【新情境·新趋势】北师大版（2024）初中数学八年级上册第一章情境模拟卷

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初二数学上册第一章模拟卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．3，4，5 C．4，5，7 D．6，7，10
2．在以下列线段的长为边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（新情境试题·数学传统文化）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的面积为（ ）
A．9 B．11 C．36 D．41
5．（新情境试题·数学传统文化）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，，，边上的高，则的周长是（ ）
A．54 B．48 C．36或48 D．54或33
7．（新情境试题·生活应用型）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（ ）
A．20米 B．16米 C．12米 D．24米
8．（新情境试题·生活应用型）如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．如图所示，四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ．
10．（新情境试题·生活应用型）如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米．
11．中，，为的中点，点在上，点在上，且，连接，若，则与的数量关系为 ．
12．（新情境试题·生活应用型）如图，两根高度分别是2米和3米的直杆、竖直在水平地面上，相距12米，现要从A点绷直拉一根绳索，接地后再拉到C点处，为了节省绳索材料，则绳索的最短长度为 米（不计接头部分）．
13．（新情境试题·规律型）如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2020个等腰直角三角形的斜边长是 ．
三、解答题（本题共13小题，共81分。其中：14-20每题5分，21题每题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题10分）。
14．在中，，若，．求a，b的长．
15．如图，在中，是的中点，于点D，试说明：．
16．如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．

17．如图，在中，，求边上的高．

18．如图，在中，，根据图中所标数据求阴影部分（长方形）的面积．

19．（新情境试题·生活应用型）小明在家装修房间时，有一个如图所示铝合金窗框（上面形状为直角三角形，下面是正方形），请你根据数据，求出所需铝合金材料的总长度．（精确到0.1）
20（新情境试题·生活应用型）．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？
21．（新情境试题·生活应用型）如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？
22．如图，在中，，垂足为D，，延长至E，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长和面积．
23．（新情境试题·生活应用型）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米．
(1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
24．（新情境试题·生活应用型）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问）
25．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求．
26．（新情境试题·材料阅读理解型）阅读嘉琪的数学日记，思考并解决问题．
2024年9月6日 星期五 天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：________．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，我发现，、、之间有如下数量关系：________． 理由如下：…
任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，请写出、、之间的数量关系：________；
任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请问：任务一中、、之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由；
任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．

