2.1认识实数
【知识点1】无理数 1
【知识点2】实数的性质 2
【知识点3】实数 2
【知识点4】实数大小比较 3
【知识点5】实数与数轴 3
【题型1】几何中的无理数 4
【题型2】无理数的整数部分和小数部分 5
【题型3】不是有理数的数 6
【题型4】无理数的分类 6
【题型5】实数定义及相关概念 7
【题型6】实数有关性质 8
【题型7】实数与数轴 8
【题型8】无理数近似值的确定 10
【题型9】利用“夹逼法”估计无理数大小 10
【题型10】无理数的识别 11
【知识点1】无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
1.（2025春 麒麟区校级月考）下列实数是无理数的是（ ）
A． B．cos30° C．4. D．
2.（2025 长沙模拟）下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B． C． D．π
【知识点2】实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
1.（2025春 铁东区期中）-2的相反数是（ ）
A．--2 B．+2 C．2- D．-2
2.（2025 城区校级三模）的相反数是（ ）
A． B．- C．- D．
【知识点3】实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
1.（2025 姜堰区二模）在下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
2.（2025春 路北区期中）在实数，，，中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【知识点4】实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
1.（2025春 颍上县期末）下列实数中，最小的数是（ ）
A． B． C．2025 D．-2025
2.（2025春 天心区校级月考）在0，-，-1，这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．- C．-1 D．
3.（2025春 昭通月考）下列实数中，最大的是（ ）
A．-3 B．0 C． D．
【知识点5】实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
1.（2025春 中山市校级月考）如图，面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若AD=AE，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
2.（2025春 浦城县期中）如图，点A是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2所对应的数紧靠着（点A与数2重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点A恰好与数轴上点A′重合．则点A′对应的实数是（ ）
A．π-2 B．-π+2 C．-2π-3 D．-π-2
【题型1】几何中的无理数
【典型例题】下列图形中的边长或半径为无理数的是( )
A.面积为1的正方形的边长 B.面积为2的正方形的边长 C.周长为π的圆的半径 D.周长为2π的圆的半径
【举一反三1】已知正方形的面积为1,该正方形的下列几何量的数值中，不是有理数的是( )
A.边长 B.周长 C.面积 D.对角线
【举一反三2】如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，连接这些小正方形的若干个顶点，得到5条线段CA, CB,CD，CE，CF,其中长度不是有理数的条数是 条.
【举一反三3】如图，每个小正方形的边长是，在下面图中画出一个直角三角形，要求三边都是无理数；在图中画出一个面积是的正方形．顶点在格点上
【题型2】无理数的整数部分和小数部分
【典型例题】无理数的小数部分是( )
A. B.2 C. D.3
【举一反三1】若a＜＜b，且a、b是两个连续整数，则a＋b的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】无理数的整数部分是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【举一反三3】无理数的小数部分是
【举一反三4】我们知道是无理数,其整数部分是1,于是小明用来表示的小数部分.请解答下列问题:的整数部分是 ,小数部分是
【举一反三5】大家知道，当 (x>0)时，x的值不是有理数,而是无理数,因此x的整数部分和小数部分我们不可能全部写出来.因为12<2<22,所以x的整数部分是1.根据以上内容,解答下面的问题:
(1)若,则x的整数部分m= ;
(2)若,则y的整数部分n= ;
(3)若m,n是一个三角形的两条边长，第三条边长是5,判断此三角形的形状.
