交延长线于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，取的中点，的中点，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为，
连接，，交于点，当过点时，四边形的面积与四边形的面积的比为，
∴四边形的面积与四边形的面积的比为，
作，交延长线于点，作于点，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴折痕长的取值范围是或．
故答案为：；或．
【分析】若与重合，在上，且，则，由角所对直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得，从而可得的面积和平行四边形纸片的面积，相减可得四边形的面积，进而可得与四边形的面积的比；取的中点，的中点，连接，连接，，交于点，取的中点，的中点，连接，连接，，交于点，当过点或当过点时，折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，分别求出每种情况对应的的取值范围即可．
19．【答案】（1）解：，
方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
【知识点】配方法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可．
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
20．【答案】解：
，
将代入，得：
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算同分母分式加法，将分子进行因式分解，再进行约分化简，然后代值计算，即可求解．
21．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
又，
，
．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1） 根据矩形的性质，利用“边角边”证明；
（2）根据全等三角形的性质得，再根据，可得．
22．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种，
∴两次摸到的球标号均小于3的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用列举法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同，
∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
23．【答案】（1）解：本次调查的样本容量为，
无人机社团人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：（人），
答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人.
（3）解：建议开展形式多样的航模与打印活动（答案不唯一）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由3D打印人数及其所占百分比可得样本容量，再根据各组人数之和等于总人数求出无人机社团人数即可补全图形；
（2）总人数乘以样本中参加“机器人”社团的学生人数所占百分比即可；
（3）根据统计图的信息提出合理建议即可．
24．【答案】（1）解：如图，直线，点即为所求.
（2）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵平分，
∴，
∵直线，即，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线，然后作的角平分线交于点，据此作图即可.
（2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解．
25．【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
又，
垂直平分，
；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
由（1）得，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到垂直平分，根据垂直平分线的性质证明即可；
（2）连接，根据余弦的定义可得，进而求出DE长，再根据勾股定理计算即可．
26．【答案】（1）解：如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）解：如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）于点H，交于点G，得矩形，，推理得到，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
27．【答案】（1）解：∵二次函数图象过点，
∴，
解得：，
∴二次函数为，
∴，
∴点的横坐标为.
（2）解：∵点和在函数图象上，
∴，，
∵，
，
∴.
（3）解：在函数中，
当时，，
∴，
∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点
∴，，
∴，，，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，，
综上：或或.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）把代入解析式求出m的值，再进一步求解即可.
（2）先得到，的值，根据，利用比差法解答即可.
（3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可.
28．【答案】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵点关于点的对称点为点，
∴.
②∵，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴设，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
∵与关于成中心对称，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，经检验符合题意，
∵，，
∴，
∴.
（2）解：如图，连接，，记，的交点为，
∵与关于成中心对称，“平行六边形”，
∴共线，共线，，，，，
∴，
设，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
同理：，
∴，即，
同理：，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴的最小值为：
，
此时，，，
∴，即，
∴“平行六边形”的面积的最大值为：，
同理可得：，
同理：，，
∴，，
∴，
∴是的重心.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的重心及应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；中心对称的性质
【解析】【分析】
（1）①利用面积求出，再根据中心对称图形的性质得到，
②得到，可设，根据的面积为，求得，同理，然后列方程解答即可.
（2）连接，，记，的交点为，得到共线，共线，，，，，，设，，， 进而得到，根据最小值的到，然后证明，即可得到结论.
