3.1 列代数式表示数量关系 教案（3课时）2025-2026学年数学人教版（2024）七年级上册

3.1　列代数式表示数量关系（第1课时）
　　1．经历用含有字母的式子表示数量和数量关系的过程，了解代数式的定义，会根据简单问题中的数量关系列代数式．
　　2．感受用字母代替数的意义，掌握代数式的书写方法．
　　3．知道具体代数式的意义，会举例说明代数式所表示的实际问题中的数量关系．
　　1．会列代数式表示数量关系，并掌握代数式的书写方法．
　　2．知道具体代数式的意义．
　　会举例说明代数式所表示的实际问题中的数量关系．
知识回顾
　　【问题】在小学，我们学过用字母表示数，知道可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系．请你用字母表示下列运算律．
运算律 字母表示
加法交换律 a＋b＝b＋a
加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
乘法交换律 a×b＝b×a
乘法结合律 (a×b)×c＝a×(b×c)
分配律 (a＋b)×c＝a×c＋b×c
　　【师生活动】学生回答，教师补充说明在实际问题中也常常用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，并提出问题：你能举出例子吗？
　　【设计意图】使学生了解用字母或含有字母的式子表示数和数量关系的情形．
新知探究
一、探究学习
　　【引例】智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人可以平均每秒完成5m2范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均8 s可以采摘一个苹果，根据这些数据回答下列问题：
　　（1）该机器人10 s能识别多大范围内的苹果？60 s呢？t s呢？
　　（2）该机器人识别n m2范围内的苹果需要多少秒？
　　（3）若该机器人搭载了m个机械手（m>1），它与采摘工人同时工作1 h，已知工人平均5 s可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？
【师生活动】教师提示：对于问题（1），让我们求的是工作量，那么工作量、工作效率和工作时间之间有怎样的数量关系呢？
　　学生回答：工作量＝工作效率×工作时间．
　　教师提问：根据这个数量关系，你能得出问题（1）的答案吗？
　　学生回答，教师判断正误，并指出书写含有字母的式子的方法．
　　教师提问：对于问题（2），你得出的答案是什么？
　　学生回答，教师判断正误，并提醒学生：在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写．
　　教师提问：对于问题（3），让我们求的是工作量之差，而工作量＝工作效率×工作时间，工作时间很明显是1 h，你能分别得到机器人和工人的工作效率吗？
　　学生回答，教师评价，然后让学生据此求出问题（3）的答案．
　　【答案】（1）该机器人10 s能识别的范围（单位：m2）是5×10＝50；60 s能识别的范围（单位：m2）是5×60＝300；t s能识别的范围（单位：m2）是5×t＝5t．
　　（2）该机器人识别 n m2 范围内的苹果需要的时间是秒.
　　（3）机器人多采摘的苹果个数
　　　 ＝机器人采摘的苹果个数－工人采摘的苹果个数
　　　 ＝一个机械手的采摘效率×工作时间×机械手的个数－工人的采摘效率×工作时间
　　　 ＝×3 600×m－×3 600
　　　 ＝4 50m－720．
【新知】在含有字母的式子中，如果出现乘号，通常将数放在字母前，乘号写作“·”或省略不写．例如，5×t可以写成5·t或5t．
【设计意图】通过这个引例，①让学生尝试用字母或含有字母的式子表示数和数量关系；②让学生初步了解代数式的书写方法；③让学生感受在实际问题中也可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，发展通过列代数式解决问题的意识．
　　【问题】用含有字母的式子表示下列问题中的数量和数量关系．
　　（1）某工程队负责铺设一条长2 km 的地下管道，经过d天完成，用式子表示这支工程队平均每天铺设的管道长度．
　　（2）一个正方形的边长是a，这个正方形的周长l是多少？面积S呢
　　【师生活动】学生回答，教师纠正，并给出正确答案.
