西藏自治区2025年中考真题数学试卷
1．（2025·西藏）18的绝对值是（ ）
A．18 B．－18 C． D．－
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：18的绝对值是18.
故答案为： A.
【分析】利用一个正数的绝对值是它本身解答.
2．（2025·西藏）下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此美术字是轴对称图形，故A符合题意；
B、C、D中的美术字不是轴对称图形，故B、C、D不符合题意.
故答案为： A.
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断.
3．（2025·西藏）截至2024年，西藏自治区图书馆的藏书量已超过500000册．数据500000用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×106 B．5×105 C．5×104 D．50×104
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为： B.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·西藏）下列运算正确的是（ ）
A．x＋x＝x2 B．(x3)2＝x5
C．2x2 5x2＝10x2 D．(xy)2＝x2y2
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
∴选项ABC都错误，不符合题意，选项D正确，符合题意.
故答案为： D.
【分析】利用单项式乘单项式的计算法则，合并同类项的计算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则逐项判断解答即可..
5．（2025·西藏）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D是BC延长线上的一点，∠ACD＝110°，则∠A的度数为（ ）
A．70° B．55° C．40° D．35°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
故答案为： C.
【分析】由邻补角的性质求出 由等腰三角形的性质得到 由三角形内角和定理即可求出 的度数.
6．（2025·西藏）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 有意义，
故答案为： D.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
7．（2025·西藏）如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（ ）
A．6π B．4π C．2π D．π
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC，
∵直径.AB=6，
故答案为： C.
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到再用弧长公式计算即可.
8．（2025·西藏）一个三角形花坛的面积是6m2，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得，
则
故答案为： B.
【分析】根据题意可以得出 再变形，进而得出答案.
9．（2025·西藏）观察下列一组数：
1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…
按此规律，第n个数是（ ）
A．2n－0.1n B．2n＋1－0.1n C．2n－1＋0.9n D．2n－1－0.1n
【答案】A
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解： 1.9=2-0.1，
3.99=4-0.01=4-0.12，
5.999=6-0.001=6-0.13，
7.9999=8-0.0001=8-0.14，
9.99999=10-0.00001=10-0.15，
…，
∴ 第n个数是 2n－0.1n ，
故答案为：A.
【分析】 观察数列的规律，将每个数拆分为整数部分和小数部分，得到规律 2n－0.1n 解答即可.
10．（2025·西藏）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， AB=6， 点E是BC的中点，
∴CB=CD=AD=AB=6，∠D=∠B=∠C=90°，
由折叠得AF=AB， FE=BE=3， ∠AFE=∠B=90°，
∴AF= AD， ∠AFG =∠D = 90°，
在Rt△AFG和Rt△ADG中，
∴ Rt△AFG ≌ Rt△ADG(HL)，
∴FG=DG，
且CG=6-DG， EG=3+FG=3+DG，
解得DG=2，
故答案为： C.
【分析】由正方形的性质得CB=CD=AD=AB=6，∠D=∠B=∠C =90°， 则. =3， 由折叠得AF= AB， FE = BE =3， ∠AFE=∠B=90°， 可证明Rt△AFG≌ Rt△ADG， 得FG=DG， 利用勾股定理求得DG=2， 即可求出AG长解答即可.
11．（2025·西藏）分解因式：
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
12．（2025·西藏）一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋50双，各种尺码的销售量如表1所示：
表1
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 2 4 7 19 10 6 2
根据上述信息，在鞋的尺码组成的数据中，众数是 ．
【答案】23.5
【知识点】统计表；众数
【解析】【解答】这组数据中23.5出现19次，次数最多，所以这组数据的众数是23.5.
故答案为： 23.5.
【分析】根据众数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数”求解即可.
13．（2025·西藏）关于x的一元二次方程x2－x＋2m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程： 有两个相等的实数根，
故答案为：
【分析】利用根的判别式得到，求出m值解答即可.
14．（2025·西藏）如图，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，若＝，则的值是 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
故答案为：2.
【分析】根据平行得到利用相似三角形的对应边成比例求解即可.
