6.6余角和补角 青岛版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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6.6余角和补角青岛版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果一个角的补角比这个角的倍大，那么这个角的余角为( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，垂足为下列结论中，不一定成立的是( )
A. 与互余 B. 与互余 C. D.
3.将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中与互余的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，的是( )
A. B.
C. D.
5.若，与互为余角，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.如图：为直线上的一点，为一条射线，平分，平分，图中与互余的角共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.将一副三角尺按照如图所示的方式摆放，其中含角的三角尺较短的直角边与含角的三角尺的斜边在同一直线上，则的余角和补角的度数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
8.一副直角三角板如图放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上，如图，将边绕点以每秒的速度顺时针旋转当射线与射线重合时停止，平分，当满足时，三角板的运动时间为( )
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
9.下面说法中，正确的是( )
A. 若，则，，互为余角
B. ，则，互为补角
C. 若，则平分
D. 连接两点间的线段，叫作这两点间的距离
10.如图，与都是以为顶点的直角有以下结论：；与互余；与互补；若平分，则也平分其中正确的是( )
A. B. C. D.
11.如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与一定互余的是( )
A. B.
C. D.
12.如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点下列结论中正确的有；：：；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，则的余角的度数为______．
14.将一副三角尺按如图所示的方式摆放两条直角边在同一条直线上，连接另外两个锐角顶点，并测得，则的度数为
15.如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：；；若，则；若平分，平分，则其中结论正确的有 个
16.如图，于点，是内的一条射线，是同一平面内的一条射线，且与互余，若，则 ，的度数为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．
如图，若直角三角板的一边放在射线上，则 ______；
如图，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，
若恰好平分，则 ______；
若在内部，请直接写出与有怎样的数量关系；
将直角三角板绕点顺时针转动与重合时为停止的过程中，恰好有，求此时的度数．
18.本小题分
如图，一个直角三角尺的直角顶点在直线上，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点顺时针转动．
当直角三角尺转动到如图所示位置时，已知，平分，平分．
求和的度数；
求的度数；
在直角三角尺转动的过程中，始终有平分，平分设，若，的度数是否发生变化？若不变，请直接写出的度数；若变化，请说明理由．
19.本小题分
综合实践活动课上，同学们准备研究如下问题：
将直角三角板的直角顶点放在直线上，作射线平分探索和的关系．
【基础尝试】在图中，若，求；
【变式探究】在图中，若，______用含的式子表示；
【拓展运用】将图中的三角板绕顶点旋转至图的位置，写出和的度数之间的关系，并说明理由．
20.本小题分
为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点处，．
如图，直角三角板的一边与射线重合，则的度数为______；
将直角三角板按照如图所示的方式放置，此时恰好是的平分线，求的度数；
将图中的直角三角板绕点转动，使得，且边始终在的内部，求的值．
21.本小题分
如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
将图中的三角板绕点处逆时针旋转至图，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数．
在图中，延长线段得到射线，判断是否平分，请说明理由．
22.本小题分
根据解答过程填空：
已知：如图，，，求证：．
证明：邻补角定义，
又已知，
____________同角的补角相等，
____________内错角相等，两直线平行，
______，
又已知，
______，
______，
______
23.本小题分
如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．
当时，求的度数；
当时，则的度数为________．
通过的计算，请你猜想和的数量关系，并说明理由．
24.本小题分
综合与探究
问题情境
数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题如图，，射线在的内部，射线在的内部．
特例分析
若，则的度数为______．
规律探究
若，求的度数．
拓展延伸
在图的基础上，作射线平分，平分，得到图．
若，则的度数为______．
若，求的度数．
25.本小题分
