2.1 有理数的加法与减法 教案（4课时） 2025-2026学年数学人教版（2024）七年级上册

2.1　有理数的加法与减法（第1课时）
　　1．能用数形结合的思想方法得出有理数加法法则，能正确地进行有理数的加法运算．
　　2．能运用有理数的加法解决实际问题．
　　能根据有理数加法法则进行有理数的加法运算．
　　有理数加法法则的正确使用．
　　准备带有刻度的直尺．
知识回顾
　　小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与0相加以及0与0相加．引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？
　　三种类型：（1）同号两个数相加.
　　正数＋正数,负数＋负数.
　　（2）异号两个数相加.
　　负数＋正数.
　　（3）一个数同0相加．
　　正数＋0,0＋0,负数＋0．
　　小学学习过的：
　　正数＋正数,正数＋0,0＋0.
　　小学没有学习过的：
　　负数＋负数,负数＋正数,负数＋0．
新知探究
一、探究学习
　　小明在东西方向的马路上活动，我们规定向东为正，向西为负．例如，向东走2 m记作＋2 m，向西走2 m，记作－2 m．小明想知道自己走两次后离起点的距离，你有办法帮帮他吗？
　　【问题】方向相同的情况：
　　（1）先向东走2 m，再向东走3 m，两次运动后的结果是什么？可以用怎样的算式表示？
　　（2）先向西走2 m，再向西走3 m，两次运动后的结果是什么？可以用怎样的算式表示？
　　【师生活动】学生先自己画图，然后师生一起用PPT画出数轴．让学生对比自己所画的数轴，寻找差距．
　　【设计意图】借助学生熟悉的日常生活问题解释有理数加法，让学生感受有理数加法法则的合理性．
　　【思考】怎样用数轴表示小明两次运动的结果（方向、距离）？
　　【新知】符号相同的两个数相加，和的符号不变，且和的绝对值等于加数的绝对值的和．
　　【问题】方向相反的情况：
　　（3）先向东走3 m，再向西走2 m，两次运动后的结果是什么？可以用怎样的算式表示？
　　（4）先向西走3 m，再向东走2 m，两次运动后的结果是什么？可以用怎样的算式表示？
　　（5）先向西走3 m，再向东走3 m，两次运动后的结果是什么？可以用怎样的算式表示？
　　【师生活动】学生先独立思考，再相互交流．教师提醒学生注意用数轴表示运动情况，引导学生发现规律．
　　【设计意图】为学生提供了自主探究学习的机会，在探究过程中加强引导，以帮助学生攻克难点．
　　【新知】绝对值不相等、符号相反的两个数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．互为相反数的两个数相加，结果为0.
　　【问题】特殊情况：
　　（6）第1 s向东走3 m，第2 s原地不动，2 s后的结果是什么？可以用怎样的算式表示？
　　【师生活动】学生归纳、交流，教师在适当的时候提供帮助．由教师对学生讨论的结果进行补充总结，进而得出有理数加法法则的三种不同情况．
　　【设计意图】锻炼学生的思维严谨性，培养归纳和概括的能力、语言表达能力．
　　【新知】有理数加法法则：
　　1．同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和．
　　2．绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．互为相反数的两个数相加得0．
　　3．一个数与0相加，仍得这个数．
　　【思考】按照有理数加法法则进行正数及0的加法运算，它和小学学过的正数及0的加法运算一致吗？
　　【师生活动】学生独立思考，教师在适当的时候提供帮助．
　　【设计意图】联系新旧知识，给学生独立思考、自主探究的机会，并在探究的思路上加以引导．
二、典例精讲
　　【例1】计算：
　　（1）(－3)＋(－9)；
　　（2）(－8)＋0；
　　（3）12＋(－8)；
　　（4）(－4.7)＋3.9；
　　（5）
　　【答案】（1）－12；　（2）－8；　（3）4；　（4）－0.8；　（5）0．
　　【师生活动】教师提醒学生计算时要注意观察两个加数的符号和绝对值．让学生独立完成后，展示结果并进行讲解，讲解后师生一起归纳出有理数加法的运算步骤．
　　【归纳】有理数加法的运算步骤：
　　（1）先判断加法的类型（同号、异号、0）；
　　（2）再确定和的符号；
　　（3）最后进行绝对值的加减运算．
　　【设计意图】巩固学生对有理数加法法则的理解．
　　【思考】任何一个数加上一个正数，和与原来的数有怎样的大小关系？加上一个负数呢？请你先辅助数轴直观地得出结论，再利用有理数的加法法则进行说明.