15．（2025·西藏）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（1，0），交y轴于点B（0，2），以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线OE交AB于点F，则点F的坐标是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+2， 将点(1，0)代入解析式可得：
k+2=0，
解得k=-2，
∴直线AB的解析式为y=-2x+2，
由作图可知OE是 的平分线，
∴直线OE的解析式为yy=x，
解得
∴点F的坐标是
故答案为：
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据作图步骤确定OE是 的平分线，联立方程组求出F坐标即可.
16．（2025·西藏）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形， ∠ABC＝60°，
∴∠ABP=∠CBP=30°，AB=BC=4，
又∵BP=BP，
∴△APB≌△CPB，
∴PA=PC，
过点P 作PE⊥AB于点E，
则BP=2PE，
∴PA+PB+PC=2PC+2PE=2(PC+PE)，
即当C，P，E三点共线时，PA+PB+PC最小值为2CE长，
这时∠BCE=30°，
∴BE=2，
∴，
故PA+PB+PC最小值为，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质得到△APB≌△CPB，即可得到PA=PC，过点P 作PE⊥AB于点E，根据30°的直角三角形的性质求得BP=2PE，即可得到 PA+PB+PC=2(PC+PE)，即可得到当C，P，E三点共线时，PA+PB+PC最小值为2CE长，然后根据勾股定理解答即可.
17．（2025·西藏）计算：22－4sin30°＋(π＋1)0－．
【答案】解：
=4-2+1-2
=1.
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算乘方，零次幂和算术平方根，代入特殊角的三角函数值，然后加减计算解答即可.
18．（2025·西藏）解分式方程：＝．
【答案】解：由 得：
2(x-1)=3(x+1)
.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+1)(x-1)化为整式方程，求出x值，再检验并作答即可.
19．（2025·西藏）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：
由①得：x>-2，
由②得：x<4，
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解不等式求出解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，再在数轴上表示解集即可.
20．（2025·西藏）如图，AB＝DC，AC＝DB．求证：△ABC≌△DCB．
【答案】证明：如图，在 与 中.
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】如图，直接运用SSS公理，即可解决问题.
21．（2025·西藏）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：
A：0≤x＜15 B：15≤x＜30 C：30≤x＜45 D：45≤x＜60 E：60≤x＜75
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图。
请根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ▲ ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人
（3）已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）解：本次调查总人数为( (名)，
C组人数为(60-3-6-9-24=18(名)，
补全图形如下：
故答案为：60；
（2）解：答案(人)，
答：该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有120人；
（3）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有4种，
∴一男一女的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)由B组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、C、E人数求出D组人数即可补全图形；
(2)求出样本中学生每天的完成作业时长不少于60分钟的学生所占的百分比，估计总体中的百分比，进而求出相应的学生人数；
(3)画树状图，共有6种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可.
22．（2025·西藏）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知DC＝6cm，求四边形ABCD的面积（结果保留根号）．
【答案】解：∵DC=6cm，∠DBC=30°， ∠BDC=90°，
∴BC=2DC=2×6=12(cm)，在Rt△BDC中利用勾股定理， 得BD =
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB= AD(设为 xcm)，在Rt△ABD中利用勾股定理，得. 即
解得 (舍去) ，
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求出BC，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD，根据等腰三角形的判定与性质、在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB、AD，再利用三角形面积公式，根据四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BDC的面积计算即可.
23．（2025·西藏）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝60°，过点C的切线交BA的延长线于点D．求证：CD＝CB．
【答案】证明： 连接OC， 则OC= OA，
∵∠CAB=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵CD与⊙O相切于点C，交BA的延长线于点D，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠COD = 30°，
∴∠B=∠D，
∴CD=CB.
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；切线的性质
【解析】【分析】连接OC， 则OC=OA， 因为∠CAB=60°， 所以△AOC是等边三角形， 则∠COD =60°， 所以∠ 由切线的性质得∠OCD=90°， 则∠D=90°-∠COD=30°， 所以∠B =∠D， 即可证明结论.
