5.1认识方程 青岛版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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5.1认识方程青岛版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于的一元一次方程的解为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.下列方程是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
3.若，是有理数，关于的方程有至少两个不同的解，则另一个关于的方程的解的情况是( )
A. 有至少两个不同的解 B. 有无限多个解
C. 只有一个解 D. 无解
4.小学阶段很多数学知识之间有着密切的联系，下面的关系不正确的是( )
A. B.
C. D.
5.下列方程中，是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
6.下面是一个被墨水污染过的方程： ，答案显示方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是( )
A. B. C. D.
7.若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值( )
A. B. 或 C. 或 D. 或或
8.下列各式中，是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
9.若方程的解是，则等于( )
A. B. C. D.
10.已知是方程的解，则的值是( )
A. B. C. D.
11.若关于的方程的解是，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
12.已知关于的方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有个整数解，则满足条件的所有整数的和是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如果方程是关于的一元一次方程，那么 ．
14.若关于的方程的解为，则________．
15.若关于的一元一次方程的解为，则的值为 ．
16.关于的方程有以下三个结论：当时，方程只有一个实数解；当时，方程有两个不相等的实数解；无论取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是 填序号
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知关于的方程是一元一次方程．
求的值；
若此方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值．
18.本小题分
在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表：
任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题
示例 解方程时，去分母时方程左边的没有乘，从而求得方程的解为求原方程的解此处不作答
通关三步
将错纠错 依据“去分母时方程左边的没有乘”，可将仅去分母为： ；
数据回代 将代入式子，求的值；写过程
方程消参 将的值代入解方程写过程
19.本小题分
如果两个一元一次方程的解互为相反数时，则称这两个方程为“友好方程”．
如：一元一次方程的解为；一元一次方程的解为，则称一元一次方程和为“友好方程”．
判断一元一次方程和是否为“友好方程”．
如果方程都是关于的一元一次方程，它们是否会与为“友好方程”，并求出能成为“友好方程”时或的值，如果不能，请说明理由？
20.本小题分
我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”例如：的解为，则称方程是“差解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
请写出一个与举例不同的差解方程______；
若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值；
若关于的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值．
21.本小题分
已知关于的方程。
若，求该方程的解
若是方程的解，求的值
若该方程的解与方程的解相同，求的值
某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值
若该方程有正整数解，求整数的最小值。
22.本小题分
我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
下列关于的一元一次方程是“和解方程”的是______填序号．
；；．
若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值．
23.本小题分
已知为线段上一点，关于的两个方程与的解分别为线段，的长，
当时，求线段的长；
若为线段的三等分点，求的值．
24.本小题分
若为整数，关于的方程的解是自然数，求的值及方程的解．
25.本小题分
已知关于的一元一次方程
求的值；
若是这个方程的解，
求的值；
若，求的平方根．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：方程是一元一次方程，
，
解得：，
方程为，
又方程的解为，
，
，
解得：．
．
故选：．
先根据一元一次方程的定义得出，求出，再把代入方程得出，求出的值，然后代入求解即可．
本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解，能求出、的值是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：根据一元一次方程的定义逐项分析判断如下：
A、不是方程，不符合题意；
B、不含未知数，不是方程，不符合题意；
C、方程是一元一次方程，符合题意；
D、未知数的次数不是，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：．
只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为的整式方程，叫做一元一次方程，据此进行判断即可．
本题考查一元一次方程的识别，熟练掌握该知识点是关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
有至少两个不同的解，
解得，
把代入中得：
，
方程无解．
故选：．
首先解方程，可得：，再根据方程有两个解的条件可得到，的值，然后代入方程中即可知道其解的情况．
此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值．
4.【答案】
【解析】解：根据因数，倍数，平面内直线的位置关系，质数、合数的概念逐项分析判断如下；
A、一个数的最大因数和最小倍数都是自身，故本选项正确，不符合题意；
B、同一平面内两直线的位置关系只有相交和平行两种，而垂直是相交的一种情况，故本选项错误，符合题意；
C、既不是质数也不是合数，因此该分类正确，不符合题意；
D、方程是指含有未知数的等式，因此方程是等式的一部分，故正确，不符合题意，
故选：．
分别根据因数，倍数的概念；平面内直线的位置关系；质数、合数的概念；以及方程与等式的概念一一判断即可．
本题考查了因数，倍数，平面内直线的位置关系，质数、合数的概念，以及方程与等式的概念，熟练掌握各知识点是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、中未知数的次数为，不是一元一次方程，不符合题意；
B、是一元一次方程，符合题意；
C、中有个未知数为、，是二元一次方程，不是一元一次方程，不符合题意；
D、中等号左边不是整式，是分式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：．
根据一元一次方程的定义逐项判断即可，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式．
本题考查一元一次方程的识别，解题的关键是掌握一元一次方程的定义．
6.【答案】
【解析】设被墨水遮盖的常数是，则把代入方程得到一个关于的方程，即可求解．
【详解】解：设被墨水遮盖的常数是，
方程的解是，
，
解得：，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由条件可知，
，
当时，方程无解，
当时，，
方程有非负整数解，
，，，
，，；
故选：．
先求出方程的解，再根据方程有非负整数解，列出方程求出的值即可．
本题考查根据方程的解，求参数的值，熟练掌握以上知识点是关键．
8.【答案】
【解析】解：根据一元一次方程的定义逐项分析判断如下：
A、方程含有个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
B、不是方程，不符合题意；
C、是一元一次方程，符合题意；
D、，方程中未知数的次数为，不符合题意，
故选：．
只含有一个未知数，且未知数的次数为的整式方程叫做一元一次方程，据此逐一判断即可．
本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握该知识点是关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查的是一元一次方程的解和解一元一次方程，
将代入原方程，转化为关于的一元一次方程求解即可．
【解答】
解：把代入方程，
得到：
解得．
故选D．
10.【答案】
【解析】解：是方程的解，
把代入方程可得，解得，
故选D
11.【答案】
【解析】解：把代入得：，
整理得：，
则原式
故选：
把代入方程计算求出的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
12.【答案】
【解析】解：，
解得：，
由，得：，
不等式组有解且至多有个整数解，
，
，
，
是整数，
或，
或，
满足条件的所有整数的和是；
故选：．
先解一元一次方程，和一元一次不等式组，根据方程的解的情况以及不等式组的解集的情况，求出的范围即可．
本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，熟练掌握该知识点是关键．
13.【答案】
【解析】解：方程是关于的一元一次方程，得：
，
解得．
故答案为：．
只含有一个未知数元，并且未知数的指数是次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是是常数且．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是，一次项系数不是，这是这类题目考查的重点．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一元一次方程的解，熟知使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解题的关键．
把代入关于的方程，求出的值即可．
【解答】
解：关于的方程的解是，
，解得．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：的一元一次方程的解为，
，
解得：，
故答案为：．
因为关于的一元一次方程的解为，所以先把代入，得到关于的一元一次方程，求解即可得出答案．
本题主要考查了一元一次方程的解，解决本题的关键是根据一元一次方程的解的定义解决问题．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】；

