4.1 整式 教案（2课时）2025-2026学年数学人教版（2024）七年级上册

4.1　整式（第1课时）
1．让学生理解单项式、单项式的系数和次数的概念；会判断一个代数式是否是单项式，能准确地说出一个单项式的系数和次数．
2．让学生经历单项式的概念的形成过程，提高观察、分析、归纳、概括能力．
理解单项式、单项式的系数和次数的概念．
会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数．
新课导入
填空：
1．边长为m的正方形的周长是 4m ，面积是 m2 ．
2．一辆汽车的速度是v km/h，行驶t h所走过的路程为 vt km．
3．半径为b的圆的周长为 2πb ，面积为 πb2 ．
4．设a表示一个数，则它的相反数是 －a ．
新知探究
一、探究学习
【问题】下列代数式有什么特点？
4m，m2，vt，2πb，πb2，－a．
【思考】π是字母吗？
【师生活动】学生独立回答π是否为字母．
【设计意图】为后面学习单项式、确定单项式的系数做铺垫．
二、新知精讲
【新知】通过对所给出的代数式进行分类，引入单项式的概念．
【师生活动】引导学生分析各个代数式，找出各式之间的共同特点．
教师指出，单独的一个数或一个字母也是单项式．
【设计意图】认识单项式，为后面引出单项式的系数、次数等相关概念做铺垫．
【新知】单项式的相关概念：
－3x2y3
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．
一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．
上面所给单项式中，单项式的系数为－3，单项式的次数为2＋3＝5．
【师生活动】学生独立回答所给单项式的系数和次数分别是什么．
【设计意图】通过实例让学生认识单项式的系数、次数等概念．
【问题】a和－a的系数和次数分别是什么？由此得出什么结论？
【师生活动】学生独立回答．
【设计意图】让学生进一步加深对单项式的系数的认识，知道系数要包括数字因数前面的性质符号．
三、典例精讲
【例1】下列代数式中，单项式有哪些？
（1）－3； 　（2）x2y； 　（3）； （4）；
（5）－ab2； （6）； （7）n2； （8）π＋2．
【答案】单项式有（1）（2）（4）（5）（7）（8）．
【师生活动】紧扣定义，对每个代数式进行分析．
【设计意图】巩固学生对单项式的概念的理解．
【思考】判定单项式时，需要注意什么？
【师生活动】学生根据解题过程，结合前面的新知进行总结．
【设计意图】巩固对单项式的概念的理解，加深认识．
【例2】用单项式填空，并指出它们的系数和次数．
（1）若三角形的一条边长为a，这条边上的高为h，则这个三角形的面积为_____．
（2）一个长方体包装盒的长、宽、高分别为x cm，y cm，z cm，则这个长方体包装盒的体积为_____ cm3．
（3）有理数n的相反数是_____．
（4）《北京2022年冬奥会——冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票．邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚（2套），如图所示．某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了m张这种版式的邮票作为奖品，共花费_____元．
（5）《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为，有五种通用尺度（即尺寸规格）．若一种尺度的国旗的长为a cm，则这种尺度的国旗旗面的面积为_____ cm2．
【答案】解：（1）ah，它的系数是，次数是2．
（2）xyz，它的系数是1，次数是3．
（3）－n，它的系数是－1，次数是1．
（4）12m，它的系数是12，次数是1．
（5），它的系数是，次数是2．
【师生活动】学生单独写出单项式，再小组讨论确定单项式的系数和次数．
【设计意图】让学生熟悉用单项式表示数量关系，并复习巩固单项式的系数与次数的概念．
【思考】怎样确定一个单项式的系数和次数呢？
【师生活动】学生总结，教师进行完善补充．
【设计意图】准确地掌握确定单项式的系数和次数的技巧，正确答题．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第91页练习1～2题．
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4.1　整式（第2课时）
1．理解多项式、多项式的项及其次数以及整式的概念．
2．能确定一个多项式的项和次数，会用多项式表示简单的数量关系．
理解整式及多项式的有关概念，会用多项式表示实际问题中的数量关系．
准确确定多项式的项及次数．
新课导入
填空：
1．买一个书包需要x元，买一支铅笔需要y元，买一个本子需要z元，买1个书包、2支铅笔、2个本子共需要(x＋2y＋2z)元．
2．若三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的周长是 a＋b＋c ．
3．如下图，长方形的宽为a，长为b，圆的半径为r，则阴影部分的面积是 ab－πr ．
新知探究
一、探究学习
【问题】思考：列出的这些式子有什么共同特点？与单项式有什么联系？
x＋2y＋2z， a＋b＋c， ab－πr ．
【师生活动】学生先独立分析所写出的三个式子，尽自己努力找到它们的共同特点，师生再共同进行总结．
【设计意图】通过自主探究，让学生更深刻地理解多项式和单项式之间的关系．
二、新知精讲
【新知】多项式的定义