24．（2025·西藏）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点E是BC的中点，且AC平分∠DAE．
（1） 求证：四边形ADCE是菱形；
（2） 已知AB＝3，AE＝2，求线段AC的长．
【答案】（1）证明： ∵AD∥BC， 点E是BC的中点，
BC，
∵BC=2AD，
∴AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠EAC =∠ECA，
∴AE=CE，
∴四边形ADCE是菱形.
（2）解：∵AE=CE=BE=2，
∴∠EAB=∠B， BC=2BE =4，
∵∠EAC=∠ECA， ，
∴ AC的长为
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1)由AD//BC， 点E是BC的中点， 得AD//CE， 由BC=2AD， 得AD= 则AD=CE，所 以四边形ADCE是平行四边形， 由∠DAC=∠ECA， ∠DAC =∠EAC， 推导出∠EAC =∠ECA， 则AE=CE， 即可证明四边形ADCE是菱形.
(2)因为AE=CE=BE=2， 所以∠EAB=∠B， BC=2BE=4， 而∠EAC =∠ECA， 即可得到求得∠BAC=90°， 然后根据勾股定理解答即可.
25．（2025·西藏）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表2：
表2
款式 成本（元/件） 售价（元/件）
甲 700 1000
乙 800 1200
根据以上信息，解答下列问题：
（1）列方程（组）解应用题
若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件
（2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润
【答案】（1）解：设生产甲款服装x件，生产乙款服装y件，根据生产甲、乙两款服装共300件，可得x+y=300，
又∵投入230000元且资金刚好用完，
∴700x+800y=230000，
将x+y= 300变形为x = 300-y， 代入700x+800y=230000中，
700(300–y)+800y=230000，
210000-700y+800y= 230000，
100y=20000，
y= 200，
把y= 200代入x = 300-y，
得x=300-200=100，
∴可以生产甲款服装100件，乙款服装200件；
（2）解：设生产甲款服装m件，则生产乙款服装(500-m)件，
∵甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，
∴m≥2(500-m)，m≥1000-2m，
m+2m≥1000，
3m≥1000，
∵m为服装件数，
∴m取整数， m≥334，
甲的利润为(1000–700) = 300元/件， 乙的利润为
(1200-800)=400元/件，
总利润=300m+400(500-m)=300m+200000-400m=-100m+200000，
∵-100<0，
∴总利润随m的增大而减小，
∴当m=334时， W有最大值， 此时500-m=500-334=166，
∴生产甲款服装334件，乙款服装166件时，能获得最大利润.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)通过设生产甲、乙服装的数量为未知数，结合总件数和总投入资金的条件，列二元一次方程组求解；
(2)先根据甲、乙数量关系设未知数并列出不等式确定甲的数量范围，再分别算出甲、乙的单件利润，得出总利润关于甲数量的函数，根据函数单调性确定利润最大时的生产安排.
26．（2025·西藏）已知抛物线y＝ax2＋bx－4过点A（－1，0），B（m，0），与y轴交于点C．点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E．
（1）当m＝3时，求抛物线的解析式；
（2）如图1，在（1）的条件下，若∠CDE＝∠CED，求直线AF的解析式；
（3）要使得∠DCE＝∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）；
（4）如图2，∠DCE＝∠DEC，当m为何值时，OD的长度等于1
【答案】（1）解：∵二次函数 的图像与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)，
∴二次函数的交点式为y=a(x+1)(x-3)，
ax-3a，
解得
∴函数的解析式为 ；
（2）解：对于二次函数，
令，可得，则点的坐标为，则
∵，
∴，
∵
∴，
如图，作的角平分线交轴于点，则，
∴，
设到的距离为，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，则，
∴．
∴．
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式．
（3）解：当时，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，则重合，重合，
又∵是第四象限的点，
∴当时，则，．
∴要使得成立， 的取值范围为；
（4）解：∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
在中，．
如图所示，取．
∴．
∴等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的概念；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）利用交点式求二次函数的解析式即可；
（2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解．
（3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解；
（4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解．
1 / 1西藏自治区2025年中考真题数学试卷
1．（2025·西藏）18的绝对值是（ ）
A．18 B．－18 C． D．－
2．（2025·西藏）下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·西藏）截至2024年，西藏自治区图书馆的藏书量已超过500000册．数据500000用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×106 B．5×105 C．5×104 D．50×104
4．（2025·西藏）下列运算正确的是（ ）
A．x＋x＝x2 B．(x3)2＝x5
C．2x2 5x2＝10x2 D．(xy)2＝x2y2
5．（2025·西藏）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D是BC延长线上的一点，∠ACD＝110°，则∠A的度数为（ ）
A．70° B．55° C．40° D．35°
6．（2025·西藏）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
