（培优篇）2025-2026学年上学期小学数学北师大版五年级第三单元倍数与因数练习卷（含解析）

（培优篇）2025-2026学年上学期小学数学北师大版五年级第三单元练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在1—10的自然数中，最大的质数与最大的奇数的和是（ ）。
A．14 B．16 C．18 D．21
2．王老师买了相同支数的钢笔和圆珠笔，钢笔每支4元，圆珠笔每支3元。那么王老师可能花了（ ）元钱。
A．48 B．38 C．28
3．在四位数1□40的方框里填上一个数字，使这个四位数既是2和5的倍数，又是3的倍数，最多有（ ）种填法。
A．5 B．4 C．3 D．2
4．下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（ ）。
A．13、14、15 B．7、8、9 C．12、13、14 D．14、15、16
5．在108、97、2、9873、1、360、75这七个数中，合数有（ ）个。
A．3 B．4 C．5 D．6
6．同时是2，3和5的倍数的最小四位数是（ ）。
A．1020 B．1110 C．1005 D．1050
7．某月内有3个星期日的日期都是偶数，那么这个月的15日是星期（ ）。
A．一 B．五 C．六
8．在大于5的自然数中，个位上是0、2、4、5、6、8的数都是（ ）。
A．合数 B．质数 C．偶数 D．5的倍数
二、填空题
9．小于10的最大的质数与最小的质数的积是( )。
10．在自然数中，最小的质数是( )，最小的合数是( )，最小的偶数和奇数的和是( )。
11．奇数＋奇数＝( ) 偶数＋偶数＝( ) 奇数＋偶数＝( )
12．在括号里填上适当的质数。
12＝( )＋( ) 35＝( )×( )
13．要使两位数7□是2的倍数，□里可以填的数字有( )个；要使三位数6□1是3的倍数，□里可以填的数字有( )个，要使三位数59□同时是2和5的倍数，□里填的数字是( )。
14．文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进( )支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进( )支。
15．《水浒传》成功塑造了水泊梁山108位好汉的形象。108的最大因数是( )，比108小的三位数中，既是偶数，又有因数3的数有( )。
16．一个数（如13）和其反序数（如31）都是质数，我们就称它们都为绝对质数。100以内的两位数中，共有( )个像13、31这样的绝对质数。
17．已知质数、满足，则( )。
18．甲、乙玩抽扑克游戏，现有1～9的扑克各若干张，甲、乙两人分别从中取出5张，然后计算五张扑克上数字的乘积，最后发现乘积一样，都为1764，并且甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4，那么甲、乙扑克数字之和分别为 。
19．两个正整数A和B满足：①A（A＋1）是B（B＋1）的倍数；②A和（A＋1）都不是B或者（B＋1）的倍数；那么A＋B的最小值是( )。
三、判断题
20．一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。( )
21．要使三位数48□同时是2、3、5的倍数，则□里填0。( )
22．像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，也叫奇数。( )
23．自然数按因数的个数可以分为奇数与偶数两类。( )
四、计算题
24．列式计算。
50.9减去6.2的5倍，所得的差除以最小的质数，商是多少？
五、解答题
25．小朋友到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元，小红认为不对，你能解释这是为什么吗？
26．选哪种包装盒能正好把48瓶饮料装完？还有其他包装方式吗？如果有请写出来。
27．水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。王爷爷绘制了一幅水墨画，这幅水墨画是长方形，长和宽均为质数，而且这幅水墨面的周长是36分米。这幅水墨画的面积最多是多少平方分米？

28．妈妈准备把自己手工制作的36块月饼装在盒子里，每个盒子都装得同样多，有几种不同的装法？每种装法各需要几个盒子？每个盒子里装多少块月饼？
29．北京世界园艺博览会中，中国馆作为核心景观区，不仅外形亮服，它还是一座“会呼吸”“有生命”的绿色建筑。中国馆的钢结构屋盖安装有块光伏玻璃。是一个四位数，其中A既不是质数，也不是合数；B是最小的偶数；C是最小的质数；D是最小的合数。一共安装了多少块光伏玻璃？
30．李老师把52颗糖装在袋子里，每个袋子装同样多，有几种装法？每种装法需要几个袋子？（1袋不考虑）
袋子
每袋数量
答：共有（ ）种装法。
31．用0，1，2，3，…，9这10个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数并且尽可能大，这5个两位数的和是多少？