如图，直线，相交于点，和互余，是的平分线．
请直接写出图中的余角以及的补角；
如果，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设这个角的度数为，则补角为，根据余角的定义可得：
，
，
该角的余角为．
故选：．
根据题意，列出方程，解出，再根据余角的定义，进行解答，即可．
本题考查角的运算，一元一次方程的知识，解题的关键是设这个角的度数为，则其补角为．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直角三角形中两个锐角互余的性质，、根据直角三角形的两个锐角互余的性质判断；根据同角的余角来找等量关系；分和两种情况来讨论．
【解答】
解：在中，，所以与互余，正确；
B.在中，，所以与互余，正确；
C.，，
，正确；
D.当时，，所以既是的角平分线，也是斜边上的高与中线，所以，正确；当时，，错误；
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
【详解】解：、与不互余，故本选项错误；
B、与不互余，故本选项错误；
C、与互余，故本选项正确；
D、与不互余，和互补，故本选项错误；
故选：．
【点睛】本题考查了余角和补角的应用，掌握余角和补角的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由图可知，所以与互余，故本选项错误；
B.同角的余角相等，所以，故本选项正确；
C.由图可知，但推不出，故本选项错误；
D.由图可知，所以和互补，故本选项错误．
故选：．
如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角；根据图象求解即可．
本题主要考查了余角和补角，需结合余角和补角的定义进行求解．
5.【答案】
【解析】解：根据余角的定义列式计算可得．
故选：．
根据余角的定义列式计算即可．
本题主要考查了余角的定义，掌握互余的两个角的和为是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了余角的定义，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握余角的定义．余角：如果两个角相加等于，那么这两个角互为余角．
根据角平分线的定义可得，，再根据余角的定义求解即可．
【解答】
解：平分，平分，
，，
又，即，
，，，，
互余的角共有对．
7.【答案】
【解析】解：根据余角和补角的定义可得：
的余角的度数是，
的补角的度数是，
故选：．
先求出的度数，再根据余角和补角的定义求解即可．
该题主要考查了三角板中角度计算，余角和补角计算，熟练掌握以上知识点是关键．
8.【答案】
【解析】解：设三角板的运动时间为秒，
根据题意，将边绕点以每秒的速度顺时针旋转，
则，
，，
，
平分，
，
，
，
根据题意列一元一次方程得，，
整理得，，
解得，
所以三角板的运动时间为秒．
故选：．
设三角板的运动时间为秒，根据题意并利用角平分线的定义，列出关于的方程，解方程即可获得答案．
本题主要考查了余角和补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，弄清各角之间的关系．
9.【答案】
【解析】解：根据余角，补角的定义，线段的定义，角平分线的定义逐项分析判断如下：
A、两个角的和为叫互余，
，，，互为余角，错误，不符合题意；
B、两个角的和为叫互补，
，则，互为补角，正确，符合题意；
C、当位于的外部时，不平分，错误，不符合题意；
D、连接两点间的线段的长度，叫作这两点间的距离，错误，不符合题意；
故选：．
根据余角，补角的定义，线段的定义，角平分线的定义，进行解答即可．
本题主要考查了余角，补角，线段的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是关键．
10.【答案】
【解析】解：由题知，
因为，
所以，
则．
故正确，错误；
因为，
所以，
所以，
所以与互补．
故正确；
因为平分，
所以，
所以，
所以，
所以平分．
故正确；
故选：．
根据余角和补角的定义，对所给说法依次进行判断即可．
本题主要考查了余角和补角及角平分线的定义，熟知余角和补角的定义是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：、由图形得，即与一定互余，故此选项符合题意；
B、由图形得，，所以，即与不互余，故此选项不符合题意；
C、由图形得，故此选项不符合题意；
D、由图形得，故此选项不符合题意；
故选：．
根据图形得出与的数量关系，从而进行判断．
本题考查了余角和补角，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
故符合题意；
过作于，
平分，，
，
，，
：：，
故符合题意；
，
，
平分，
，
，
故符合题意；
平分，，，
，
，
，
，
故符合题意，
结论中正确的有个．
故选：．
由角平分线定义得到，由余角的性质得到，由对顶角的性质得到，因此，过作于，由角平分线的性质得到，由三角形面积公式得到：：，由余角的性质得到，由角平分线定义得到，因此，由角平分线的性质得到，由等腰三角形的判定推出，得到．
本题考查角平分线的性质，三角形的面积，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，余角的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
13.【答案】
【解析】解：由条件可知的余角的度数为，
故答案为：．
根据余角的定义计算即可．
本题考查了余角，度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，
，
．
故答案为：．
本题可先根据三角尺的特征得出相关角的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数．
本题考查了三角尺的角度特征，求解出的度数是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由条件可知，
，故正确，符合题意；
，，
