§2.1.2演绎推理
一、教学目标：
（一）知识与技能：了解演绎推理的含义。
（二）过程与方法：能正确地运用演绎推理
进行简单的推理。
（三）情感、态度与价值观：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
二、教学重点：
正确地运用演绎推理
进行简单的推理
三、教学难点：
了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
四、教学过程：
（一）导入新课：
1、复习：合情推理
归纳推理
从特殊到一般
类比推理
从特殊到特殊
从具体问题出发——观察、分析、比较、联想——归纳、类比——提出猜想
问题情境：
观察与思考
①所有的金属都能导电，铀是金属，所以，铀能够导电；
②一切奇数都不能被2整除，(2100+1)是奇数，
所以(2100+1)不能被2整除；
③三角函数都是周期函数，tan是三角函数，所以tan是周期函数。
提出问题
：上面的推理有什么特点？
分析：如：
所有的金属都能导电
——
一般原理
铀是金属
——
特殊情况
所以铀能够导电
——
对特殊情况的判断
（二）推进新课：
1、演绎推理的定义：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
2、演绎推理的特点：
是由一般到特殊的推理；
3、演绎推理的一般模式：“三段论”，包括
（1）大前提---已知的一般原理；
（2）小前提---所研究的特殊情况；
（3）结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
4、三段论的基本格式
M—P（M是P）
（大前提）
S—M（S是M）
（小前提）
S—P（S是P）
（结
论）
5、三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
6、应用举例：
例1、把“函数的图象是一条抛物线”写成三段论的形式。
解：二次函数的图象是一条抛物线
（大前提）
函数是二次函数
（小前提）
所以，的图象是一条抛物线
（结论）
例2、如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足
求证：AB的中点M到D，E的距离相等。
证明：
（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，
——大前提
在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB=90°
——小前提
所以△ABD是直角三角形。
——结论
（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
——大前提
因为
DM是直角三角形斜边上的中线，
——小前提
所以
DM=
AB
——结论
同理
EM=AB
所以
DM=EM。
由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略．再来看一个例子．
例3、证明函数在内是增函数．
分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a,
b）内，如果，
那么函数在这个区间内单调递增。小前提是的导数在区间内满足，这是证明本例的关键．
证明：.
当时，有，
所以。
于是，根据“三段论”得，在内是增函数．
注：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．
7、思考：
因为指数函数是增函数，——大前提
而是指数函数，
——小前提
所以是增函数．
——结论
(1)上面的推理形式正确吗？
(2)推理的结论正确吗？为什么？
上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当时，指数函数是减函数），所以所得的结论是错误的．
8、思考：合情推理与演绎推理的主要区别是什么？
归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
（三）课堂练习：
课本P81页1、2、3
（四）课堂小结：
1、演绎推理的定义
2、演绎推理的特点
3、演绎推理的一般模式
4、合情推理与演绎推理的区别
（五）布置作业：
课本P84页习题A组
6§2.1.1.
1合情推理(第二课时)
一、教学目标：
（一）知识与能力：
了解类比推理的基本方法，并能用它进行简单的推理。
（二）过程与方法：
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，得出的结论就越可靠。
（三）情感态度与价值观：
1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。
2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：
了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
三、教学难点：
用类比进行推理，做出猜想。
四、教学过程：
（一）导入新课：
除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比．例如，据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等。事实上，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手。
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的。
这个推理过程有什么特点？
（二）推进新课：
1、我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
猜想不等式的性质：
(1)
a=ba+c=b+c;
(1)
a＞ba+c＞b+c;
(2)
a=b
ac=bc;
(2)
a＞b
ac＞bc;
(3)
a=ba2=b2;等等。
(3)
a＞ba2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆
球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
2、类比推理的定义：
由两个（两类）对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
3、类比推理的特点：
类比推理是由特殊到特殊的推理．
4、类比推理的一般步骤：
（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想。
在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比而提出新问题和作出新发现．
5、例3（课本例2）类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质．
分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位因此我们可以从上述
4
个方面来类比这两种运算．
解：(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数．
(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
a
+
b
=
b
+
a
ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c)
(ab)c=a(bc)
(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程
a
+
x=0
ax=1
(a≠0
)
都有唯一解
x=-a
x=
(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数，即
a
+
0=
a
a·1=
a
运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．例如，在立体几何中，为了研究四面体的性质，我们可以在平面几何中寻找一个研究过的对象，通过类比这个对象的性质，获得四面体性质的猜想以及证明这些猜想的思路．
6、探究：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？
可以从不同角度出发确定类比对象，如围成四面体的几何元素的数目、位置关系、度量等．从构成几何体的元素数目看，可以把三角形作为四面体的类比对象．
例4（课本例3）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个面两两垂直的个面是四面体，作为直角三角形的类比对象．
直角三角形
3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面”
S1，S2，S3和1个“斜面”
S
解：如图所示，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
.
于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体
P
-
DEF
我们猜想
.
