坚强的意志是一个人成功的必要心理素质，只有坚持不懈持之以恒，才能圆满地实现自己的人生目标。
数学培优（1）
1．已知数列，满足下列条件：
(1) 求的解析式
(2) 求的通项公式;
(3) 试推测与的大小。
2．已知，点在函数的图像上，其中n=1,2,3,,…..。
（1） 证明：数列是等比数列
（2） 设，求及数列的通项
（3） 记求数列的前n项和，并证明
3．已知是等差数列，d为公差且不为0，和d均为实数，它的前n项和记作，设集合
试问下列结论是否正确，若正确，给予证明;若不正确，举例说明.
（1） 以A中的元素为坐标的点都在同一条直线上;
（2） 至多有一个元素;
（3） 当时，一定有
4.已知数列中，是的前项和，当时，
（1） 求证明：等差数列；
（2） 若，求；
（3） 在条件（2）下，试求满足不等式正整数。
参考答案：
1．已知数列，满足下列条件：
（1） 求的解析式
（2） 求的通项公式;
（3） 试推测与的大小。
解：，
（2）
两式相减得
即，
（3）
，
当时，
当时，
当时，
猜测时，。
2．已知，点在函数的图像上，其中n=1,2,3,,…..。
（1）证明：数列是等比数列
（2）设，求及数列的通项
（3）记求数列的前n项和，并证明
解：（1）由已知
两边取对数得
即是公比为2的等比数列。
（2）由（1）知，
（*），
（3）
，又
，
又
3．已知是等差数列，d为公差且不为0，和d均为实数，它的前n项和记作，设集合
试问下列结论是否正确，若正确，给予证明;若不正确，举例说明.
（1）以A中的元素为坐标的点都在同一条直线上;
（2）至多有一个元素;
（3）当时，一定有
解：(1)
（2）正确，联立，则此方程组至多有一组解。
(3) 不正确。取，则方程组的解为（与 的横、纵坐标为正矛盾。
4.已知数列中，是的前项和，当时，
（4） 求证明：等差数列；
（5） 若，求；
（6） 在条件（2）下，试求满足不等式正整数。
解：（1）当时，
是等差数列
（2），
（3）
不等式可化为
解得
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1培优……数列与不等式
1. 对任意都有
⑴求和的值．
⑵若，则数列是等差数列吗？请给予证明
⑶令试比较与的大小．
2. 已知函数的图象过原点，且关于点成中心对称.
(1) 求函数的解析式；
(2) 数列满足：，求的值，并求数列的通项
(3) 若数列的前项和为，判断与2的大小关系，并证明你的结论.
3．（课本P81）数列满足：.
⑴ 求，及的通项；
⑵ 设，证明：
4．已知函数，若是函数图象上两点，且线段的中点P的横坐标为.
⑴ 求证：点P的纵坐标为定值；
⑵ 若，求数列的前n项和；
⑶在条件⑵下，令，数列的前n项和，求证：
5．在个不同数的排列中，若1≤i＜j≤m时（即前面某数大于后面某数），则称构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列
的逆序数为, 如排列21的逆序数，排列4321的逆序数.
⑴ 求，并写出的表达式；
⑵ 令，证明
6．定义在的单调递增函数，对，都有，
一个各项均为正数的数列及其前项和满足满足：.
⑴ 求数列的通项公式；
⑵ 是否存在正数M使不等式对
一切都成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.
1.解：⑴ 因为．所以．
令，,得，即
⑵
又
两式相加得．
所以，又．故数列是等差数列．
⑶，
,所以
2.解：(1)∵函数的图象过原点，∴即 ∴.
又函数的图象关于点成中心对称，∴， .
(2)解：由题意有 即，即.
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列.
∴,则 ∴ ，，，.
