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12.1.2 定义、定理与证明 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十二章
课题 12.1.2 定义、定理与证明 课时 1课时
课标要求 根据《义务教育数学课程标准》对初中数学 “图形与几何” 领域的要求，学生需通过具体实例，了解定义、定理的意义，体会定义、定理在数学推理中的作用；初步掌握证明的基本步骤和书写格式，能根据已有的定义、定理和基本事实，对简单的数学命题进行证明；培养逻辑思维能力、严谨的推理习惯和数学语言表达能力，为后续复杂的几何证明奠定基础。
教材分析 “定义、定理与证明” 是华师大版八年级上册第12章 “命题与证明” 的第二课时，承接上一课时 “命题” 的知识，是对命题概念的深化与延伸。本节课主要介绍定义的含义、定理的概念以及证明的基本流程，是初中数学推理与证明体系的核心内容之一。从教材编排逻辑来看，此前学生已掌握命题的概念、结构及真假判断方法，但对于 “如何严谨地证明一个真命题”“为什么需要定义和定理” 等问题缺乏系统认知。本节课通过定义明确数学概念的内涵，通过定理固化经过证明的真命题，再以证明连接定义、定理与新命题，形成 “概念 - 命题 - 证明” 的完整推理链条。
学情分析 从认知基础来看，八年级学生已学习大量数学概念（如 “平行线”“对顶角”）和性质（如 “平行线的性质”“三角形内角和定理”），并在上一课时掌握了命题的相关知识，对 “判断一个命题是否正确” 有初步经验，这为理解定义、定理与证明的关系提供了前提。但学生也存在明显的学习难点：一是难以区分 “定义” 与 “命题”，容易将定义等同于一般命题；二是对 “定理需要证明” 的必要性认识不足，常凭直观经验认可定理，忽视逻辑推理过程；三是初次接触证明的书写格式，容易出现步骤不完整、逻辑不连贯、语言不规范等问题；四是在证明过程中，难以灵活运用已学的定义、定理作为推理依据。
核心素养目标 1.通过具体实例，抽象出定义、定理的本质特征，理解定义对数学概念的界定作用，体会数学概念的严谨性。 2.掌握证明的基本步骤，能根据定义、定理和已知条件，对简单命题进行逻辑推理证明，培养演绎推理能力。 3.能准确运用数学语言描述定义、定理，规范书写证明过程，提高数学语言的表达与应用能力。
教学重点 1.理解定义、定理的概念，明确定义与命题、定理与真命题的区别与联系。 2.掌握证明的基本步骤和书写格式，能对简单的数学命题进行证明。
教学难点 1.理解证明的必要性，体会 “为什么需要证明” 而非 “凭直观判断”。 2.规范书写证明过程，确保推理步骤连贯、逻辑严谨，能准确引用定义、定理作为推理依据。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 创设情境，引入课题想一想：1.什么是命题？命题的结构是什么？表示判断的语句叫做命题.命题是由条件和结论两部分组成的.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.2.命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？命题分为真命题和假命题。可以通过“举反例”判断一个命题是否为假命题，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以证明。 认真观察问题，思考回答上节课学习的内容。 通过复习上节课所学知识，激发学习兴趣，自然过渡到本节课的核心内容。
二、探究 探究一：定义的概念观察下面语句，思考这句话有什么作用？“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这句话明确了平行线概念的含义，即 “平行线是什么”。对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。思考：定义与上节课学习的命题有什么关系？“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” 可改写为 “如果两条直线在同一平面内且不相交，那么这两条直线是平行线”，所以说定义是一种特殊的命题，它的结论是对概念的界定.你能说一说 “直角三角形” 的定义，并判断这个定义是否为命题吗？直角三角形的定义为“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，可改写为“如果一个三角形中有一个角为直角，那么这个三角形是直角三角形”。这个定义是命题。探究二：定理的概念通过七年级的学习，我们已经知道如下各命题都是正确的，即都是公认的真命题:两点确定一条直线；两点之间线段最短；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点.数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.思考：真命题与定理是什么关系？定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.【例】下列真命题中属于定理的为（ B ）.A. 若a 是整数，则a是有理数B. 对顶角相等C. 直线上两点之间的部分叫做线段D. 锐角小于直角探究三：什么是证明？（1）一位同学在钻研数学题时发现：于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？(2)如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？(3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于( n-2 )×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一结论？