32．在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位上的数字。在这串数中，是否会出现相邻的四个数是“2000”？
135761939237134…
《（培优篇）2025-2026学年上学期小学数学北师大版五年级第三单元练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C D B A C A
1．B
【分析】在 1 10 的自然数中，最大的质数是7，最大的奇数是9，两数之和是7＋9。
【详解】7＋9＝16
在1—10的自然数中，最大的质数与最大的奇数的和是16。
故答案为：B
【点睛】此题考查了质数和奇数的知识，要求学生掌握。
2．C
【分析】将钢笔的单价加上圆珠笔的单价求出单价和，由于钢笔和圆珠笔的支数相同，那么王老师花的钱数是单价和的倍数。整数a除以整数b，商是整数且没有余数，那么a是b的倍数。据此解题。
【详解】4＋3＝7（元）
A．48÷7＝6……6，所以48不是7的倍数；
B．38÷7＝5……3，所以38不是7的倍数；
C．28÷7＝4，所以28是7的倍数；
那么，王老师可能花了28元钱。
故答案为：C
3．C
【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，据此解答即可。
【详解】因为四位数1□40的个位数字是0，所以无论方框中填什么数字该四位数一定是2和5的倍数；
又因为1＋1＋4＋0＝6，6是3的倍数，所以1140也是3的倍数；1＋4＋4＋0＝9，9是3的倍数，所以1440也是3的倍数；1＋7＋4＋0＝12，12是3的倍数，所以1740也是3的倍数，则要使这个四位数既是2和5的倍数，又是3的倍数，方框里可以填1、4、7共3种填法。
故答案为：C
【点睛】本题考查2、3、5的倍数，明确2、3、5的倍数特征是解题的关键。
4．D
【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，据此分析。
【详解】A．13是质数，排除；
B．7是质数，排除；
C．13是质数，排除；
D．14、15、16都是合数，符合。
三个连续自然数都是合数的是14、15、16。
故答案为：D
5．B
【分析】一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数；据此解答。
【详解】在108、97、2、9873、1、360、75这七个数中，合数有：108、9873、360、75共4个。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查合数的意义，解题时注意1既不是质数也不是合数。
6．A
【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
【详解】A．1020同时是2，3和5的倍数；
B．1110同时是2，3和5的倍数；
C．1005不是2的倍数，排除；
D．1050同时是2，3和5的倍数。
1020＜1050＜1110
同时是2，3和5的倍数的最小四位数是1020。
故答案为：A
【点睛】关键是掌握2、3、5的倍数的特征。
7．C
【分析】一个月内相邻的两个星期日的日期相差7，如果一个星期日的日期是偶数，因为偶数＋7＝奇数，偶数＋14＝偶数，说明下一个星期日是奇数，下下个星期日是偶数。某月内有3个星期日的日期都是偶数，则这3个星期日都不是相邻的，那么这个月有5个星期日。一个月最多有31日，4个星期一共有28日，所以这个月的第一个星期里本月最多有31－28＝3（日）。那么第一个偶数星期日就是2日，则第二个偶数星期日是2＋14＝16（日），第三个偶数星期日是16＋14＝30（日）。据此解答。
【详解】通过分析可知，这个月的16日是星期日，则这个月的15日是星期六。
故答案为：C
【点睛】明确日期都是偶数的3个星期日都不是相邻的是解题的关键。
8．A
【分析】根据合数，质数，偶数，5的倍数的特征解决题目。合数是指一个数除了1和它本身还有其它的因数，质数是指一个数只有1和它本身两个因数，偶数是指个位上是0、2、4、6、8的数，5的个倍数特征：一个数的个位是0或5的倍数。
【详解】A．合数是最少有3个因数的数，题中给的数都满足，选项正确；
B．根据质数的定义，题中给出的数都不是质数，选项错误；
C．根据偶数的定义，题中给出的数中15，25等都不是偶数，选项错误；
D．大于5的自然数中，个位上是2、4、6、8的数，不是5的倍数，选项错误；
故答案为：A
【点睛】本题中，给出的条件，注意包含个位是5且大于5的自然数，不仅是个位上是0、2、4、6、8的数。
9．14
【分析】根据质数意义（一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数）可知，10以内最大的质数是7，最小的质数是2，然后求出积即可。
【详解】小于10的最大的质数与最小的质数的积是：7×2＝14。
【点睛】此题主要考查对质数意义的掌握情况。
10． 2 4 1