，故正确，符合题意；
若，则：，
，故正确，符合题意；
若平分，平分，
则：，，
；故正确，符合题意；
综上分析可知，正确的有个．
故答案为：．
根据余角的性质即可判断；根据即可判断；根据，，得出，即可判断；根据角平分线定义得出，，求出，即可判断．
本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键．
16.【答案】
或

【解析】解：，
垂直定义，
已知，
，
与互余，
，即的度数为；
射线分以下两种情况讨论：
当射线在上面时，如图，
此时；
当射线在下面时，如图，
此时；
综上所述，的度数为或．
故答案为：；或．
先由垂直得，再根据角的和差得，再根据互余的定义得，射线存在两种情况，射线在上面；射线在下面，分别画出图形求解即可．
考查了平行线的性质，余角和补角，掌握分类思想的运用，以及数形结合思想的运用是解题关键．
17.【答案】．
．
，理由如下：
，，
，
即．
分两种情况进行讨论：
在内，如图，
，，
，
即，
又，
即，
，
．
在外，如图：
，
，
又，
，
，
，
综上，的度数为或．
【解析】解：，，，
．
故答案为：．
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
，理由如下：
，，
，
即．
分两种情况进行讨论：
在内，如图，
，，
，
即，
又，
即，
，
．
在外，如图：
，
，
又，
，
，
，
综上，的度数为或．
根据即可求解；
由平分可得，由与互补求出，；
由，可得，代入角度即可求解；
分情况讨论：在内，根据，，，结合和即可得解；
在外，根据，，即可求解．
本题考查的知识点是角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，与余角、补角有关的计算，解题关键是熟练掌握几何图形中角度计算方法．
18.【答案】解：，
是直角三角形，
，
；
平分，
，
平分，
，；
的度数不变，理由：
平分，
，
平分，
，
．
【解析】根据补角求得和的度数；
根据角平分线求得、的度数，等于减去；
根据角平分线求得、的度数，等于减去，观察的度数是否发生变化．
本题考查了补角、角平分线，关键是熟练掌握补角、角平分线并运用．
19.【答案】；
；
，理由：
如图，
点在上，
，
平分，
，
，
，
即：
【解析】如图，
由条件可知，，
又平分，
，
；
如图，
由条件可知，，
又平分，
，
；
故答案为：；
理由如下：
如图，
点在上，
，
平分，
，
，
，
即：．
结合平角的定义和角平分线的定义解答；
结合平角的定义和角平分线的定义解答；
由平角定义知，由角平分线的定义推知，再由得到．
本题考查角平分线的性质以及角的运算，解题的关键是利用角之间的数量关系进行推导．
20.【答案】；
；
或
【解析】为直线上一点，过点作射线，使，
，，
；
故答案为：；
，，
，
，
，
；
当在的右侧时：
，
设，，
，
，
，
，
当在的左侧时：
则：，
，
，
综上：或．
根据平角的定义进行求解即可；
平角的定义，求出，角平分线得到，再根据角的和差关系进行计算即可；
分在的右侧和在的左侧两种情况进行讨论求解即可．
本题考查与角平分线有关的计算，三角板中角度的计算，正确进行计算是解题关键．
21.【答案】；
是平分的，理由：
由 知，，
，
延长线段得到射线，
，
，
，
平分
【解析】由条件可知，
此时在的内部．且恰好平分，
，
根据题意知：，
；
是平分的，理由如下：
由知，，
，
延长线段得到射线，
，
，
，
平分．
根据邻补角得出，再由角平分线得出，结合图形即可求解；
由知，，，确定，然后结合图形即可得出结果．
题目主要考查角平分线的计算，邻补角的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键．
22.【答案】 两直线平行，内错角相等 等量代换 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
【解析】证明：邻补角定义，
又已知，
同角的补角相等，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
又已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等．
故答案为：；；；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
根据平行线的判定和性质定理证明即可．
本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
23.【答案】解：，，
，
平分，
，
；
；
，
理由如下：，
，
平分，
，
．
【解析】【分析】
考查互为余角、互为补角、角平分线的意义，等量代换和恒等变形是常用的方法．根据互余，可求出，再根据角平分线，求出，最后根据补角的意义求出；
的方法同；
由特殊到一般，利用等量代换得出结论．
【解答】
解：见答案；
，，
，
平分，
，
，
故答案为；
见答案．
24.【答案】；
；
；
【解析】，，
，
，
，
故答案为：；
，，
，
，
；
，，
，，
平分，平分，
，，
，
故答案为：；
，，
，，
平分，平分，
，，
．
先利用余角的定义可得，再利用角的和差关系进行计算，即可解答；
由同理可得结论；
先利用角的和差关系可得，，然后利用角平分线的定义可得，，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
利用的解题思路进行计算，即可解答．
本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
25.【答案】的余角是，的补角是和；

【解析】由条件可知，
，即的余角是；
，
的补角是和；
由条件可知，
又是的平分线，
，
，
．
根据余角的定义得到，即可得到，即可求出的余角；然后根据平角的定义得到的补角解题；
先根据余角求出，然后根据角平分线得到，再根据平角求出，最后利用余角解题即可．
本题考查角的和差，角平分线的定义，余角和补角，掌握角平分线的定义是解题的关键．
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