实际上，这是一个正确的结论。上面几个例子说明：通过特殊事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.演绎推理是研究数学的一个重要方法. 除了基本事实和已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据.例如，有了“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这条定理后，我们可以证明命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.已知：如图，直线a∥b，∠1与∠2是同旁内角.求证：∠1+∠2=180°.证明：我们将∠1的同位角记为∠3.∵ a ∥ b( 已知 )，∴ ∠1=∠3( 两直线平行，同位角相等 ).又∵∠3+∠2=180°(邻补角的定义)，∴∠1+∠2 =180°(等量代换).由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论。例如“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是定理“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”的推论.推论和定理一样，可以作为进一步证明的依据.证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等量代换、等式的性质、不等式的性质等.在开始学习书写证明的过程时，要求把依据写在每一步推理后面的括号内，熟练后可以逐渐简化. 观察定义实例，小组讨论其共同作用，总结定义的本质。 跟随教师分析，理解定义与命题的联系，明确定义的特殊性。倾听教师总结，理解定理的概念和特征，区分 “一般真命题” 与 “定理”。跟随教师的分步讲解，理解证明的每一个环节，明确 “已知求证的书写”“推理依据的引用”“证明格式的规范”。 通过具体实例抽象出定义的概念，对比定义与命题的关系，帮助学生准确把握定义的本质特征，避免与一般命题混淆。通过对比特殊真命题与通用真命题，让学生理解定理的必要性和普遍性，明确定理与真命题的区别，为后续证明环节奠定基础。通过典型例题的分步讲解，让学生直观感受证明的流程和格式；通过模仿练习，帮助学生初步掌握证明的书写方法，突破 “规范证明过程” 的难点。
三、尝试 尝试练习，巩固提高【知识技能类作业】必做题：1.下列属于定义的是( D ).A. 两点确定一条直线B. 两直线平行，同位角相等C. 等角的补角相等D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分2.下列命题：①对顶角相等；②两点确定一条直线；③两直线平行，内错角相等；④锐角都相等；⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.其中，是基本事实的是___②⑤___，是定理的是__①③____.（填序号）3.有下列描述：①过点A作直线AF∥ BC；②两直线平行，同旁内角互补;③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理的有（ B ）.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4. 如图，下列推理错误的是( D ).A. ∵ ∠1 = ∠3，∴ a ∥ bB. ∵ a ∥ b，∴ ∠2 +∠3=180°C. ∵ ∠2 = ∠4，∴ a ∥ bD.∵ a ∥ b，∴∠2 +∠4=180°【知识技能类作业】选做题：5.如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，则∠AOB = ∠COD，推理的依据是( B ).A. 同角的补角相等 B. 同角的余角相等C. 对顶角相等 D. 垂直的定义6.下列说法中，错误的是__④__.(填序号)①所有的定义都是命题；②所有的基本事实都是命题；③所有的定理都是命题；④所有的命题都是定理.【综合拓展类作业】7.如图，有如下四个论断：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED.（1）将其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，构成一个命题，正确的命题有哪些？解：如果①②③，那么④；如果①②④，那么③；如果①③④，那么②；如果②③④，那么①.（2）请你从上述命题中选择一个写出已知、求证并进行证明.解：已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED.证明：如图，∵AC∥ DE，∴ ∠BCA =∠BED,即∠1 +∠2 =∠4+∠5，∵DC∥ EF，∴∠2 = ∠5，∴∠1=∠4.∵CD平分∠BCA，∴∠1 = ∠2，∴ ∠4 =∠5，∴EF平分∠BED. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程，如判断语句是否为命题的理由、命题改写的过程、真假判断的依据及反例等。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，包括命题的识别、结构分析和真假判断，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