7、合情推理的定义：
以上的推理过程概括为：
可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理、我们把它们统称为合情推理（plausible
reasoning
）。在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．下面再来看一个例子．
例5（课本例4）如图2
.1-2
所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
1．每次只能移动1个金属片；
2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
分析：我们从移动1,
2,
3,
4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动
n个金属片所需的次数．
解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13
)表示，共移动了1次．
当n=2
时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：
(1)把第1个金属片从1号针移到
2
号针；
(2)把第2个金属片从1号针移到
3
号针；
(3)把第1个金属片从2号针移到
3
号针．
用符号表示为：(12
)
(13
)
(23
)
.
共移动了3
次．
当n=3
时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2
的情形，移动顺序是：
(1)把上面两个金属片从1号针移到2号针；
(2)把第
3
个金属片从1号针移到3号针；
(3)把上面两个金属片从
2
号针移到3
号针．
其中（1）和（3）都需要借助中间针．用符号表示为：
(
13
)
(12
)
(
32
)
;
(
13
)
;
(
21
)
(
23
)
(
13
)
.
共移动了
7
次．
当n=4
时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：
(1)把上面3个金属片从1号针移到2号针；
(2)把第4个金属片从
1
号针移到3号针；
(3)把上面
3
个金属片从
2
号针移到
3
号针．用符号表示为：
(
12
)
(
13
)
(23
)
(12
)
(31)
(32
)
(12
)
;
(13
)
;
(
23
)
(21
)
(31
)
(23
)
(
12
)
(13
)
(23
)
.
共移动了15次．
至此，我们得到依次移动1,
2,
3,
4
个金属片所需次数构成的数列：1,
3,
7,15.
观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：
1
=
21-
1
,
3
=
22
-
1,
7
=
23
-1,
15
=
24
-1.
由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动次，则数列{}的通项公式为．
①
通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n
个金属片都适用的移动方法．当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：
(1)将上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针；
(2)将第
n
个金属片从1号针移到3号针；
(3)将上面（n
-1）个金属片从2号针移到3号针．
这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第
n
个金属片的任务．而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和移动一次第（n-1）个金属片，移动（n-2）个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第（n-2）个金属片…
…
如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形．根据这个过程，可得递推公式
从这个递推公式出发，可以证明通项公式①是正确的．
注：一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.
例如，法国数学家费马观察到
=
5,
=
17
,
=
257
,
=65
537
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如.
()
的数都是质数．这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于计算的欧拉（
Euler
）发现，第
5
个费马数
=
4
294
967
297
=
641×6
700
417
不是质数，从而推翻了费马的猜想．
（三）课堂练习：
课本P78页3
（四）课堂小结：
1、类比推理是由特殊到特殊的推理
；
2、类比推理的一般步骤：
（五）布置作业：
课本P84页A、5
观察、比较
联想、类推
猜想新结论第二章
合情推理与演绎推理
§2.1.1.1合情推理(第一课时)
一、教学目标：
1、知识与技能：
掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
2、过程与方法：
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
3、情感、态度与价值观：
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
二、教学重点：
归纳推理及方法的总结。
三、教学难点：
归纳推理的含义及其具体应用。
四、教学过程：
（一）问题情境：
1、引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”
①提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？
②探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？
从而引入两则小典故：
A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？
B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？
正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
③思考：整个过程对你有什么启发？
④启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2、数学皇冠明珠
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠
—
“歌德巴赫猜想”。
这是世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是一位著名的数学家。据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，于是他对一些偶数进行验证，由此他大胆地猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想，它是数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。许多优秀的数学家都在努力证明这个猜想，而且也取得了很好的进展。
思考：哥德巴赫是如何提出这个猜想的？
学生交流、探讨：他是通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例，从而提出这个猜想。
（二）推进新课
1、归纳推理的定义：
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
2、归纳推理的特点：
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
3、归纳推理的一般步骤：
4、例题讲解：
例1、前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2、前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……
结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。
例3、
探究：上述结论都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立!
例
4、已知数列｛｝的第1项，且（n=1,2,3，…），试归纳出这个数列的通项公式．
分析：数列的通项公式表示的是数列{}的第n项与序号
n
之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项．
解：当n=1时，;
当
n
=2时，；
当n
=3时，；
当n=4时，．
观察可得，数列的前
4
项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为
．
①思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。
②归纳：由学生讨论，归纳技巧：
有整数和分数时，往往将整数化为分数；
当分子分母都在变化时，往往统一分子
(或分母)，再寻找另一部分的变化规律。
在例4和例5中，我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想．虽然猜想是否正确还有待严格的证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向．
（三）课堂练习：
课本P77页练习1、2
（四）课堂小结：
1、归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。
2、归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。
（五）布置作业：
课本P83页习题A组1、、2题。
生活
观察
猜想
证明
归纳推理的发展过程
概括、推广
实验、观察
猜测一般性结论
