2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 1.2 空间向量基本定理 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 1.2 空间向量基本定理 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 171.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-23 09:34:50 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理
一、单项选择题
1.若是空间的一个基底，则下列可与向量，构成一个基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，与交于点，点为上一点，，，，，用基底表示向量（ ）
A. B.
C. D.
3.如图，在四面体中，，，，点是的中点，点在上，且，设，则，，的值为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，，，设，，，则向量可用基底表示为（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A. B. 1 C. D.
6.如图，在平行六面体中，，，，，则（ ）
A. 1 B. C. 9 D. 3
二、多项选择题
7.平行六面体中，可以构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
8.给出下列命题，其中正确的有（ ）
A. 空间任意三个向量都可以构成一个基底
B. 已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C. 对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得
D. 如果，是两个单位向量，那么
9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．若空间向量，满足，则
B．若非零向量，满足，则有
C．若是空间的一组基底，且，则四点共面
D．若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
三、填空题
10.已知向量，，构成空间的一个单位正交基底，若，且，则______.
11.如图，在平行六面体中，为棱的中点，为棱上一点，记，若，则______.
12.如图，在堑堵中（底面为直角三角形的直棱柱），，分别是，的中点，，动点在线段上运动，若，则______.
四、解答题
13.如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，，记，，。
（1）用基底表示向量，；
（2）利用空间向量证明；
（3）求的长。
14.如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，。
（1）用，，表示，；
（2）若，，，求：
；
。
15.如图，在直三棱柱中，，，，点在棱上，，，，分别为棱，，的中点，与相交于点。求证：
（1）平面；
（2）平面平面。
一、单项选择题
1.答案：C
解析：空间向量构成基底的充要条件是三个向量不共面。
已知是空间基底，故两两不共面。
对选项A：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底；
对选项B：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底；
对选项C：假设，整理得，系数对应无实数解，故与、不共面，可构成基底；
对选项D：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底。
2.答案：A
解析：利用向量线性运算逐步推导：
四边形为平行四边形，故。
由、、，得，，因此。
由，得。
最终。
3.答案：C
解析：用向量中点性质与共线关系表示：
是中点，故。
在上且，故。
由，得，故、、。
4.答案：D
解析：建立“基底+坐标”双重验证：
设、、，则，，。
由向量加法：。
5.答案：C
解析：利用三棱台比例关系与中点性质：
设、、，由三棱台性质得、。
是中点，故。
，是中点，故。
对比，得、、，故。
6.答案：D
解析：用向量模长公式计算：
平行六面体中，模长平方为：
代入条件：、，，，得：
二、多项选择题
7.答案：AC
解析：判断向量是否共面：
选项A：、、分别对应平行六面体从出发的“体对角线+面对角线”，三者不共面，可构成基底；
选项B：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底；
选项C：、、对应从出发的三条棱，两两垂直且不共面，可构成基底；
选项D：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底。
8.答案：BD
解析：逐一分析命题正确性：
选项A：空间中共面的三个向量不能构成基底（如三条平行向量），需“不共面”，故A错误；
选项B：若，则与共线，根据基底定义，共线向量无法与第三个向量构成基底，故B正确；
选项C：仅当是空间基底时，对任意向量，存在唯一有序实数组使，缺少“基底”条件，故C错误；
选项D：单位向量的定义是“模为1的向量”，故任意两个单位向量的模相等，即，故D正确。
9.答案：CD
解析：结合空间向量性质判断：
选项A：仅说明模相等，方向可能不同（如相反向量），故与不一定相等，A错误；
选项B：且时，与可能异面或相交（如长方体中从同一顶点出发的三条棱），不一定平行，B错误；
选项C：由，系数和，根据共面定理，四点共面，C正确；
选项D：假设共面，则存在使，代入得、、，三者共面，与“是基底”矛盾，故不共面，可构成基底，D正确。
三、填空题
10.答案：2
解析：利用向量系数对应相等列方程：
展开。
已知，故列方程组：
解得、、，故。
11.答案：
解析：用向量表示并结合系数和条件：
设，则，。
是中点，故，因此：
由，解得。
12.答案：
解析：用参数法表示动点并计算系数和：
设，则、，建立坐标系：、、、、。
是中点，；是中点，。
设（），则。
由，得、、，故。
四、解答题
13.解:
（1）用基底表示向量：
菱形中（因）；
（因，方向从到）。
（2）证明：
计算数量积：
代入条件：（菱形边长），故；，故，，因此：
（3）解：
计算：
代入，得：
14.解：
(1)如图所示,连接AD,
因为六边形ABCDEF为正六边形,所以 , 则 , 所以 , .
(2)因为六边形ABCDEF为正六边形,所以 , 又 , 所以 .
(i) .
(ii)由(1)知 . 因为 , 所以
.
15.证明:
(1) 在直三棱柱 中, 侧面 为矩形, 又 , 所以 , , , 易得 , ,
, , 又 , 平面 , , 平面 .
(2) 连接 . 易得 , ,
又 , 平面 , ,
平面 . 又由 (1) 知 平面 , 且易知平面 与平面 不重合, 平面 平面 .