答案解析部分
1．B
【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握两短边的平方和等于最长边的平方，三条线段能够组成直角三角形，是解题的关键．根据勾股定理逆定理，进行判断即可．
【详解】解：A．，不能组成直角三角形，不符合题意；
B．，能组成直角三角形，符合题意；
C．，不能组成直角三角形，不符合题意；
D．，不能组成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，代入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、若，满足，此时不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A
3．B
【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案．
【详解】解：由图可得：大正方形的面积，
大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，
∴，
∴，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了勾股定理在图形面积中的应用．熟记勾股定理是解题关键．设正方形A、B、C的边长分别为：，由勾股定理即可求解．
【详解】解：设正方形A、B、C的边长分别为：，
由题意得：，
∴，
即正方形的面积为9．
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得：
，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了勾股定理，三角形周长以及分类讨论思想，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．
分两种情况讨论，由勾股定理求出、，得出的长，再由三角形的周长公式列式计算即可．
【详解】解：分两种情况：
①如图：
∵是边上的高，
∴，
∴，，
∴，
∴，
②如图：
同①得：，，
∴，
∴，
综上，的周长为36或48．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设米，得到米，根据勾股定理得到，结合梯子的长度不变得到，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，米，，，
设米，则：米，
在和中，由勾股定理，得：，
∴，即：，
解得，
∴米，
∴米；
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，即h的最大值为，
将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，即h的最小值为，
∴h的取值范围是，
故选：B．
9．/
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出的形状，根据即可得出结论．
【详解】解：∵，，，
∴．
∵，，，
∴是直角三角形，
．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．
根据勾股定理求出“捷径”长，进而用原路程减去“捷径”长即可．
【详解】解：“捷径”长（米），
他们仅仅少走了（米），
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
延长至点，使，连接，，结合垂直平分线的性质和判定，可得，再证明，可得，，结合勾股定理化简即可求解．
【详解】解：延长至点，使，连接，，
∵，，
∴垂直平分，，，
∴，
∵是中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
12．13
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、轴对称的性质、勾股定理；熟练掌握轴对称的性质以及找出点P为解题关键，作点A关于的对称点，连接，交于P，作，交的延长线于点E，则点P处，绳索最短，由题意得出，，，得出，由勾股定理得出（米），由轴对称的性质得出，得出米即可．
【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点，连接，交于P，作，交的延长线于点E，则点P处，绳索最短，
由题意得：，
，
，
在中，
由勾股定理得：（米），
由轴对称的性质得：，
米．
绳索的最短长度为13米，
故答案为：13
13．
【分析】本题主要考查了勾股定理、数字规律等知识点，找到等腰直角三角形的斜边长的变化规律是解题的关键．
先根据勾股定理计算第1个，第2个，第3个，第4个等腰直角三角形的斜边长，再找到规律，再利用规律求出第2020个等腰直角三角形的斜边长．
【详解】解：根据勾股定理可得：
第1个的斜边；
第2个的斜边；
第3个的斜边；
．．．．．．
第n个等腰直角三角形的斜边；
所以第2022个等腰直角三角形的斜边．
故答案为：．
14．6，8
【分析】根据，设，根据勾股定理可得，结合题意求得的值即可求解．
【详解】解：设，根据勾股定理可得．
又，即，
所以，
因此．
即a，b的长分别为6，8．
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
15．见解析
【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出，，再得出，根据M为中点，得出，进而进行转换可得出结论．
【详解】解：连接．
因为，
所以，
所以，，
因为，
所以．
因为M为中点，
所以，
所以．
16．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
证明，得出，根据，，的面积分别为，和，梯形的面积为，得出，再化简即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，的面积分别为，和，梯形的面积为，
∴，
∴，
化简，得．
17．
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式即可．关键是掌握“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”．
【详解】解：，
，
是直角三角形，
，
即，
．
18．
【分析】先利用勾股定理计算的长，再利用长方形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理并灵活运用是解本题的关键．
19．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的知识：运用勾股定理求直角三角形的斜边长度，再利用直角三角形斜边上的中线性质求相关线段长度，最后将图形中所有线段长度相加得到所需铝合金材料的总长度．
【详解】在直角中，，由勾股定理知：
．
又，
是斜边的中线，
，
则，
即所需铝合金材料的总长度约为．
20．超速
【分析】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．
【详解】∵是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴这辆小汽车超速了．
21．10cm
【分析】将正方体侧面展开图展开，由勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示．
∵BC＝2cm，棱长为6cm，
∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm
由勾股定理得，
AB＝＝10（cm），
答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm．
【点睛】此题考查了平面展开一最短路径问题，利用勾股定理是解题的关键．
22．(1)见详解
(2)周长为，面积为22
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，三角形面积的计算等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用是解题的关键．
（1）证明是的中垂线，得，最后由等边对等角，即可求解；
（2）利用勾股定理分别计算出和，再结合三角形面积公式以及周长公式进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：，
∴是的中垂线，
∴，
∴；
（2）解：在中， ，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
在中， ，
∴，
∴．
23．(1)不会
(2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
出发秒钟时，米，米
米，米
米，米
（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；
（2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，，解得
此时，
此时，
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
24．(1)受台风影响，理由见解析；
(2)台风影响海港持续的时间为．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间．
（1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响；
（2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间．
【详解】（1）解：海港受台风影响．
理由：如图，过点作于点，
因为，，，,
所以是直角三角形．,
由三角形面积相等可得：，
即，
所以．
因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响．
（2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则，
所以，因，
所以．
因为台风中心移动的速度为，
，
所以台风影响海港持续的时间为．
25．(1)猜想：．理由见解析；
(2)73
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、垂美四边形的定义等知识．
（1）利用勾股定理求得即可证明；
（2）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（1）中结论即可解决问题．
【详解】（1）解：猜想：．理由如下：
∵四边形是垂美四边形，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
，
∴；
（2）连接，，如图：
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，即，
在和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是垂美四边形，
由（1）可知，
∵，，
∴由勾股定理，得，，，
∴．
26．任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：．
【分析】任务一：利用勾股定理，结合正方形面积与直角三角形三边平方的对应关系，推导、、的数量关系．
任务二：先依据半圆面积公式，用直角三角形三边表示出、、，再结合勾股定理验证面积关系是否成立．
任务三：借助正方形面积与边长平方的联系，利用对角线互相垂直时，把四边形四边平方转化为直角三角形直角边平方和，推导、、、的数量关系．
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【详解】任务一：∵为直角三角形，如图1
，
即
故答案为：；
任务二：结论仍成立，理由如下：
为直角三角形，如图2
，
即
任务三：设相交于点，如图：
则均为直角三角形，由勾股定理得：
又
∴．