　　【答案】（1）平均每天铺设的管道长度=铺设的管道总长度÷工作天数．因此，这支工程队平均每天铺设的管道长度是km．
　　（2）由正方形的周长及面积公式，可得周长l＝4a，面积S＝a2．
　　【问题】观察前面列出的式子5t，，450m-720，，4a，a2，它们有什么共同点？
　　【师生活动】学生观察思考后回答，教师总结并给出代数式的定义．
　　【新知】它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．
　　单独的一个数或字母也是代数式．例如，5，t都是代数式．
二、典例精讲
　　【例1】（1）苹果原价是p 元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价；
　　（2）一个长方形的长是0.9 m，宽是p m，用代数式表示这个长方形的面积；
　　（3）某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量；
　　（4）一个长方体水池底面的长和宽都是a m，高是h m，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积．
　　【师生活动】学生尝试独立解答，派出学生代表回答．
　　【答案】解：（1）苹果的售价是0.9p元/kg；
　　（2）这个长方形的面积是0.9p m2；
　　（3）去年的产量是(2n－10)件；
　　（4）由长方体的体积＝长×宽×高，得这个长方体水池的容积是a·a·h m3，即a2h m3，故池内水的体积为a2·h m3．
　　【师生活动】教师提示：观察（1）（2）的结果可以发现，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．
　　教师提问：在前面的问题中我们得到下面两个结果：
　　①船在这条河中顺水行驶的速度是(v＋2.5) km/h；
　　②去年的产量是(2n－10)件．
　　这两个结果的书写特点是什么？
　　学生回答，教师总结：在实际问题中含有单位时，如果最后运算结果是和或差的形式，那么要把整个代数式括起来再写单位．
　　教师提问：结合前面的学习，请你总结出书写代数式时应注意什么．
　　学生回答，教师补充．
　　【设计意图】让学生掌握根据简单的实际问题列代数式的方法，并进一步总结与巩固代数式的书写方法．
　　【例2】说出下列代数式的意义：
　　（1）2a＋3；（2）2(a＋3)；（3）；（4）x2＋2x＋8．
　　【师生活动】教师提问，派出学生代表回答．
　　【答案】解：（1）2a＋3的意义是a的2倍与3的和；
　　（2）2(a＋3)的意义是a与3的和的2倍；
　　（3）的意义是c除以a，b的积的商；
　　（4）x2＋2x＋8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和．
　　【师生活动】教师提问：举例说明2a＋3，2(a＋3)所表示的实际问题中的数量关系．
　　学生思考，并派出学生代表回答．教师评价．
【设计意图】让学生理解代数式的意义，并能应用到实际情境中去，提高学生的应用意识，提高学生学以致用的能力．
三、拓展提升
　　【数学活动】拼图小游戏
　　【问题】（1）如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有2，3或4个三角形，需要多少根火柴棍？如果图形中含有n个三角形，需要多少根火柴棍？
　　【师生活动】教师提问，让学生分别说出当三角形个数为1~4时所需的火柴棍根数．学生根据刚才所回答的数据探索规律，思考当拼成n个三角形时，所需要的火柴棍根数应该如何表示．多请几位同学回答自己发现的规律．
　　【答案】方法1：第一个三角形用火柴棍3根，后面每增加一个三角形火柴棍就增加2根，那么搭n个这样的三角形需要火柴棍[3＋2(n－1)]根．
　　方法2：将第一根火柴棍摘出来，后面每增加一个三角形火柴棍就增加2根，那么搭n个这样的三角形需要火柴棍(1＋2n)根．
　　……
　　学生各抒己见，合理即可．
　　【设计意图】通过题目，让学生感受在探索规律时也可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，发展通过列代数式解决问题的意识．
　　【问题】（2）如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第 1 个正方形需要 4 个小正方形，拼第 2 个正方形需要 9 个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n－1）个正方形多几个小正方形？