【题型3】不是有理数的数
【典型例题】边长为3的正方形的对角线长是( )
A.整数 B.分数 C.有理数 D.不是有理数
【举一反三1】若a2＝11（a＞0），则a（ ）
A.有理数 B.不是有理数 C.分数 D.无法确定
【举一反三2】在实数，，，，两个“”之间依次多一个“”中，不是有理数的数有 ( )个
A.个 B.个 C.个 D.个
【举一反三3】公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,意思是一切量 都可以用整数或整数的比(分数)表示.后来,这一学派的希帕索斯发现，边长为l的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示(如图).由此引发了第一-次数学危机。这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指( )
A.正数 B.负数 C.有理数 D.无理数
【题型4】无理数的分类
【典型例题】下列说法正确的是( )
A.所有无限小数都是无理数
B.无理数分为正无理数、负无理数、0
C.是分数
D.无理数与有理数的和仍是无理数
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A.带根号的数都是无理数
B.无理数一定是无限小数
C.无限小数一定是无理数
D.无理数与无理数相加的和一定是无理数
【举一反三2】下列说法正确的是( )
A.带根号的数都是无理数
B.无理数一定是无限小数
C.无限小数一定是无理数
D.无理数与无理数相加的和一定是无理数
【举一反三3】下列说法正确的个数为( )
①有理数与无理数的差都是有理数;
②无限小数都是无理数;
③无理数都是无限小数:
④两个无理数的和不一定是无理数;
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【题型5】实数定义及相关概念
【典型例题】在实数，，， 中最小的是 （ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A. 整数和分数统称为有理数
B. 正数和负数统称为实数
C. 整数、有限小数和无限小数统称为有理数
D. 无限小数就是无理数
【举一反三2】 在，，， 中，无理数是 （ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】下列说法：
①一个无理数的相反数一定是无理数；②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数；
③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；④实数的倒数是．
其中，正确的说法有（ ）
A.①② B.①③ C.①②③ D.①③④
【题型6】实数有关性质
【典型例题】下列说法中错误的是（ ）
A.任何实数的绝对值都是非负数
B.不带根号的数是有理数
C.实数包括有理数和无理数
D.实数与数轴上的点之间是一一对应的
【举一反三1】下面与互为相反数的是（ ）
A. B. C.5 D.
【举一反三2】-7的绝对值是（ ）
A.-7 B.7 C. D.
【举一反三3】下面与互为相反数的是（ ）
A. B. C.5 D.
【举一反三4】下列说法中错误的是（ ）
A.任何实数的绝对值都是非负数
B.不带根号的数是有理数
C.实数包括有理数和无理数
D.实数与数轴上的点之间是一一对应的
【举一反三5】的倒数是 ____，3﹣的绝对值是 ______．
【举一反三6】的相反数是______．
【举一反三7】的倒数是 ____，3﹣的绝对值是 ______．
【举一反三8】的绝对值是______．
【题型7】实数与数轴
【典型例题】如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】与数轴上的点是一一对应的是（ ）
A.有理数 B.无理数 C.整数 D.实数
【举一反三2】如图数轴上两点对应的实数分别为，，以下代数式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦计算结果为负数的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三3】与数轴上的点是一一对应的是（ ）
A.有理数 B.无理数 C.整数 D.实数
【举一反三4】如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是与和，则点所对应的实数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】如图，把一个边长为1的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数为
【解析】根据勾股定理得正方形对角线长，
∴OA=，
则点A对应的数是，
【举一反三6】如图，把一个边长为1的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数为
【解析】根据勾股定理得正方形对角线长，
∴OA=，
则点A对应的数是，
【举一反三7】如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 _____．
【题型8】无理数近似值的确定
【典型例题】设n为正整数，且n＜＜n＋1，则n的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【举一反三1】无理数 的估算值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】无理数 的估算值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】的取值范围为（ ）
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和 7之间 D.7和 8之间
【举一反三4】请你写出一个比3大且比4小的无理数，该无理数可以是：
【举一反三5】在3和4之间找出两个无理数：________和________．
【举一反三6】写出一个大于2且小于4的无理数： ．
【题型9】利用“夹逼法”估计无理数大小
【典型例题】估计的范围为( )
A.7.0和8.0之间 B.8.0和8.5之间 C.8.5和9.0之间 D.9和10之间
【举一反三1】整数a满足,则a的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三2】估计的范围为( )
A.3.5和4之间 B.4和4.5之间 C.4.5和5之间 D.5和5.5之间
【举一反三3】最接近的整数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三4】估计的范围为( )
A.7.0和8.0之间 B.8.0和8.5之间 C.8.5和9.0之间 D.9和10之间
【题型10】无理数的识别
【典型例题】在﹣，，，，3.14，0，，，中，无理数有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三1】在实数：3.14159，，1.010 010 001,4.21，π， 中，无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】在，14，，π，－52，49，，0，－83，0.373 773 777 3…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)中，无理数有( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三3】请你写出三个大于1的无理数：________.
