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青岛版八年级数学上册课件
第1章 几何证明初步
1.2第4课时 三角形内角和定理（1）
情 境 导 入
证明命题的一般步骤:
(1)根据题意,画出图形；
(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
(3)在“证明”中写出推理过程.
依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善.
复习导入
新 课 探 究
A
B
C
对于三角形，我们已经有哪些认识？
定义
分类
内角和
外角和
……
探究一
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新课探究
情境导入
课堂小结
1
1
2
A
B
D
2
3
C
1
2
将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。
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新课探究
情境导入
课堂小结
三角形的三个内角的和等于180°.
例1、求证：
A
B
C
已知：
求证：
如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
∠A+∠B+∠C=180°
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新课探究
情境导入
课堂小结
已知：如图， △ABC.
求证：
∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°
A
B
C
1
2
D
E
证明: 作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则
∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）
∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）
∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180°
∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ＡＣＢ＝180°
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新课探究
情境导入
课堂小结
在证明三角形内角和时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC，（如图）。他的想法可行吗？
A
B
C
E
D
证明：过点A作DE∥BC.则
∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）
∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE
＝∠DAE＝180 （平角的定义）
你还有其他的证明方法么？
辅助线
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新课探究
情境导入
课堂小结
A
B
C
E
图1
E
A
B
C
D
F
图2
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新课探究
情境导入
课堂小结
关于辅助线：
3、添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.
2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.
1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）
归纳
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新课探究
情境导入
课堂小结
三角形内角和定理
(1)三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.
∠A+∠B+∠C=180°的几种变形:
∠A=180° –(∠B+∠C).
∠B=180° –(∠A+∠C).
∠C=180° –(∠A+∠B).
∠A+∠B=180°-∠C.
∠B+∠C=180°-∠A.
∠A+∠C=180°-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
A
B
C
(2)△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.
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新课探究
情境导入
课堂小结
探究二：三角形的一个外角与它不相邻的内角之间有什么关系？
A
B
C
D
E
图一
从图一及三角形内角和定理
推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
由∠ACE=∠A,
∠ECD=∠B,可知
∠ACD=∠A+∠B;
∠ACD＞∠A,
∠ACD＞∠B;
推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
由基本事实或定理直接推出的真命题叫做推论
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新课探究
情境导入
课堂小结
课堂检测
1、△A B C中， ∠B=45° ∠C=72°, 那么与∠A相邻的一个外角等于＿＿。
2、在△A B C中， ∠B=40° ∠C=60°，AD是∠A的平分线，则∠ADC=＿＿。
3、如图：已知点E在DC上，点B在AD的延长线上。
求证： ∠1＞∠A
B
2
1
A
C
D
E
课 堂 小 结
1.三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°
推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和。
推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任 意一个内角。
2.利用推理，不仅能证明一个命题是真命题，并且能用已证实的命题推出一些新的真命题。
完成课后对应的习题
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第1章 几何证明初步
1.2第2课时什么是几何证明
情 境 导 入
“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，这是对顶角的性质，你能证明它的正确性吗？
新 课 探 究
命题有真命题与假命题之分
基本事实有什么作用呢？
有一些命题是
人们经过长期实践后而公认为正确的命题叫基本事实
基本事实可以作为证实其它真命题的依据。
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新课探究
情境导入
课堂小结
1.两点确定一条直线.
2.两点之间，线段最短
3.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直.
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等,那么两直线平行.
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8.三边分别相等的两个三角形全等.
本套教材选用如下命题作为基本事实 :
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新课探究
情境导入
课堂小结
等式的基本性质和将来要学的不等式的基本性质；另外，在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来替换.例如:如果a=b,b=c;那么a=c,这一性质也看作基本事实,称为“等量代换”.
其他基本事实
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新课探究
情境导入
课堂小结
如何证明一个命题是真命题呢？
能不能根据已经知道的真命题证实呢
那已经知道的真命题又是如何证实的 .
