2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 98.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-23 10:49:48 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第一章 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
一、单项选择题
1.空间内有三点，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
2.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A. 10 B. 3 C. D.
3.已知向量，分别是直线的方向向量与平面的法向量，若，则与所成的角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”。在鳖臑中，平面，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.在三棱锥中，平面平面，，，，是的中点，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为，则实数的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. -1或1 D. 2
二、多项选择题
7.将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 与所成的角为 D. 与平面所成的角为
8.在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为
C. 平面与平面的夹角为 D. 直线到平面的距离为
9.在四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题
10.在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面底面，，，记平面与平面的交线为，则直线到直线的距离为______.
11.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为______.
12.如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，是的重心，则异面直线与之间的距离为______.
四、解答题
13.如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。
14.如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，，，，，。
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。
15.如图，在四棱台中，底面是正方形，，平面。
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若棱上有一点使得二面角的余弦值为，求线段的长。
一、单项选择题
1.答案：A
解析：先求向量（，），（）。
点到直线距离公式：。
计算得，，，代入得。
2.答案：D
解析：点到平面距离公式：（在平面内，为法向量）。
（，），，
计算得，，故。
3.答案：B
解析：线面角满足（为直线方向向量，为平面法向量）。
已知，则，故。
4.答案：B
解析：建系：，，，，（为中点）。
，方向向量，
异面直线夹角余弦值：。
5.答案：C
解析：建系：，，，，。
平面法向量，平面法向量，
二面角余弦值：。
6.答案：C
解析：两平面夹角满足（为法向量）。
，，，代入得，解得。
二、多项选择题
7.答案：ABC
解析：建系：（中点），，，，。
A：，，，垂直，正确；
B：，，相等，正确；
C：，，夹角余弦值，夹角，正确；
D：与平面所成角为（非），错误。
8.答案：CD
解析：建系：，，，，，，。
A：，，点积为，夹角，错误；
B：直线与平面所成角为（非），错误；
C：平面法向量，与平面法向量夹角，正确；
D：直线到平面的距离为，正确。
9.答案：AD
解析：建系：，，，。
平面与夹角为，得。
，代入，，
得，即或，正确。
三、填空题
10.答案：
解析：建系：，，，，。
平面（）与交线：，；：，。
两平行线距离为。
11.答案：
解析：建系：，，，，，，。
平面方程：，点到平面距离为。
12.答案：
解析：建系：，，，，。
异面直线（过，）与（过，）距离：
。
四、解答题
13.解：
建系：，，，，，，，。
（1），，
夹角余弦值：。
（2）方向向量，平面法向量，
线面角正弦值：。
14.解：
建系：，，，，，。
（1），，，故，得证。
（2），平面法向量，
线面角正弦值：。
15.解：
建系：，，，，，，，。
（1），平面法向量，
线面角正弦值：。
（2）设，平面法向量，平面法向量，
由，解得，故。
第一章 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
一、单项选择题
1.空间内有三点，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
2.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A. 10 B. 3 C. D.
3.已知向量，分别是直线的方向向量与平面的法向量，若，则与所成的角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”。在鳖臑中，平面，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.在三棱锥中，平面平面，，，，是的中点，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为，则实数的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. -1或1 D. 2
二、多项选择题
7.将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 与所成的角为 D. 与平面所成的角为
8.在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为
C. 平面与平面的夹角为 D. 直线到平面的距离为
9.在四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题
10.在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面底面，，，记平面与平面的交线为，则直线到直线的距离为______.
11.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为______.
12.如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，是的重心，则异面直线与之间的距离为______.
四、解答题
13.如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。
14.如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，，，，，。
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。
15.如图，在四棱台中，底面是正方形，，平面。
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若棱上有一点使得二面角的余弦值为，求线段的长。
一、单项选择题
1.答案：A
解析：先求向量（，），（）。
点到直线距离公式：。
计算得，，，代入得。
2.答案：D
解析：点到平面距离公式：（在平面内，为法向量）。
（，），，
计算得，，故。
3.答案：B
解析：线面角满足（为直线方向向量，为平面法向量）。
已知，则，故。
4.答案：B
解析：建系：，，，，（为中点）。
，方向向量，
异面直线夹角余弦值：。
5.答案：C
解析：建系：，，，，。
平面法向量，平面法向量，
二面角余弦值：。
6.答案：C
解析：两平面夹角满足（为法向量）。
，，，代入得，解得。
二、多项选择题
7.答案：ABC
解析：建系：（中点），，，，。
A：，，，垂直，正确；
B：，，相等，正确；
C：，，夹角余弦值，夹角，正确；
D：与平面所成角为（非），错误。
8.答案：CD
解析：建系：，，，，，，。
A：，，点积为，夹角，错误；
B：直线与平面所成角为（非），错误；
C：平面法向量，与平面法向量夹角，正确；
D：直线到平面的距离为，正确。
9.答案：AD
解析：建系：，，，。
平面与夹角为，得。
，代入，，
得，即或，正确。
三、填空题
10.答案：
解析：建系：，，，，。
平面（）与交线：，；：，。
两平行线距离为。
11.答案：
解析：建系：，，，，，，。
平面方程：，点到平面距离为。
12.答案：
解析：建系：，，，，。
异面直线（过，）与（过，）距离：
。
四、解答题
13.解：
建系：，，，，，，，。
（1），，
夹角余弦值：。
（2）方向向量，平面法向量，
线面角正弦值：。
14.解：
建系：，，，，，。
（1），，，故，得证。
（2），平面法向量，
线面角正弦值：。
15.解：
建系：，，，，，，，。
（1），平面法向量，
线面角正弦值：。
（2）设，平面法向量，平面法向量，
由，解得，故。