【举一反三4】如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
(1)当输入的x值为16时，求输出的y值；
(2)是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
(3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x＝________.2.1认识实数
【知识点1】无理数 1
【知识点2】实数的性质 2
【知识点3】实数 3
【知识点4】实数大小比较 4
【知识点5】实数与数轴 5
【题型1】几何中的无理数 7
【题型2】无理数的整数部分和小数部分 8
【题型3】不是有理数的数 10
【题型4】无理数的分类 11
【题型5】实数定义及相关概念 13
【题型6】实数有关性质 14
【题型7】实数与数轴 16
【题型8】无理数近似值的确定 19
【题型9】利用“夹逼法”估计无理数大小 20
【题型10】无理数的识别 21
【知识点1】无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
1.（2025春 麒麟区校级月考）下列实数是无理数的是（ ）
A． B．cos30° C．4. D．
【答案】B
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：=2是整数，4.是无限循环小数，是分数，它们不是无理数，
cos30°=是无限不循环小数，它是无理数，
故选：B．
2.（2025 长沙模拟）下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B． C． D．π
【答案】A
【分析】根据无理数的定义去甄别即可．
【解答】解：A、是有理数，正确，符合题意；
B、是无理数，故该项错误，不符合题意；
C、是无理数，故该项错误，不符合题意；
D、π是无理数，故该项错误，不符合题意；
故选：A．
【知识点2】实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
1.（2025春 铁东区期中）-2的相反数是（ ）
A．--2 B．+2 C．2- D．-2
【答案】C
【分析】本题需先根据相反数的定义即可求出-2的相反数的正确答案．
【解答】解：根据相反数的定义得：
-2的相反数是：2-，
故选：C．
2.（2025 城区校级三模）的相反数是（ ）
A． B．- C．- D．
【答案】B
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，由此即可求解．
【解答】解：的相反数是-．
故选：B．
【知识点3】实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
1.（2025 姜堰区二模）在下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】有理数包括整数和分数；无理数是无限不循环小数．
【解答】解：A、是无限不循环小数，是无理数；
B、是无限不循环小数，是无理数；
C、=2，是有理数；
D、是无限不循环小数，是无理数．
故选：C．
2.（2025春 路北区期中）在实数，，，中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】这几个数中，能化去根号的数即是有理数，据此判断．
【解答】解：∵=2，∴是有理数，
，，都不能化去根号，∴是无理数，
∴有理数有．
故选：B．
【知识点4】实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
1.（2025春 颍上县期末）下列实数中，最小的数是（ ）
A． B． C．2025 D．-2025
【答案】D
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵-2025＜＜＜2025，
∴最小的数是：-2025．
故选：D．
2.（2025春 天心区校级月考）在0，-，-1，这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．- C．-1 D．
【答案】B．
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵＜-1＜0＜，
∴最小的数是：．
故选：B．
3.（2025春 昭通月考）下列实数中，最大的是（ ）
A．-3 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】首先根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，可排除A、B选项，然后比较和的大小即可．
【解答】解：首先根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，进行判断如下：
，
故选：D．
【知识点5】实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
1.（2025春 中山市校级月考）如图，面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若AD=AE，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的面积可得边长为，即，从而可得点E所表示的数．
【解答】解：由条件可知，
∴，
∵点A表示的数是1，
∴点E表示的数是．
故选：C．
2.（2025春 浦城县期中）如图，点A是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2所对应的数紧靠着（点A与数2重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点A恰好与数轴上点A′重合．则点A′对应的实数是（ ）
A．π-2 B．-π+2 C．-2π-3 D．-π-2
【答案】B
【分析】设点A′所对应的数为m,依题意得点A到A′的距离为硬币的周长，由此可得AA′=|2-m|=π，据此可求出m.