除基本事实外，命题的真实性都必须经过证明。推理的过程叫做证明
基本事实
通过推理得到证实的真命题叫做定理
想一想
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新课探究
情境导入
课堂小结
已知：如图，∠AOC与∠BOD是对顶角，
求证：∠AOC=∠BOD
O
A
C
B
D
“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，这是对顶角的性质，你能证明它的正确性吗？
你能找出条件和结论吗？并转化为图形语言和符号语言。
证明：∵∠AOC与∠BOD是对顶角（ ）
∴∠AOC+∠AOD=180°，
∠AOD+∠BOD=180°（ ）
∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD（ ）
∴∠AOC=∠BOD（ ）
探究
已知
平角的定义
等量代换
等式的基本性质
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新课探究
情境导入
课堂小结
∵∠1与∠α互余
∴∠1+∠α=90°
∴∠1=90°-∠α
∵∠2与∠α互余
∴∠2+∠α=90°
∴∠2=90°-∠α
∴∠1=∠2
（ ）
（已知）
证明：
（余角的定义）
等量代换
（已知）
（等式的基本性质）
（余角的定义）
（等式的基本性质）
例1 求证：同角的余角相等。
1
2
α
已知：如图，∠1与∠α互余，∠2与∠α互余
求证：∠1=∠2
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新课探究
情境导入
课堂小结
通过证明以上两个定理，你认为几何证明的步骤应分哪几步？在书写格式上应注意哪些问题？
根据题意，画出图形。
结合图形，写出已知、求证。
写出证明过程。
1.图形中要标出必要的字母和符号。
2.已知、求证要用符号语言。
3.证明的每一步都要有依据。
探究
步骤
注意事项
新课探究
情境导入
课堂小结
1.有关基本事实、定理的说法：（1）基本事实是命题； （2）定理是由基本事实、定义、已知条件或已经证明的 真命题推出的；（3）真命题是基本事实；（4）命题是被证明的正确的基本事实；（5）定理不一定是由基本事实推出的。其中正确的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图,点B是△ADC的边AD的延长线上
的一点,DE∥AC,若∠C=50°, ∠BDE=60°,
则∠CDB=（ ）
A.70° B.100° C.110° D.120°
课堂检测
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新课探究
情境导入
课堂小结
4.如图，若∠1+∠2=180°，则a∥b.用推理的方法说明它是一个真命题.
a
b
⌒
⌒
1
2
3.如图，直线PQ∥MN,C是MN上的一点，CE交PQ于A,CF交PQ于B,且∠ECF=90°，如果∠FBQ=50°，则∠ECM的度数为( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
课 堂 小 结
一个命题是否正确，需要经过理由充足，使人信服的推理论证才能得出结论，这样的推理过程叫做“证明”。观察、试验等是发现规律的重要途径，而证明则是确认规律的必要步骤。
完成课后对应的习题
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青岛版八年级数学上册课件
第1章 几何证明初步
1.2第1课时为什么要证明
情 境 导 入
1.2为什么要证明
过去我们利用观察、实验、归纳和类比等方法发现了不少数学命题、规律和结论，你能举出类似的例子吗？与同学交流。
思考：得到的结论一定正确吗？
情 境 导 入
是静还是动？
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情境导入
新课探究
课堂小结
这不是螺旋，而是一些同心圆。
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情境导入
新课探究
课堂小结
能看到很多同心圆吗~~其实里面没有~~
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情境导入
新课探究
课堂小结
线段AB和CD长度完全相等,虽然它们看起来相差很大!
新 课 探 究
“直观”可靠吗
直观是重要的,但它有时也会骗人.观察下列图形,回答问题:
a
b
c
d
a
b
a
b
线段a,b相等吗
线段d与哪条线段在同一条直线上
线段a,b相等吗
结论：由观察得到的结论，不一定正确.
探究一
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新课探究
情境导入
课堂小结
（2）数数游戏，从1,2,3， …一直数到100,1000，或是一些更大的数，可是你想过吗，若按1分钟数100个数字的速度，从1,2,3，…依次往下数，数到10000要用多少时间？凭自己的经验，猜一猜，你用几个小时就能数完？
探究二
结论：只凭经验总结出来的结论，也不一定正确.