1 / 1江苏省无锡市2025年中考数学真题
1．（2025·无锡）计算﹣2+3的结果为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】根据有理数的加法法则计算解答．
2．（2025·无锡）2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次．数据819000用科学记数法表示为（ ）
A．8.19×105 B．81.9×104 C．0.819×105 D．0.819×106
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：A.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
3．（2025·无锡）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．a2 a4＝a6 C．（a2）4＝a6 D．a4÷a＝a4
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方法则和合并同类项法则进行判断即可．
4．（2025·无锡）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：平均数为：，
5个数据中，14出现了2次，出现的次数最多，因此众数为：14，
故选：A．
【分析】根据平均数和众数的定义进行计算即可．
5．（2025·无锡）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝4，则BC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，如图所示，
∵D、E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：D．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
6．（2025·无锡）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为90°，则这条弧的长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】利用弧长的计算公式计算即可．
7．（2025·无锡）分解因式a3﹣4a的结果是（ ）
A．a（a2+4） B．a（a﹣4）
C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a2﹣1）
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故选：C.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
8．（2025·无锡）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，
根据题意，可得．
故选：A．
【分析】设小红的骑行速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可．
9．（2025·无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两点两垂线型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】设，即可得到，则，，进而得到，再由，列式解答即可．
10．（2025·无锡）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：
①函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1不具有“对偶关系”；
②函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1；
③若1是函数y1＝kx+3与函数y2＝的“对偶值”，则k＝2；
④若函数y1＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y2＝（x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b≤．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①设函数上点坐标轴为 ，
∵关于轴对称
∴点坐标为
若点或点的纵坐标称相等，
∴解得：，
则存在这样的点，使得他们关于轴对称，
∴函数与函数具有“对偶关系”
所以①错误；故不符合题意；
②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意；
③当时，则，解得；
因为是函数与函数的“对偶值”，
所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意；
④设点坐标为，则点坐标为 ，
∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等
∴，整理得，
∵，对于函数，y随m的增大而增大，
当时，；
当时，；
∴，而不是，所以④错误，故不符合题意；
故选：B.
【分析】根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可.
11．（2025·无锡）|﹣3|= ．
【答案】3
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：|﹣3|=3．
故答案为：3．
【分析】根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案． 此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键．
12．（2025·无锡）函数y=中的自变量x的取值范围
【答案】x≠4
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣4≠0，
解得：x≠4．
故答案为：x≠4．
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
13．（2025·无锡）请写出单项式a2b的一个同类项： ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可．
14．（2025·无锡）请写出命题“若a＞b，则a+1＞b+1”的逆命题： ．
【答案】若，则
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“若，则”的逆命题为：若，则，
故答案为：若，则．
【分析】一个命题的题设和结论互换位置的得到的命题是逆命题．由此即可解答．
15．（2025·无锡）正七边形的内角和为 度．
【答案】900
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正七边形的内角和为，
故答案为：900．
【分析】根据多边形内角和公式计算即可得出答案．
16．（2025·无锡）如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为 ．
【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质证明，根据对应边成比例求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可．
17．（2025·无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的边长为2，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先证明为等边三角形，进而得到，根据三线合一求出的长，进而得到哦啊四边形为平行四边形，即可得到得到，推出，再根据勾股定理进行求解即可．
18．（2025·无锡）在平行四边形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝8．现将该纸片折叠，折痕与纸片ABCD的两边交于点E、F．若E与A重合，F在BC上，且EF⊥BC，则被折痕分成的△EBF与四边形EFCD的面积的比为 ；若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1：3，则折痕EF长的取值范围是 ．
【答案】；或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：若与重合，在上，且，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴与四边形的面积的比为．
若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，
如图，取的中点，的中点，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为，
连接，，交于点，当过点时，四边形的面积与四边形的面积的比为，
∴四边形的面积与四边形的面积的比为，
当时，取最小值，由可知，的最小值为，
作，交延长线于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，取的中点，的中点，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为，
连接，，交于点，当过点时，四边形的面积与四边形的面积的比为，
∴四边形的面积与四边形的面积的比为，
作，交延长线于点，作于点，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴折痕长的取值范围是或．
故答案为：；或．
【分析】若与重合，在上，且，则，由角所对直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得，从而可得的面积和平行四边形纸片的面积，相减可得四边形的面积，进而可得与四边形的面积的比；取的中点，的中点，连接，连接，，交于点，取的中点，的中点，连接，连接，，交于点，当过点或当过点时，折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，分别求出每种情况对应的的取值范围即可．
19．（2025·无锡）（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：，
方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
【知识点】配方法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可．
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
20．（2025·无锡）先化简，再求值：，其中m＝3．
【答案】解：
，
将代入，得：
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算同分母分式加法，将分子进行因式分解，再进行约分化简，然后代值计算，即可求解．
21．（2025·无锡）如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE＝CF，连接AE、DF．
求证：
（1）△ABE≌△DCF；
（2）∠EAD＝∠FDA．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
又，
，
．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1） 根据矩形的性质，利用“边角边”证明；
（2）根据全等三角形的性质得，再根据，可得．
22．（2025·无锡）一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同．
（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是 ；
（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种，
∴两次摸到的球标号均小于3的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用列举法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同，
∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
23．（2025·无锡）2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“3D打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ▲ ，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
（2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；
（3）根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议．
【答案】（1）解：本次调查的样本容量为，
无人机社团人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：（人），
答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人.