【解答】解：设点A′所对应的数为m,
∵硬币的直径为1个单位长度，
∴硬币的周长为1×π=π个单位长度，
又∵点A所对应的数2，
依题意得：AA′=|2-m|=π，
∵m＜2，
∴2-m=π，
∴m=2-π，
∴点A′所对应的数为2-π．
故选：B．
【题型1】几何中的无理数
【典型例题】下列图形中的边长或半径为无理数的是( )
A.面积为1的正方形的边长 B.面积为2的正方形的边长 C.周长为π的圆的半径 D.周长为2π的圆的半径
【答案】B
【解析】A面积为l的正方形的边长为1, 1是有理数,不合题意;
B面积为2的正方形中,故正方形的边长为，是无理数,符合题意;
C、周长为π的圆，根据圆的周长公式可知圆的半径为，是有理数，不符合题意; D、周长为2π的圆 ，根据圆的面积公式，可知圆的的半径为1，l是有理数,不符合题意.
【举一反三1】已知正方形的面积为1,该正方形的下列几何量的数值中，不是有理数的是( )
A.边长 B.周长 C.面积 D.对角线
【答案】D
【解析】正方形的面积为1,该正方形的边长为1，周长为4,根据勾股定理得对角线 ，既不是整数也不是分数，不是有理数，故答案为D
【举一反三2】如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，连接这些小正方形的若干个顶点，得到5条线段CA, CB,CD，CE，CF,其中长度不是有理数的条数是 条.
【答案】 3
【解析】16个边长为1的小正方形，可知AC=4,根据勾股定理得
所以长度不是有理数的条数为CB,CE，CF，共3条
【举一反三3】如图，每个小正方形的边长是，在下面图中画出一个直角三角形，要求三边都是无理数；在图中画出一个面积是的正方形．顶点在格点上
【答案】根据勾股定理只要三边是无理数即可
根据勾股定理可求，如图.
【题型2】无理数的整数部分和小数部分
【典型例题】无理数的小数部分是( )
A. B.2 C. D.3
【答案】A
【解析】因为4＜7＜9所以2＜＜3，所以的整数部分为2,小数部分是故选A
【举一反三1】若a＜＜b，且a、b是两个连续整数，则a＋b的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】因为的整数部分是2，所以0＜－2＜1，因为a、b是两个连续整数，所以a＝0，b＝1，所以a＋b＝1.
【举一反三2】无理数的整数部分是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】因为36＜40＜49所以6＜＜7，所以的整数部分为6，故选C
【举一反三3】无理数的小数部分是
【答案】
【解析】因为4＜5＜9，所以2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分是
【举一反三4】我们知道是无理数,其整数部分是1,于是小明用来表示的小数部分.请解答下列问题:的整数部分是 ,小数部分是
【答案】3，
【解析】因为9＜15＜16，所以3＜＜4，所以的整数部分为3，小数部分是
【举一反三5】大家知道，当 (x>0)时，x的值不是有理数,而是无理数,因此x的整数部分和小数部分我们不可能全部写出来.因为12<2<22,所以x的整数部分是1.根据以上内容,解答下面的问题:
(1)若,则x的整数部分m= ;
(2)若,则y的整数部分n= ;
(3)若m,n是一个三角形的两条边长，第三条边长是5,判断此三角形的形状.
【答案】（1）因为9＜40＜16所以3＜＜4，所以的整数部分为3，故m=3
（2）因为16＜17＜25所以4＜＜5，所以的整数部分为4，故n=4
（3）因为m=3，n=4，且m,n是一个三角形的两条边长，第三条边长是5，
故，根据勾股定理逆定理得这是一个直角三角形
【题型3】不是有理数的数
【典型例题】边长为3的正方形的对角线长是( )
A.整数 B.分数 C.有理数 D.不是有理数
【答案】D
【解析】由勾股定理得，对角线长为不是有理数
【举一反三1】若a2＝11（a＞0），则a（ ）
A.有理数 B.不是有理数 C.分数 D.无法确定
【答案】B
【解析】因为a2＝11（a＞0）所以,所以，所以a不是整数，因为没有一个分数的平方等于11，所以a不是分数，即a既不是整数，也不是分数.所以a不是有理数.
