深圳外国语学校高中园 2026届高三年级第一次调研考试
数 学 答 案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B C C D A BC BD
题号 11
答案 ACD
8 5 1
12． 13 ．54 14． ,
9 3e3 e
15．(1)b 2， c 4
40
(2)最大值为 ，最小值为 33
27
【详解】（1）因为 f x x3 bx2 cx，所以 f x 3x2 2bx c，
因为 f x 在 x 2处取得极值 8，
f 2 0 12 4b c 0
所以 ，所以 ，
f 2 8 8 4b 2c 8
b 2
解得 ，经检验，符合题意，
c 4
所以 b 2， c 4； ………… 6分
3 2 2
（2）由（1）知 f x x 2x 4x，所以 f x 3x 4x 4 3x 2 x 2 ，
令 f x 0 2，得 x 或 x 2，
3
当 x 3, 2 时， f x 0，函数 f x 单调递减，
x 当 2,
2
时， f x 0，函数 f x 单调递增，
3
2
当 x ,3 时， f x 0，函数 f x 单调递减， 3
2 40
所以函数 f x 的极小值为 f 2 8，极大值为 f ，
3 27
又 f 3 3， f 3 33，
40
所以函数 f x 在区间 3,3 上的最大值为 ，最小值为 33 .………… 13分
27
16 1 sinC sin
2C
．（ ）由条件及正弦定理得 ，
sin B cosC cos B 2cos 2A
整理得 sinC sin B cosC cos B 2cos2 A，所以 cos(B C) 2cos 2 A ．
所以 cos(π A) 2cos2 A，即 cos A 2cos2 A．
1 π
又 A为锐角， cos A 0．所以 cos A ，故 A ． ………… 7分
2 3
2
（2）在 ACD中由余弦定理得CD2 AC2 AD2 2AC AD cos A，即 a2
c bc
b2 ①
4 2
在VABC中由余弦定理得 a2 b2 c2 bc②
3
由①②消去 a，得3c2 2bc，即b c．2
因为b c 10，所以b 6,c 4，
S 1所以 △ABC bc sinA
1 6 3 4 6 3 ． ………… 15分
2 2 2
17．（1）由表可知 300名调查者中愿意购买纯电动版人数为 180 180 3人，频率为 ，
300 5
3
用频率估计概率，从顾客中随机抽取 1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为 ； ……2分
5
60 1
（2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计 ，
60 60 2
60 3
从全市高收入群体中随机抽取 1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率 ，
60 20 4
由题意 X 的可能取值为 0，1，2，3，4
2 2
P X 0 1 1 1 3 1 ，
2 4 64
2
P X 1 C1 1 1 3
2 2
C1 1 1 3 3 12 2
，
2 4 2 4 4 8
2
P X 2 1 1 3
2 2
C 1 1 C 1 1 3 3 1
2 3 2
11
2 4 2 2 2 4 4 2 4
．
32
2 2 2
P X 3 1 3 3 1 3 3 C1 1 C1 2 2 2 4 4 2 4 8
2 2
P X 4 1 3 9
2 4 64
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
1 1 11 3 9
P
64 8 32 8 64
E X 0 1 1 11 3 9 5 1 2 3 4 ． ………… 10分
64 8 32 8 64 2
70 7
（3）低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为 ；
100 10
70 7
中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为 ；
120 12
40 1
高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为 ．
80 2
p 3 7 1 7 1 1 191 3利用全概率公式可得： A p ． ………… 15分5 10 5 12 5 2 300 5
18．（1）因为函数 f x 、 g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f x g x 2 3x①.
则 f x g x 2 3 x，即 f x g x 2 3 x②，故得证.
f x 3x 3 x g x 3x 3 x联立①②可得 ， . ………… 4分
2 g x 3x 3 x（ ）函数 为R 上的增函数，证明如下：
x x x x
任取 x1 x2，由 g x1 g x2 3 1 3 1 3 2 3 2
3x13x 3
x2 1
1 3x2 x1 x2
3x1 x
3 3 1 x x ，2 3 1 2
因 x x ，则3x
1
1 3x21 2 ，且1 3x
0，故得 g x g x ，
1 x2 1 2
即函数 g x 3x 3 x为R 上的增函数.
