5.2等式的基本性质 青岛版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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5.2等式的基本性质青岛版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等．在研究等式的性质时，老师在天平的左边放了“”，甲、乙、丙、丁四位同学在天平的右边各放了下列物体，只有一名同学所放的物体不能使天平平衡，该同学是( )甲：；乙：；丙：“”；丁：
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
2.下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.有五张写有数字的卡片，分别记为，，，，，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号
两数的和
则写有最大数卡片的编号是( )
A. B. C. D.
4.若，则下列等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.下列方程变形中，正确的是( )
A. 方程，移项得
B. 方程，系数化为得
C. 方程，去括号得
D. 方程，去分母得
6.下列等式的变形，正确的是( )
A. 由，得
B. 由，得
C. 由，得
D. 由，得
7.下列判断，不正确的是( )
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
8.根据等式的性质，下列变形正确的是( )
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
9.对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
若是一元二次方程的根，则；
若方程两根为，且满足则方程，必有实数根，．
其中，正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知等式，则下列等式中，不一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.下列运用等式的性质，变形不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12.下列命题中，其逆命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 对顶角相等
C. 全等三角形的对应角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.有张同样的卡片，上面分别写有，，，，，从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片编号分别记为，，，，，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则编号记为 的卡片上的数最大．
卡片编号 ， ， ， ， ，
两数的和
14.如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是______．
15.小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，当动力臂由增加到时，撬动这块石头可以节省 的力．杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂
16.已知，，，则 ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
“”“”“”分别表示三种不同的物体。如图，天平保持平衡，如果要使天平也平衡，那么应在天平的右端放几个“”？
18.本小题分
根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
如果，那么 ______；
如果，那么 ______；
如果，那么 ______
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”；
请运用上述这种方法尝试解决下面的问题：
比较与的大小；
若，比较，的大小．
19.本小题分
比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”：
如果，那么；
如果，那么；
如果，那么．
已知，且，，试用“作差法”比较、的大小，并说明理由；
对于正，，，，如果，则、满足的关系是______．
20.本小题分
在下列横线上填“”“”或“”．
如果，那么 ______；
如果，那么 ______；
如果，那么 ______
用的方法你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程．
21.本小题分
若非零实数，，，满足求证：．
22.本小题分
完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，，所以，，所以，所以．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
若，，则 ；
若，，求的值；
已知，求的值．
23.本小题分
在学习求解一元一次方程之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：
以上解题过程中，第一步的变形的依据是 第二步去括号时依据的运算律是
以上解题过程中从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是
请直接写出该方程的正确解
任务二：
利用上面方法解方程：
24.本小题分
下面是小明解方程的过程：
解：去分母，得，第一步
去括号，得，第二步
移项，得，第三步
合并同类项，得，第四步
系数化为，得第五步．
根据解答过程完成下列任务．
任务一：
上述解答过程中，第一步的变形依据是______；
