第1章 因式分解（培优）（含答案）
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第1章 因式分解（培优）
一、单选题
1．关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确（ ）
①当的结果为关于x的三次三项式时，则；
②若二次三项式能分解成，则；
③当多项式A与B的乘积中不含项时，则；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．计算(-2)1999+(-2)2000等于( )
A．-23999 B．-2 C．-21999 D．21999
3．若（和不相等），那么式子的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
4．n是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（ ）
A．是0 B．总是奇数
C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
5．下列多项式： ①； ②； ③； ④； ⑤ ，其中能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
6．如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是( )
A．3 B．6 C． D．
二、填空题
7．阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求的值．
解法：设为整式
上式为恒等式，
当时，，
即．
解得：．
若多项式含有因式和，则 ．
8．我们规定：若一个四位自然数各个数位均不为零，且千位与百位的积等于十位与个位的和，千位与十位的和为10，则称这个四位自然数为“加乘数”．例如：2786，满足，且，所以2786是“加乘数”．按照这个规定，最小的“加乘数”为；将一个“加乘数”M的千位与十位对调、百位与个位对调，得到新的数记为N，若能被11整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为．
9．我们规定：若一个四位正整数能写成两个正整数的平方差，则称M 为“智慧数”．例如：因为，所以1000是“智慧数”．按照这个规定，1002 “智慧数”（填“是”或者“不是”）．若智慧数 M是 偶 数 ，， 且满足两位 数与两位数的和为完全平方数，则满足条件的正整数M 的 值 为 ．
10． 已知m，n均为正整数，且，.若，则mn的值为 .
11．如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“平分秋色数”．例如：四位数8764，，是“平分秋色数”；又如四位数4361，，不是“平分秋色数”．若是一个“平分秋色数”，记，当n为完全平方数时，则 ；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M中，最大的数是 ．
12．对于任意一个四位数m，若它的千位数字与个位数字均不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“博雅数”．将“博雅数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到m的逆序数，并记．
例如：，因为，，，所以3421是“博雅数”；4512不是“博雅数”，因为．若x，y都为“博雅数”，记x的千位数字与个位数字分别为p，，y的千位数字与个位数字分别为s，t，其中，，，p，，s，t均为整数．若能被8整除，，则所有的可能值的和为 ．
三、计算题
13．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．
（1）如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________．
请类比上述探究过程，解答下列问题：
（2）如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________；
（3）根据以上探究的结果，
①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积．
②计算：
14．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；
（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．
15．定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．
（1）若，，求a，b的“和积数”c；
（2）若，，求a，b的“和积数”c；
（3）已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值．
16．因式分解：
（1）
（2）（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90
四、解答题
17．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
18． 学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列.如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
19．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
方法1：__________________________________________________．
方法2：__________________________________________________．
（2）若，求的值．
（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：______．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；因式分解的概念；三元一次方程组的应用
2．【答案】D
【知识点】公因式的概念
3．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
4．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
6．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
7．【答案】-450
【知识点】因式分解的应用
8．【答案】,
【知识点】因式分解的应用；二元一次方程的解
9．【答案】不是；1480
【知识点】因式分解﹣公式法；加减消元法解二元一次方程组
10．【答案】20或2024
【知识点】因式分解的应用；因式分解-平方差公式
11．【答案】6；9682
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
12．【答案】44
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣十字相乘法
13．【答案】（1）
（2）
（3）①②
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用
14．【答案】（1）；（2）；（3），
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
15．【答案】（1）；
（2）或；
（3），有最小值为．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；求代数式的值-直接代入求值
16．【答案】（1）解：令 ，则
原式
；
（2）解：原式
令
则原式
再将t换成 得：原式
.
【知识点】因式分解﹣公式法；实数范围内分解因式
17．【答案】（1）；（2）；（3）4．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
18．【答案】解：设原队列有m人，
增加54人后组成a×a的正方形队列，减少74人后组成b×b的正方形队列.