由 g x2 4x g x 6 0得 g x2 4x g x 6 g 6 x ，
所以 x2 4x 6 x，即 x2 5x 6 0，解得 x 6或 x 1，
故所求不等式的解集为 , 6 1, . ………… 9分
x
3 p x 3 2 3
x 2 4 4
（ ）因为 x x 1 ，易得函数 p xx 在R 上单调递增，3 2 3 2 3 2
当 x 时， p x 1，故 p x 1；
又因为 h x f 2x 2g x 2m 3 32x 3 2x 2 3x 3 x 2m 3
2
3x 3 x 2 3x 3 x 2m 1，
令 t 3x 3 x 0，即有 h x t t2 2t 2m 1，
而函数 t t 2 2t 2m 1 t 1 2 2m 2，
故当 t 1时， t 2m 2min ，即 h x 2m 2min .
因为对于 x1 R ， x2 0, ，使得 p x1 h x2 .
1
故需使 2m 2 1解得m .
2
因此，实数m
1
的取值范围是 , . ………… 17分 2
19 x．（1）当 a 2时， f x 2e sinx 2， f x 2ex cosx，
切线的斜率 k f 0 2 1 1，又 f 0 0，所以切点为 0,0 ，
所以，切线方程为 y x ………… 3分
（2）①. x函数 f x ae sinx a， f x aex cosx，
π π
（ⅰ）当 a 1时，当 x 0, 时，aex 1，cosx 0,1 ， f x 0，则 y f x 在2 0, 上单调递增，没 2
有极值点，不合题意，舍去；
π π
（ⅱ）当0 a 1 x时，设 x ae cosx x aex sinx 0 0, ，则 在 上恒成立，所以 x 在 0, 上
2 2
f x 0, π 递增，即 在 上递增，
2
π πf 0 π a 1 0 f 又 ， ae2 0，所以 f x 在 0, 上有唯一零点x ，
2 2 1
当 x 0, x1 时， f x 0，函数 f x 单调递减；
当 x
x1,
π
时， f x 0，函数 f x 单调递增，
2
π
所以函数 y f x 在区间 0, 内有唯一极值点，符合题意，
2
综上， a的取值范围是 0,1 ． ………… 10分
π x
②.由①知0 a 1，当 x , π 时， f x ae cosx 0， 2
当 x 0, x1 时， f x 0，函数 f x 单调递减；
当 x x1, π 时， f x 0，函数 f x 单调递增；
所以 x 0, x1 时， f x f 0 0，则 f x1 0，
f π aeπ又因为 a a eπ 1 0，所以 f x 在 x1, π 上有唯一零点 x0，
即 f x 在 0, π 上有唯一零点 x0．
2x
因为 f 2x 11 ae sin2x1 a，
由①知 f x 0 x，所以ae 11 cosx1，
则 f 2x ae2x1 sin2x a ex1cosx cosx 2sinx 11 1 1 1cosx1 ex1
1 π
cosx 1 e
x1 2sinx1
x x ， 1 0,
e 1 2
设 h x ex 2sinx e x x 0, π ， 2 ，
则 h x ex 2cosx e x，
ex e x 2， 2cosx 2 h x ex e x，所以 2cosx 0
h x π 在 0, 为单调递增，又h 0 0，所以 h x 0，
2
又 x 0,
π
时， cos x1 0，所以 f 2x1 cosx
1 e
x1 2sinx 1 1 x 0． 2 e 1
所以 f 2x1 f x0 0．
由前面讨论知 x1 2x1 π， x1 x0 π， f x 在 x1, π 单调递增，
所以 x0 2x1． ………… 17分试卷类型：A
深圳外国语学校高中园 2026届高三年级第一次调研考试
数 学
本试卷共 4页，19题，满分 150分，考试用时 120分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔将试卷类型（A）
填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答再试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如
需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 A x 3 x 7 ， B x 2 x 10 ，则 A B （ ）
A． 2,7 B． 2,10 C． 3,7 D． 3,10
2．样本数据 2，6，5，13，4，8的第 60百分位数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．13
3．“ x 2,1 ， x2 2a 0 ”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a 0 B． a 3
C． a 2 D．a 1
4．要得到 y lg x 1的图象，只需将函数 y lg x的图象上所有点的横坐标（ ）
1
A．缩小到原来的 倍（纵坐标不变） B．扩大到原来的 10倍（纵坐标不变）
10
C．向左移动 1个单位（纵坐标不变） D．向右移动 1个单位（纵坐标不变）
1 n5 ． x n N* 的展开式中二项式系数的和为 64，则展开式中的常数项为（ ）
x
A．8 B．12 C．15 D． 20
试卷第 1页，共 4页
6．已知函数 f x sinx 3cosx ，如图所示的函数曲线所对应的函数
解析式可以为（ ）