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新课探究
情境导入
课堂小结
解: 小亮的结论错误.
当n=6时
n2+3n+1
=36+18+1
=55
∵55为合数
∴当n为正整数时， n2+3n+1的值一定是质数错误.
（3）小亮通过计算发现，当n=1,2,3,4,5时，代数式n2+3n+1 的值都是质数。于是他就说，当n为正整数时， n2+3n+1 的值一定是质数。小亮的结论正确吗？
结论：只对部分对象进行研究归纳出的一般结论，不一定正确。
探究三
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新课探究
情境导入
课堂小结
（4）由“两个正数相加，和大于每一个加数”类比得到“两个有理数相加，和大于每一个加数”，结论对吗？
探究四
结论：通过类比得到的结论，也不一定正确。
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新课探究
情境导入
课堂小结
课堂检测
1.观察图（1）（2）（3），答下列问题：
（1）图（1）中的直线a，b平行吗？检验一下。
（2）图（2）中圆A与圆B相等吗？检验一下。
（3）图（3）中的黑色曲线是圆吗？检验一下。
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新课探究
情境导入
课堂小结
2、我们都知道，周长相等的两个圆全等，周长相等的两个正方形全等，那么周长相等的两个三角形全等吗？
3、小亮从 归纳出“任何一个正整数都大于它的倒数”小亮的结论对吗？
4、小亮从（a+b)2 = a2+2ab+b2 联想到（a+b）3 = a3+3ab+b3,他的结论正确吗？
课 堂 小 结
1.2为什么要证明
1、实验、观察、归纳得到的结论不一定正确.因此，要判断一个结论是否正确，仅靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.
2、检验一个数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例、推理.
完成课后对应的习题
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青岛版八年级数学上册课件
第1章 几何证明初步
1.2第5课时 三角形内角和定理（2）
情 境 导 入
1.三角形内角和定理是什么？
2.三角形内角和定理的推论是什么？
3.什么是互余？同角或等角的余角大小？
4.几何命题的证明步骤有哪些？
复习导入
新 课 探 究
（1）取一副三角尺，你能说出每个三角尺中的两个锐角的度数吗？同一个三角尺的两个锐角的和是多少度？
探究一
（2）任意画一个Rt△ABC,∠C=90°，它的两个锐角
∠A与∠B之间有什么数量关系？怎样证明你的结论？
A
B
C
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新课探究
情境导入
课堂小结
证明：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理）
∠C= 90゜（已知）
∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换）
∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜
（等式的基本性质）
即∠A+∠B=90゜
A
B
C
已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜
求证：∠A＋∠B＝90 ゜
直角三角形的性质定理：
直角三角形的两个锐角互余
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新课探究
情境导入
课堂小结
性质定理的逆命题是？它是真命题吗？
探究二
直角三角形的判定定理
两个锐角互余的三角形是直角三角形
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新课探究
情境导入
课堂小结
例1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D
求证：∠1=∠B
证明：在Rt△ABC中
∵∠ACB=90°（已知）
∴∠B+∠A=90°（直角三角形的两个锐角互余）
在△ADC中
∵CD⊥AB（已知）
∴∠ADC=90°（垂直的定义）
∴△ADC是直角三角形（直角三角形的定义）
∴∠1+∠A=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∴∠1=∠B（同角的余角相等）
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新课探究
情境导入
课堂小结
如图，已知△ABC中，已知∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数。
A
B D E C
课堂检测
课 堂 小 结
1、直角三角形性质定理：直角三角形的两个锐角互余
2、直角三角形判定定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形
完成课后对应的习题
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第1章 几何证明初步
1.2第3课时平行线的性质定理和判定定理
情 境 导 入
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
基本事实
平行线的性质定理1：
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
注：性质定理1，现阶段不用证明，直接作为结论应用于各种证明问题中。
新 课 探 究
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
1.指出定理的条件和结论，并画出图形，结合图形写出已知、求证．
2. 说说你的证明思路,试着写出证明过程.
