5.4一元一次方程与实际问题 青岛版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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5.4一元一次方程与实际问题青岛版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如表是年月的月历，任意圈出“十”字形框的个数如图所示，发现这个数的和不可能是
A. B. C. D.
2.如图，大长方形中放有个完全相同的小长方形，根据图中标注的尺寸，图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
3.九章算术是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出钱，会差钱；每人出钱，会差钱问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是( )
甲：设人数为人，可列方程；
乙：设羊价为钱，可列方程为．
A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错
4.龟和鹤都是长寿的动物，龟和鹤在一起的寓意是龟鹤齐龄、龟鹤延年．如图，王爷爷和李奶奶正在讨论一幅龟鹤延年的画，你能帮忙算一下龟、鹤各多少只吗？
琪琪的做法是：设鹤有只，则可列方程为；
亮亮的做法是：设鹤的腿有条，则可列方程为．
关于这两位同学的做法，你认为( )
A. 只有琪琪正确 B. 只有亮亮正确 C. 琪琪和亮亮都正确 D. 琪琪和亮亮都错误
5.如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出个数，它们的和为不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得个数的和可能是( )
A. B. C. D.
6.如图，在长方形中，：：，位于点的第一只蚂蚁按的方向，位于点的第二只蚂蚁按的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行，如果两只蚂蚁第一次在点相遇，那么两只蚂蚁第二次相遇在边上．
A. B. C. D.
7.相传有神龟出于洛水，其背上有此图案图，史称“洛书”，图是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图的“九宫格”中也有类似于图的数字之和的这个规律，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，在矩形中，是的中点，，若矩形的周长为，则的长为( )
A. B. C. D.
9.我国古代数学著作九章算术，它以解决人们生产、生活中的数学问题为目的例如其中记载的买鸡问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数几何？”意思是：有若干人共同出钱买鸡，如果每人出钱，那么多了钱；如果每人出钱，那么少了钱问：共有几个人？若设共有人共同出钱买鸡，根据题意，可以列出方程为( )
A. B.
C. D.
10.如图，将正整数至按一定规律排列，整体平移表中带阴影的三个方框，平移后被方框遮住的三个数的和可能是( )
A. B. C. D.
11.某学校要整理一批图书，若由人整理，则需要完成现计划由一部分人先整理，然后增加人与他们一起整理，完成这项工作假设这些人的工作效率相同，应先安排的人数为( )
A. B. C. D.
12.孙子算经中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若的结果是最大的负整数，则的值为 ．
14.某市出租车的收费标准为：路程在以内含按起步价元收取；路程超过，超过的部分按每千米元收取，某人乘坐出租车后付款元，则此人乘车的路程为 ．
15.某家具厂生产由一个桌面和三条桌腿组成的休闲茶桌，该厂共有名工人，每人每天可生产张桌面或条桌腿，若分配名工人生产桌面，其它工人生产桌腿，每天生产的桌面和桌腿恰好配套，则所列方程是 ．
16.如图，、两点在数轴上对应的数分别为和现有动点、，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，当时，运动时间的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
，两地相距，甲、乙两车分别从，两地同时出发沿同一条公路相向行驶相遇后，甲车继续以原速行驶到达地，乙车立即以原速原路返回地．
甲车的速度为______；乙车的速度为______；
甲车到达地时，求乙车距地的路程；
写出出发多长时间后两车在行驶途中相距．
18.本小题分
某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍如果由甲、乙两队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天．
Ⅰ这项工程的规定时间是多少天？
Ⅱ为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作共同完成则该工程施工需要多少天？
19.本小题分
为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准单位：元及单价说明如表所示：
用水量 单价元 费用说明
免收污水处理费
超出的部分 超出的部分加收污水处理费元
某居民某月用水，共缴纳水费元．
求的值；
该居民用户月份缴纳水费元，求该用户月份的用水量．
20.本小题分
列方程解应用题
商场准备将某商品打折出售，如果按原价的折出售，每件将亏损元；如果按原价的折出售，每件将盈利元，求该商品每件的原价是多少．