　　【师生活动】学生先独立思考，再相互交流．教师在适当的时候提供帮助．
　　【设计意图】一方面得出“任何一个数加上一个正数，和比原来的数大；任何一个数加上一个负数，和比原来的数小”，另一方面让学生对有理数的加法法则加以运用．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第28页练习1～4题．
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2.1　有理数的加法与减法（第2课时）
　　1．理解并掌握有理数加法的交换律和结合律，并能运用加法交换律和加法结合律简化有理数的加法运算．
　　2．能运用加法运算律解决简单的实际问题．
　　有理数加法的交换律和结合律的探索与运用．
　　能灵活运用加法运算律简化有理数的加法运算．
知识回顾
　　有了有理数的加法法则后，还要研究加法的运算律．在小学学过哪些加法运算律？
　　加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a＋b＝b＋a．
　　加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】在有理数的加法中，前面学过的加法交换律和加法结合律还适用吗？为了解决这个问题，请先完成下面的计算：
　　（1）(－8)＋(－9)和(－9)＋(－8)；
　　（2）30＋(－20)和(－20)＋30；
　　（3）0＋(－2)和(－2)＋0；
　　（4）[8＋(－5)]＋(－4)和8＋[(－5)＋(－4)]；
　　（5）10＋[(－10)＋(－5)]和[10＋(－10)]＋(－5)．
　　【答案】（1）－17；　　（2）10；　　（3）－2；　　（4）－1；　　（5）－5．
　　【思考】从上述计算中，你能得出什么结论？
　　【师生活动】学生根据上节课所学知识自主完成所给题目，然后交流并回答所发现的规律，最后教师进行总结．
　　【设计意图】通过所给题目对上节课的知识进行了复习，同时也引入新课．
　　【新知】（1）有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
　　加法交换律：a＋b＝b＋a．
　　（2）在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
　　加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
　　【师生活动】学生熟悉加法运算律的相关概念后，教师讲解一下注意点．
　　【注意】（1）式子中a，b，c分别表示任意的一个有理数．它们既可以是整数，又可以是分数；既可以是正数，又可以是负数或0．
　　（2）在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．
　　【设计意图】教师讲解加法运算律的相关注意事项，让学生能够准确理解概念．
二、典例精讲
　　【例1】计算：（1）8＋(－6)＋(－8)；
　　（2）16＋(－25)＋24＋(－35)；
　　（3）；
　　（4）；
　　（5）．
　　【答案】（1）－6；　　（2）－20；　　（3）；　　（4）；　　（5）．
　　【师生活动】教师提醒学生计算时要注意运用加法运算律简化运算．让学生独立完成后，展示结果并进行讲解．
　　【设计意图】给学生独立思考，自主探究的机会，并在探究的思路上加以引导．让学生体会到加法运算律在简化运算上的作用．
　　【归纳】利用加法运算律简化运算的方法：
　　（1）互为相反数的两个数先相加——相反数结合法；
　　（2）符号相同的数先相加——同号结合法；
　　（3）分母相同的分数先相加——同分母结合法；
　　（4）相加能得到整数、整十数……的数先相加——凑整法；
　　（5）整数与整数，分数与分数分别相加——同形结合法；
　　（6）带分数相加时，先把带分数拆成整数和真分数相加的形式，再相加——拆项结合法．
　　【例2】10袋小麦称后记录（单位：kg）如下图所示．10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50 kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
　　【答案】解法1：先计算10袋小麦一共多少千克：
　　50.5＋50.5＋50.8＋49.5＋50.6＋50.7＋49.2＋49.4＋50.9＋50.4＝502.5．