【举一反三2】在实数，，，，两个“”之间依次多一个“”中，不是有理数的数有 ( )个
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】C
【解析】根有理数的定义，整数和分数统称为有理数，所以 0，是有理数，，，两个“”之间依次多一个“”不是有理数
【举一反三3】公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,意思是一切量 都可以用整数或整数的比(分数)表示.后来,这一学派的希帕索斯发现，边长为l的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示(如图).由此引发了第一-次数学危机。这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指( )
A.正数 B.负数 C.有理数 D.无理数
【答案】D
【解析】由整数或整数的比表示的数是有理数，不能用整数或整数的比表示的数是无理数
【题型4】无理数的分类
【典型例题】下列说法正确的是( )
A.所有无限小数都是无理数
B.无理数分为正无理数、负无理数、0
C.是分数
D.无理数与有理数的和仍是无理数
【答案】D
【解析】A.所有无限小数都是无理数，无理数是无限不循环小数，无限循环小数是无限小数，但不是无理数，故不正确
B.无理数分为正无理数、负无理数、0，0是有理数，故不正确
C.是分数，带的都是无理数，故不正确
D.无理数与有理数的和仍是无理数，正确
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A.带根号的数都是无理数
B.无理数一定是无限小数
C.无限小数一定是无理数
D.无理数与无理数相加的和一定是无理数
【答案】B
【解析】A.带根号的数都是无理数，是有理数，故不正确
B.无理数一定是无限小数，正确
C无限小数一定是无理数，无理数是无限不循环小数，无限循环小数是无限小数，但不是无理数，故不正确
D.无理数与无理数相加的和一定是无理数，其和可以是有理数 ，也可以是无理数是故不正确
答案为B
【举一反三2】下列说法正确的是( )
A.带根号的数都是无理数
B.无理数一定是无限小数
C.无限小数一定是无理数
D.无理数与无理数相加的和一定是无理数
【答案】B
【解析】A.带根号的数都是无理数，是有理数，故不正确
B.无理数一定是无限小数，正确
C无限小数一定是无理数，无理数是无限不循环小数，无限循环小数是无限小数，但不是无理数，故不正确
D.无理数与无理数相加的和一定是无理数，其和可以是有理数 ，也可以是无理数是故不正确
答案为B
【举一反三3】下列说法正确的个数为( )
①有理数与无理数的差都是有理数;
②无限小数都是无理数;
③无理数都是无限小数:
④两个无理数的和不一定是无理数;
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】A
【解析】①有理数与无理数的差都是有理数;有理数与无理数的差都是无理数;
②无限小数都是无理数;无理数是无限不循环小数，无限循环小数是无限小数，但不是无理数，故不正确
③无理数都是无限小数:正确
④两个无理数的和不一定是无理数;正确
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.零是有理数，不是无理数，故错误
正确的是③④，共有2个正确的，故选A
【题型5】实数定义及相关概念
【典型例题】在实数，，， 中最小的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，最小的是-3，故选A
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A. 整数和分数统称为有理数
B. 正数和负数统称为实数
C. 整数、有限小数和无限小数统称为有理数
D. 无限小数就是无理数
【答案】A
【解析】整数和分数统称为有理数。故A正确
正数，0和负数统称为实数，故B不正确
整数、有限小数和无限循环小数统称为有理数，故C不正确
无限不循环小数就是无理数，故D不正确
所以说法正确的是A
【举一反三2】 在，，， 中，无理数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】是无理数，其余都是有理数，故选D
【举一反三3】下列说法：
①一个无理数的相反数一定是无理数；②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数；
③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；④实数的倒数是．
其中，正确的说法有（ ）
A.①② B.①③ C.①②③ D.①③④
【答案】B
【解析】一个无理数的相反数一定是无理数，故①正确；
一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数，但积不一定是无理数，如0乘以无理数得0，是有理数，故②错误；一切实数都可以进行开立方运算，正确；只有非负数才能进行开平方运算，正确，故③正确；