21.本小题分
“爱心暖人间，关爱老人我先行”志愿活动启动，学校假期组织名同学做礼品盒送给敬老院的老人们平均每人每天加工大礼品盒个或小礼品盒个已知每个大礼品盒可以装个小礼品盒，问需要分别安排多少名同学加工大、小礼品盒，才能使每天加工的大、小礼品盒刚好配套？
22.本小题分
周末小明和爸爸来到了一处农场，并体验了农场的骑马项目，马场有一个如图所示的长为的环形跑道，若把跑道从，，，处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从，两处同时出发，沿箭头方向相向而，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，．
多久后两人首次相遇？并说出此时他们在跑道上的具体位置；
在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？
23.本小题分
国产单机游戏黑神话：悟空的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用元定制了款和款冰箱贴共个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示：
有关量 款 款
成本元个
标价元个
款冰箱贴和款冰箱贴各定制了多少个？
该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利元，已知款冰箱贴按标价的九折出售，则款冰箱贴按标价的几折出售？
24.本小题分
已知点在数轴上表示的数是，从点出发向右平移个单位长度得到点．
求出点表示的数，画一条数轴并在数轴上标出点和点；
在数轴上有一点，点到点和点的距离之和为，求点所表示的数；
，从初始位置分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向左运动，是否存在的值，使秒后点到表示的点的距离与点到原点的距离相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
25.本小题分
随着城区面积不断扩大，使排水收水范围增大，雨污分流不能满足需求的问题日益凸显，为了完善城区排水管网系统，某县开始实施雨污分流项目，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需天若由甲先单独做天，余下的工程由甲、乙共同工作天可完成．
请直接写出甲工程队的工作效率______；
求乙单独完成该项工程需要多少天？
甲队施工一天，需付万元工程费，乙队施工一天，需付万元工程费若该工程计划在天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设中间一个数为，则有，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，没有前一个数，不符合题意；
故选：．
设中间一个数为，剩下四个数为、、、，将 个数的和相加即可得到答案．
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：设小长方形的长为，则小长方形的宽为由题意得，解得，所以所以阴影部分的面积为
3.【答案】
【解析】解：依题意，设人数为人，可列方程；甲对，
设羊价为元，可列方程为，
则乙错了；
故选：．
根据“每人出钱，会差钱；每人出钱，会差钱．”设人数为人，可列方程；设羊价为钱，可列方程为，即可作答．
本题考查了一元一次方程的实际应用，能列出方程是解题的关键．
4.【答案】
【解析】分别根据琪琪和亮亮设的未知数列出一元一次方程即可．
【详解】根据琪琪的做法可得，
设鹤有只，则龟有只，
根据题意列方程为，
琪琪的做法错误；
根据亮亮的做法可得，
设鹤的腿有条，则龟的腿有只，
根据题意列方程为，
亮亮的做法正确；
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设中间一个数为，则上方两个数为、，下方两个数为、，得出五个数的和为，再结合各选项逐一列方程判断即可．
【详解】解：设中间一个数为，则上方两个数为、，下方两个数为、，
所以这五个数的和为，
若，解得，此时左上数字为空，不符合题意；
若，解得，不是整数，不符合题意；
若，解得，不是整数，不符合题意；
若，解得，符合题意；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：设这个长方形的长和宽分别为和，
则长方形的周长为：，
位于点的第一只蚂蚁按的方向，位于点的第二只蚂蚁按的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行，如果两只蚂蚁第一次在点相遇，
第一只蚂蚁爬行了，第二只蚂蚁爬行了，
两只蚂蚁的速度之比是：，
从点出发再次相遇时它们爬行的路程比仍是：，
第一只蚂蚁路程为，
第一只蚂蚁从点爬了，第一只蚂蚁从点爬了，
，
此时第一只蚂蚁已经爬过了点，点，
它们是在边上相遇．
故选：．
由题干，第一次相遇在点，可知第一只蚂蚁与第二只蚂蚁的速度比也是：，那么相遇后再相遇，它们的路程比仍是：，令这个长方形的长和宽分别为和，由此即可解决问题；此题的关键是抓住由路程比的关系得出速度比，根据长度比设出确切数据计算出结果从而判断二者相遇地点．
这道题主要考查行程问题中的相遇问题重点是时间相同，路程比等于速度比、长方形周长计算及比例应用，同时需要结合蚂蚁的爬行路线分析相遇位置．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键首先由，得到每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的倍，然后在图的“九宫格”中，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：，