　　【师生活动】教师出示表格，让学生回答拼第1~4个正方形时所需的小正方形个数．学生根据刚才回答的数据探索规律，思考按照这样的方法拼成的第n个正方形比第（n－1）个正方形多几个小正方形？请有不同想法的同学说说自己发现的规律．
　　【答案】方法1：观察图形发现，第1个正方形有22=4个小正方形，第2个正方形有32=9个小正方形，第3个正方形有42=16个小正方形．依此类推，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，第（n-1）个正方形有n2个小正方形．所以第n个正方形比第（n－1）个正方形多（n+1）2－n2＝2n+1个小正方形．
　　方法2：观察图形发现，第2个正方形比第一个正方形多了（3+2）个小正方形，第3个正方形比第2个正方形多了（4+3）个小正方形……依此推理可知，第n个正方形比第（n-1）个正方形多了（n+1+n）个小正方形，即2n+1个．
　　……
　　学生各抒己见，合理即可．
　　【设计意图】进一步锻炼学生用字母或含有字母的式子表示规律的能力，发展通过列代数式解决问题的意识．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第71页练习1～3题．
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3.1　列代数式表示数量关系（第2课时）
　　1．理解数学问题中的文字语言包含的运算关系，并会根据包含的运算关系列代数式．
　　2．经历从实际问题中抽象出数量关系的过程，能通过列代数式解决实际问题．
　　3．明确列代数式的注意点，掌握根据数学问题与实际问题正确列代数式的方法．
　　1．会根据数学问题中的文字语言列代数式．
　　2．能从实际问题中抽象出数量关系，并根据数量关系列代数式．
　　能通过列代数式解决实际问题．
新课导入
　　【问题】某公园的门票价格是：成人票每张10元，学生票每张5元．一个旅行团有成人x人、学生y人，那么该旅行团去公园参观应付多少门票费？
　　【师生活动】教师提问：门票总费用是哪些费用的和？
　　学生回答：门票总费用＝成人门票总费用＋学生门票总费用．
　　教师补充说明找学生解答问题．
　　学生回答，教师纠正评价．
　　【答案】解：该旅行团去公园参观应付的门票费是(10x＋5y)元．
　　【设计意图】使学生了解用字母或含有字母的式子表示数和数量关系的情形．
新知探究
一、探究学习
　　【新知】在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式．
　　【思考】如何用代数式表示a，b两数的和与差的积？
　　【师生活动】教师提示：a，b两数的和与差的积分两层运算，第一层：①a，b两数的和；②a，b两数的差．第二层：和与差的积．
　　据此，让学生列出代数式．
　　学生回答，教师评价纠正．
　　【答案】(a＋b)(a－b)
　　【新知】一般地，a，b两数的差，a与b的差，都指“a－b”．
　　【设计意图】通过这个引例，①让学生理解数学问题中的文字语言包含的运算关系；②让学生初步了解列代数式时应把握的有关术语的含义、语言叙述所表示的运算顺序等．
二、典例精讲
　　【例1】用代数式表示：
　　（1）购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数．
　　（2）把a元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75％，到期时的利息是多少元？
　　（3）某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是多少元？
　　【师生活动】师生通过问答的方式分析出下面的数量关系：
　　（1）总钱数＝2个面包的总价＋3瓶饮料的总价；
　　（2）利息＝本金×年利率×存期；
　　（3）现在的售价＝原来的标价－降价数．
　　根据分析出的数量关系，学生尝试独立解答，派出学生代表回答．
　　【答案】解：（1）购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数为(2a＋3b)元．
　　（2）根据题意，得a×2.75％×3＝8.25％a，因此到期时的利息为8.25％a元．
　　（3）现在的售价为(1.1x－80)元．
　　【设计意图】让学生经历通过列代数式解决数学问题的过程，进一步发展通过列代数式解决实际问题的意识．
　　【例2】甲、乙两地之间公路全长240 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为v km/h.
