3.3轴对称与坐标变化
【知识点1】关于x轴、y轴对称的点的坐标 1
【知识点2】坐标与图形变化-对称 1
【知识点3】利用轴对称设计图案 2
【知识点4】作图-轴对称变换 2
【题型1】关于y轴对称的点的坐标特征 2
【题型2】综合问题 3
【题型3】关于其它与轴平行的直线对称的点的特征 5
【题型4】关于x轴对称的点的坐标特征 6
【知识点1】关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．
【知识点2】坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x=m对称，P（a，b） P（2m-a，b）
②关于直线y=n对称，P（a，b） P（a，2n-b）
【知识点3】利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
【知识点4】作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径
【题型1】关于y轴对称的点的坐标特征
【典型例题】已知，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（5，0）、C（﹣2，﹣5），作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，则△A′B′C′的三个顶点坐标正确的是（ ）
A.A′（﹣1，3）、B′（﹣5，0）、C′（2，﹣5）
B.A′（3，1）、B′（0，5）、C′（﹣5，﹣2）
C.A′（3，﹣1）、B′（0，﹣5）、C′（﹣5，﹣2）
D.A′（3，1）、B′（5，0）、C′（2，﹣5）
【举一反三1】点A（2023，﹣2024）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A.（﹣2024，2023） B.（2023，﹣2024） C.（﹣2023，﹣2024） D.（2023，2024）
【举一反三2】已知点A（﹣2，4），B（2，4），C（1，2），D（﹣1，2），E（﹣3，1），F（3，1）是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出 ____组对称三角形．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【题型2】综合问题
【典型例题】在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别是（4，﹣4），（1，3），将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，则关于点A，C的位置关系描述正确的是（ ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称
【举一反三1】把点A（﹣2，a）向下平移3个单位，所得的点与点A关于x轴对称，则a的值为（ ）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【举一反三2】如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为（1，2），则点C的坐标为（ ）
A.（﹣1，﹣2） B.（1，﹣2） C.（﹣1，2） D.（﹣2，﹣1）
【举一反三3】若将A（2，b）向下平移4个单位得B，且A与B关于x轴对称，则b＝ ．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，点M（﹣5，12）关于x轴对称的点为点N，连接ON，则ON的长为 ．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，2），C（﹣2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（3）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2；
（4）直接写出点B1，B2的坐标．
【题型3】关于其它与轴平行的直线对称的点的特征
【典型例题】在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（ ）
A.（﹣4，3） B.（4，﹣1） C.（﹣2，3） D.（4，﹣3）
【举一反三1】点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（ ）
A.（﹣2，﹣3） B.（﹣2，﹣1） C.（﹣2，﹣2） D.（﹣2，﹣4）
【举一反三2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（4，2），直线m是过点B且与y轴平行的直线，△ABC关于直线m对称的三角形为△A'B'C'，则点A'的坐标为（ ）
A.（﹣2，2） B.（2，﹣2） C.（0，﹣2） D.（0，2）
【举一反三3】与点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点为（ ）
A.（﹣4，5） B.（4，﹣5） C.（﹣6，5） D.（4，﹣7）
【举一反三4】已知点A（﹣3，2），则点A关于直线x＝3的对称点B坐标为 ．
【举一反三5】如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 ．
【举一反三6】如图，△ABC关于平行于x轴的一条直线对称，已知A点坐标是（1，2），C的坐标为（1，﹣4），则这条平行于x轴的直线是 ．
【举一反三7】如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 ．
【题型4】关于x轴对称的点的坐标特征
【典型例题】已知点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为（ ）
A.（2，1） B.（1，﹣2） C.（1，2） D.（﹣1，﹣2）
【举一反三1】在平面直角坐标系中，点A（1，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（ ）
A.（1，3） B.（1，﹣3） C.（﹣1，3） D.（﹣1，﹣3）
【举一反三2】点（2，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A.（2，8） B.（﹣2，8） C.（﹣2，﹣8） D.（2，﹣8）
【举一反三3】在平面直角坐标系中，点P（5，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为 ．