根据题意得：
1- ②：
，解得，∴m1=1035；
，解得，∴m2=270；
，解得，∴m3=90；
综上所述，原队列有1035人或270人或90人。
【知识点】二元一次方程组的其他应用
19．【答案】（1），
（2）20
（3）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；绝对值的非负性
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第1章 因式分解（培优）
一、单选题
1．关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确（ ）
①当的结果为关于x的三次三项式时，则；
②若二次三项式能分解成，则；
③当多项式A与B的乘积中不含项时，则；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．计算(-2)1999+(-2)2000等于( )
A．-23999 B．-2 C．-21999 D．21999
3．若（和不相等），那么式子的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
4．n是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（ ）
A．是0 B．总是奇数
C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数
5．下列多项式： ①； ②； ③； ④； ⑤ ，其中能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
6．如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是( )
A．3 B．6 C． D．
二、填空题
7．阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求的值．
解法：设为整式
上式为恒等式，
当时，，
即．
解得：．
若多项式含有因式和，则 ．
8．我们规定：若一个四位自然数各个数位均不为零，且千位与百位的积等于十位与个位的和，千位与十位的和为10，则称这个四位自然数为“加乘数”．例如：2786，满足，且，所以2786是“加乘数”．按照这个规定，最小的“加乘数”为；将一个“加乘数”M的千位与十位对调、百位与个位对调，得到新的数记为N，若能被11整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为．
9．我们规定：若一个四位正整数能写成两个正整数的平方差，则称M 为“智慧数”．例如：因为，所以1000是“智慧数”．按照这个规定，1002 “智慧数”（填“是”或者“不是”）．若智慧数 M是 偶 数 ，， 且满足两位 数与两位数的和为完全平方数，则满足条件的正整数M 的 值 为 ．
10． 已知m，n均为正整数，且，.若，则mn的值为 .
11．如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“平分秋色数”．例如：四位数8764，，是“平分秋色数”；又如四位数4361，，不是“平分秋色数”．若是一个“平分秋色数”，记，当n为完全平方数时，则 ；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M中，最大的数是 ．
12．对于任意一个四位数m，若它的千位数字与个位数字均不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“博雅数”．将“博雅数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到m的逆序数，并记．
例如：，因为，，，所以3421是“博雅数”；4512不是“博雅数”，因为．若x，y都为“博雅数”，记x的千位数字与个位数字分别为p，，y的千位数字与个位数字分别为s，t，其中，，，p，，s，t均为整数．若能被8整除，，则所有的可能值的和为 ．
三、计算题
13．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．
（1）如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________．
请类比上述探究过程，解答下列问题：
（2）如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________；
（3）根据以上探究的结果，
①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积．
②计算：
14．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；
（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．
15．定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．
（1）若，，求a，b的“和积数”c；
（2）若，，求a，b的“和积数”c；
（3）已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值．
16．因式分解：
（1）
（2）（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90
四、解答题
17．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
18． 学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列.如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
19．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
方法1：__________________________________________________．
方法2：__________________________________________________．
（2）若，求的值．
（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：______．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；因式分解的概念；三元一次方程组的应用
2．【答案】D
【知识点】公因式的概念
3．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
4．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
6．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
7．【答案】-450
【知识点】因式分解的应用
8．【答案】,
【知识点】因式分解的应用；二元一次方程的解
9．【答案】不是；1480
【知识点】因式分解﹣公式法；加减消元法解二元一次方程组
10．【答案】20或2024
【知识点】因式分解的应用；因式分解-平方差公式
11．【答案】6；9682
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
12．【答案】44
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣十字相乘法
13．【答案】（1）
（2）
（3）①②
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用
14．【答案】（1）；（2）；（3），
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
15．【答案】（1）；
（2）或；
（3），有最小值为．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；求代数式的值-直接代入求值
16．【答案】（1）解：令 ，则
原式
；
（2）解：原式
令
则原式
再将t换成 得：原式
.
【知识点】因式分解﹣公式法；实数范围内分解因式
17．【答案】（1）；（2）；（3）4．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
18．【答案】解：设原队列有m人，
增加54人后组成a×a的正方形队列，减少74人后组成b×b的正方形队列.
根据题意得：
1- ②：
，解得，∴m1=1035；
，解得，∴m2=270；
，解得，∴m3=90；
综上所述，原队列有1035人或270人或90人。
【知识点】二元一次方程组的其他应用
19．【答案】（1），
（2）20
（3）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；绝对值的非负性
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