(3)当时，
, 故
3．解：⑴n为奇数时，；n为偶数时，，则，
奇数项构成以1为首项，公差为1的等差数列，即；
偶数项构成以2为首项，公比为2的等比数列，即，
⑵，错位相减得，
需证，即证，令
∵ ∴，不等式得证.
4．解：⑴，即点P的纵坐标为定值；
⑵ 由⑴，∵
∴，倒序求和得；
⑶，错位相减得…………①
又 ∴，即为递增数列，
∴…………② 综合①②得
5.解：⑴由已知得，.
⑵因为，
所以.又因为，
故=
综上，.
7．⑴； ⑵不等式即
令，则
则，即为递增数列，
故 ∴时间是个常数，但对于勤奋者来说是个变数。
数学培优（7）
导数及应用
1、已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
2、已知抛物线与直线相切于点．
（Ⅰ）求的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
3、已知，，.
（1）当a=1时，求的单调区间；
（2）是否存在实数a，使的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.
4、函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．
导数及应用参考答案
1、已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
1、解: （Ⅰ）解：当时，，，……………1分
又，则．…………………3分
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．……………4分
（Ⅱ）解：．…………6分
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，,
当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极小值 极大值
所以在区间,内为减函数，在区间内为增函数
故函数在点处取得极小值，且，
函数在点处取得极大值，且．…………………10分
（2）当时，令，得到，
当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
所以在区间,内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
2、已知抛物线与直线相切于点．
（Ⅰ）求的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
2、 解：（Ⅰ）依题意，有
，．
因此，的解析式为；
（2）由（）得（），解之得
（）
由此可得且，
所以实数的取值范围是．
3、已知，，.
（1）当a=1时，求的单调区间；
（2）是否存在实数a，使的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.
3、解：（1）当.
∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：，.
（2），
令.
列表如下：
x (－∞，0) 0 （0，2－a） 2－a (2－a，+ ∞)
－ 0 + 0 －
↘ 极小 ↗ 极大 ↘
由表可知，. ……（12分）
设，∴上是增函数，
∴ ，即，
∴不存在实数a，使极大值为3.
4、函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．
4、解：（1）函数的定义域为，
∵，…………………………………2分
∵，则使的的取值范围为，
故函数的单调递增区间． ………………………………………4分
（2）方法1：∵，
∴．………………………6分
令，
∵，且，
由．
∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，……………9分
故在区间内恰有两个相异实根
即解得：．
综上所述，的取值范围是．………………………14分
PAGE
1数学培优辅导------------二次函数
1．设，方程的两个根满足.
⑴ 当时，证明；
⑵ 设函数的图象关于直线对称，证明
2．设,和对任何实数 恒成立. ⑴ 求证：；⑵ 若函数的最大值为8，求的值.
3．设函数，且方程有实根.
⑴ 证明：；
⑵ 若m是方程的一个实根，判断的符号并加以证明.
4．已知二次函数满足：对任意实数，都有，且当成立.
⑴ 证明：； ⑵ 若，求的表达式；
⑶ 设图像上的点都位于直线的上方，求实数的取值范围.
1．设，方程的两个根满足.
⑴ 当时，证明；
⑵ 设函数的图象关于直线对称，证明
证明：⑴；
⑵ ∴
2． 设,和对任何实数 恒成立. ⑴求证：；⑵若函数的最大值为8，求的值.
分析：⑴依题意，即当时，恒成立；当时，恒成立，
于是，∴；由得
⑵分类讨论知.
3．设函数，且方程有实根.
⑴证明：；
⑵若m是方程的一个实根，判断的符号并加以证明.
证明：⑴由得 由得……①
“方程有实根”即，则……②
由①②知 ∴……③
又……④，由③④知
⑵，而，结合图象知
故，而上单调递减，
∴
4．已知二次函数满足：对任意实数，都有，且当成立.
⑴证明：； ⑵若，求的表达式；
⑶设图像上的点都位于直线的上方，求实数的取值范围.