【举一反三4】在10×10的网格中建立如图所示的直角坐标系，规定在网格内（包括边界）横，纵坐标都是整数的点称为格点，已知△ABC的三个顶点都是格点，直线m经过点（0，3）且平行x轴，直线n经过点（﹣1，0）且平行y轴．
（1）△ABC的顶点坐标分别是A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）△ABC与△A′B′C′关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′，则C′（ ， ）；
（3）点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为 ．3.3轴对称与坐标变化
【知识点1】关于x轴、y轴对称的点的坐标 1
【知识点2】坐标与图形变化-对称 1
【知识点3】利用轴对称设计图案 2
【知识点4】作图-轴对称变换 2
【题型1】关于y轴对称的点的坐标特征 2
【题型2】综合问题 4
【题型3】关于其它与轴平行的直线对称的点的特征 7
【题型4】关于x轴对称的点的坐标特征 11
【知识点1】关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．
【知识点2】坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x=m对称，P（a，b） P（2m-a，b）
②关于直线y=n对称，P（a，b） P（a，2n-b）
【知识点3】利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
【知识点4】作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径
【题型1】关于y轴对称的点的坐标特征
【典型例题】已知，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（5，0）、C（﹣2，﹣5），作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，则△A′B′C′的三个顶点坐标正确的是（ ）
A.A′（﹣1，3）、B′（﹣5，0）、C′（2，﹣5）
B.A′（3，1）、B′（0，5）、C′（﹣5，﹣2）
C.A′（3，﹣1）、B′（0，﹣5）、C′（﹣5，﹣2）
D.A′（3，1）、B′（5，0）、C′（2，﹣5）
【答案】A
【解析】解：根据关于y轴对称的点的坐标特点可得：
A′（﹣1，3）、B′（﹣5，0）、C′（2，﹣5）；
故选：A．
【举一反三1】点A（2023，﹣2024）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A.（﹣2024，2023） B.（2023，﹣2024） C.（﹣2023，﹣2024） D.（2023，2024）
【答案】C
【解析】解：点A（2023，﹣2024）关于y轴对称的点的坐标为（﹣2023，﹣2024）．
故选：C．
【举一反三2】已知点A（﹣2，4），B（2，4），C（1，2），D（﹣1，2），E（﹣3，1），F（3，1）是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出 ____组对称三角形．
【答案】4
【解析】解：因为这六个点中A（﹣2，4）与B（2，4），C（1，2）与D（﹣1，2），E（﹣3，1）与F（3，1），都是关于y轴对称，所以对称三角形有△ADE，△BCF，△BDE，△ACF，△BDF，△ACE，△ADF，△BCE．共4对．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【答案】解：（1）△A1B1C1如图，A1（2，4）；
（2）由图可知，
S△ABC＝3×3﹣×2×3﹣×3×1﹣×2×1
＝9﹣3﹣﹣1
＝．
【题型2】综合问题
【典型例题】在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别是（4，﹣4），（1，3），将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，则关于点A，C的位置关系描述正确的是（ ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称
【答案】A
【解析】解：∵将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，
∴C的坐标为（4，4），
∵A点的坐标是（4，﹣4），
∴A与C关于x轴对称．
故选：A．
【举一反三1】把点A（﹣2，a）向下平移3个单位，所得的点与点A关于x轴对称，则a的值为（ ）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【答案】B
【解析】解：点A（﹣2，a）向下平移3个单位后点坐标为（﹣2，a﹣3），
∵所得的点与点A关于x轴对称，
∴﹣a＝a﹣3，
解得a＝1.5，
故选：B．
【举一反三2】如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为（1，2），则点C的坐标为（ ）
A.（﹣1，﹣2） B.（1，﹣2） C.（﹣1，2） D.（﹣2，﹣1）
【答案】A
【解析】解：∵x轴是△AOB的对称轴，
∴点A与点B关于x轴对称，
而点A的坐标为（1，2），
∴B（1，﹣2），
∵y轴是△BOC的对称轴，
∴点B与点C关于y轴对称，
∴C（﹣1，﹣2）．
故选：A．
【举一反三3】若将A（2，b）向下平移4个单位得B，且A与B关于x轴对称，则b＝ ．
【答案】见试题解析内容
【解析】解：点A（2，b）向下平移4个单位后得到B（2，b﹣4），
∵A（2，b）与点B关于x轴对称，
∴b+b﹣4＝0，
解得：b＝2，
故答案为：2．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，点M（﹣5，12）关于x轴对称的点为点N，连接ON，则ON的长为 ．
【答案】13．
【解析】解：在平面直角坐标系中，点M（﹣5，12）关于x轴对称的点为点N，则点N的坐标为（﹣5，﹣12），
∴ON＝＝13．
故答案为：13．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，2），C（﹣2，1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（3）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2；
（4）直接写出点B1，B2的坐标．
【答案】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