　　（1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？
　　（2）如果汽车的行驶速度增加3 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？
　　【师生活动】师生通过问答的方式分析出下面的数量关系：
　　（1）路程、速度、时间之间的关系：时间＝．
　　（2）早到的时间＝原来需要行驶的时间－加快速度后需要行驶的时间．
　　根据分析出的数量关系，学生尝试独立解答，派出学生代表回答．
　　【答案】解：（1）汽车从甲地到乙地需要行驶h．
　　（2）如果汽车的行驶速度增加3 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶h．汽车加快速度后可以早到h．
　　【设计意图】让学生进一步熟练掌握根据实际问题列代数式的方法，提高学生学以致用的能力．
　　【新知】1．从上面的例子可以看出，用字母表示数，字母可以和数一样参与运算，从而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来．
　　2．列代数式的关键是抽象出实际问题中的数量关系．
　　3．列代数式的注意点：
　　（1）审题，认真分析问题中有关术语的含义．例如，和、差、积、商、多、少、几倍、几分之几、增加了、增加到、减少了、减少到等．
　　（2）注意问题中语言叙述所表示的运算顺序．例如，a，b两数和的平方，应表示为(a＋b)2，a，b两数平方的和，应表示为a2＋b2．
　　（3）要弄清问题中的层次关系，抓住“的”字作用．
　　（4）注意运算的逆向思维．例如，某数与ab的积为5，则该数为．
三、课堂练习
　　1．用代数式表示“a的2倍与b的平方的差”，列式正确的是（　　）．
　　A．(2a－b)2　　B．2(a－b)2　　C．(a－2b)2　　D．2a－b2
　　【师生活动】学生独立解答，教师评价纠正．
　　【解析】要明确问题中文字语言包含的运算关系，先写“a的2倍”，然后写“b的平方”，最后二者作差，即2a－b2．
　　【答案】D
　　2．某商店有一种商品，每件成本a元，原先按成本增加b元定售价，售出30件后，由于库存积压减价，按售价的90%出售，又销售70件．
　　（1）该商店销售这100件商品的总销售额为多少元？
　　（2）销售这100件商品共盈利了多少元？
　　【师生活动】学生独立解答，教师评价纠正．
　　【分析】（1）分别求出前30件的销售额与后70件的销售额即可确定总销售额．
　　（2）根据“利润＝总售价－总成本”列出关系式即可得到结果．
　　【答案】解：（1）根据题意，得 30(a＋b)＋70(a＋b)×90%＝93a＋93b，
　　即销售这100件商品的总销售额为(93a＋93b)元．
　　（2）根据题意，得93a＋93b－100a＝－7a＋93b，
　　即销售这100件商品共盈利了(－7a＋93b)元．
　　【设计意图】检验学生对根据实际问题列代数式的掌握程度．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第73页练习1～4题．
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3.1　列代数式表示数量关系（第3课时）
　　1．经历从成正比例的量和正比例关系到认识成反比例的量和反比例关系的过程，掌握成反比例的量和反比例关系的概念．
　　2．知道k的意义及其取值范围．
　　3．通过实例探究，理解成反比例的量和反比例关系的特征，并掌握判断反比例关系的方法．
　　1．成反比例的量和反比例关系的概念及特征．
　　2．掌握判断反比例关系的方法．
　　判断反比例关系．
新课导入
　　【问题】　在前面的学习中，我们解决过下面的问题：
　　（1）机器人平均每秒完成5 m2范围内苹果的识别，t s能识别的范围是5t m2．
　　（2）一个正方形的边长是a，这个正方形的周长l是4a．
　　（3）一个长方形的长是0.9 m，宽是p m，这个长方形的面积为0.9p m2．
　　问：（1）中识别的范围与所用时间有什么数量关系？
　　（2）中正方形的周长与边长有什么数量关系？
　　（3）中长方形的面积与宽有什么数量关系？
　　【师生活动】①学生独立解答，教师评价纠正．②教师引导找到成正比例的量，及其蕴含的正比例关系．
　　【答案】解：（1）中识别的范围与所用时间的比值总是一定的（等于5）．
　　（2）中正方形的周长与边长的比值总是一定的（等于4）．
　　（3）中长方形的面积与宽的比值总是一定的（等于0.9）．
　　【设计意图】通过前面学习中遇到的例子，引出成正比例的量和正比例关系，为下面探究成反比例的量和反比例关系做铺垫．