解：⑴由条件知：恒成立
恒成立
⑵
又恒成立
解出：
⑶由分析条件知道，只要f（x）图象（在y轴右侧）总在直线上方即可，
也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，
于是： 利用相切时△=0，解出m=1+
另解：必须恒成立
即恒成立
①解得：
②高三数学培优辅导专题之二------------函数性质
1．设，函数
⑴讨论的奇偶性； ⑵求的最小值．
2．已知函数
⑴将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数解析式；
⑵函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；
⑶设，已知的最小值是且,求实数的取值范围．
3．设函数
⑴求函数的单调递增区间；
⑵若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．
４．定义在R上的函数满足，，且在闭区间［0，7］上，只有
⑴ 试判断函数的奇偶性；
⑵ 试求方程=0在闭区间上的根的个数，并证明你的结论．
5．定义域为的偶函数，方程在R上恰有5个不同的实数解.
⑴ 求时，函数的解析式； ⑵ 求实数的取值范围.
6．已知点P是函数图象上的任一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数的图象.
⑴ 当时，解不等式；
⑵ 当时，恒成立，求m的取值范围..
1．设，函数
⑴讨论的奇偶性； ⑵求的最小值.
解：⑴显然a=0时，f(x)为偶函数，
当a≠0时，f(a)=a2+1, f (－a)=a2+2|a|+1
f(a)≠f(－a), f(a)+f (－a)≠0 ∴ 此时f(x)为非奇非偶函数.
⑵首先应先去掉绝对值，再进行讨论.
①当x≤a时，.
若,则f(x)在区间（-∞，a]上单调递减，
∴ f(x)的最小值为f(a)=a2+1.(如图(I))
若，则f(x)在区间（-∞，a]上的最小值为（如图II).
②当x≥a时，，
若，则f(x)在[a,+∞]上的最小值为（如图III）.
若，则f(x)在[a,+∞]上单调递增，则f(x)的最小值为f(a)=a2+1.(如图IV).
综上，当时，，故f(x)最小值为；
当时，f(x)最小值为a2+1；
当时，，f(x)最小值为.
点评：该题考察到函数的图像与性质的综合应用，考察了分类讨论的思想。
2．已知函数
⑴将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数解析式；
⑵函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；
⑶设，已知的最小值是，求实数的取值范围．
解：⑴
⑵设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以，
于是 即
⑶。
设，则。
问题转化为：对恒成立. 即
对恒成立（*）
若，不等式为不恒成立，故必有二次项系数.
此时，由于二次函数的对称轴，
所以，问题等价于，即解之得：
此时，，故在取得最小值满足条件.
3．设函数．
⑴求函数的单调递增区间；
⑵若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数 的取值范围．
解：⑴∵
由及知，的单调递增区间为．
⑵方法1：∵，
∴．
令， ∵，且，
由．
∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，
在区间内恰有两个相异实根
即解得：．
综上所述，的取值范围是．
方法2：∵，
∴．
即，令，
∵()，由．
∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．
∵，，，又，
故即在区间内恰有两相异实根．
即．综上所述，的取值范围是．
４．定义在R上的函数满足，，且在闭区间
［0，7］上，只有.
⑴试判断函数的奇偶性；
⑵试求方程=0在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。
解：⑴∵，∴ 即 ，
∵在［0，7］上，只有，
∴，∴， ∴是非奇非偶函数．
⑵由，令，得 ，
由，令，得 ,
∴，∴是以10为周期的周期函数，
∵的图象关于对称，∴
∵在［0，7］上，只有，∴10是的最小正周期，
∴在［0，10］上，只有，
∴在每一个周期内只有两个根，故f(x)在内有800个解；
在内，，，
故在内只有-个解；
在内，，故在内有两个解；
所以函数在上有803个解。
5．定义域为的偶函数，方程在R上恰有5个不同的实数解.
⑴求时，函数的解析式； ⑵求实数的取值范围.
