华师大八上12.1.2 定义、定理与证明 学案
文档属性
| 名称 | 华师大八上12.1.2 定义、定理与证明 学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 528.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-22 17:18:49 | ||
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文档简介
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分课时学案
课题 12.1.2 定义、定理与证明 单元 11 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.通过具体实例，抽象出定义、定理的本质特征，理解定义对数学概念的界定作用，体会数学概念的严谨性。 2.掌握证明的基本步骤，能根据定义、定理和已知条件，对简单命题进行逻辑推理证明，培养演绎推理能力。 3.能准确运用数学语言描述定义、定理，规范书写证明过程，提高数学语言的表达与应用能力。
重点 1.理解定义、定理的概念，明确定义与命题、定理与真命题的区别与联系。 2.掌握证明的基本步骤和书写格式，能对简单的数学命题进行证明。
难点 1.理解证明的必要性，体会 “为什么需要证明” 而非 “凭直观判断”。 2.规范书写证明过程，确保推理步骤连贯、逻辑严谨，能准确引用定义、定理作为推理依据。
教学过程
导入新课 创设情境，引入课题 想一想： 1.什么是命题？命题的结构是什么？ 2.命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
新知讲解 探究一：定义的概念 观察下面语句，思考这句话有什么作用？ “在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” 思考：定义与上节课学习的命题有什么关系？ 你能说一说 “直角三角形” 的定义，并判断这个定义是否为命题吗？ 探究二：定理的概念 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 思考：真命题与定理是什么关系？ 【例】下列真命题中属于定理的为（ ）. A. 若a 是整数，则a是有理数 B. 对顶角相等 C. 直线上两点之间的部分叫做线段 D. 锐角小于直角 探究三：什么是证明？ （1）一位同学在钻研数学题时发现： 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？ (2)如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？ (3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于( n-2 )×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一结论？ 已知：如图，直线a∥b，∠1与∠2是同旁内角. 求证：∠1+∠2=180°.
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.下列属于定义的是( ). A. 两点确定一条直线 B. 两直线平行，同位角相等 C. 等角的补角相等 D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分 2.下列命题：①对顶角相等；②两点确定一条直线；③两直线平行，内错角相等；④锐角都相等；⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.其中，是基本事实的是______，是定理的是______.（填序号） 3.有下列描述：①过点A作直线AF∥ BC； ②两直线平行，同旁内角互补; ③垂直于同一直线的两条直线互相垂直. 其中是定理的有（ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4. 如图，下列推理错误的是( ). A. ∵ ∠1 = ∠3，∴ a ∥ b B. ∵ a ∥ b，∴ ∠2 +∠3=180° C. ∵ ∠2 = ∠4，∴ a ∥ b D.∵ a ∥ b，∴∠2 +∠4=180° 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，则∠AOB = ∠COD，推理的依据是( ). A. 同角的补角相等 B. 同角的余角相等 C. 对顶角相等 D. 垂直的定义 6.下列说法中，错误的是____.(填序号) ①所有的定义都是命题； ②所有的基本事实都是命题； ③所有的定理都是命题； ④所有的命题都是定理. 【综合拓展类作业】 7.如图，有如下四个论断： ①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED. （1）将其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，构成一个命题，正确的命题有哪些？ （2）请你从上述命题中选择一个写出已知、求证并进行证明.
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.下列语句中，是定义的是( ). A. 点A到点B的距离是3cm B. 两直线平行，同位角相等 C. 直角都相等 D. 两边相等的三角形是等腰三角形 2. 小明用两块三角板拼接时发现，若∠1和∠2都是∠3的补角， 则∠1=∠2，这一结论属于( ). A. 定义 B. 基本事实 C. 定理 D. 假命题 3. 小明用两块三角板拼接时发现，若∠1和∠2都是∠3的补角，则∠1=∠2，这一结论属于( ). A. 定义 B. 基本事实 C. 定理 D. 假命题 4. 如图，从①∠1 +∠2 =180°；②∠3 = ∠A；③∠B =∠C，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题. 从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明. 如图，已知______，求证：____.(填序号) 证明： 【综合拓展类作业】 5.补全下面的证明过程，并填上推理的依据. 已知：如图，点F在线段AD上，点B，C，E共线，∠B+∠BCD =180°， ∠B = ∠D. 求证：∠E =∠DFE.