第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理
一、单项选择题
1.若是空间的一个基底，则下列可与向量，构成一个基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，与交于点，点为上一点，，，，，用基底表示向量（ ）
A. B.
C. D.
3.如图，在四面体中，，，，点是的中点，点在上，且，设，则，，的值为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，，，设，，，则向量可用基底表示为（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A. B. 1 C. D.
6.如图，在平行六面体中，，，，，则（ ）
A. 1 B. C. 9 D. 3
二、多项选择题
7.平行六面体中，可以构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
8.给出下列命题，其中正确的有（ ）
A. 空间任意三个向量都可以构成一个基底
B. 已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C. 对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得
D. 如果，是两个单位向量，那么
9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．若空间向量，满足，则
B．若非零向量，满足，则有
C．若是空间的一组基底，且，则四点共面
D．若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
三、填空题
10.已知向量，，构成空间的一个单位正交基底，若，且，则______.
11.如图，在平行六面体中，为棱的中点，为棱上一点，记，若，则______.
12.如图，在堑堵中（底面为直角三角形的直棱柱），，分别是，的中点，，动点在线段上运动，若，则______.
四、解答题
13.如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，，记，，。
（1）用基底表示向量，；
（2）利用空间向量证明；
（3）求的长。
14.如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，。
（1）用，，表示，；
（2）若，，，求：
；
。
15.如图，在直三棱柱中，，，，点在棱上，，，，分别为棱，，的中点，与相交于点。求证：
（1）平面；
（2）平面平面。
一、单项选择题
1.答案：C
解析：空间向量构成基底的充要条件是三个向量不共面。
已知是空间基底，故两两不共面。
对选项A：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底；
对选项B：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底；
对选项C：假设，整理得，系数对应无实数解，故与、不共面，可构成基底；
对选项D：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底。
2.答案：A
解析：利用向量线性运算逐步推导：
四边形为平行四边形，故。
由、、，得，，因此。
由，得。
最终。
3.答案：C
解析：用向量中点性质与共线关系表示：
是中点，故。
在上且，故。
由，得，故、、。
4.答案：D
解析：建立“基底+坐标”双重验证：
设、、，则，，。
由向量加法：。
5.答案：C
解析：利用三棱台比例关系与中点性质：
设、、，由三棱台性质得、。
是中点，故。
，是中点，故。
对比，得、、，故。
6.答案：D
解析：用向量模长公式计算：
平行六面体中，模长平方为：
代入条件：、，，，得：
二、多项选择题
7.答案：AC
解析：判断向量是否共面：
选项A：、、分别对应平行六面体从出发的“体对角线+面对角线”，三者不共面，可构成基底；
选项B：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底；
选项C：、、对应从出发的三条棱，两两垂直且不共面，可构成基底；
选项D：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底。
8.答案：BD
解析：逐一分析命题正确性：
选项A：空间中共面的三个向量不能构成基底（如三条平行向量），需“不共面”，故A错误；
选项B：若，则与共线，根据基底定义，共线向量无法与第三个向量构成基底，故B正确；
选项C：仅当是空间基底时，对任意向量，存在唯一有序实数组使，缺少“基底”条件，故C错误；
选项D：单位向量的定义是“模为1的向量”，故任意两个单位向量的模相等，即，故D正确。
9.答案：CD
解析：结合空间向量性质判断：
选项A：仅说明模相等，方向可能不同（如相反向量），故与不一定相等，A错误；
选项B：且时，与可能异面或相交（如长方体中从同一顶点出发的三条棱），不一定平行，B错误；
选项C：由，系数和，根据共面定理，四点共面，C正确；
选项D：假设共面，则存在使，代入得、、，三者共面，与“是基底”矛盾，故不共面，可构成基底，D正确。
三、填空题
10.答案：2
解析：利用向量系数对应相等列方程：
展开。
已知，故列方程组：
解得、、，故。
11.答案：
解析：用向量表示并结合系数和条件：
设，则，。
是中点，故，因此：
由，解得。
12.答案：
解析：用参数法表示动点并计算系数和：
设，则、，建立坐标系：、、、、。
是中点，；是中点，。
设（），则。
由，得、、，故。
四、解答题
13.解:
（1）用基底表示向量：
菱形中（因）；
（因，方向从到）。
（2）证明：
计算数量积：
代入条件：（菱形边长），故；，故，，因此：
（3）解：
计算：
代入，得：
14.解：
(1)如图所示,连接AD,
因为六边形ABCDEF为正六边形,所以 , 则 , 所以 , .
(2)因为六边形ABCDEF为正六边形,所以 , 又 , 所以 .
(i) .
(ii)由(1)知 . 因为 , 所以
.
15.证明:
(1) 在直三棱柱 中, 侧面 为矩形, 又 , 所以 , , , 易得 , ,
, , 又 , 平面 , , 平面 .
(2) 连接 . 易得 , ,
又 , 平面 , ,
平面 . 又由 (1) 知 平面 , 且易知平面 与平面 不重合, 平面 平面 .