（3）解：建议开展形式多样的航模与打印活动（答案不唯一）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由3D打印人数及其所占百分比可得样本容量，再根据各组人数之和等于总人数求出无人机社团人数即可补全图形；
（2）总人数乘以样本中参加“机器人”社团的学生人数所占百分比即可；
（3）根据统计图的信息提出合理建议即可．
24．（2025·无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出∠EFA的度数）
【答案】（1）解：如图，直线，点即为所求.
（2）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵平分，
∴，
∵直线，即，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线，然后作的角平分线交于点，据此作图即可.
（2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解．
25．（2025·无锡）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AB＝3，cos∠ABE＝，求AD的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
又，
垂直平分，
；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
由（1）得，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到垂直平分，根据垂直平分线的性质证明即可；
（2）连接，根据余弦的定义可得，进而求出DE长，再根据勾股定理计算即可．
26．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．
求妙光塔AB的高度．
【答案】（1）解：如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）解：如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）于点H，交于点G，得矩形，，推理得到，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
27．（2025·无锡）已知二次函数y＝﹣m（m≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C．
（1）若该函数图象经过点，求点A的横坐标；
（2）若m＜3，点P（2，y1）和Q（4，y2）在该函数图象上，证明：y1＞y2；
（3）若△ABC是等腰三角形，求m的值．
【答案】（1）解：∵二次函数图象过点，
∴，
解得：，
∴二次函数为，
∴，
∴点的横坐标为.
（2）解：∵点和在函数图象上，
∴，，
∵，
，
∴.
（3）解：在函数中，
当时，，
∴，
∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点
∴，，
∴，，，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，，
综上：或或.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）把代入解析式求出m的值，再进一步求解即可.
（2）先得到，的值，根据，利用比差法解答即可.
（3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可.
28．（2025·无锡）【数学发现】
某校数学兴趣小组进行了如下探究：以△ABC内部任意一点O为中心，画出与△ABC成中心对称的△A'B'C'．当点O处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化．
【问题解决】
组员小明选择面积为1的△ABC，以其内部任意一点O为中心，画出与之成中心对称的△A'B'C'，探究了下列问题，请你帮他解答．
（1）如图3，BC＝2，当点A关于点O的对称点A'落在边BC上时，两个三角形重叠部分为 AQA'P．
①若AA'⊥BC，求AO的长；（请直接写出答案）
②若 AQA'P的面积为，求A'C的长．
（2）如图4，点D为BC的中点，点O在AD上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”EFGHMN，求“平行六边形”EFGHMN面积的最大值，并指出此时点O的位置．
【答案】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵点关于点的对称点为点，
∴.
②∵，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴设，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
∵与关于成中心对称，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，经检验符合题意，
∵，，
∴，
∴.
（2）解：如图，连接，，记，的交点为，
∵与关于成中心对称，“平行六边形”，
∴共线，共线，，，，，
∴，
设，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
同理：，
∴，即，
同理：，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴的最小值为：
，
此时，，，
∴，即，
∴“平行六边形”的面积的最大值为：，
同理可得：，
同理：，，
∴，，
∴，
∴是的重心.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的重心及应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；中心对称的性质
【解析】【分析】
（1）①利用面积求出，再根据中心对称图形的性质得到，
②得到，可设，根据的面积为，求得，同理，然后列方程解答即可.
（2）连接，，记，的交点为，得到共线，共线，，，，，，设，，， 进而得到，根据最小值的到，然后证明，即可得到结论.
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