　　再计算总计超过多少千克：
　　502.5－50×10＝2.5．
　　解法2：把每袋小麦超过50 kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．10袋小麦对应的数分别为＋0.5，＋0.5，＋0.8，－0.5，＋0.6，＋0.7，－0.8，－0.6，＋0.9，＋0.4．
　　 0.5＋0.5＋0.8＋(－0.5)＋0.6＋0.7＋(－0.8)＋(－0.6)＋0.9＋0.4
　　＝[0.5＋(－0.5)]＋[0.8＋(－0.8)]＋[0.6＋(－0.6)]＋(0.5＋0.7＋0.9＋0.4)
　　＝2.5．
　　50×10＋2.5＝502.5．
　　答：10袋小麦一共502.5 kg，总计超过2.5 kg．
　　【思考】比较两种解法，解法2中使用了哪些运算律？
　　【归纳】解法2说明把互为相反数的一对数结合起来相加，可以使计算简化．解法2中使用了加法交换律、加法结合律．
　　【师生活动】学生独立完成后，全班交流．
　　【设计意图】利用有理数的加法运算律解决实际问题，体现数学的应用价值．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第30页练习1～3题．
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2.1　有理数的加法与减法（第3课时）
　　1．理解有理数的减法法则．
　　2．能利用减法法则进行有理数的减法运算．
　　3．体会将有理数的减法运算转化为加法运算的转化思想．
　　理解有理数减法法则，并能利用有理数减法法则进行有理数的减法运算．
　　理解有理数减法法则的推导过程．
　　准备一个带有刻度的普通温度计．
新课导入
　　温度计上显示的温度是3℃．
　　（1）比1 ℃高多少摄氏度？
　　3－1＝2．
　　（2）比－3 ℃高多少摄氏度？
　　3－(－3)＝6．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】观察下列算式，你有什么发现？
3－(－3)＝6；3＋(＋3)＝6．
　　【师生活动】先让学生观察、叙述，然后教师进行补充总结．
　　【猜想】减去一个数，等于加这个数的相反数．
　　【设计意图】通过与温度计有关的实际问题引入新课，并给学生独立思考、自主探究的机会．最后，教师补充并给出猜想，让学生试着独立验证猜想．
　　【验证】（1）借助温度计写出左边算式的结果，再与右边算式的计算结果进行比较．
① 0－(－3)＝3，0＋(＋3)＝3；
② (－1)－(－3)＝2，(－1)＋(＋3)＝2；
③ (－5)－(－3)＝－2，(－5)＋(＋3)＝－2．
　　【发现】有理数的减法可以转化为加法来进行．
　　（2）计算下面两组算式，从中又有什么新的发现？
　　 ① 9－8＝1，9＋(－8)＝1；
　　 ② 15－7＝8，15＋(－7)＝8．
　　【思考】你会总结有理数的减法法则吗？
　　【师生活动】让学生尝试验证刚才的猜想，教师适时给予一定的帮助，最后教师总结有理数减法法则，并说明注意事项．
　　【设计意图】培养学生独立验证猜想的能力．
　　【新知】有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．
a－b＝a＋(－b)．
　　【问题】根据有理数减法法则，将相同结果的算式用线连接．
　　【设计意图】让学生初步认识有理数减法法则．
二、典例精讲
　　【例1】计算：
　　（1）(－3)－(－5)；（2）0－7；（3）2－5；（4）7.2－(－4.8)；（5）．
　　【答案】（1）2；　　（2）－7；　　（3）－3；　　（4）12；　　（5）．
　　【师生活动】让学生独立完成后，展示结果并进行讲解．教师总结：0减去一个数等于这个数的相反数．
　　【设计意图】给学生独立思考，自主探究的机会，并在探究的思路上加以引导．让学生体会有理数减法法则和加法法则之间的联系．
　　【归纳】要进行减法运算，根据减法法则，先把减法变为加法，再根据加法法则进行运算．
　　【思考】在小学，只有当a大于或等于b时（其中a，b是0或正数），我们才能计算a－b（如2－1，1－1）．现在，当a小于b时，你会做a－b（如1－2，(－1)－1）吗？
　　一般地，在有理数范围内，较小的数减去较大的数，所得差的符号是什么？
　　【师生活动】小数减大数，等于大数减小数的相反数．