解：⑴设x<0，则－x>0，∴
∵为偶函数， ∴
⑵∵为偶函数，∴=0的根关于0对称.
由=0恰有5个不同的实数解，知5个实根中有两个正根，两个负根，一个根为零，
且两个正根和两个负根互为相反数.
∴图像与x轴恰有两个不同的交点
下面研究x>0时的情况：
∵，即 为增函数，
故的图象与x轴的正半轴最多一个交点，即不可能有两实根，∴a>0
令
当递减，
∴处取到极大值
要使轴有两个交点当且仅当>0
解得，故实数a的取值范围（0，）
方法二：
⑵∵为偶函数， ∴=0的根关于0对称.
由=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根.
且两个正根和二个负根互为相反数
∴原命题图像与x轴恰有两个不同的交点
下面研究x>0时的情况：
“的解的个数”即“与直线的交点的个数”
当时，与直线y=ax只有一个交点，不合题意 ∴a>0
若直线与相切，设切点为，且，
求得.由几何意义知：与直线y=ax交点的个数为2时，
6．已知点P是函数图象上的任一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数的图象.
⑴ 当时，解不等式；
⑵ 当时，恒成立，求m的取值范围..
解：⑴（注意定义域）；
⑵
令在上单调递减，则，
又， ∴成功与失败往往只有一步之差，增强自己的毅力，我们就能最终达到胜利。
培优辅导（5）
——不等式
1．（1）已知是正常数，，，求证：，指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值．
2．已知二次函数f(x)的二次项系数为正且f(2－x)＝f(2＋x).
求不等式f(2－2ax2)3． 实系数方程的一个根在内，另一个根在内，求：
（1）的值域；
（2）的值域；
（3）的值域。
4．已知集合（其中为正常数）。
（1） 设求的取值范围；
（2） 求证：当时不等式对任意恒成立；
（3） 求使不等式对任意恒成立的的范围。
5．已知数列满足
（1）求证：数列是等比数列；
（2）当为何值时，取最大值，并求最大值；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围。
参考答案：
1．（1）已知是正常数，，，求证：，指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值．
解：⑴，
故．当且仅当，即时上式取等号；
⑵由⑴．
当且仅当，即时上式取最小值，即
2．已知二次函数f(x)的二次项系数为正且f(2－x)＝f(2＋x).
求不等式f(2－2ax2)解：∵f(2－x)=f(2+x)，∴f(x)的对称轴为x=2，
又∵f(x)的二次项系数大于零，∴f(x)在(－∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数。
⑴当a>0时，2－2ax2≤2，－ax2+2ax－a+2＝－a(x－1)2+2≤2，依题意得
2－2ax2>－ax2+2ax－a+2ax2+2ax－a<0x2+2x－1<0，解得
⑵当a<0时，2－2ax2≥2，－ax2+2ax－a+2＝－a(x－1)2+2≥2，依题意得
2－2ax2<－ax2+2ax－a+2ax2+2ax－a>0x2+2x－1<0，解得
综上所述：原不等式的解集为。
3． 实系数方程的一个根在内，另一个根在内，求：
（1）的值域；
（2）的值域；
（3）的值域。
答案：（1）
4．已知集合（其中为正常数）。
（1）设求的取值范围；
（2）求证：当时不等式对任意恒成立；
（3）求使不等式对任意恒成立的的范围。
5．已知数列满足
（1）求证：数列是等比数列；
（2）当为何值时，取最大值，并求最大值；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围。
答案：（1）；（2）
当或时最大。最大值为
（3）
6．是数列（）的前项和，，且，，．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
20．解：（I）当时，由已知得．
因为，所以． …………………………①
于是． …………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即数列（）是常数数列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，
而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．
所以，，．
由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．
（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）
PAGE
1数学培优专题…………三角函数
1． 已知函数.
⑴当时，求的递增区间；
⑵当时，的值域为，求的值.