新知探究
一、探究学习
　　【思考】一般地，对于工程问题，工作效率、工作量与工作时间之间有怎样的关系？
　　【师生活动】学生答出列出表示工作效率、工作量与工作时间之间的数学关系的式子，以及其中包含的成正比例的量和正比例关系．教师评价纠正，并继续提问：当工作量保持不变时，工作效率与工作时间之间有什么关系？
　　【设计意图】通过简明的两个量之间的关系，让学生初步感受成反比例的两个量之间的关系，为后面的问题探究做铺垫．
　　【问题】北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260 000 m3，解答下列问题：
　　（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表．
每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 …
造雪天数 …
　　（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？
　　【师生活动】对于问题（1），学生计算出结果后，派学生代表回答，教师评价．对于问题（2），教师提示：造雪天数随着每天造雪量的增加而发生怎样的变化？其中蕴含的不变的量是什么？
　　【答案】解：（1）造雪天数＝，
每天造雪量为5 000 m3时，造雪天数为＝52；每天造雪量为5 000 m3时，造雪天数为＝50；每天造雪量为6 500 m3时，造雪天数为＝40．因此，表中依次填52，50，40．
　　（2）可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260 000．
　　【新知】像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．
　　如果用字母x，y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且 k≠0），反比例关系可以用xy＝k来表示．
　　【思考】回顾前面思考中的问题：当工作量保持不变时，工作效率与工作时间之间有什么关系？你能总结出判断反比例关系的方法吗？
　　【师生活动】派学生代表回答，教师纠正评价．
　　【答案】当工作量保持不变时，工作效率与工作时间的乘积一定，它们之间成反比例关系．
　　判断反比例关系的方法：
　　判断两个量x，y是否成反比例关系，往往根据定义，看x，y之间的数量关系是否能化为xy＝k（k是一个确定的值，且k≠0）的形式．
　　【设计意图】①解决前面遗留的问题，巩固学生对反比例关系的理解与认识；②通过让学生总结判断反比例关系的方法，巩固学生对反比例关系的掌握，为学生能够解决后面判断比例关系的问题打下基础．
二、典例精讲
　　【例1】如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm2 ，20 cm2，30 cm2，60 cm2，分别往这四个容器中注入300 cm3的水．
　　（1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？
　　（2）分别用x（单位：cm2）和y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？
　　【师生活动】师生通过问答的方式分析出下面的数量关系：
　　圆柱的体积＝底面积×高，高＝
　　根据分析出的数量关系，学生先尝试独立解答，然后派出学生代表回答．
　　【答案】解：（1）四个容器中水的高度分别为
（cm），（cm），（cm），（cm）．
　　（2）xy＝300，y与x成反比例关系．
　　【设计意图】让学生经历判断反比例关系的过程，进一步巩固学生对成反比例的量和反比例关系的掌握．
　　【例2】生活中，成反比例关系的例子是很常见的．例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系．你还能举出一些例子吗？
　　【师生活动】学生先尝试独立解答，然后派出学生代表回答，教师纠正评价．
　　【答案】解：甲、乙两地之间的路程一定，货车从甲地驶往乙地的平均速度与时间成反比例关系；
　　当长方形的面积一定时，长方形的长与宽成反比例关系；
　　　……
　　【设计意图】让学生进一步熟练掌握实际问题中的成反比例的量和反比例关系，提高学生学以致用的能力．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第75页练习1～3题．
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