【解析】关于的方程是一元一次方程，
，，
；
当时，方程为，
解得，
关于的方程的解为，
，
解得．
根据一元一次方程的定义得出，，即可求出的值；
先求出方程当时，方程的解，从而得出关于的方程的解，然后再求出的值．
本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，熟知一元一次方程的定义及解一元一次方程的步骤是解题的关键．
18.【答案】解：；
将代入后，可知：，
解得：；
将回代，故原方程为：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
【解析】【分析】
本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的解．
根据题中错误的去分母步骤即可求解；
将代入可得关于的一元一次方程，解之即可求出的值；
将的值回代原方程，解之即可．
【解答】
解：依据“去分母时方程左边的没有乘”，可将仅去分母为：；
见答案；
见答案．
19.【答案】是；
当时，与为“友好方程”；与不是“友好方程”．
【解析】解：解方程，得；
解方程，得，
与互为相反数，
一元一次方程和是“友好方程”．
的解为，
若与为“友好方程”，则的解为，
将代入，得，
解得，
当时，与为“友好方程”．
与不是“友好方程”理由如下：
的解为，
若与为“友好方程”，则的解为，
将代入，得，即，无解，
与不是“友好方程”．
分别求出两个方程的解，根据它们的解是否互为相反数判断两个方程是否为“友好方程”；
将的解的相反数分别代入和，若能求出或的值，则对应的方程与为“友好方程”，否则，则对应的方程与不是“友好方程”．
本题考查一元一次方程的解，掌握其解法是解题的关键．
20.【答案】合理即可；
；