当m=0时，m没有倒数；实数的倒数是；则说法④错误；综上，正确的说法有①③，故选：B．
【题型6】实数有关性质
【典型例题】下列说法中错误的是（ ）
A.任何实数的绝对值都是非负数
B.不带根号的数是有理数
C.实数包括有理数和无理数
D.实数与数轴上的点之间是一一对应的
【答案】B
【解析】A，任何实数的绝对值都是非负数，故说法正确，
B，不带根号的数不一定是有理数，如带的数，故说法错误．
C，实数包括有理数和无理数，故说法正确，
D，实数与数轴上的点之间是一一对应的，故说法正确，
故说法中错误的是B．
【举一反三1】下面与互为相反数的是（ ）
A. B. C.5 D.
【答案】B
【解析】与互为相反数的是；故选：B
【举一反三2】-7的绝对值是（ ）
A.-7 B.7 C. D.
【答案】B
【解析】-7的绝对值是7．故选：B．、
【举一反三3】下面与互为相反数的是（ ）
A. B. C.5 D.
【答案】B
【解析】与互为相反数的是；故选：B
【举一反三4】下列说法中错误的是（ ）
A.任何实数的绝对值都是非负数
B.不带根号的数是有理数
C.实数包括有理数和无理数
D.实数与数轴上的点之间是一一对应的
【答案】B
【解析】A，任何实数的绝对值都是非负数，故说法正确，
B，不带根号的数不一定是有理数，如带的数，故说法错误．
C，实数包括有理数和无理数，故说法正确，
D，实数与数轴上的点之间是一一对应的，故说法正确，
故说法中错误的是B．
【举一反三5】的倒数是 ____，3﹣的绝对值是 ______．
【答案】，﹣3
【解析】（1）化简，又故-4的倒数是，故答案为：.
（2），故3﹣<0, 3﹣的绝对值是 -(3﹣) =﹣ 3，
故﹣ ﹣3
【举一反三6】的相反数是______．
【答案】
【解析】的相反数是∴的相反数是答案为：
【举一反三7】的倒数是 ____，3﹣的绝对值是 ______．
【答案】，﹣3
【解析】（1）化简，又故-4的倒数是，故答案为：.
（2），故3﹣<0, 3﹣的绝对值是 -(3﹣) =﹣ 3，
故﹣ ﹣3
【举一反三8】的绝对值是______．
【答案】
【解析】
的绝对值是，故答案为：．
【题型7】实数与数轴
【典型例题】如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如图：
由题意根据勾股定理得：，
设点表示的数为，则2到A的距离为
则，
解得．
即点表示的数为．
故选：．
【举一反三1】与数轴上的点是一一对应的是（ ）
A.有理数 B.无理数 C.整数 D.实数
【答案】D
【解析】与数轴上的点一一对应的是实数．数轴上所有的点是实数，实数可以在数轴上表示出来
故选：D．
【举一反三2】如图数轴上两点对应的实数分别为，，以下代数式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦计算结果为负数的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】∵由数轴 可知，a＜0＜b，且|a|＜|b|，
∴（1）a+b＞0；（2）a-b＜0；（3）ab＜0；（4）＜0；（5）a2b＞0；（6）ab2＜0（7）＞0．
故结果为负数的是②③④⑥，一共有4个．故选C
【举一反三3】与数轴上的点是一一对应的是（ ）
A.有理数 B.无理数 C.整数 D.实数
【答案】D
【解析】与数轴上的点一一对应的是实数．数轴上所有的点是实数，实数可以在数轴上表示出来
故选：D．
【举一反三4】如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是与和，则点所对应的实数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∶设点所表示的数是n，
∵、两点对应的实数分别是与和，
∴，
∵，点表示的实数是，点在点的右侧，
∴
∴，
∴，
∴点所对应的实数是．
故选∶B．
【举一反三5】如图，把一个边长为1的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数为
【解析】根据勾股定理得正方形对角线长，
∴OA=，
则点A对应的数是，
【答案】
【解析】根据勾股定理得正方形对角线长，
∴OA=，
则点A对应的数是，
【举一反三6】如图，把一个边长为1的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数为
【解析】根据勾股定理得正方形对角线长，
∴OA=，
则点A对应的数是，
【答案】
【解析】根据勾股定理得正方形对角线长，
∴OA=，
则点A对应的数是，
【举一反三7】如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 _____．