【分析】质数是大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数，最小的质数是2；合数是指除了1和它本身，还能被其它数整除的数，最小的合数是4；奇数是不能被2整除的数，最小的奇数是1；偶数是能被2整除的数，最小的偶数是0；据此解答。
【详解】在自然数中，最小的质数是2，最小的合数是4，最小的偶数和奇数的和是1＋0＝1。
【点睛】本题主要考查质数、合数和奇偶数的意义，然后根据意义解答即可。
11． 偶数 偶数 奇数
【分析】根据数的奇偶性运算性质：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数，偶数±奇数＝奇数，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，据此解答。
【详解】奇数＋奇数＝偶数
偶数＋偶数＝偶数
奇数＋偶数＝奇数
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握数的奇偶性运算性质。
12． 5 7 5 7
【分析】根据质数的意义：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数，由此即可填空。
【详解】12＝5＋7
35＝5×7
【点睛】本题主要考查质数的意义，熟练掌握质数的意义是解题的关键。
13． 5 3 0
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除；既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，则这个数是2的倍数，又是5的倍数。据此解答。
【详解】7□是2的倍数，□内可以填0，2，4，6，8一共5个；
6□1是3的倍数；
如果□内填0；6＋0＋1＝7；7不能被3整除，□内不能填0；
如果□内填1；6＋1＋1＝8；8不能被3整除，□内不能填1；
如果□内填2；6＋2＋1＝9；9能被3整除，□内能填2；
如果□内填3；6＋3＋1＝10；10不能被3整除，□内不能填3；
如果□内填4；6＋4＋1＝11；11不能被3整除，□内不能填4；
如果□内填5；6＋5＋1＝12；12能被3整除，□内能填5；
如果□内填6；6＋6＋1＝13；13不能被3整除，□内不能填6；
如果□内填7；6＋7＋1＝14；14不能被3整除，□内不能填7；
如果□内填8；6＋8＋1＝15；15能被3整除，□内能填8；
如果□内填9；6＋9＋1＝16；16不能被3整除，□内不能填9；
□内可以填2，5，8，一共3个。
59□同时是2和5的倍数，□里填的数字是0。
要使两位数7□是2的倍数，□里可以填的数字有5个；要使三位数6□1是3的倍数，□里可以填的数字有3个，要使三位数59□同时是2和5的倍数，□里填的数字是0。
14． 159 156
【分析】由题意可知，每3支装一盒，且恰好装完，说明钢笔的数量是3的倍数，根据3的倍数的特征，各位数字之和是3的倍数，找出150到160之间3的倍数，（150刚好是3的倍数，从150开始依次加3，就是3的倍数。）最大的就是所求答案；如果每6支装一盒，且恰好装完，同样找出150到160之间6的倍数，（150刚好是6的倍数，从150开始依次加6，就是6的倍数。）最大的就是所求答案。
【详解】150到160之间3的倍数有：150、153、156、159。
150到160之间6的倍数有：150、156。
文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进159支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进156支。
15． 108 102
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。
2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】108的最小因数是1，最大因数是108。
比108小的三位数有：100、101、102、103、104、105、106、107；
其中是偶数的有：100、102、104、106；
偶数中又是3的倍数的有：102。
填空如下：
108的最大因数是（108），比108小的三位数中，既是偶数，又有因数3的数有（102）。
16．9
【分析】质数：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数；根据绝对质数的定义将满足条件的所有情况写出来即可。
【详解】由分析可得：100以内的两位数中绝对质数为：11、13、31、17、71、37、73、79、97共9个。
【点睛】本题考查了质数与合数的知识，解题的关键是仔细读懂题意并了解绝对质数的定义，难点是能够不重不漏，难度不大。
17．1990或1984
【分析】奇数偶数奇数，129是奇数，则5m和7n肯定有一个是偶数。第一种情况当5m是偶数时，5是奇数，因为奇数×偶数＝偶数，m是偶数又是质数。所以m＝2，第二种情况7n是偶数时，7是奇数，因为奇数×偶数＝偶数，n是偶数又是质数。所以n＝2。。
【详解】当m＝2时
5×2＋7n＝129
10＋7n＝129