2． 已知点在函数的图象上，以N为切点的切线的倾斜角为.
⑴求的值；
⑵是否存在最小正整数k，使对一切都成立？
⑶求证：
3． 已知函数的最大值为，若，求的值及此时函数的最小值.
4． 已知，又常数.
求证：
5． 练习：已知函数.
⑴求函数值域 ；
⑵若对任意实数，当时，的图象与直线有且仅有两个不同交点，求的值，并求的递增区间.
参考答案：
1． 已知函数.
⑴当时，求的递增区间；
⑵当时，的值域为，求的值.
解：
⑴当时，求的递增区间为；
⑵当时，，，
∴
2． 已知点在函数的图象上，以N为切点的切线的倾斜角为.
⑴求的值；
⑵是否存在最小正整数k，使对一切都成立？
⑶求证：
解：⑴由得；
⑵时，，于是
⑶…………①
当时，，即上单调递增.
而当时，，故…………②
综合①②知：
3． 已知，又常数.
求证：
证明：令
则，令得
由的单调性，当时，有极小值
∴时， ∴
即
4． 已知函数的最大值为，若，求的值及此时函数的最小值.
解：，
由得；当时，
5． 已知函数.
⑴求函数值域 ；
⑵若对任意实数，当时，的图象与直线有且仅有两个不同交点，求的值，并求的递增区间.
解：⑴，值域为
⑵，递增区间为坚强的意志是一个人成功的必要心理素质，只有坚持不懈持之以恒，才能圆满地实现自己的人生目标。
培优辅导（3）
1． 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且
（1） 求的通项公式;
（2） 设数列满足， 并记为的前项和，求证：
2． 在平面上有一系列点，对每一个正整数，以点为圆心的圆与轴及射线都相切，且圆与圆彼此外切。若，且
（1） 求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;
（2） 设数列的各项的和为正且满足
求证:
3．设数列满足数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有
（1） 求数列的通项公式；
（2） 记求数列的前项的和.
4.已知曲线C：，C上的两点A、的横坐标分别为2与，，数列满足（且，）．设区间，当时，曲线C上存在点，使得点处的切线与平行．
（I）建立与的关系式；
（II）证明：是等比数列；
（III）当对一切恒成立时，求t的范围．
参考答案：
1.已知各项均为正数的数列的前项和满足，且
(1)求的通项公式;
(2)设数列满足， 并记为的前项和，求证：
2.在平面上有一系列点，对每一个正整数，以点为圆心的圆与轴及射线都相切，且圆与圆彼此外切。若，且
(1)求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)设数列的各项的和为正且满足
求证:
3．设数列满足数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有
(1)求数列的通项公式；
(2)记求数列的前项的和.
解：（1）由得
又 ，
数列是首项为1公比为的等比数列，
，
由 得 ，由 得 ，…
同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；
因此
（2）
当n为奇数时，
当n为偶数时，
令 ……①
①×得: ……②
①-②得:
因此
4.已知曲线C：，C上的两点A、的横坐标分别为2与，，数列满足（且，）．设区间，当时，曲线C上存在点，使得点处的切线与平行．
（I）建立与的关系式；
（II）证明：是等比数列；
（III）当对一切恒成立时，求t的范围．
解：（I）因为曲线在处的切线与平行
……………4分
，
（III）。由（II）知：=
，从而……………11分
，
当n为偶数时
当n为奇数时
当n为偶数时
当n为奇数时
当n为偶数时
当n为奇数时
PAGE
1成功与失败往往只有一步之差，增强自己的毅力，我们就能最终达到胜利。
培优辅导（9）
—立体几何
1．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．
2．如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, 底面ABCD, E为PC的中点, PA＝AD＝AB＝1.
（1）证明: ;
（2）证明: ;
（3）求三棱锥BPDC的体积V.