五、提升 适时小结，兴趣延伸引导学生回顾本节课内容，提出问题： （1）什么是定义？定义与命题有什么关系？ （2）什么是定理？定理需要满足什么条件？ （3）证明的基本步骤是什么？书写证明过程时要注意什么？ 组织学生以 “思维导图” 的形式，在小组内梳理知识框架，邀请小组代表展示成果。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 12.1.1 命题(1)五个基本事实.(2)定理的概念.(3)证明及证明的过程与步骤. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题：1.下列语句中，是定义的是( D ).A. 点A到点B的距离是3cmB. 两直线平行，同位角相等C. 直角都相等D. 两边相等的三角形是等腰三角形2. 小明用两块三角板拼接时发现，若∠1和∠2都是∠3的补角，则∠1=∠2，这一结论属于( C ).A. 定义 B. 基本事实 C. 定理 D. 假命题2. 小明用两块三角板拼接时发现，若∠1和∠2都是∠3的补角，则∠1=∠2，这一结论属于( D ).A. 定义B. 基本事实C. 定理D. 假命题4. 如图，从①∠1 +∠2 =180°；②∠3 = ∠A；③∠B =∠C，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题.从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明.如图，已知___①②___，求证：__③__.(填序号)证明：∵∠1 +∠2 =180°，∴ AD∥ EF, ∴∠3=∠D.∵∠3=∠A，∴∠A=∠D，∴AB∥CD，∴∠B =∠C.【综合拓展类作业】5.补全下面的证明过程，并填上推理的依据.已知：如图，点F在线段AD上，点B，C，E共线，∠B+∠BCD =180°，∠B = ∠D.求证：∠E =∠DFE.证明：∵∠B+∠BCD = 180°(已知)，∴AB∥ CD（同旁内角互补，两直线平行）∴∠B =∠DCE（两直线平行，同位角相等).又∵ ∠B = ∠D(已知)，∴ ∠DCE = ∠D(等量代换 )，∴AD∥BE( 内错角相等，两直线平行 )，∴∠E = ∠DFE( 两直线平行，内错角相等 ).
教学反思 本次教学部分学生仍难以准确区分定义与一般命题，后续教学中可增加 “定义改写为命题” 的练习，如将 “等腰三角形的定义” 改写为 “如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形”，通过对比强化理解。学生初次接触证明书写，容易出现 “依据缺失”“步骤跳跃” 的问题，如在证明 “内错角相等，两直线平行” 时，直接省略 “同位角相等” 的中间步骤。后续可提供更多典型例题的规范模板，让学生模仿练习，并通过 “同桌互改” 的方式，互相指出证明过程中的问题，提升规范意识。
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第十二章
课标要求 1.能够区分真命题与假命题，准确判断命题的真假，理解命题由题设和结论两部分组成。2.掌握定义的内涵，能通过定义对几何对象进行分类，体会定义的严谨性与规范性。3.掌握 “两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）”“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）”“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）” “斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）”这几个全等三角形的判定方法。4.会利用基本作图，根据已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形。5.明确等腰三角形的定义（有两条边相等的三角形），区分腰、底边、顶角、底角等关键元素；结合边的长度关系，会进一步分类。6.对应性质形成逆向判定逻辑，包括 “等角对等边”（若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边相等）、等边三角形的判定（三边相等、三角均为 60°、有一个角为 60° 的等腰三角形）。7.明确垂直平分线的定义，能在复杂图形中识别线段的垂直平分线，区分 “线段的垂直平分线”（直线）与 “线段的垂线”“线段的中线” 的差异。
内容分析 本章是在学生学习了三角形的基本概念、性质和作图等知识的基础上进行的，全等三角形的性质和判定是研究三角形、四边形、相似三角形等后续内容的重要工具。例如，后续学习等腰三角形的性质、平行四边形的判定等，都需要运用全等三角形的知识进行证明。同时，本章所学的演绎推理方法，也是初中数学推理证明的重要基础，为后续更复杂的几何证明打下坚实的基础。全等三角形的知识在实际生活中有着广泛的应用，如建筑设计、机械制造、测量技术等领域。通过本章学习，能让学生体会数学与生活的密切联系，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
学情分析 八年级学生在七年级已经学习了三角形的概念、三边关系、内角和定理以及三角形的作图方法，对三角形的基本性质有了一定的了解。同时，学生在之前的学习中已经接触过一些简单的推理证明，具备初步的合情推理能力，能够通过观察、实验等方式发现一些简单的数学规律，这些都为本章全等三角形的学习提供了良好的知识储备。同时八年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们对直观、具体的事物更容易理解和接受，但对于抽象的概念和严谨的推理证明仍存在一定的难度。学生喜欢通过动手操作、小组合作等方式进行学习，对新鲜的数学知识充满好奇心和探索欲。