7n＝129－10
7n＝119
n＝119÷7
n＝17
2009－m－n
＝2009－2－17
＝1990
当n＝2时
5m＋7×2＝129
5m＋14＝129
5m＝129－14
5m＝115
n＝115÷5
n＝23
2009－m－n
＝2009－23－2
＝1984
【点睛】和的奇偶性以及积的奇偶性。
18．28、24
【分析】将1764分解质因数，求和，找出符合甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4的数。
【详解】
①
此时和为：
②
此时和为：
③
此时和为：
④
此时和为：
⑤
此时和为：
因为甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4，所以符合题意的是24和28。
即甲取得扑克数字之和为28，乙取得扑克数字之和为24。
所以甲、乙扑克数字之和分别为28、24。
【点睛】考查数字问题。根据数的特征，进行分解质因数，分析每组数字的组合情况，然后求出每组的和即可。
19．34
【分析】A（A＋1）是B（B＋1）的倍数，A和（A＋1）都不是B或者（B＋1）的倍数，则A、（A＋1）、B、（B＋1）四个数都不是质数。连续的两个自然数都不是质数的有：8和9、9和10、14和15、15和16、20和21、21和22、24和25……。其中，当B是8或9时，A、（A＋1）无法找到符合题意的值；当B是14时，（B＋1）是15，14×15＝2×7×3×5，A（A＋1）是B（B＋1）的倍数，则A（A＋1）最小是2×7×3×5×2＝20×21，即A最小是20，（A＋1）最小是21。据此求出A＋B的最小值。
【详解】通过分析可得：A、（A＋1）、B、（B＋1）四个数都不是质数，A最小是20，B最小是14，那么A＋B的最小值是20＋14＝34。
【点睛】明确四个数都不是质数，据此找出不是质数的连续自然数，从而确定A和B的值。
20．√
【分析】根据倍数的定义，一个数的最小倍数是它本身，且倍数有无限多个，因此没有最大倍数。
【详解】一个数的最小倍数是它本身，例如：5的最小倍数是5。由于自然数的个数是无限的，乘任意大的自然数可以得到更大的倍数，因此没有最大的倍数。例如：5的倍数有5、10、15、20……有无数个，原题说法正确。
故答案为：√
21．√
【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数；则要是这个数是2、3、5的倍数，这个数的个位数字一定是0且各个数位上的数字之和是3的倍数，据此判断即可。
【详解】由分析可知：
要使三位数48□同时是2、3、5的倍数，则□里填0。原题干说法正确。
故答案为：√
22．√
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。根据2的倍数的特征可知：个位上是0，2，4，6，8的数都是偶数，个位上是1，3，5，7，9的数都是奇数。
【详解】像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，也叫奇数。根据奇数的意义可知，此说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题考查的目的是理解掌握奇数的意义及应用。
23．×
【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其他因数的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数。据此解答。
【详解】自然数（0除外）按因数的个数可以分为质数、合数和1三类。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握质数和合数的定义是解题的关键。
24．9.95
【分析】最小的质数是2，用50.9减去6.2乘5的积，求出它们的差，再用它们的差除以2即可求解。
【详解】
＝（50.9－31）÷2
＝19.9÷2
＝9.95
商是9.95。
25．见解析。
【分析】由单价×数量＝总价可知，3本日记本的总价是134元，即单价×3＝134； 即日记本的单价是134÷3，据此解答。
【详解】134÷3＝44.666…，所以小朋友买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元，这是不对的。
26．见详解
【分析】如果要把正好把48瓶饮料装完，需要每盒能装的瓶数是48的因数，根据找一个数的因数的方法，求出48的因数，即可选出哪几种包装盒能正好把48瓶饮料装完，同时也能找出除了图中这几种包装盒外其他的包装方式，据此解答。
【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8
48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
答：选择每盒装6瓶或每盒装3瓶或每盒装8瓶，还可以每盒装1瓶，2瓶，4瓶，12瓶，16瓶，24瓶，48瓶。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用求一个数的因数的方法解决问题。