每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的倍，
在图的“九宫格”中，每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和等于中间的数的倍，
，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
首先证明≌，推出，由，推出，由，推出，推出，，推出，设，则，由题意，解方程即可解决问题．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则，
由题意，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，
故选：．
设共有个人，根据每人出九钱，那么多了十一钱，可知鸡的价格为钱，根据每人出六钱，那么少了十六钱可知鸡的价格为钱，据此列出方程即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，理解题意是关键．
10.【答案】
【解析】【分析】设最左边数为，则另外两个数分别为、，进而可得出三个数之和为，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出的值，由为整数，即可得到答案．
【解答】解：设最左边数为，则另外两个数分别为、，
三个数之和为．
根据题意得：、、、，
解得：舍去，舍去，，舍去，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：设应先安排人整理，
，
，
，
，
解得，
所以假设这些人的工作效率相同，应先安排的人数为，
故选：．
根据题意，设应先安排人整理，先整理小时，完成的工作量是，增加人后，完成了，两者相加，等于，即可解答．
本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找准数量关系式，正确列出方程．
12.【答案】
【解析】解：根据人数为定值可列方程为：；
故选：．
根据人数为定值，列出方程即可．
本题考查列方程，理解题意是关键．
13.【答案】
【解析】解：的结果是最大的负整数，
，
整理得，，
解得．
即的值为，
故答案为：．
根据题意，最大的负整数为，则，得到，即可．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到关系式．
14.【答案】
【解析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．根据起步价元，千米后每千米收取元，乘坐该市出租车后付款元，直接列出方程即可．
【详解】解：设此人乘车的路程为千米，
由题意可知：，
解得：千米，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得，
故答案为：．
设分配名工人每天可生产桌面的数量为张，分配名工人每天可生产桌腿的数量为张，再根据由一个桌面和三条桌腿组成休闲茶桌建立方程即可．
本题考查了列一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
16.【答案】或
【解析】解：当时，点表示的数为，点表示的数为，
，，
，
根据题意列一元一次方程得，，
整理得，，
解得；
当时，点表示的数为，点表示的数为，
，，
，
，
或，
解得或舍去；
综上所述，或，
故答案为：或．
分和两种情况，分别用含的式子表示出点和点表示的数，进而表示出线段，的长，再根据建立方程求解即可．
本题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
17.【答案】，；
千米；
小时或小时
【解析】设甲车的速度为，乙车的速度为，
根据题意列一元一次方程得，，
整理得，，
解得，
甲车的速度为，
，
整理得，，
解得，
乙车的速度为．
故答案为：，；
，
甲车到达地时，乙车距地的路程为．
设出发小时后，两车相距，
当两车相遇前相距时，则，
整理得，，
解得，
当两车相遇后相距时，则，
整理得，，
解得，
综上所述，出发小时或小时后两车在行驶途中相距．
设甲车的速度为，乙车的速度为，根据路程速度时间，先求出甲车的速度，再根据相遇时两车的路程之和为，列出方程求出乙车的速度；再根据相遇后乙行走了求出此时距离的距离即可；
根据相遇后行驶甲车到达地，求出此时乙车的路程，再根据所求相遇时距离的距离即可得到答案；
设出发小时后，两车相距，分当两车相遇前相距时，当两车相遇后相距时，两种情况列出方程求解即可．
本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
18.【答案】解：设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完成，乙队单独施工需要天完成，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定时间是天；
由可知，，
设该工程施工需要天，
由题意得：，
解得：，
答：该工程施工需要天．
【解析】设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完成，乙队单独施工需要天完成，根据由甲、乙两队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天，列出分式方程，解方程即可；
设该工程施工需要天，根据该工程由甲、乙两队合作共同完成，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