单元目标 （一）教学目标1.了解命题的概念,理解命题的结构,并会区分一个命题的条件和结论。2.能准确说出全等三角形的定义，在具体图形中正确找出对应顶点、对应边和对应角，熟练掌握全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），并能运用性质解决简单的计算和证明问题。 3.掌握 SSS、SAS、ASA、AAS 四种一般三角形全等的判定方法以及 HL 直角三角形全等的判定方法，能根据具体条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等。 4.理解角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）和判定定理（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），能运用这两个定理解决与角平分线相关的计算和证明问题。 5.能运用全等三角形的性质和判定方法、角平分线的性质和判定定理解决简单的实际问题，如测量物体长度、作图等。（二）教学重点、难点重点1.全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）及其应用。 2.全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）及其灵活运用，能根据不同的已知条件选择合适的判定方法证明三角形全等。 3.角平分线的性质定理和判定定理及其应用。难点1.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应边和对应角。 2.理解并掌握全等三角形判定方法中的关键条件，如 SAS 中的 “夹角”、HL 中的 “斜边和一条直角边”，避免误用判定条件。 3.掌握规范的几何证明书写格式，能清晰、有条理地进行演绎推理证明。 4.运用全等三角形的知识解决实际问题，将实际问题转化为数学模型，构造全等三角形解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数12.1 命题、定义、定理与证明命题的概念和结构定义、 定理与证明212.2 三角形全等的判定全等三角形的判定条件边角边角边角边边边斜边直角边512.3等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形的判定212.4逆命题和逆定理互逆命题和互逆定理线段垂直平分线角平分线3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务12.1 命题、定义、定理与证明1.了解命题的概念,理解命题的结构,并会区分一个命题的条件和结论.2.会用“如果……,那么……”来改写一个命题,并会判断真假.通过学习，会用“如果……,那么……”来改写命题,以分清命题的结构，并且会识别命题的真假.任务一：探究命题的概念。任务二：理解命题的结构。1.理解已学的5个基本事实，理解定理的概念.2.理解证明的概念，体会证明的必要性.3.掌握推理证明的格式，并会证明简单命题的真假.(1)理解五个基本事实.(2)理解定理的概念.(3)证明及证明的过程与步骤.任务一：探究什么是定理。任务二：理解什么是证明及证明的必要性。12.2 三角形全等的判定1.理解全等三角形的概念,会找全等三角形的对应边、对应角和对应顶点.2.掌握全等三角形的性质,并能进行简单的推理和计算.1.通过图形变换,培养学生用动态观点研究几何图形的能力.2.通过动手操作,理解全等三角形的判定条件.任务一：掌握全等三角形的性质.任务二：会找全等三角形的对应边及对应角.1.掌握证三角形全等的“SAS”判定方法.2.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.提出问题,根据问题归纳认识“边角边”,并学会用“边角边”解决问题.任务一：应用“边角边”证明三角形全等.任务二：寻求三角形全等的条件.1.经历探究三角形全等的条件的过程,进一步体会操作、归纳获得数学规律的过程.2.掌握三角形全等的“角边角”、“角角边”的判定方法.提出问题,根据问题归纳得出“角边角”及“角角边”定理,并学会运用定理解决问题.任务一：应用“角边角”和“角角边”证明三角形全等.任务二：利用三角形全等,证明线段相等或角相等.1.掌握“边边边”基本事实,并能熟练运用它证明两个三角形全等.2.能运用“边边边”,解决简单的实际问题，提出问题,根据问题归纳出判定三角形全等必备的条件,掌握“SSS”基本事实及其运用.任务一：应用“边边边”证明三角形全等.任务二：灵活运用“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”判定三角形全等.1.经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系，2.掌握直角三角形全等的判定方法.会运用“HL”解决一些简单的实际问题和推理证明问题.任务一：“斜边直角边”的探究及其运用.任务二：灵活运用三角形全等的判定方法进行证明，12.3等腰三角形1.了解等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的性质.2.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.．通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.任务一：等腰三角形的概念和性质及其应用。任务二：等腰三角形“三线合一”性质的理解及其应用.1.理解并掌握等腰三角形的判定方法.2.理解并掌握等边三角形的判定方法.3.等腰三角形的性质与判定的综合运用.提出问题,根据问题归纳等腰三角形及等边三角形的判定方法,进而探究性质与判定的运用.任务一：等腰三角形的判定与等边三角形的判定.