1 2π 1 π
A． y f x B． y f2 3
x
2 3
2π π
C． y f 2x D． y f 2x
3 3
7．某学校需要从 3名男生和 2名女生中选出 4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派
2人，且至少有 1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派 1人．则不同的选派方法的种数是（ ）
A．18 B．21 C．36 D．42
sin x x
8．函数 f (x) 2 在[ , ]的图像大致为（ ）cos x x
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．下列图形中可以表示以M {x∣0 x 1}为定义域， N {y∣0 y 1}为值域的函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 f x 4cos2 x 2sin2 x，则（ ）
A． f x 3cos2x B． f x 为偶函数
π π π π 1
C． f x 在 ,6 3 上单调递增 D． f x 在 , 上的值域为 , 4 6 3 2
11．已知函数 f (x) ax 2 ex x 2，则（ ）
A．当 a 0， x1 x2时， f x1 f x2 x2 x1
B．当 a 1时， f (x)有最值
C．当 2 a 1时， f (x)为减函数
D．当 f (x) 0仅有一个整数解时，a 0,1
试卷第 2页，共 4页
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
2 sin cos
12．在平面直角坐标系 xOy中，角 以Ox为始边，终边过点 P( 2,4)，则 ．
2sin2 cos2
1 3
13．已知3m 2n k，且 1，则 k .
n m
14 x．已知函数 f x m x 1 e x2 1 x 在 x ,3 上有两个极值点，则实数 m的取值范围是 ．
e
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 3 2．（本小题满分 13分）已知函数 f x x bx cx在 x 2处取得极值 8 .
(1)求实数b， c的值；
(2)求函数 f x 在区间 3,3 上的最大值和最小值．
2
16．（本小题满分15 c sin C分）在VABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，且 ．
b cosC cosB 2cos 2A
(1)求 A；
(2)设 D为 AB的中点，若CD BC，且b c 10，求VABC的面积．
17．（本小题满分 15分）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某
市随机调查了 300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）．
低收入群体（ 20万/ 中收入群体（20万/年-50 高收入群体（ 50万/
车型
年） 万/年） 年）
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
EV 70 30 70 50 40 40
PHEV 20 80 60 60 60 20
假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率．
试卷第 3页，共 4页
(1)从该市全体消费者中随机抽取 1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率 p；
(2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取 2人，记 X 为这 4人中愿意购买插电混动版（PHEV）
的人数，求 X 的分布列和数学期望 E X ；
(3)假设该市C社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为3:1:1，从C社区的全体消费者中随机
抽取 1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为 p pA，试比较 pA与 的大小．
18．（本小题满分 17分）已知函数 f x 、g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f x g x 2 3x .
(1) x证明： f x g x 2 3 ，并求函数 f x 、 g x 的解析式；
(2) 2直接说明函数 g x 的单调性，并解关于 x不等式： g x 4x g x 6 0；
x
(3) 3 2设 p x ，h x f 2x 2g x 2m 3，对于 x1 R ， x2 0, x ，使得 p x1 h x2 ，求实3 2
数m的取值范围.
19 x．（本小题满分 17分）已知函数 f x ae sinx a．（注： e 2.718281 是自然对数的底数）．
(1)当a 2时，求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
π
(2)当 a 0时，函数 f x 在区间 0, 内有唯一的极值点2 x1 ．x 2
①求实数 a的取值范围；
②求证： f x 在区间 0, π 内有唯一的零点 x0，且 x0 2x1．
试卷第 4页，共 4页