19.【答案】；

【解析】由题意得，，
解得，
答：；
，
该居民用户月份的用水量超过，
设该居民用户月份的用水量为，由题意得，
，
解得，
答：该用户月份用水．
根据水费标准进行计算即可；
估算月份的用水量超过，根据水费的收费办法列方程求解即可．
本题考查一元一次方程的应用，理解题目中“水费水费办法”是解决问题的关键．
20.【答案】答：该商品每件的原价是元．
【解析】解：设该商品每件的原价是元，
根据题意列一元一次方程得，，
整理得，，
解得，
答：该商品每件的原价是元．
设该商品每件的原价是元，则，解出方程，即可．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到关系式．
21.【答案】需安排名同学加工大礼品盒，名同学加工小礼品盒，才能使每天加工的大小礼品盒刚好配套．
【解析】解：设需安排名同学加工大礼品盒，则名同学加工小礼品盒，
根据题意列一元一次方程得，，
即，
整理得，，
解得，
，
答：需安排名同学加工大礼品盒，名同学加工小礼品盒，才能使每天加工的大小礼品盒刚好配套．
设需安排名同学加工大礼品盒，则名同学加工小礼品盒，由每个大礼品盒可以装个小礼品盒从而得出等量关系，列出方程求出即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
22.【答案】秒后两人首次相遇，此时他们在弯道上，且离点米的位置；
在首次相遇后第二次相遇前，又经过秒或秒时，两人相距
【解析】设秒后两人首次相遇，
．
．
小明的路程米，
，
答：秒后两人首次相遇，在弯道上，且离点米的位置；
设又经过秒后两人两人相距，
或，
或．
答：在首次相遇后第二次相遇前，又经过秒或秒时，两人相距；
两人分别，两处同时出发，沿箭头方向相向出发，从图上可知首次相遇是个相遇问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解；
在首次相遇后第二次相遇前，又经过秒两人相距，依然是行程问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解；
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是看清是相遇问题以及找到两人两人相距，所走得路程．
23.【答案】款冰箱贴定制了个，款冰箱贴定制了个；
七五折
【解析】设款冰箱贴定制了个，
．
答：款冰箱贴定制了个，款冰箱贴定制了个．
设款冰箱贴按标价的折出售．
．
解这个方程，得．
答：款冰箱贴按标价的七五折出售．
设款冰箱贴定制了个，则款冰箱贴定制了个，根据“款和款冰箱贴总成本为元”列方程求解即可；
设款冰箱贴按标价的折出售，根据“共获利元”列方程求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确进行计算．
24.【答案】点表示的数为，将、两点标在数轴上如图：
点所表示的数为或；
当或时，点到表示的点的距离与点到原点的距离相等
【解析】由，所以点表示的数为，将、两点标在数轴上如图，
由条件可知点应在线段外，
则分两种情况：
当点在点的左边，设点表示数为，
所以，，
又点到点和点的距离之和为，
所以，
解得：，
所以此时点所表示的数为，
当点在点的右边，设点表示数为，
所以，，
又点到点和点的距离之和为，
所以，
解得：，
所以此时点所表示的数为，
综上可知：点所表示的数为或；
存在，理由：
秒时点运动了个单位长度，运动到的位置，点运动了个单位长度，运动到的位置，
，
解得：；
，
解得：，
故当或时，点到表示的点的距离与点到原点的距离相等．
根据数轴上两点间的距离公式，可求出点表示的数，然后在数轴上标出点和点即可；
分两种情况讨论：当点在点的左边，当点在点的右边，然后利用数轴上两点间的距离公式即可解答；
由秒后点到的距离与点到原点距离相等，列出一元一次方程即可．
此题考查了一元一次方程的应用以及数轴，两点间的距离公式，解题的关键是根据数量关系列出一元一次方程及利用分类讨论思想解决问题．
25.【答案】；
乙单独完成该项工程需要天；
由甲、乙全程共同完成更省钱，理由如下：
甲单独完成这项工程超过天，不符合要求．
乙单独完成这项工程所需付工程费：万元．
设甲、乙全程共同完成这项工程需要天，由题意得：
．
解得：．
所以甲、乙全程共同完成这项工程所需付工程费：万元，
，
由甲、乙全程共同完成更省钱
【解析】可以把工作总量看作“”，
甲工程队单独完成该项工程需天，
甲工程队的工作效率是，
故答案为：；
设乙单独完成该项工程需要天，
由题意得：．
解得：．
经检验：是原分式方程的解．
答：乙单独完成该项工程需要天．
由甲、乙全程共同完成更省钱．理由如下：
甲单独完成这项工程超过天，不符合要求．
乙单独完成这项工程所需付工程费：万元．
设甲、乙全程共同完成这项工程需要天，由题意得：
．
解得：．
所以甲、乙全程共同完成这项工程所需付工程费：万元，
，
由甲、乙全程共同完成更省钱．理由如下：
甲单独完成这项工程超过天，不符合要求．
乙单独完成这项工程所需付工程费：万元．
设甲、乙全程共同完成这项工程需要天，由题意得：
．
解得：．
所以甲、乙全程共同完成这项工程所需付工程费：万元，
，
由甲、乙全程共同完成更省钱．
根据工作效率即可得出答案；
设乙单独完成该项工程需要天，根据“甲先单独做天，余下的工程由甲、乙共同工作天可完成”列出分式方程，解方程即可；
根据题意，甲工程队单独完成逾期，分别计算乙工程队单独完成及甲、乙两队合作完成所需的工程费用，再比较即可．
本题考查了一元一次方程及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
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