几个单项式的和叫作多项式．
【师生活动】学生复述这一定义．
【设计意图】通过重复记忆，让学生进一步加深对多项式的定义的理解．
【新知】多项式的相关概念
x2－2x＋18
多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项．
多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
【师生活动】结合实例，让学生认识多项式的项和次数．
【设计意图】为后面确定多项式的项和次数做好铺垫．
【问题】多项式的次数与单项式的次数有什么区别？
【师生活动】引导学生结合定义做出回答．
【设计意图】通过对问题的解答，使学生理解多项式和单项式的次数之间的联系和区别．
【思考】展示单项式与多项式的动图，想一想单项式和多项式有什么关系．
【思考】多项式是几个单项式的和，那么多项式与单项式有统称吗？
【新知】整式的概念
单项式与多项式统称整式．
【思考】单项式、多项式、整式之间有什么关系？
【师生活动】对三者的定义进行区分，明确它们之间的关系．
【设计意图】巩固并加深学生对概念的理解．
三、典例精讲
【例1】请指出下列式子中的多项式：
（1）xy3－5x＋3； （2）； （3）； （4）－7．
【答案】解：根据“多项式是几个单项式的和”进行判断即可．
（1）xy3－5x＋3可看成单项式xy3，－5x，3的和，是多项式；
（2）可看成单项式，的和，是多项式；
（3）的分母中含有字母，显然不符合题意；
（4）－7是单项式．
所以，（1）（2）是多项式．
【师生活动】学生回答，老师点评．
【设计意图】巩固学生对多项式的概念的理解和掌握．
【例2】指出下列多项式的项与次数：
（1）a3－a2b＋ab2－b3； （2）3n4－2n2＋1．
【答案】解：（1）多项式a3－a2b＋ab2－b3的项有a3，－a2b，ab2，－b3，次数是3．
（2）多项式3n4－2n2＋1的项有3n4，－2n2，1，次数是4．
【师生活动】学生独立解决，组内探讨答案是否正确．
【设计意图】让学生熟练找出多项式的项和次数．
【例3】用多项式填空，并指出它们的项和次数．
（1）一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为_______．
（2）m为一个有理数，m的立方与2的差为_______．
（3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆．第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为_______．
（4）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为_______．
【答案】解：（1）2a＋2b，它的项分别为2a，2b，次数是1．
（2）m3的项分别为，－2，次数是3．
（3）2a－12b，它的项分别为2a，－12b，次数是1．
（4）18＋4ab，它的项分别为18，4ab，次数是2．
【师生活动】学生独立解答，教师进行指导.
【设计意图】巩固学生对多项式的项和次数的概念的理解和掌握．
【变式】如图，用式子表示圆环的面积．当R＝15 cm，r＝10 cm时，求圆环的面积（π取3.14）．
【答案】解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，所以圆环的面积是πR2－πr2．
当R＝15 cm，r＝10 cm时，
圆环的面积（单位：cm2）是πR2－πr2＝3.14×152－3.14×102＝392.5．
这个圆环的面积是392.5 cm2．
【师生活动】先用式子表示出圆环面积，再把数值代入求解．
【设计意图】掌握用多项式表示数量关系的方法，并能对多项式进行求值．
【拓展】自然数被3整除的规律
在小学，我们知道像12，27，36，45，108，这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？
先来看两位数的情形．
若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为于是
＝10a＋b＝9a＋（a＋b）．
显然9a能被3整除，因此，如果ab能被3整除，那么9a（ab）就能被3整除，即能被3整除．
请你用类似的方法表示三位数、四位数，并说明前面结论的道理．你还可以继续研究五位数、六位数等情形吗？
【答案】解：若一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则通常记这个三位数为．于是＋10b＋c＝99a＋9b＋(a＋b＋c）．
显然99a，9b能被3整除，因此，如果a＋b＋c能被3整除，那么99a＋9b＋(a＋b＋c）就能被3整除，即能被3整除．
若一个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，则通常记这个四位数为．于是＋10c＋d＝999a＋99b＋9c＋(a＋b＋c＋d）．
显然999a，99b，9c能被3整除，因此，如果a＋b＋c＋d能被3整除，那么＝999a＋99b＋9c＋(a＋b＋c＋d）就能被3整除，即能被3整除．
所以，如果一个自然数所有数位上的数字之和是3的倍数，那么原数就是3的倍数，由此可以拓展到所有自然数．
【师生活动】先类推出表示三位数、四位数的数量关系的多项式，再根据式子总结规律．
【设计意图】掌握用多项式表示数量关系的方法．
课堂小结
课后任务
完成教材第93页练习1～3题．
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