平行线的性质定理2：
探究一
新课探究
情境导入
课堂小结
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线EF所截,∠1和∠2是内错角.
求证: ∠1 =∠2.
F
A
B
D
C
E
3
2
1
证明: ∵AB∥CD(已知),
∴∠1 =∠3 (两条平行直线被第三条直
线所截，同位角相等).
∵ ∠2 =∠3(对顶角相等),
∴ ∠1 =∠2(等量代换).
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新课探究
情境导入
课堂小结
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线EF所截,∠1和∠2是同旁内角.
求证: ∠1 +∠2 =180°.
2
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
平行线的性质定理3:
A
B
D
C
E
3
1
F
试一试
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新课探究
情境导入
课堂小结
c
d
a
b
1
2
3
已知：如图，a∥b,c∥d,∠1=73°．
求∠2和∠3的度数．
解：∵a ∥b(已知)
∴∠2=∠1（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=73° （已知）
∴∠2=73°（等量代换）
∵a ∥b （已知）
∴∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠3=180°－∠ 2 （等式的基本性质）
∴∠3=180°－73 °=107 °（等量代换）
跟踪练习
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新课探究
情境导入
课堂小结
平行线判定定理1: 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.(简记为:内错角相等,两直线平行)
请说出这个定理的条件和结论
尝试画出图形,写出已知与求证.
探究二
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新课探究
情境导入
课堂小结
已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.
求证:a∥b.
证明:∵ ∠1=∠2 (已知),
借助“同位角相等,两直线平行”这一公理,你还能证明哪些熟悉的结论
把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项内化为一种方法.
∠1=∠3 (对顶角相等).
∴∠2=∠3 (等量代换).
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
a
b
c
1
3
2
新课探究
情境导入
课堂小结
平行线的判定
基本事实:
同位角相等,两直线平行.
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
判定定理1:
内错角相等,两直线平行.
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
几何语言
判定定理2:
同旁内角互补,两直线平行.
∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
这里的结论,以后可以直接运用.
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新课探究
情境导入
课堂小结
条件 结论
平行判定公理定理 基本事实 同位角相等 两直线平行
定理一 内错角相等 两直线平行
定理二 同旁内角互补 两直线平行
平行性质公理定理 定理一 两直线平行 同位角相等
定理二 两直线平行 内错角相等
定理三 两直线平行 同旁内角互补
探究二
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新课探究
情境导入
课堂小结
如果两个角是直角, 那么这两个角相等.
如果两个角相等, 那么这两个角是直角.
如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等.
如果两个三角形对应边相等,那么这两个三角形全等.
结论
条件
如果a,b互为相反数，那么a+b=0.
如果a+b=0，那么a,b互为相反数．
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新课探究
情境导入
课堂小结
把一个命题的条件和结论交换后,就构成了一个新的命题.如果把原来的命题叫做原命题,那么这个新的命题就叫做原命题的逆命题.
一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题
内错角相等,两直线平行.
两直线平行,内错角相等.
互逆定理
归纳
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新课探究
情境导入
课堂小结
你能说出下列命题的逆命题吗？它们的逆命题是真命题还是假命题？
（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
（2）对顶角相等。
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
注：先确定命题的条件和结论，然后再确定逆命题。
试一试
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新课探究
情境导入
课堂小结
课堂检测
1.如图，直线a ∥b,直线c与a,b相交， ∠1＝65°，则∠2＝（ ）.
A. 115° B. 65° C. 35° D. 25°
a
b
2
1
c
3
B
C
A
B
D
E
2.已知：如图，DE ∥BC， ∠ADE=55 °， ∠C=54 °，求∠B和∠DEC的度数
课 堂 小 结
原命题，逆命题，互逆命题，互逆定理
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做逆命题；如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是元定理的逆定理。
完成课后对应的习题
THANK YOU
