1.3勾股定理的应用
【知识点1】勾股定理的应用 1
【题型1】勾股定理与路径最短 1
【题型2】勾股定理与生活实际问题 6
【题型3】数学典籍中的勾股定理 9
【知识点1】勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
【题型1】勾股定理与路径最短
【典型例题】如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为
A.12 B.15 C.18 D.21
【答案】B
【解析】解：如图所示：
连接，则即为所用的最短细线长，
，，
由勾股定理得：，
则，
故选：．
【举一反三1】如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：展开圆柱，侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即，矩形的宽是圆柱的高．
根据两点之间线段最短，
最短路程是矩形的对角线的长，
即，
故选：．
【举一反三2】如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为
A.12 B.15 C.18 D.21
【答案】B
【解析】解：如图所示：
连接，则即为所用的最短细线长，
，，
由勾股定理得：，
则，
故选：．
【举一反三3】如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：展开圆柱，侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即，矩形的宽是圆柱的高．
根据两点之间线段最短，
最短路程是矩形的对角线的长，
即，
故选：．
【举一反三4】如图，圆柱形容器高为，底面周长为．在容器内壁距离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为 （不计壁厚）．
【答案】13
【解析】解：如图：高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，
，，
将容器侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，
．
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为．
故答案为：13．
【举一反三5】如图，圆柱底面圆的半径为高为，将一根细棉线从底面点开始绕圆柱4圈后，挂在点的正上方点处，则这根细棉线的最短长度为 ．
【答案】26．
【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：
用一棉线从顺着圆柱侧面绕4圈到的运动最短路线是在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成4个小长方形，沿着4个长方形的对角线运动到的路线最短，
圆柱底面半径为，
长方形的宽即是圆柱体的底面周长，
又圆柱高为，
小长方形的一条边长是，
根据勾股定理得．
答：这根棉线的长度最短是．
故答案为：26．
【题型2】勾股定理与生活实际问题
【典型例题】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到高门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于
A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米
【答案】C
【解析】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
（米．
在中，由勾股定理得到：（米，
故选：．
【举一反三1】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：依题意，，，
在中，，
，，
在中，，
故选：．
【举一反三2】如图，原来从村到村，需要沿路绕过两地间的一片湖，在，间建好桥后，就可直接从村到村．若，，那么，建好桥后从村到村比原来减少的路程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，
，
建好桥后从村到村比原来减少的路程为，
故选：．
【举一反三3】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：依题意，，，
在中，，
，，
在中，，
故选：．
【举一反三4】图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即，通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】解：在中，，
在中，，
，
，
．
故该车符合安全标准．
【举一反三5】某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务．
（1）已知：如图，在中，，，．求线段的长．
（2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
【答案】解：（1）在中，，，，
由勾股定理得：，
则；
（2）风筝沿方向再上升12米后，风筝的高度为20米，
则此时风筝线的长为：（米，
（米，
答：他应该再放出8米线．
【题型3】数学典籍中的勾股定理
【典型例题】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．
A.4 B.3.6 C.4.5 D.4.55
【答案】D
【解析】解：如图，由题意得：，尺，尺，
设折断处离地面尺，则尺，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即折断处离地面4.55尺．
故选：．
【举一反三1】《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为
A.10尺 B.12尺 C.13尺 D.14尺
【答案】C
【解析】解：设这根芦苇的长度为尺，
由题意知，尺，尺，尺，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
这根芦苇的长度为13尺，
故选：．
【举一反三2】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 ．
【答案】解：设绳索长为尺，可列方程为，
故答案为：
【举一反三3】《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有 亩（1亩=240平方步）．
【答案】2
【解析】解：设该矩形的宽为步，则对角线为步，
由勾股定理，得，
解得
故该矩形的面积（平方步），
480平方步亩．
故答案为：2．1.3勾股定理的应用
【知识点1】勾股定理的应用 1
【题型1】勾股定理与路径最短 1
【题型2】勾股定理与生活实际问题 3
【题型3】数学典籍中的勾股定理 5
【知识点1】勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
【题型1】勾股定理与路径最短
【典型例题】如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为
A.12 B.15 C.18 D.21
【举一反三1】如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是
A. B. C. D.
【举一反三2】如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点，处，不计线头，细线的最短长度为
A.12 B.15 C.18 D.21
【举一反三3】如图，一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆柱下底面的点处，它想吃到上底面上与点相对的点的食物，则蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，圆柱形容器高为，底面周长为．在容器内壁距离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为 （不计壁厚）．
【举一反三5】如图，圆柱底面圆的半径为高为，将一根细棉线从底面点开始绕圆柱4圈后，挂在点的正上方点处，则这根细棉线的最短长度为 ．
【题型2】勾股定理与生活实际问题
【典型例题】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到高门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于
A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米
【举一反三1】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，原来从村到村，需要沿路绕过两地间的一片湖，在，间建好桥后，就可直接从村到村．若，，那么，建好桥后从村到村比原来减少的路程为
A. B. C. D.
【举一反三3】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为
A. B. C. D.
【举一反三4】图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即，通过计算说明该车是否符合安全标准．
【举一反三5】某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务．
（1）已知：如图，在中，，，．求线段的长．
（2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
【题型3】数学典籍中的勾股定理
【典型例题】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．
A.4 B.3.6 C.4.5 D.4.55
【举一反三1】《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为
A.10尺 B.12尺 C.13尺 D.14尺
【举一反三2】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 ．
【举一反三3】《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有 亩（1亩=240平方步）．