任务二：等腰三角形的判定与性质的综合应用.12.4逆命题和逆定理1.理解逆命题的概念,并会判断一个命题、逆命题的真假.2.理解逆命题与互逆定理的概念.经历探究的过程,去观察、分析、理解、归纳逆命题与逆定理的相关知识.任务一：理解逆命题与逆定理的概念.任务二：会判断命题、逆命题的真假.1.经历探索线段垂直平分线的性质定理与判定定理的过程,进一步体验轴对称的特点。2.会运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题。提出问题,根据问题归纳线段垂直平分线的性质定理与判定定理,发展学生的空间想象.任务一：理解线段垂直平分线的性质定理与判定定理.任务二：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的综合运用.1.经历探索角平分线的性质定理及其逆定理的过程,进一步体验轴对称的特点,体会互逆定理之间的关系.2.会运用角平分线的性质定理与判定定理解决简单的实际问题.提出问题,根据问题进行探究、归纳角平分线的性质定理与判定定理,发展学生的空间想象力.任务一：角平分线的性质定理与判定定理.任务二：角平分线的互逆定理的综合运用.
《全等三角形》 大单元教学设计
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第十二章 全等三角形
12.1.2 定义、定理与证明
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过具体实例，抽象出定义、定理的本质特征，理解定义对数学概念的界定作用，体会数学概念的严谨性。
01
掌握证明的基本步骤，能根据定义、定理和已知条件，对简单命题进行逻辑推理证明，培养演绎推理能力。
02
能准确运用数学语言描述定义、定理，规范书写证明过程，提高数学语言的表达与应用能力。
03
02
新知导入
想一想：
1.什么是命题？命题的结构是什么？
表示判断的语句叫做命题.
命题是由条件和结论两部分组成的.
条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
02
新知导入
想一想：
2.命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
命题分为真命题和假命题。
可以通过“举反例”判断一个命题是否为假命题，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以证明。
03
新知探究
探究
定义的概念
观察下面语句，思考这句话有什么作用？
“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”
这句话明确了平行线概念的含义，即 “平行线是什么”。
03
新知探究
探究
定义的概念
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
思考：定义与上节课学习的命题有什么关系？
“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” 可改写为 “如果两条直线在同一平面内且不相交，那么这两条直线是平行线”，
所以说定义是一种特殊的命题，它的结论是对概念的界定.
03
新知探究
探究
定义的概念
你能说一说 “直角三角形” 的定义，并判断这个定义是否为命题吗？
直角三角形的定义为“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，
可改写为“如果一个三角形中有一个角为直角，那么这个三角形是直角三角形”。
这个定义是命题。
03
新知探究
探究
定理的概念
通过七年级的学习，我们已经知道如下各命题都是正确的，即都是公认的真命题:
两点确定一条直线；
两点之间线段最短；
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
03
新知探究
探究
定理的概念
我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点.
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
03
新知讲解
思考：真命题与定理是什么关系？
定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.
【例】下列真命题中属于定理的为（ ）.
A. 若a 是整数，则a是有理数
B. 对顶角相等
C. 直线上两点之间的部分叫做线段
D. 锐角小于直角
B
03
新知探究
探究
什么是证明？
（1）一位同学在钻研数学题时发现：
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的积加1一定也是质数. 他的结论正确吗
03
新知探究
探究
什么是证明？
(2)如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗
03
新知探究
探究
什么是证明？
(3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于( n-2 )×180°.
这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一结论
实际上，这是一个正确的结论。
知识要点
上面几个例子说明：通过特殊事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
知识要点
演绎推理是研究数学的一个重要方法.
除了基本事实和已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据.