【答案】
【解析】由题意根据勾股定理，求得圆弧的半径长为，
因为点在表示数2的点的左侧，所以 2到点A的距离为，点表示的数是，故答案为：．
【题型8】无理数近似值的确定
【典型例题】设n为正整数，且n＜＜n＋1，则n的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】49＜51＜64，所以7＜＜8．
【举一反三1】无理数 的估算值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，所以
所以答案是C
【举一反三2】无理数 的估算值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，所以
所以答案是C
【举一反三3】的取值范围为（ ）
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和 7之间 D.7和 8之间
【答案】C
【解析】因为 所以，所以，所以，所以，答案是C
【举一反三4】请你写出一个比3大且比4小的无理数，该无理数可以是：
【答案】中的任何一个，答案不唯一
【解析】32＝9，42＝16，应用有理数大小比较的方法，可得：大于3且小于4的无理数的平方可以是14，所以该无理数可以是，据此求解即可．，中的任何一个，答案不唯一
【举一反三5】在3和4之间找出两个无理数：________和________．
【答案】答案不唯一，如：π，，
【解析】如π，，等．
【举一反三6】写出一个大于2且小于4的无理数： ．
【答案】任何一个都可以。答案不唯一
【解析】因为m是无理数，且2故任何一个都可以。所以答案不唯一
【题型9】利用“夹逼法”估计无理数大小
【典型例题】估计的范围为( )
A.7.0和8.0之间 B.8.0和8.5之间 C.8.5和9.0之间 D.9和10之间
【答案】C
【解析】因为64<76<81所以8<<9，又因为，所以
,故选C
【举一反三1】整数a满足,则a的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】因为19<25<29所以,故a=5
【举一反三2】估计的范围为( )
A.3.5和4之间 B.4和4.5之间 C.4.5和5之间 D.5和5.5之间
【答案】C
【解析】因为16<23<25所以4<<5，又因为，所以,故选C
【举一反三3】最接近的整数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】因为≈1.732，所以最接近的整数是2.
【举一反三4】估计的范围为( )
A.7.0和8.0之间 B.8.0和8.5之间 C.8.5和9.0之间 D.9和10之间
【答案】C
【解析】因为64<76<81所以8<<9，又因为，所以
,故选C
【题型10】无理数的识别
【典型例题】在﹣，，，，3.14，0，，，中，无理数有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】B
【解析】在﹣，，，，3.14，0，，，中，
﹣＝﹣，|﹣1|＝1，
∴由无理数的定义得：，，﹣1，是无理数，共4个，
故选：B．
【举一反三1】在实数：3.14159，，1.010 010 001,4.21，π， 中，无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】π是无理数．
【举一反三2】在，14，，π，－52，49，，0，－83，0.373 773 777 3…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)中，无理数有( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】、、π、、0.373 773 777 3…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)是无理数．
【举一反三3】请你写出三个大于1的无理数：________.
【答案】答案不唯一，如，，π
【举一反三4】如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
(1)当输入的x值为16时，求输出的y值；
(2)是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
(3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x＝________.
【答案】解：(1)＝4，＝2，则y＝；
(2)x＝0或1时，始终输不出y值；
(3)答案不唯一．x＝[(5)2]2＝625.