7．（2025·西藏）如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（ ）
A．6π B．4π C．2π D．π
8．（2025·西藏）一个三角形花坛的面积是6m2，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·西藏）观察下列一组数：
1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…
按此规律，第n个数是（ ）
A．2n－0.1n B．2n＋1－0.1n C．2n－1＋0.9n D．2n－1－0.1n
10．（2025·西藏）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．4
11．（2025·西藏）分解因式：
12．（2025·西藏）一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋50双，各种尺码的销售量如表1所示：
表1
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 2 4 7 19 10 6 2
根据上述信息，在鞋的尺码组成的数据中，众数是 ．
13．（2025·西藏）关于x的一元二次方程x2－x＋2m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
14．（2025·西藏）如图，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，若＝，则的值是 ．
15．（2025·西藏）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（1，0），交y轴于点B（0，2），以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线OE交AB于点F，则点F的坐标是 ．
16．（2025·西藏）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是 ．
17．（2025·西藏）计算：22－4sin30°＋(π＋1)0－．
18．（2025·西藏）解分式方程：＝．
19．（2025·西藏）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
20．（2025·西藏）如图，AB＝DC，AC＝DB．求证：△ABC≌△DCB．
21．（2025·西藏）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：
A：0≤x＜15 B：15≤x＜30 C：30≤x＜45 D：45≤x＜60 E：60≤x＜75
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图。
请根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ▲ ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人
（3）已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22．（2025·西藏）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知DC＝6cm，求四边形ABCD的面积（结果保留根号）．
23．（2025·西藏）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB＝60°，过点C的切线交BA的延长线于点D．求证：CD＝CB．
24．（2025·西藏）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点E是BC的中点，且AC平分∠DAE．
（1） 求证：四边形ADCE是菱形；
（2） 已知AB＝3，AE＝2，求线段AC的长．
25．（2025·西藏）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表2：
表2
款式 成本（元/件） 售价（元/件）
甲 700 1000
乙 800 1200
根据以上信息，解答下列问题：
（1）列方程（组）解应用题
若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件
（2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润
26．（2025·西藏）已知抛物线y＝ax2＋bx－4过点A（－1，0），B（m，0），与y轴交于点C．点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E．
（1）当m＝3时，求抛物线的解析式；
（2）如图1，在（1）的条件下，若∠CDE＝∠CED，求直线AF的解析式；
（3）要使得∠DCE＝∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）；
（4）如图2，∠DCE＝∠DEC，当m为何值时，OD的长度等于1
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：18的绝对值是18.
故答案为： A.
【分析】利用一个正数的绝对值是它本身解答.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此美术字是轴对称图形，故A符合题意；
B、C、D中的美术字不是轴对称图形，故B、C、D不符合题意.
故答案为： A.
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为： B.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
∴选项ABC都错误，不符合题意，选项D正确，符合题意.
故答案为： D.
【分析】利用单项式乘单项式的计算法则，合并同类项的计算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则逐项判断解答即可..
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
故答案为： C.
【分析】由邻补角的性质求出 由等腰三角形的性质得到 由三角形内角和定理即可求出 的度数.
6．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 有意义，
故答案为： D.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC，
∵直径.AB=6，
故答案为： C.
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到再用弧长公式计算即可.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得，
则
故答案为： B.
【分析】根据题意可以得出 再变形，进而得出答案.
