2025年秋期湘教版数学八年级上册期中试题（培优）（含答案）

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2025年秋期湘教版数学八年级上册期中试题（培优）
一、单选题
1．有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（　　）
①；
②若第三个整式与第二个整式的差为21，则；
③第2024个整式为；
④当时，．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（　　）
A．16 B．22 C．34 D．36
4．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．-2 B．0 C．1 D．3
5．若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．24 B．12 C．6 D．4
6．若 有一个因式为 ，则k的值为（　　）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
二、填空题
7．已知关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为　 　．
8．若数a使关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且使关于y的方程 的解为非负数，则符合条件的正整数a的值为　 　.
9．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是　 　；第48个平方优数是　 　．
10．一个两位正整数m，若m满足各数位上的数字均不为0，称m为“相异数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数n，把m放在n的左边组成第一个四位数A，把m放在n的右边组成第二个四位数B，记，计算　 　；若s，t都是“相异数”，s个位上的数字等于t十位上的数字，且F（s）被11除余7，，则满足条件的所有s的平均数为　 　．
11．一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：对称数时，，则．已知s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a，b，t的千位数字与百位数字分别为x，y，其中，，，a，b，x，y均为整数．若能被8整除，则　 　；同时，若、还满足，则所有可能值的和为　 　．
12．因为新型冠状病毒引起的新冠肺炎是一种传染极强，传播速度极快，死亡率极高的急性感染性肺炎，所以政府号召市民保护好自己，勤洗手，戴口罩，市场上的口罩被一抢而空，为了缓解一罩难求的局面，政府要求各口罩生产企业加大力度生产口罩，我市的某棉纺企业立即改造了A、B、C三条生产线，加入到口罩生产的行列，第一周A、B、C三条生产线生产的口罩数量之比为6；4：7；第二周C生产线生产的口罩数量占第二周三条生产线生产的口罩总数量的 ，C生产线两周生产的口罩数量占三条生产线两周生产的口罩总数量的 ，而这两周A生产线生产的口罩总量与B生产线生产的口罩总量之比为24：17，那么B生产线两周生产的口罩数量与A、B、C三条生产线两周生产口罩总数量之比为　 　.
三、计算题
13．先化简代数式（ + ）÷ ，然后在2，-2，0中取一个合适的a值代入求值．
14．化简： .
15．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
＝＝＝＝．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
16．观察下列各式：
，
（1）从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________；
（2）用数学的整体思想方法，设，分解因式：，；
（3）已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值．
四、解答题
17．第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售、两种山娃纪念品，其中种纪念品的利润率为，种纪念品的利润率为．当售出的种纪念品的数量比种纪念品的数量少时，该零售商获得的总利润率为；当售出的种纪念品的数量与种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率是多少？（利润率利润成本）
18．已知代数式：①4β+1，②，③﹣2，④0，又设k=2n且α，β，n为整数，
（1）讨论n的正负性，判断①、②、③、④这4个代数式中与k相等的可能性？
（2）进一步说明4β+1与两个代数式相等的可能性．
19．分解因式：x4+4．（提示：可通过添项，将多项式配成一个完全平方式，再进行分解）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣公式法
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
3．【答案】D
【知识点】因式分解的应用；解二元一次方程组
4．【答案】A
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
5．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
6．【答案】C
【知识点】实数范围内分解因式
7．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式
8．【答案】2
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
9．【答案】26；589
【知识点】因式分解的应用
10．【答案】；
【知识点】因式分解的应用
11．【答案】8；55
【知识点】因式分解的应用
12．【答案】17：72
【知识点】分式方程的实际应用
13．【答案】解：原式= （a+2）（a-2）
=a2+4，
由分式有意义的条件可知：a=0，
∴原式=4．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的约分；分式的通分；分式的乘除法
14．【答案】解：原式 ÷
×
【知识点】分式的通分；分式的乘除法
15．【答案】（1）
（2）
（3）14或46
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
16．【答案】（1）；
（2）；
（3），
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用；分式的乘除法
17．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
18．【答案】解：（1）因为：①4β+1=22β+2，②=21﹣2α，k=2n且α，β，n为整数，
所以k=2n不能等于0，也不能等于﹣2，
所以①、②、③、④这4个代数式中与k相等的可能性只能是①和②；
（2）不能，理由如下：
因为：①4β+1=22β+2，②=21﹣2α，
若代数式相等时，则有2β+2=1﹣2α，
可得2（α+β）=﹣1，
所以当α，β为整数，其2倍不能是﹣1，
所以4β+1与两个代数式不能相等．
【知识点】同底数幂的乘法；负整数指数幂；幂的乘方运算
19．【答案】解：原式=x4+4+4x2﹣4x2
=x4+4x2+4﹣4x2
=（x2+2）2﹣4x2
=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
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