　　【设计意图】一方面是要得出“小数减大数所得的差是负数”，另一方面也是为了引导学生体会引入负数的好处．
　　【例2】世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔是8 848.86 m，吐鲁番盆地的海拔是－155 m．两处高度相差多少？
　　【答案】解：8 848.86－(－155)
　　＝8 848.86＋155
　　＝9 003.86（m）
　　答：两处高度相差9 003.86 m．
　　【师生活动】学生独立完成后，全班交流．
　　【设计意图】利用有理数减法法则解决实际问题，体现数学的应用价值．
三、拓展提升
　　【新知】作差法比较大小
　　利用有理数的减法可以比较两个数的大小，即如果要比较a与b的大小，先求a与b的差a－b．
当a－b＞0时，a＞b；
当a－b＝0时，a＝b；
当a－b＜0时，a＜b．
　　这种比较两个数大小的方法叫做作差法．
　　【问题】下列四组有理数大小的比较正确的是（ ）．
　　A．　　　　　　　　　　　　　　　　B．－|－1|＞－|＋1|
　　C．　　　　　　　　　　　　　　　　　D．
　　【答案】D
　　【设计意图】让学生用刚刚学习的作差法解决比较大小问题．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第32页练习1～2题．
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2.1　有理数的加法与减法（第4课时）
　　1．会把有理数的加减混合运算统一成加法运算．
　　2．熟练掌握有理数的加减混合运算．
　　3．能根据具体问题，适当运用运算律进行简化运算．
　　熟练掌握有理数的加减混合运算．
　　能根据具体问题，适当运用运算律进行简化运算．
知识回顾
　　1．有理数加法法则：
　　（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和．
　　（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．互为相反数的两个数相加得0．
　　（3）一个数与0相加，仍得这个数．
　　2．有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数．
新知探究
一、课堂活动
　　【问题】计算(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7)．
　　【答案】－19
　　【思考】这里使用了哪些运算律？
　　【师生活动】学生独立思考后，再相互交流．教师提醒学生注意联系有理数加法法则和减法法则．这里，先把减法转化为加法，然后用加法的交换律与结合律，达到简化运算的目的．
　　【设计意图】为学生提供了自主探究学习的机会，在探究过程中教师注意加强引导，以帮助学生攻克难点．
　　【新知】引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算．例如
　　a＋b－c＝a＋b＋(－c)．
　　【问题】下面的运算有简便写法吗？
　　(－20)＋(＋3)＋(＋5)＋(－7)．
　　【答案】－20＋3＋5－7
　　【思考】你知道算式“－20＋3＋5－7”怎样读吗？
　　【师生活动】读作：“负20、正3、正5、负7的和”或“负20加3加5减7”．
　　【问题】下面的运算有简便写法吗？
　　(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7)．
　　【答案】原式＝－20＋3＋5－7
　　＝－20－7＋3＋5
　　＝－27＋8
　　＝－19．
　　【设计意图】让学生通过刚学习的知识完成例题运算步骤书写的简化．
　　【问题】（1）把算式(＋9)－(＋10)＋(－2)－(－8)写成省略括号和加号的形式，并把结果用两种读法读出来．
　　（2）式子－7＋1－5－9的正确读法是（　　）．
　　 A．负7、正1、负5、负9
　　 B．减7加1减5减9
　　 C．负7加1、负5减9
　　 D．负7加1减5减9
　　【答案】（1）原式＝9－10－2＋8，读作：“正9、负10、负2、正8的和”或“9减10减2加8”．
　　（2）D
　　【设计意图】巩固所学新知，及时了解学生对新知的掌握程度．
二、典例精讲
　　【例1】计算：
　　（1）
　　（2）14－25＋12－17．
　　【答案】（1）5；　　（2）－16．
