1.1探索勾股定理
【知识点1】勾股定理的证明 1
【知识点2】勾股定理的应用 1
【知识点3】勾股定理 2
【题型1】勾股定理的证明 2
【题型2】直接运用勾股定理求三角形边长 7
【题型3】与勾股定理有关的面积关系 9
【知识点1】勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
【知识点2】勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
【知识点3】勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
【题型1】勾股定理的证明
【典型例题】勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（ ）
A.120 B.110 C.100 D.90
【答案】B
【解析】解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图2所示：
则四边形AOLP是矩形，
∴∠BOF＝∠BAC＝90°，
∵四边形BCGF是正方形，
∴BC＝BF，∠CBF＝90°，
∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC＝OB，
同理：△ACB≌△PGC（AAS），
∴PC＝AB，
∴AB+OB＝PC+AC，
即OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110，
故选：B．
【举一反三1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
以上公式为完全平方公式，
∴A选项不能说明勾股定理；
B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴ab+ab+c2＝（a+b）（a+b），
整理得a2+b2＝c2，
∴B选项可以证明勾股定理；
C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4×ab+c2＝（a+b）2，
整理得a2+b2＝c2，
∴C选项可以证明勾股定理；
D．整个图形的面积等于边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形面积+2个直角三角形的面积，也等于边长为c的正方形面积+2个直角三角形的面积，
∴b2+a2+2×ab＝c2+2×ab，
整理得a2+b2＝c2，
∴D选项可以证明勾股定理，
故选：A．
【举一反三2】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（ ）
A.4 B.8 C.12 D.16
【答案】A
【解析】解：直角三角形较短的直角边为＝6，
所以，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．
故选：A．
【举一反三3】如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 cm．
【答案】32．
【解析】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，
∴BC＝7﹣3＝4（cm），
由勾股定理得：AC＝＝5（cm），
∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．
故答案为：32．
【举一反三4】人们很早就发现直角三角形的三边a，b，c满足的关系a2+b2＝c2，我国汉代“赵爽弦图”（如图1）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中（图2），可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号）
【答案】③④．
【解析】解：①长方形的面积：（a+b+c）c＝ac+bc+c2，
②，
③，
整理，得a2+b2＝c2，
④，
整理，得a2+b2＝c2，
故答案为：③④．
【举一反三5】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
【答案】解：（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，
∴，
即a2+b2＝c2．
（2）设BD＝x，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得．
【题型2】直接运用勾股定理求三角形边长
【典型例题】如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（ ）
A.166 B.186 C.196 D.256
【答案】C
【举一反三1】如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（ ）
A.15 B.16 C.18 D.20
【答案】D
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠D＝90°，
在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12，
∴CD＝5，
∵BC＝11，
∴BD＝BC+CD＝11+5＝16，
在Rt△ABD中，AB＝20，
故选：D．
【举一反三2】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 ．
【答案】14或4
【解析】解：（1）如图，锐角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
∵在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
∴BC的长为DB﹣BC＝9﹣5＝4．
故答案为14或4．
【举一反三3】如图，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，求AB的长．
【答案】解：∵CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，
∴在Rt△BCD中，CD2＝CB2﹣DB2＝152﹣92＝144；
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣144＝256，
∴AD＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．
【题型3】与勾股定理有关的面积关系
【典型例题】如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A.16 B.25 C.144 D.169
【答案】B
【解析】解：
根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【举一反三1】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝100，S3＝36，则S2的值是（ ）
A.8 B.50 C.64 D.136
【答案】C
【解析】解：连接BD，
根据勾股定理可得AD2+AB2＝BD2，BC2+CD2＝BD2，
即S1+S4＝S2+S3，
∴S2＝100﹣36＝64，
故选：C．
【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝100，S3＝36，则S2的值是（ ）
A.8 B.50 C.64 D.136
【答案】C
【解析】解：连接BD，
根据勾股定理可得AD2+AB2＝BD2，BC2+CD2＝BD2，
即S1+S4＝S2+S3，
∴S2＝100﹣36＝64，
故选：C．
【举一反三3】下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，
∴每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方，
A、由勾股定理得：S＝5+15＝20，故选项A不符合题意；
B、由勾股定理得：S＝8+6＝14，故选项B不符合题意；
C、由勾股定理得：S＝8﹣6＝2，故选项C不符合题意；
D、由勾股定理得：S＝15﹣5＝10，故选项D符合题意；
故选：D．1.1探索勾股定理
【知识点1】勾股定理的证明 1
【知识点2】勾股定理的应用 1
【知识点3】勾股定理 2
【题型1】勾股定理的证明 2
【题型2】直接运用勾股定理求三角形边长 4
【题型3】与勾股定理有关的面积关系 5
【知识点1】勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
【知识点2】勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
【知识点3】勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
【题型1】勾股定理的证明
【典型例题】勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（ ）
A.120 B.110 C.100 D.90
【举一反三1】勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（ ）
A.4 B.8 C.12 D.16
【举一反三3】如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 cm．
【举一反三4】人们很早就发现直角三角形的三边a，b，c满足的关系a2+b2＝c2，我国汉代“赵爽弦图”（如图1）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中（图2），可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号）
【举一反三5】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
【题型2】直接运用勾股定理求三角形边长
【典型例题】如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（ ）
A.166 B.186 C.196 D.256
【举一反三1】如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（ ）
A.15 B.16 C.18 D.20
【举一反三2】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 ．
【举一反三3】如图，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，求AB的长．
【题型3】与勾股定理有关的面积关系
【典型例题】如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A.16 B.25 C.144 D.169
【举一反三1】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝100，S3＝36，则S2的值是（ ）
A.8 B.50 C.64 D.136
【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝100，S3＝36，则S2的值是（ ）
A.8 B.50 C.64 D.136
【举一反三3】下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A. B. C. D.