9．【答案】A
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解： 1.9=2-0.1，
3.99=4-0.01=4-0.12，
5.999=6-0.001=6-0.13，
7.9999=8-0.0001=8-0.14，
9.99999=10-0.00001=10-0.15，
…，
∴ 第n个数是 2n－0.1n ，
故答案为：A.
【分析】 观察数列的规律，将每个数拆分为整数部分和小数部分，得到规律 2n－0.1n 解答即可.
10．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， AB=6， 点E是BC的中点，
∴CB=CD=AD=AB=6，∠D=∠B=∠C=90°，
由折叠得AF=AB， FE=BE=3， ∠AFE=∠B=90°，
∴AF= AD， ∠AFG =∠D = 90°，
在Rt△AFG和Rt△ADG中，
∴ Rt△AFG ≌ Rt△ADG(HL)，
∴FG=DG，
且CG=6-DG， EG=3+FG=3+DG，
解得DG=2，
故答案为： C.
【分析】由正方形的性质得CB=CD=AD=AB=6，∠D=∠B=∠C =90°， 则. =3， 由折叠得AF= AB， FE = BE =3， ∠AFE=∠B=90°， 可证明Rt△AFG≌ Rt△ADG， 得FG=DG， 利用勾股定理求得DG=2， 即可求出AG长解答即可.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
12．【答案】23.5
【知识点】统计表；众数
【解析】【解答】这组数据中23.5出现19次，次数最多，所以这组数据的众数是23.5.
故答案为： 23.5.
【分析】根据众数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数”求解即可.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程： 有两个相等的实数根，
故答案为：
【分析】利用根的判别式得到，求出m值解答即可.
14．【答案】2
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
故答案为：2.
【分析】根据平行得到利用相似三角形的对应边成比例求解即可.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+2， 将点(1，0)代入解析式可得：
k+2=0，
解得k=-2，
∴直线AB的解析式为y=-2x+2，
由作图可知OE是 的平分线，
∴直线OE的解析式为yy=x，
解得
∴点F的坐标是
故答案为：
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据作图步骤确定OE是 的平分线，联立方程组求出F坐标即可.
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形， ∠ABC＝60°，
∴∠ABP=∠CBP=30°，AB=BC=4，
又∵BP=BP，
∴△APB≌△CPB，
∴PA=PC，
过点P 作PE⊥AB于点E，
则BP=2PE，
∴PA+PB+PC=2PC+2PE=2(PC+PE)，
即当C，P，E三点共线时，PA+PB+PC最小值为2CE长，
这时∠BCE=30°，
∴BE=2，
∴，
故PA+PB+PC最小值为，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质得到△APB≌△CPB，即可得到PA=PC，过点P 作PE⊥AB于点E，根据30°的直角三角形的性质求得BP=2PE，即可得到 PA+PB+PC=2(PC+PE)，即可得到当C，P，E三点共线时，PA+PB+PC最小值为2CE长，然后根据勾股定理解答即可.
17．【答案】解：
=4-2+1-2
=1.
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算乘方，零次幂和算术平方根，代入特殊角的三角函数值，然后加减计算解答即可.
18．【答案】解：由 得：
2(x-1)=3(x+1)
.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+1)(x-1)化为整式方程，求出x值，再检验并作答即可.
19．【答案】解：
由①得：x>-2，
由②得：x<4，
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解不等式求出解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，再在数轴上表示解集即可.
20．【答案】证明：如图，在 与 中.
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】如图，直接运用SSS公理，即可解决问题.
21．【答案】（1）解：本次调查总人数为( (名)，
C组人数为(60-3-6-9-24=18(名)，
补全图形如下：
故答案为：60；
（2）解：答案(人)，
答：该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有120人；
（3）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有4种，
∴一男一女的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)由B组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、C、E人数求出D组人数即可补全图形；
(2)求出样本中学生每天的完成作业时长不少于60分钟的学生所占的百分比，估计总体中的百分比，进而求出相应的学生人数；
(3)画树状图，共有6种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可.