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分课时学案
课题 12.1.2 定义、定理与证明 单元 11 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.通过具体实例，抽象出定义、定理的本质特征，理解定义对数学概念的界定作用，体会数学概念的严谨性。 2.掌握证明的基本步骤，能根据定义、定理和已知条件，对简单命题进行逻辑推理证明，培养演绎推理能力。 3.能准确运用数学语言描述定义、定理，规范书写证明过程，提高数学语言的表达与应用能力。
重点 1.理解定义、定理的概念，明确定义与命题、定理与真命题的区别与联系。 2.掌握证明的基本步骤和书写格式，能对简单的数学命题进行证明。
难点 1.理解证明的必要性，体会 “为什么需要证明” 而非 “凭直观判断”。 2.规范书写证明过程，确保推理步骤连贯、逻辑严谨，能准确引用定义、定理作为推理依据。
教学过程
导入新课 创设情境，引入课题 想一想： 1.什么是命题？命题的结构是什么？ 2.命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
新知讲解 探究一：定义的概念 观察下面语句，思考这句话有什么作用？ “在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” 思考：定义与上节课学习的命题有什么关系？ 你能说一说 “直角三角形” 的定义，并判断这个定义是否为命题吗？ 探究二：定理的概念 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 思考：真命题与定理是什么关系？ 【例】下列真命题中属于定理的为（ ）. A. 若a 是整数，则a是有理数 B. 对顶角相等 C. 直线上两点之间的部分叫做线段 D. 锐角小于直角 探究三：什么是证明？ （1）一位同学在钻研数学题时发现： 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？ (2)如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？ (3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于( n-2 )×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一结论？ 已知：如图，直线a∥b，∠1与∠2是同旁内角. 求证：∠1+∠2=180°.
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.下列属于定义的是( ). A. 两点确定一条直线 B. 两直线平行，同位角相等 C. 等角的补角相等 D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分 2.下列命题：①对顶角相等；②两点确定一条直线；③两直线平行，内错角相等；④锐角都相等；⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.其中，是基本事实的是______，是定理的是______.（填序号） 3.有下列描述：①过点A作直线AF∥ BC； ②两直线平行，同旁内角互补; ③垂直于同一直线的两条直线互相垂直. 其中是定理的有（ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4. 如图，下列推理错误的是( ). A. ∵ ∠1 = ∠3，∴ a ∥ b B. ∵ a ∥ b，∴ ∠2 +∠3=180° C. ∵ ∠2 = ∠4，∴ a ∥ b D.∵ a ∥ b，∴∠2 +∠4=180° 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，则∠AOB = ∠COD，推理的依据是( ). A. 同角的补角相等 B. 同角的余角相等 C. 对顶角相等 D. 垂直的定义 6.下列说法中，错误的是____.(填序号) ①所有的定义都是命题； ②所有的基本事实都是命题； ③所有的定理都是命题； ④所有的命题都是定理. 【综合拓展类作业】 7.如图，有如下四个论断： ①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED. （1）将其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，构成一个命题，正确的命题有哪些？ （2）请你从上述命题中选择一个写出已知、求证并进行证明.
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.下列语句中，是定义的是( ). A. 点A到点B的距离是3cm B. 两直线平行，同位角相等 C. 直角都相等 D. 两边相等的三角形是等腰三角形 2. 小明用两块三角板拼接时发现，若∠1和∠2都是∠3的补角， 则∠1=∠2，这一结论属于( ). A. 定义 B. 基本事实 C. 定理 D. 假命题 3. 小明用两块三角板拼接时发现，若∠1和∠2都是∠3的补角，则∠1=∠2，这一结论属于( ). A. 定义 B. 基本事实 C. 定理 D. 假命题 4. 如图，从①∠1 +∠2 =180°；②∠3 = ∠A；③∠B =∠C，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题. 从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明. 如图，已知______，求证：____.(填序号) 证明： 【综合拓展类作业】 5.补全下面的证明过程，并填上推理的依据. 已知：如图，点F在线段AD上，点B，C，E共线，∠B+∠BCD =180°， ∠B = ∠D. 求证：∠E =∠DFE.
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