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6.5角的比较与运算青岛版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，射线将平角分成两部分即，平分，平分，下列说法正确的是( )
A. 图中只有、、、的角 B. 图中有对互余的角
C. 图中的余角有个 D. 图中没有与互补的角
2.如图，点在直线上，，若，平分则( )
A.
B.
C.
D.
3.把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，，，其中，，三点在同一直线上，为的平分线，为的平分线，则的度数是( )
A. B. C. D.
4.如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时增大了，则的变化情况为( )
A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小
5.如图，在等腰三角形中，，的平分线与的平分线相交于点，过点作，分别交，于点，若的周长为，则的长是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，，，三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：与互余；与互补；；其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.如图，的面积为，，平分若，分别是，上的动点，则的最小值( )
A. B. C. D.
9.如图，中，，平分，交于点，连接，点，分别是和的中点，若的长为，则的长为( )
A. B. C. D.
10.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，若，则为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，是直角，，射线从边出发，绕点逆时针旋转直至与边重合，在旋转过程中，下列情形不可能出现的是( )
A. 平分
B. 平分
C. 平分
D. 平分
12.已知，如图，，平分，平分，( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ．
14.如图，平分，射线在内部，，已知则的度数是______．
15.如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，若，则的度数为______．
16.已知，，平分，则等于______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，点，，在一条直线上，，，平分，求的度数．
18.本小题分
如图，，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每分钟；射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每分钟，和同时旋转，设旋转的时间为分钟．
当为何值时，射线与重合；
当为何值时，；
试探索：在射线与旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点按逆时针方向旋转如图，且．
当时，
若，求的度数；
试猜想与的数量关系，并说明理由；
若，求的度数．
20.本小题分
已知为直线上的一点，，射线平分．
如图中，若，则______，______；
将图中的绕顶点逆时针旋转至图的位置，其他条件不变，若，求的度数用含的式子表示．
21.本小题分
如图所示，点在直线上，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分．
当时，则的度数为______；
当时，则的度数为______；
通过的计算，请你猜想和的数量关系，并说明理由．
22.本小题分
已知是直线上一点，是直角，平分．
如图甲，若，求的度数；
如图乙，若平分，求的度数；
如图丙，若旋转前，绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，请探究和之间的数量关系．
23.本小题分
如图于点，射线，的方向如各图所示，．
如图，若，求的度数；
如图，射线平分若，求，的度数；
如图，射线仍然平分，若，直接用含的代数式表示，的度数．
24.本小题分
如图，已知点为直线上一点，点、、为直线上方三点，连接、、，，平分．
如图，，求的度数；
如图，，在的内部作射线，使平分，，求的值．
25.本小题分
如图，是的平分线．
当时，求的度数；
在的条件下，过点作直线，且，求的度数；
当时，过点作直线，且，直接写出的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：：：，
，
，
，
，，
平分，平分，
，，
，，；
图中有、、、的角，还有的角，故选项A不符合题意；
图中，与、与、与、与是互余的角，共对，故选项B符合题意；
图中的余角有、，共有个，故选项C不符合题意；
图中与互补的角为，故选项D不符合题意．
故选：．
根据角平分线的定义结合已知条件求出图中各角的度数，利用互余互补的概念逐一分析每个选项正确与否即可．
本题考查了角的相关概念，角平分线定义，角的和差计算，互余、互补的概念，熟练掌握余角、补角是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
2.【答案】
【解析】解：点在直线上，，若，
，
，
．
故选：．
首先求出和，再结合角的和差求解即可．
本题考查基础几何图形中角度的计算以及角平分线的定义，准确表示出角之间的关系，理解角平分线的定义是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：为的平分线，
，
为的平分线，
，
．
故选：．
由角平分线的定义可知，，再利用角的和差关系计算可得结果．
本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，读懂题意，起吊物体前，设 ，根据题意可得 ，则 ，物体被吊起后，可得 ， 增大了 ，由 即可解答．
【解答】
解：起吊物体前，设 ，
，支撑臂 为 的平分线，
，
；
物体被吊起后，
机械臂 的位置不变， ， ，
，
增大了 ，
，
，
，
的变化情况为增大 ．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义．利用平行线角平分线推出等腰三角形是解题的关键；先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，，则的周长，由此即可解决问题．
【解答】解：在中，与的平分线相交于点，
，．
，，，
，，
，，
的周长为，
．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线定义、线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
依据线段垂直平分线的性质，即可得到，进而得到，再根据角平分线的定义，即可得出的度数，根据三角形内角和定理，即可得到的度数．
【解答】
解：垂直平分，
，
，
又平分，
，
．
故选B
7.【答案】
【解析】解：、、三点在同一直线上，
，
平分，
，
平分，
，
，
与互余，故正确；
，
与互补，故正确；
，
正确；
，
正确；
综上，正确的有个，
故选：．
由题意得，，，据此逐项判断即可求解．