22．【答案】解：∵DC=6cm，∠DBC=30°， ∠BDC=90°，
∴BC=2DC=2×6=12(cm)，在Rt△BDC中利用勾股定理， 得BD =
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB= AD(设为 xcm)，在Rt△ABD中利用勾股定理，得. 即
解得 (舍去) ，
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求出BC，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD，根据等腰三角形的判定与性质、在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB、AD，再利用三角形面积公式，根据四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BDC的面积计算即可.
23．【答案】证明： 连接OC， 则OC= OA，
∵∠CAB=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵CD与⊙O相切于点C，交BA的延长线于点D，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠COD = 30°，
∴∠B=∠D，
∴CD=CB.
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；切线的性质
【解析】【分析】连接OC， 则OC=OA， 因为∠CAB=60°， 所以△AOC是等边三角形， 则∠COD =60°， 所以∠ 由切线的性质得∠OCD=90°， 则∠D=90°-∠COD=30°， 所以∠B =∠D， 即可证明结论.
24．【答案】（1）证明： ∵AD∥BC， 点E是BC的中点，
BC，
∵BC=2AD，
∴AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠EAC =∠ECA，
∴AE=CE，
∴四边形ADCE是菱形.
（2）解：∵AE=CE=BE=2，
∴∠EAB=∠B， BC=2BE =4，
∵∠EAC=∠ECA， ，
∴ AC的长为
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1)由AD//BC， 点E是BC的中点， 得AD//CE， 由BC=2AD， 得AD= 则AD=CE，所 以四边形ADCE是平行四边形， 由∠DAC=∠ECA， ∠DAC =∠EAC， 推导出∠EAC =∠ECA， 则AE=CE， 即可证明四边形ADCE是菱形.
(2)因为AE=CE=BE=2， 所以∠EAB=∠B， BC=2BE=4， 而∠EAC =∠ECA， 即可得到求得∠BAC=90°， 然后根据勾股定理解答即可.
25．【答案】（1）解：设生产甲款服装x件，生产乙款服装y件，根据生产甲、乙两款服装共300件，可得x+y=300，
又∵投入230000元且资金刚好用完，
∴700x+800y=230000，
将x+y= 300变形为x = 300-y， 代入700x+800y=230000中，
700(300–y)+800y=230000，
210000-700y+800y= 230000，
100y=20000，
y= 200，
把y= 200代入x = 300-y，
得x=300-200=100，
∴可以生产甲款服装100件，乙款服装200件；
（2）解：设生产甲款服装m件，则生产乙款服装(500-m)件，
∵甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，
∴m≥2(500-m)，m≥1000-2m，
m+2m≥1000，
3m≥1000，
∵m为服装件数，
∴m取整数， m≥334，
甲的利润为(1000–700) = 300元/件， 乙的利润为
(1200-800)=400元/件，
总利润=300m+400(500-m)=300m+200000-400m=-100m+200000，
∵-100<0，
∴总利润随m的增大而减小，
∴当m=334时， W有最大值， 此时500-m=500-334=166，
∴生产甲款服装334件，乙款服装166件时，能获得最大利润.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)通过设生产甲、乙服装的数量为未知数，结合总件数和总投入资金的条件，列二元一次方程组求解；
(2)先根据甲、乙数量关系设未知数并列出不等式确定甲的数量范围，再分别算出甲、乙的单件利润，得出总利润关于甲数量的函数，根据函数单调性确定利润最大时的生产安排.
26．【答案】（1）解：∵二次函数 的图像与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)，
∴二次函数的交点式为y=a(x+1)(x-3)，
ax-3a，
解得
∴函数的解析式为 ；
（2）解：对于二次函数，
令，可得，则点的坐标为，则
∵，
∴，
∵
∴，
如图，作的角平分线交轴于点，则，
∴，
设到的距离为，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，则，
∴．
∴．
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式．
（3）解：当时，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，则重合，重合，
又∵是第四象限的点，
∴当时，则，．
∴要使得成立， 的取值范围为；
（4）解：∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
在中，．
如图所示，取．
∴．
∴等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的概念；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）利用交点式求二次函数的解析式即可；
（2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解．
（3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解；
（4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解．
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