　　【师生活动】学生归纳、交流，教师在适当的时候提供帮助．由教师总结出有理数加减混合运算的运算步骤．
　　【设计意图】锻炼学生的思维严谨性，培养学生归纳和概括的能力以及语言表达能力．鼓励学生独立完成有一定困难的问题，所以在学生总结的基础上，教师要给出完整的步骤．
　　【归纳】有理数加减混合运算的运算步骤：
　　（1）将减法转化为加法；
　　（2）省略括号和加号；
　　（3）运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；
　　（4）按有理数加法法则进行运算．
　　【例2】有8筐白菜，以每筐25 kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，这8筐白菜的质量记录如下：
1.5，－3，2，－0.5，1，－2，－2，－2.5．
　　（1）这8筐白菜一共多少千克？
　　（2）如果将这些白菜以5元/kg的价格出售，那么这8筐白菜一共能卖多少钱？
　　【答案】解：（1）25×8＋(1.5－3＋2－0.5＋1－2－2－2.5)＝200＋(－5.5)＝194.5（kg）．
　　答：这8筐白菜一共194.5 kg．
　　（2）194.5×5＝972.5（元）．
　　答：这8筐白菜一共能卖972.5元．
　　【师生活动】让学生独立完成后并展示结果，教师进行讲解．
　　【设计意图】让学生体会在实际生活中何时使用有理数的加减混合运算，并会用此解决问题，从而进一步感受学习数学的必要性．
三、拓展提升
　　【问题】在数轴上，点A，B分别表示数a，b．对于下列各组数a，b：
　　a＝2，b＝6；a＝0，b＝6；a＝2，b＝－6；a＝－2，b＝－6．
　　（1）观察点A，B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？
　　（2）利用有理数的运算，你能用含有a，b的算式表示上述各组点A，B之间的距离吗？
　　一般地，你能发现点A，B之间的距离与数a，b之间的关系吗？
　　【答案】（1）4　　6　　8　　4；
（2）4＝6－2　　6＝6－0　　8＝2－(－6)　　4＝(－2)－(－6)．
　　【设计意图】让学生利用数轴，通过观察几组数的情况后，知道用大数减小数，得到的差就是这两点之间的距离．
　　【归纳】数轴上两点间的距离：在数轴上，设A，B两点表示的数分别为a，b（a＞b），则点A，B之间的距离等于a－b．
　　【问题】将下列式子写成省略加号和括号的形式，观察所得到的式子，你能发现简化符号有什么规律吗？
(－40)－(＋27)＋19－24－(－32)，－9－(－2)＋(－3)－4．
　　【答案】－40－27＋19－24＋32　　－9＋2－3－4
　　【归纳】数字前“－”号的个数是奇数取“－”，数字前“－”号的个数是偶数取“＋”．
　　【数学活动】活动1　整理家庭收支账目
　　帮助家庭记录一个月（或一星期）的生活收支账目，收入记为正数，支出记为负数，计算当月（星期）的总收入、总支出、总结余以及每日平均支出等数据，并对家庭支出提出合理化建议．
　　妥善保存账目，作为日后家庭理财的参考资料．
　　活动2　填幻方
　　幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．
　　“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说.图1即洛书.数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）．在这个幻方中，9个格中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15．
　　请将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4这9个数分别填入图3的幻方的9个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等．
　　与同学交流一下，你们填这个幻方的方法相同吗？
　　【设计意图】利用有理数的加法与减法解决实际问题，体现数学的应用价值．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第34页练习1～2题．
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