第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：除上述错误外，请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：______；
任务三：请你写出该方程的正确解______．
25.本小题分
某同学解方程的过程如下，请仔细阅读，并解答所提出的问题：
解：去分母得，第一步
去括号得，第二步
移项得，第三步
合并同类项得，第四步
方程两边同时除以得，第五步
该同学解答过程从第______步开始出错；
请写出正确的解答过程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】本题主要考查了等式的性质以及通过等量关系判断天平平衡的知识点．
设“”“”“”的质量分别为、、，根据天平左边物体“”的总质量列出等式，然后分别分析四位同学所放物体的质量，根据等式的性质，天平两边质量相等才能平衡，找出不能使天平平衡的同学．
【详解】解：设“”“”“”的质量分别为、、，
天平左边物体放了“”，
其质量为，
根据等式的性质，天平两边质量相等才能平衡，
甲同学放了“”，其质量为，
由，
可得；
丁同学放了“”，其质量为，
由，
可得，
；
乙同学放了“”，其质量为，
由，
可得，
与天平左边，
所以天平左右两边平衡；
丙同学放了“”，其质量为，
由，
可得，
与左边不相等，
所以丙同学所放物体不能使天平平衡；
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是等式的性质的有关知识，直接利用等式的性质对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：若，当时，则，故A错误；
B.若，则，故B正确，
C.若，则，故C正确；
D.若，则，故D正确．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：，，，， ，
，得，，得．
，得．
，得，，得．
，．
把的值代入、、、得，，．
故选：．
由题意得关于的方程，利用等式的性质求出它们的值，最后根据题意得结论．
本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查了等式的基本性质：“如果，那么”，“如果，那么”，“如果，那么”，根据此性质进行逐一判断即可求解，掌握性质是解题的关键．
【详解】解：．，两边同时加得，结论正确，不符合题意；
B.，两边同时加得，结论错误，符合题意；
C.，两边同时减和得，结论正确，不符合题意；
D.由可得，将此两边先两边除以得，结论正确，不符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、方程移项得，故该选项不符合题意；
B、方程系数化为得，故该选项不符合题意；
C、方程去括号得，故该选项符合题意；
D、方程去分母得，故该选项不符合题意；
故选：．
注意移项要变号，即可判断选项，系数化的时候，方程两边同时除以，即可判断选项，注意去括号时，括号前是负号，则括号内各项要变号，即可判断选项，去分母的时候，方程两边同时乘上，即可判断选项．
本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、由移项得，因此选项A不符合题意；
B、由去括号得，因此选项B不符合题意；
C、由合并同类项得，因此选项C符合题意；
D、将的两边都乘以得，因此选项D不符合题意．
故选：．
根据等式的性质和去括号法则逐项进行判断即可．
本题考查等式的性质，去括号，掌握等式的性质以及去括号法则是正确解答的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是等式的基本性质的有关知识，直接利用等式的基本性质进行逐一分析即可．
【解答】
解：如果，那么，故A正确，不符合题意；
如果，那么，故B正确，不符合题意；
如果，那么或，故C错误，符合题意；
如果，那么，故D正确，不符合题意
8.【答案】
【解析】解：、如果，那么当时，，故此选项错误；
B、如果，那么，故此选项错误；
C、如果，那么，故此选项正确；
D、如果，那么，故此选项错误；
故选：．
直接利用等式的基本性质分别分析得出答案．
此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：若，则有一个根是，
，故正确；
若方程有两个不相等的实根，则，
，
方程必有两个不相等的实根，故正确；
若是方程的一个根，则，
，
或，故错误；
若是一元二次方程的根，则，
，
，
，
，故正确；
若方程两根为，且满足，
，，
变形得出，，
即可得出方程，必有实根，，从而判断正确．
正确的有：，
故选：．
由有一个根是，知，可判断正确；由方程有两个不相等的实根，，可得，即得方程必有两个不相等的实根，判断正确；若是方程的一个根，则，得或，判断错误；若是一元二次方程的根，有，可得，从而判断正确．由根与系数的关系，可得，，变形得出，，即可得出方程，必有实根，，从而判断正确；
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】【分析】此题主要考查了等式的性质，正确把握相关性质是解题关键．
直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．
【解答】
解：、若，则，正确，不合题意；
B、若，则，正确，不合题意；
C、若，则，正确，不合题意；
D、若，则，要求，故此选项错误，符合题意．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：、逆命题为“如果，那么”，错误，为假命题，故A选项不符合题意；
B、逆命题为“相等的角为对顶角”，错误，为假命题，故B选项不符合题意；
C、逆命题为“对应角相等的三角形全等”，错误，为假命题，故C选项不符合题意；
D、逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，为真命题，故D选项符合题意；
故选：．
分别写出各项的逆命题，然后判断真假即可．