例如，有了“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这条定理后，我们可以证明命题：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
03
新知探究
已知：如图，直线a∥b，∠1与∠2是同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°.
证明：我们将∠1的同位角记为∠3.
∵ a ∥ b( 已知 )，
∴ ∠1=∠3( 两直线平行，同位角相等 ).
又∵∠3+∠2=180°(邻补角的定义)，
∴∠1+∠2 =180°(等量代换).
03
新知探究
由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论。
例如“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是定理“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”的推论.
推论和定理一样，可以作为进一步证明的依据.
03
新知探究
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等量代换、等式的性质、不等式的性质等.在开始学习书写证明的过程时，要求把依据写在每一步推理后面的括号内，熟练后可以逐渐简化.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列属于定义的是( ).
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行，同位角相等
C. 等角的补角相等
D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.下列命题：①对顶角相等；②两点确定一条直线；③两直线平行，内错角相等；④锐角都相等；⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.其中，是基本事实的是______，是定理的是______.（填序号）
②⑤
①③
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.有下列描述：①过点A作直线AF∥ BC；
②两直线平行，同旁内角互补;
③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.
其中是定理的有（ ）.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4. 如图，下列推理错误的是( ).
A. ∵ ∠1 = ∠3，∴ a ∥ b
B. ∵ a ∥ b，∴ ∠2 +∠3=180°
C. ∵ ∠2 = ∠4，∴ a ∥ b
D.∵ a ∥ b，∴∠2 +∠4=180°
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，则∠AOB = ∠COD，推理的依据是( ).
A. 同角的补角相等
B. 同角的余角相等
C. 对顶角相等
D. 垂直的定义
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.下列说法中，错误的是____.(填序号)
①所有的定义都是命题；
②所有的基本事实都是命题；
③所有的定理都是命题；
④所有的命题都是定理.
④
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，有如下四个论断：
①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED.
（1）将其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，构成一个命题，正确的命题有哪些？
解：如果①②③，那么④；如果①②④，那么③；如果①③④，那么②；如果②③④，那么①.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，有如下四个论断：
①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED.
（2）请你从上述命题中选择一个写出已知、求证并进行证明.
解：已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，
求证：EF平分∠BED.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
证明：如图，∵AC∥ DE，
∴ ∠BCA =∠BED,
即∠1 +∠2 =∠4+∠5，
∵DC∥ EF，∴∠2 = ∠5，∴∠1=∠4.
∵CD平分∠BCA，
∴∠1 = ∠2，∴ ∠4 =∠5，
∴EF平分∠BED.
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
(1)五个基本事实.
(2)定理的概念.
(3)证明及证明的过程与步骤.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列语句中，是定义的是( ).
A. 点A到点B的距离是3cm
B. 两直线平行，同位角相等
C. 直角都相等
D. 两边相等的三角形是等腰三角形
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 小明用两块三角板拼接时发现，若∠1和∠2都是∠3的补角，
则∠1=∠2，这一结论属于( ).
A. 定义
B. 基本事实
C. 定理
D. 假命题
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 下列命题中，不是定理的是( ).
A.直角三角形两锐角互余
B.两直线平行，同旁内角互补
C.n边形的内角和为(n-2)×180°
D.相等的角是对顶角
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 如图，从①∠1 +∠2 =180°；②∠3 = ∠A；③∠B =∠C，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题.
从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明.
如图，已知______，求证：____.(填序号)
①②
③
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 证明：∵∠1 +∠2 =180°，
∴ AD∥ EF, ∴∠3=∠D.
∵∠3=∠A，
∴∠A=∠D，∴AB∥CD，
∴∠B =∠C.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.补全下面的证明过程，并填上推理的依据.
已知：如图，点F在线段AD上，点B，C，E共线，∠B+∠BCD =180°，
∠B = ∠D.
求证：∠E =∠DFE.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.证明：∵∠B+∠BCD = 180°(已知)，
∴AB∥ CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠B =∠DCE（两直线平行，同位角相等).
又∵ ∠B = ∠D(已知)，
∴ ∠DCE = ∠D(等量代换 )，
∴AD∥BE( 内错角相等，两直线平行 )，
∴∠E = ∠DFE( 两直线平行，内错角相等 ).
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