1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步练习（含答案）2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
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| 名称 | 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步练习（含答案）2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 115.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-23 10:21:03 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第一章 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
一、单项选择题
1.在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线的一个方向向量为，且直线过和两点，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4.已知，分别是直线，的一个方向向量，若，则（ ）
A. B. C. 18 D. 21
5.已知，，为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ）
A. 5 B. -5 C. 3 D. -3
6.已知平面的法向量为，若，直线平面，则直线的方向向量的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题
7.已知，，在平面内，则平面的法向量可以是（ ）
A. B. C. D.
8.若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
9.若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三、填空题
10.已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则______.
11.如图，四棱柱为正方体。
①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为；③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为。
则上述结论中正确的是______（填序号）
12.如图，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则______.
四、解答题
13.如图，正四棱柱的底面边长为2，为棱的中点，，且四棱锥的体积为。
（1）求棱的长；
（2）证明：平面平面。
14.如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，，，分别是棱，，的中点。求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面。
15.如图，已知正方体中，为棱上的动点。
（1）求证：；
（2）若平面平面，求证：为的中点。
一、单项选择题
1.答案：A
解析：先求平面内两个不共线向量：
，；
设法向量，则；
令，解得，，即，故平面的一个法向量为。
2.答案：A
解析：直线的方向向量，且；
，由共线向量比例关系：
，解得，；
故。
3.答案：B
解析：的充要条件是直线方向向量与平面法向量垂直，即；
代入得：，即；
解得。
4.答案：B
解析：的充要条件是方向向量，即；
解得，；
故。
5.答案：B
解析：的充要条件是法向量，设；
对比系数：，解得，，；
故。
6.答案：D
解析：直线的充要条件是其方向向量与平面任意法向量垂直，即对成立；
代入选项D：，满足对任意恒成立；
其他选项均无法满足“对任意恒垂直”，故选择D。
二、多项选择题
7.答案：BC
解析：平面内向量，；
设法向量，则；
令得，令得，故符合条件的法向量为和。
8.答案：ABD
解析：
A选项：则，即，解得（正确）；
B选项：则，即，解得（正确）；
C选项：时，，，故或，（错误）；
D选项：时，，故（正确）。
9.答案：ACD
解析：面面平行则法向量共线（存在使）：
A选项：（共线，正确）；
B选项：不存在使（不共线，错误）；
C选项：（共线，正确）；
D选项：（共线，正确）。
三、填空题
10.答案：3
解析：平面过原点和，故在平面内；
平面法向量，则；
代入得：，即，解得。
11.答案：①②③
解析：
①正方体中沿轴方向，方向向量为（正确）；
②，故方向向量为（正确）；
③平面内向量，，法向量为或（正确）；
④平面的法向量应为（而非，错误）。
12.答案：
解析：建立空间直角坐标系：，，，，，设（）；
，平面的法向量（由，求得）；
由得，即（恒成立），且需，结合体积或共面条件得，故。
四、解答题
13.解：（1）设，由得，；
四棱锥的底面为梯形，面积；
高为到平面的距离（即，因是中点，）；
体积，由题意，解得，即。
（2）证明：
建立坐标系：，，，，，；
平面的法向量：由，，得；
平面的法向量：由，，得；
因，故两平面法向量垂直，即平面平面。
14.证明:
（1）建立坐标系：，，，，，，，；
，平面的法向量（由，求得）；
，证明可由平面内向量表示，最终得平面。
（2）平面内向量，；
平面内向量，；
因，，且两向量不共线，故平面平面。
15.证明:
（1）建立坐标系：，，，设（）；
，；
因，故。
（2）平面的法向量（由，求得）；
平面的法向量（由，求得）；
由平面垂直得，即，解得，故为的中点。
第一章 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
一、单项选择题
1.在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线的一个方向向量为，且直线过和两点，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4.已知，分别是直线，的一个方向向量，若，则（ ）
A. B. C. 18 D. 21
5.已知，，为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ）
A. 5 B. -5 C. 3 D. -3
6.已知平面的法向量为，若，直线平面，则直线的方向向量的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题
7.已知，，在平面内，则平面的法向量可以是（ ）
A. B. C. D.
8.若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
9.若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三、填空题
10.已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则______.
11.如图，四棱柱为正方体。
①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为；③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为。
则上述结论中正确的是______（填序号）
12.如图，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则______.
四、解答题
13.如图，正四棱柱的底面边长为2，为棱的中点，，且四棱锥的体积为。
（1）求棱的长；
（2）证明：平面平面。
14.如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，，，分别是棱，，的中点。求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面。
15.如图，已知正方体中，为棱上的动点。
（1）求证：；
（2）若平面平面，求证：为的中点。
一、单项选择题
1.答案：A
解析：先求平面内两个不共线向量：
，；
设法向量，则；
令，解得，，即，故平面的一个法向量为。
2.答案：A
解析：直线的方向向量，且；
，由共线向量比例关系：
，解得，；
故。
3.答案：B
解析：的充要条件是直线方向向量与平面法向量垂直，即；
代入得：，即；
解得。
4.答案：B
解析：的充要条件是方向向量，即；
解得，；
故。
5.答案：B
解析：的充要条件是法向量，设；
对比系数：，解得，，；
故。
6.答案：D
解析：直线的充要条件是其方向向量与平面任意法向量垂直，即对成立；
代入选项D：，满足对任意恒成立；
其他选项均无法满足“对任意恒垂直”，故选择D。
二、多项选择题
7.答案：BC
解析：平面内向量，；
设法向量，则；
令得，令得，故符合条件的法向量为和。
8.答案：ABD
解析：
A选项：则，即，解得（正确）；
B选项：则，即，解得（正确）；
C选项：时，，，故或，（错误）；
D选项：时，，故（正确）。
9.答案：ACD
解析：面面平行则法向量共线（存在使）：
A选项：（共线，正确）；
B选项：不存在使（不共线，错误）；
C选项：（共线，正确）；
D选项：（共线，正确）。
三、填空题
10.答案：3
解析：平面过原点和，故在平面内；
平面法向量，则；
代入得：，即，解得。
11.答案：①②③
解析：
①正方体中沿轴方向，方向向量为（正确）；
②，故方向向量为（正确）；
③平面内向量，，法向量为或（正确）；
④平面的法向量应为（而非，错误）。
12.答案：
解析：建立空间直角坐标系：，，，，，设（）；
，平面的法向量（由，求得）；
由得，即（恒成立），且需，结合体积或共面条件得，故。
四、解答题
13.解：（1）设，由得，；
四棱锥的底面为梯形，面积；
高为到平面的距离（即，因是中点，）；
体积，由题意，解得，即。
（2）证明：
建立坐标系：，，，，，；
平面的法向量：由，，得；
平面的法向量：由，，得；
因，故两平面法向量垂直，即平面平面。
14.证明:
（1）建立坐标系：，，，，，，，；
，平面的法向量（由，求得）；
，证明可由平面内向量表示，最终得平面。
（2）平面内向量，；
平面内向量，；
因，，且两向量不共线，故平面平面。
15.证明:
（1）建立坐标系：，，，设（）；
，；
因，故。
（2）平面的法向量（由，求得）；
平面的法向量（由，求得）；
由平面垂直得，即，解得，故为的中点。