本题考查了角平分线的定义，掌握余角、补角的定义，角的和差是解题的关键．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
点，分别是和的中点，
是的中位线，
，
，
．
故选B．
10.【答案】
【解析】解：由条件可知，，
，
，
，
故选：．
根据、为折痕，可知、分别为，的角平分线，由此即可求解．
本题主要考查折叠的性质，熟练掌握轴对称性质是关键．
11.【答案】
【解析】解：当射线旋转到时，
则平分，
故A选项可能出现，不符合题意；
当射线旋转到时，
则平分，
故B选项可能出现，不符合题意；
当射线旋转到时，
则平分，
故C选项可能出现，不符合题意；
，
若，
则，
，
但是直角为，且射线从边出发，绕点逆时针旋转直至与边重合，
故在中不可能有一个大于的，
故D选项不可能出现，符合题意，
故选：．
根据角平分线的定义，结合图形，逐一判断各选项，可得到结果．
本题考查了角平分线定义的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由条件可知，，
，
，
故选：．
利用角的平分线的性质和角的和的定义求解即可．
本题考查了角的和与差，角的平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：平分，平分，平分，
，，，
，，
，，
，故正确；
，，
，故正确；
，，
，
，
与不互补，故错误．
故答案为：．
根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择．
本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
平分，
，
故答案为：．
先得到，可得，再利用角平分线的定义可得答案．
本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，掌握角平分线的定义是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
故答案为：．
由角平分线得，又由，得到，根据得，再根据，则，即可求解．
本题考查与角平分线有关的角的计算，求出是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：如图，当射线在内部时，
，
，
；
如图，当射线在外部时，
，
，
；
等于或．
故答案为：或．
结合题意分种情况讨论，根据角平分线的定义，再结合角的和差计算即可求解．
本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：，，
，
，
．
由条件可知，
所以．
【解析】由题意易得，则有，然后根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解．
本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键．
18.【答案】解：由题意可得，，
解得，
即时，射线与重合；
当射线与重合前，时，
由题意得，
解得，
当射线与重合后，时，
由题意得，，
解得，
即当或时，；
存在，
理由：由题意得，
当为的角平分线时：
解得
当为的角平分线时：
解得
当为的角平分线时：，
解得，
故存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，此时的值为或或．
【解析】本题考查角的计算、角平分线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据题意可得，射线与重合时，，可得的值；
根据题意可得，射线时，或，可得的值；
分三种情况，一种是以为角平分线，一种是以为角平分线，一种是以为角平分线，然后分别进行讨论即可解答本题．
19.【答案】解：根据题意得，，
是的角平分线，，
，
，
又平分，
，
；
猜想与的数量关系为，理由如下：
是的角平分线，
，
，
平分，
，
；
分两种情况讨论：
当在的内部时，如图，
是的角平分线，
，
，
，
；
当在的外部时，如图，
，
，
，
，
，
；
综上，或．
【解析】根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可；
根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可；
分在的内部和在的外部，两种情况进行讨论求解即可．
本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．
20.【答案】，；
【解析】，，
，
射线平分，
角平分线的定义，
，
，
．
故答案为：，；
，，
，
射线平分，
，
．
首先解得的度数，再根据角平分线的定义可知，的值，进而由可解得的值，最后由，即可获得答案；
首先根据题意解得的度数，再结合角平分线的定义可知，然后由，即可获得答案．
本题主要考查了几何图形中角度计算、角平分线的相关计算等知识，理解题意，弄清各角的关系是解题关键．
21.【答案】；； ，理由见解析．
【解析】解：由条件可知：，
平分，
，
点在直线上，
，
故答案为：；
，，
，
平分，
，
点在直线上，
，
故答案为：；
，
理由如下：
由条件可知：，
平分，
，
点在直线上，
．
根据互余求出，根据角平分线的定义求出，最后根据互补进行计算即可；根据互余求出，根据角平分线的定义求出，最后根据互补进行计算即可；
根据互余求出，根据角平分线的定义求出，最后根据互补进行计算即可．
本题考查了互为余角、补角、角平分线的定义，采用数形结合的思想，找准角之间的关系是解此题的关键．
22.【答案】；
；
当时，；当时，
【解析】，
，
是直角，
，
，
平分，
，
；
平分，
，
平分，
，
，
，
；
时，由题意得旋转后：，
，
；
时，
由题意得旋转后：，
，
．
综上所述：当时，；当时，．
由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数；
由角平分线的定义可得，进而可求解；
可分两种情况：时，时，分解计算可求解．
本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
23.【答案】解：，
，
，且，
，
，，
．
，
，
，且，
，
平分，
，则，
，且，
，
，
．
，
，
，且，
，
平分，
，则，
，且，
，
，
，
，
．
，．
【解析】根据，，运用角互余的关系即可求解；
根据，可得，根据平分，，及角的互余、互补关系即可求解；
根据，可得，平分，可得，再根据角的互余、互补即可求解．
本题主要考查图形中角的计算，掌握线的位置，角的互补、互余，角平分线的性质是解题的关键．
24.【答案】；
【解析】由题意知，
因为平分，
所以，
所以．
解：由题意知，
因为平分，
所以，
所以．
由题意知，
因为分，
所以，
因为，
所以，
解得：．
先根据已知条件求出，根据角平分线定义得出，最后求出的度数；
先求出，再根据角平分线定义求出，根据邻补角求出，求出，根据角平分线定义求出，最后根据，求出结果即可．
本题主要考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，数形结合．
25.【答案】；
或；
或
【解析】由条件可知；
，
由条件可知；
过点作直线，，
由条件可知，
综上所述：或；
，过点作直线，且，
分两种情况讨论：
，
；
，
；
综上所述：的度数为或．
利用角平分线定义得；
分两种情况讨论：或；
分两种情况讨论：分别画出符合题意得角度图，再列代数式表示即可．
本题考查角度计算，角平分线定义，垂直定义等．熟练掌握以上知识点是关键．
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