【解析】解：如，
理由如下：
，
，
，
方程是“差解方程”；
解方程，得，
一元一次方程是“差解方程”，
，
即；
关于的一元一次方程和都是“差解方程”，
方程的解是；
把代入，得；
方程的解是，
，
，
．
根据“差解方程”的定义即可写出；
解方程，根据“差解方程”的定义列方程求解即可；
先根据“差解方程”的定义求字母的值再代入计算即可．
本题主要考查了一元一次方程的解与新定义：差解方程，理解“差解方程”的定义是正确解答此题的关键．
21.【答案】【小题】
解：当时，将代入方程，得：
去分母得：
化简后得
合并同类项得：
解得：
【小题】
解：将代入方程，可得
去分母得：
化简后得
合并同类项得：
解得：
【小题】
解：解方程，
去分母得：
化简后得
合并同类项得：
解得：
由于该方程的解与方程的解相同，将代入方程，
可得通分得：
化简后得
合并同类项得：
解得：
【小题】
解：由题意，因为误将，看成了，得到方程的解为，所以所以．
【小题】
解：由题意，因为，所以所以所以．
因为取正整数，所以为的正因数．
又取最小值，所以所以．

【解析】 本题考查一元一次方程的解
将代入，通分，合并同类项，化简即可解题
本题考查一元一次方程的解
将代入，通分，合并同类项，化简即可解题
首先解方程，得到。由于原方程与方程的解相同，将代入原方程，即可解题
本题考查同解方程
本题考查一元一次方程的解
将代入化简可得即可解题
本题考查一元一次方程的整数解
先化简方程可得，由该方程有正整数解，得为的正因数即可解题
22.【答案】；
．
【解析】解：由方程，
解得：，
，
方程是“和解方程”；
由方程，
解得：，
，
方程不是“和解方程”；
由方程，
解得：，
，
方程不是“和解方程”；
故答案为：；
由方程，解得：，
一元一次方程是“和解方程”，
，
解得：．
先解方程，再根据“和解方程”的定义判断即可；
先解关于的一元一次方程，再根据“和解方程”的定义，得到关于的一元一次方程，求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，理解“和解方程”的定义是解题关键．
23.【答案】解：当时，有与，
由方程，解得：，即，
由方程，解得：，即，
因为为线段上一点，
所以；
解方程得，，即，
解方程得，，即，
当为靠近点的三等分点时，则，
即，
解得：，
当为靠近点的三等分点时，则，
即，
解得：，
综上所述，或．
【解析】解方程得到，，根据线段的和差即可得到结论；
解方程得到，，当为靠近点的三等分点时，当为靠近点的三等分点时，列方程即可得到结论．
本题考查了一元一次方程的解，两点间的距离，正确的理解题意是解题的关键．
24.【答案】解：移项，得系数化为，得．
因为是自然数，是整数，所以可以为，，．
当时，；当时，；当时，．

【解析】略
25.【答案】【小题】
解：关于的一元一次方程，
，
解得，
【小题】
解：由得，
是这个方程的解，
，
，
；
．
的平方根是．

【解析】
根据一元一次方程的定义得出的值，

将的值代入方程，得，结合是这个方程的解，得，再分别代入中的和中的进行求解，即可作答．
本题考查了求一个数的平方根，代数式的值，一元一次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次数是次的整式方程即为一元一次方程，正确掌握相关概念是解题的关键．
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