27．77平方分米
【分析】长方形周长÷2＝长宽和，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积，通过比较，确定最大面积即可。
【详解】（分米）
（平方分米）
（平方分米）
答：这幅水墨画的面积最多是77平方分米。
【点睛】关键是理解质数、合数的分类标准，掌握并灵活运用长方形周长和面积公式。
28．8种；具体见详解
【分析】先找出36的所有因数，再根据哪两个因数相乘的积是36，来确定每种装法需要几个盒子，每个盒子里装多少块月饼。
【详解】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，装法有：
36＝1×36，即装1盒，每盒装36块，但是这种装法不能体现出每个盒子装同样多，所以不可以这样装；只能装36盒，每盒装1块；
36＝2×18，即装2盒，每盒装18块；或装18盒，每盒装2块；
36＝3×12，即装3盒，每盒装12块；或装12盒，每盒装3块；
36＝4×9，即装4盒，每盒装9块；或装9盒，每盒装4块；
36＝6×6，即装6盒，每盒装6块；
答：有8种不同的装法。用36个盒子，每盒装1块；用2个盒子，每盒装18块；用18个盒子，每盒装2块；用3个盒子，每盒装12块；用12个盒子，每盒装3块；用4个盒子，每盒装9块；用9盒子，每盒装4块；用6个盒子，每盒装6块。
29．1024块
【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
据此确定各数位上的数，写出这个四位数即可。
【详解】1既不是质数也不是合数，所以A是1；最小的偶数是0，所以B是0；最小的质数是2，所以C是2；最小的合数是4，所以D是4，因此表示的四位数是1024。
答：一共安装了1024块光伏玻璃。
【点睛】关键是理解奇数、偶数、质数、合数的分类标准。
30．表见详解；5
【分析】只要能整除，就是一种装法，用糖果数量分别除以它的因数，只要不全部装到一个袋子即可。
【详解】52÷1＝52（个），一个袋子装1个，需要52个袋子；
52÷2＝26（个），一个袋子装2个，需要26个袋子；
52÷4＝13（个），一个袋子装4个，需要13个袋子；
52÷13＝4（个），一个袋子装13个，需要4个袋子；
52÷26＝2（个），一个袋子装26个，需要2个袋子；
袋子 52 26 13 4 2
每袋数量 1 2 4 13 26
共有5种装法。
31．351
【分析】10个数字正好组成5个两位数，我们先不考虑“和是奇数”这个条件，只考虑5个两位数的和尽可能大如何解决。要使得0到9这10个数字组成的5个两位数的和尽可能大，那么5个两位数的十位上的数字要取较大的9，8，7，6，5，个位上的数字取较小的0，1，2，3，4，这时，我们再考虑5个两位数和的奇偶性。看几个数的和是奇数还是偶数，只需要看个位上的数字之和，如果个位上的数字之和是奇数（或偶数），那么这几个数的和就是奇数（或偶数）。根据这个原则，我们很容易看出个位是0，1，2，3，4，这5个数字中有2个是奇数，因为偶数个奇数的和是偶数，所以这5个两位数的和是偶数，不满足题目的要求。从已得到的5个两位数出发，尽可能少地调整十位与个位上的数字，调整的两个数字要尽可能地接近。因此，只有4和5这两个数字位置互换，这样5个两位数的十位上的数字分别是4，6，7，8，9，个位上的数字分别是0，1，2，3，5，这样个位上的数字之和就是奇数。
【详解】
＝34×10＋11
＝340＋11
＝351
答：这5个两位数的和是351。
【点睛】一个整数是奇数还是偶数就是数的奇偶性，奇数的个数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数的和一定是偶数。
32．不会
【分析】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。按照“从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位上的数字”，第五个数是6（偶数），第六个数是1（奇数），第七个数是9（奇数）……， 继续往下，发现总结规律，用规律判断即可。
【详解】仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位上的数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数从第五个数依次写出来，得到：偶数、奇数、奇数、奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、奇数、奇数、偶数、奇数……可以看出，这串数是按照一个偶数、四个奇数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”。
答：不会出现相邻的四个数是“2000”。
【点睛】发现数的奇偶排列规律是按照一个偶数、四个奇数循环出现的，是解答此题的关键。
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