本题考查了命题与定理的知识．熟练掌握该知识点是关键．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查等式的性质，方程的应用根据题意，求出，结合，求出，结合，求出，依次求出其它卡片表示的数，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：，
即：，
，
，
，
，
，
，，，，
故编号记为的卡片上的数最大；
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
解不等式得：，
解不等式得：，
的取值范围是，
故答案为：．
根据题意列一元一次不等式组，求出解集即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用，理解意题意是关键．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】解：设，
，
，
，
即，
同理，，
，得，
，
，，
，，
，，
，
，
解得，
，
故答案为：．
设，根据已知三个等式可得出，，，三式相加求出，从而求出，，，即可求出，，代入，求出，最后代入 求解即可．
本题考查了等式的性质，代入消元法等知识，熟练掌握等式的性质是关键．
17.【答案】解：在天平的两端各放一个“”，天平仍然保持平衡，与天平比较知，一个“”的质量与两个“”的质量相等；一个“”的质量与个“”的质量相等，所以天平的右端应放个“”。
【解析】见答案
18.【答案】；；；
；．
【解析】解：如果，，那么；
故答案为：；
如果，，那么；
故答案为：；
如果，，那么；
故答案为：；
，
；
，即
．
根据不等式性质即可解答；根据等式的性质即可解答；根据不等式性质即可解答；
直接运用作差法进行比较即可；先根据作差法列出不等式，然后根据不等式的性质确定、的大小即可．
本题主要考查的是等式的性质、不等式的性质、代数式大小比较等知识点，掌握运用作差法比较大小成为解答本题的关键．
19.【答案】；理由见解析；
．
【解析】，
，
，
．
，
，
，即；
，
，
，
为正数，
分母不为，
，．
故答案为：．
把两个分式作差，判断得到分子、分母大于，再比较大小即可；
等式通分，判断得到分母不为，推出分子，由此即可得到结论．
本题主要考查了分式的性质和分式的加减运算，正确理解题意是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如果，那么；
如果，那么；
如果，那么．
故答案为：，，；．
能．
，
，
．
．
根据不等式的性质以及等式的性质填空即可求解；
计算，根据即可求解．
本题考查了不等式的性质、整式的大小比较，熟练掌握不等式性质是关键．
21.【答案】证明见解析．
【解析】证明：由题意，非零实数，，，满足，和，
得，，即．
又，
．
将代入得，．
．
．
．
设，
其为开口向下的二次函数，最大值在顶点处取得．
顶点横坐标为：，此时．
，当且仅当时取等号．
依据题意，由非零实数，，，满足，和，结合，可得，然后将代入得，，故，则，再结合二次函数的性质即可判断得解．
本题主要考查了二次函数的最值、等式的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
22.【答案】【小题】
【小题】
，，
，，，．
【小题】
，，即，
，，．

【解析】
，，
，，
，即，
．
略
略
23.【答案】解：等式的基本性质；乘法分配律；
三 ；移项时没有变号；
去分母得
解得
【解析】解：任务一：
以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律；
以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时没有变号；
由，
，
，
，
该方程的正确解：；
任务二：见答案．
任务二：解一元一次方程需要注意以下事项：去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点；去括号时，如果括号外是“”号，括号内每一项都要变号；移项时，注意移动项的符合的变化
任务一：根据解一元一次方程的基本步骤逐步分析、判定即可解答；
任务二：结合解一元一次方程的经验，解方程即可．
本题主要考查了解一元一次方程，等式的基本性质，掌握解一元一次方程的基本步骤以及注意事项是解题的关键．
24.【答案】等式的性质 三 所移的项没有改变符号 任务二：移项时，要改变所移项的符号答案不唯一
【解析】解：任务一：去分母的与依据是：等式的性质，
故答案为：等式的性质；
在第三步，移项时出现了错误，
正确的移项是：，
原因是：在移项时，所移的项没有改变符号，
故答案为：三，所移的项没有改变符号；
任务二：移项时，要改变所移项的符号答案不唯一；去分母时，各项都要乘以分母的最小公倍数；
任务三：解：去分母得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
未知数的系数化为，得：，
该方程的正确解为：．
任务一：根据去分母的依据是等式的性质即可得出答案；
移项时，移动的项要改变符号，由此可得出答案；
任务二：移项时，要改变所移项的符号答案不唯一；去分母时，各项都要乘以分母的最小公倍数；
任务三：先去分母得，去括号得，移项得，再合并同类项得，然后再将未知数的系数化为即可得出该方程的正确解．
此题主要考查了解一元一次方程，等式的性质，理解等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的方法与步骤是解决问题的挂念．
25.【答案】一
【解析】解：该同学解答过程从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
正确解答过程如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
方程两边同时除以得：．
先观察已知条件中解方程的步骤，第一步去分母时，方程两边同时乘，特别是不含分母的项也得乘，由此可得答案；
按照解一元一次方程的一般步骤进行解答即可．
本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程中需要注意的事项．
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