3．如图，已知直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC1的中点，A1D⊥BE。
（1）求证：A1D⊥平面BDE；
（2）求二面角B—DE—C的大小；
（3）求点B到平面A1DE的距离。
4． 如图，已知棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA1，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点。
（1）求证：MF∥面ABCD；
（2）求证：MF⊥面BDD1B1。
5．如图，矩形中，，为的中点.
（1）求证：；
（2）若，求AE与BF所成角的大小.
6．如图，在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D＝6，BC＝3，DC＝，A是P1D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．
参考答案：
1．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．
1．解法一：（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
依题设，
故，由，，．
又，作，垂足为，
则平面，连结．为直线与平面所成的角．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．………………………………………………14分
解法二：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
因为，，
又，所以，
，．
，，，，所以．…………………7分
（Ⅱ），.
与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．
，，
所以，直线与平面所成角的正弦值为．………………………14分
2．如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, 底面ABCD, E为PC的中点, PA＝AD＝AB＝1.
（1）证明: ;
（2）证明: ;
（3）求三棱锥BPDC的体积V.
2．证明:（1）取PD中点Q, 连EQ , AQ , 则 ……………………………………1分
…………………………………………2分
………………3分
………………………5分
(2)
. ………………………………………10分
解:（3） …………………………………11分
. ………………………………14分
3．如图，已知直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC1的中点，A1D⊥BE。
（1）求证：A1D⊥平面BDE；
（2）求二面角B—DE—C的大小；
（3）求点B到平面A1DE的距离。
3．（1）∵AA1⊥面ABCD， ∴AA1⊥BD，
又BD⊥AD， ∴BD⊥A1D …………………2分
又A1D⊥BE，∴A1D⊥平面BDE …………………3分
（2）连B1C，则B1C⊥BE，易证Rt△CBE∽Rt△CBB1,
∴，又E为CC1中点，∴
∴ ……………………5分
取CD中点M，连BM，则BM⊥平面CD1，作MN⊥DE于N，连NB，则∠BNM是二面角B—DE—C的平面角 ……………………7分
Rt△CED中，易求得MN=中，∠BNM=
∴∠BNM=arctan …………………10分
（3）易证BN长就是点B到平面A1DE的距离 …………………11分
∴∠BN= …………………12分
4． 如图，已知棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA1，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点。
（1）求证：MF∥面ABCD；
（2）求证：MF⊥面BDD1B1。
4．证明：（1）连结AC、BD交于点O，再连结MO ，
（2）
5．如图，矩形中，，为的中点.
（1）求证：；
（2）若，求AE与BF所成角的大小.
5． 解：（1）证明：连接AC，交BD于G. 连GF. ……（1分）
依题意可知是中点， ……（2分）
又 是中点，
∴ 在中，. ……（4分）
∴. ……（6分）
（2），，
∴，则. ……（8分）
又，则，
∴. ……（11分）
又 ，
∴，即AE与BF所成角的大小为90°.……（13分）
6．如图，在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D＝6，BC＝3，DC＝，A是P1D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．
6．证明(Ⅰ)
AB∥DC，DC平面PAD．
DCPD DCAD， PDA为二面角P－CD－B的平面角．…………3分
故PDA＝45° PA＝AD＝3， APD＝45°． PAAD．
又PAAB ，PA平面ABCD． ………………………………………6分 （Ⅱ）证法一：延长DA，CE交于点N，连结PN,
由折叠知又．
，
又由（１）知，
为二面角C—PN—D的平面角．……9分
在直角三角形中，，
．
即平面PEC和平面PAD所成锐二面角为30°． ……………………………12分
证法二：如图建立空间直角坐标系 ，
则
，设为平面的法向量，则
，可设，
又平面的法向量，．
．
B
D
C
S
D
A
B
C
A
S
E
D
B
C
A
S
A
B
C
D
E
F
G
A
D
C
B
E
P
A
D
C
B
P1
E
S
C
D
A
B
A
D
C
B
E
P
A
D
C
B
P1
E
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