（4）B1（﹣4，﹣2），B2（4，﹣2）．
【题型3】关于其它与轴平行的直线对称的点的特征
【典型例题】在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（ ）
A.（﹣4，3） B.（4，﹣1） C.（﹣2，3） D.（4，﹣3）
【答案】C
【解析】解：把A点和直线x＝1，向左移动1个单位得：A′（3，3）和直线x＝0，
点A′（3，3）关于x＝0的对称点为B（﹣3，3），
把B（﹣3，3）再向右平移1个单位得：（﹣2，3），
故选：C．
【举一反三1】点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（ ）
A.（﹣2，﹣3） B.（﹣2，﹣1） C.（﹣2，﹣2） D.（﹣2，﹣4）
【答案】A
【解析】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，
∴＝﹣1，
解得：b＝﹣3，
∴点Q的横坐标为a＝﹣2，纵坐标为b＝﹣3，
∴点Q的坐标为（﹣2，﹣3），故A正确．
故选：A．
【举一反三2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（4，2），直线m是过点B且与y轴平行的直线，△ABC关于直线m对称的三角形为△A'B'C'，则点A'的坐标为（ ）
A.（﹣2，2） B.（2，﹣2） C.（0，﹣2） D.（0，2）
【答案】D
【解析】解：如图所示：
点A'的坐标为（0，2），
故选：D．
【举一反三3】与点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点为（ ）
A.（﹣4，5） B.（4，﹣5） C.（﹣6，5） D.（4，﹣7）
【答案】C
【解析】解：点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标是（﹣6，5）．
故选：C．
【举一反三4】已知点A（﹣3，2），则点A关于直线x＝3的对称点B坐标为 ．
【答案】（9，2）．
【解析】解：点A（﹣3，2）与点B关于直线x＝3的对称，
∴点B的纵坐标为2，横坐标为3+[3﹣（﹣3）]＝9，
∴点B的坐标为（9，2）．
故答案为：（9，2）．
【举一反三5】如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 ．
【答案】（4，4）．
【解析】解：过点（3，0）且平行于y轴的直线l为：x＝3，
∵点A与点B关于直线x＝3对称，且A（2，4），
∴点B的纵坐标为4，
设点B的横坐标为x，
则，解得：x＝4，
∴B点的坐标为（4，4），
故答案为：（4，4）．
【举一反三6】如图，△ABC关于平行于x轴的一条直线对称，已知A点坐标是（1，2），C的坐标为（1，﹣4），则这条平行于x轴的直线是 ．
【答案】y＝﹣1．
【解析】解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC，
又A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，﹣4），
∴AC＝6，
∴点A，C到该直线的距离都为3，即可得直线为y＝﹣1
故答案为：y＝﹣1．
【举一反三7】如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 ．
【答案】（4，4）．
【解析】解：过点（3，0）且平行于y轴的直线l为：x＝3，
∵点A与点B关于直线x＝3对称，且A（2，4），
∴点B的纵坐标为4，
设点B的横坐标为x，
则，解得：x＝4，
∴B点的坐标为（4，4），
故答案为：（4，4）．
【题型4】关于x轴对称的点的坐标特征
【典型例题】已知点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为（ ）
A.（2，1） B.（1，﹣2） C.（1，2） D.（﹣1，﹣2）
【答案】D
【解析】解：根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点，
∴点P（﹣1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2）．
故选：D．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，点A（1，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（ ）
A.（1，3） B.（1，﹣3） C.（﹣1，3） D.（﹣1，﹣3）
【答案】B
【解析】解：∵点A（1，3）与点B关于x轴对称，，
∴点B的坐标是：（1，﹣3）．
故选：B．
【举一反三2】点（2，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A.（2，8） B.（﹣2，8） C.（﹣2，﹣8） D.（2，﹣8）
【答案】A
【解析】解：点（2，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为：（2，8）．
故选：A．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，点P（5，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为 ．
【答案】（5，8）．
【解析】解：∵在平面直角坐标系中，点P（5，﹣8）关于x轴对称的点是（5，8）．
故答案为：（5，8）．
【举一反三4】在10×10的网格中建立如图所示的直角坐标系，规定在网格内（包括边界）横，纵坐标都是整数的点称为格点，已知△ABC的三个顶点都是格点，直线m经过点（0，3）且平行x轴，直线n经过点（﹣1，0）且平行y轴．
（1）△ABC的顶点坐标分别是A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ）；
（2）△ABC与△A′B′C′关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′，则C′（ ， ）；
（3）点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为 ．
【答案】解：（1）由图可得，A（2，4），B（5，2），C（3，﹣1），
故答案为：2，4；5，2；3，﹣1；
（2）如图1中，C′（3，1），
故答案为：3，1；
（3）以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则D坐标为D（0，1）或（﹣5，0），
故答案为：（0，1）或（﹣5，0）；
