综合法和分析法
一、教学目标：
（一）知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合
法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
（二）过程与方法:
培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；
（三）情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：
了解分析法和综合法的思考过程、特点
三、教学难点：
分析法和综合法的思考过程、特点
四、教学过程:
（一）导入新课：
合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
（二）推进新课：
1.
综合法
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：
已知a,b>0,求证
教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义
证明:因为，
所以。
因为，
所以。
因此
。
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。
用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：
综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列,
成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
分析：将
A
,
B
,
C
成等差数列，转化为符号语言就是2B
=A
+
C;
A
,
B
,
C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A
+
B
+
C
=；
a
,
b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．
证明：由
A,
B,
C成等差数列，有
2B=A
+
C
．
①
因为A,B,C为△ABC的内角，所以
A
+
B
+
C=．
②
由①②
，得
B=．
③
由a,
b，c成等比数列，有
．
④
由余弦定理及③，可得
．
再由④，得
．
即
，
因此
．
从而
A=C．
由②③⑤，得
A=B=C=．
所以△ABC为等边三角形．
注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
例2、已知求证
分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1)
差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
2.
分析法
证明数学命题时，还经常从要证的结论
Q
出发，反推回去，寻求保证
Q
成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，……
直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。
例如：基本不等式
（a>0，b>0）的证明就用了上述方法。
要证
，
只需证
，
只需证
，
只需证
由于显然成立，因此原不等式成立。
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。
分析法可表示为：
分析法的特点是：执果索因
例3、求证。
分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。
证明：因为都是正数，所以为了证明
，
只需明
，
展开得
，
只需证
，
因为成立，所以
成立。
在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。
事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论
P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．
例4
、已知，且
①
②
求证：。
分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由
①2一2×②
得．把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．
证明：因为，所以将
①
②
代入，可得
.
③
另一方面，要证
，
即证
，
即证
，
即证
，
即证
。
由于上式与③相同，于是问题得证。
（三）课堂练习：
1、课本P89页
练习1、2、3
2、补充练习：
（四）课堂小结：
综合法和分析法的特点。
（五）布置作业：
课本P91页
1、2、3§2.2.2反证法
一、教学目标：
1、知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解
反证法的思考过程、特点。
2、过程与方法:
培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；
3、情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：
了解反证法的思考过程、特点
三、教学难点：
反证法的思考过程、特点
四、教学过程:
（一）导入新课：
1、复习综合法和分析法的思考过程和特点。
2、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法。
3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？
学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反正法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以
3
枚硬币全部反面朝上时，需要翻转
3
个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转
2
枚硬币，
3
枚硬币被翻转的次数只能是
2
的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使
3
枚硬币全部反面朝上．
（二）推进新课
1、反证法的特点：
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2、例题讲解：
例1、已知直线和平面，如果，且，求证。
证明：因为,
所以经过直线a
,
b
确定一个平面。
因为，而，
所以
与是两个不同的平面．
因为，且，
所以.
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a
与平面有公共点，则，即点是直线
a
与b的公共点，这与矛盾．所以
.
例2、求证：不是有理数
分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质，
”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．
证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有,
因此，，
所以
m
为偶数．于是可设
(
k
是正整数），从而有
，即
所以n也为偶数．这与
m
,
n
互质矛盾！
由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．
注：正是的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与
1
是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。
例3、已知，求证：（且）
证明：假设不大于，即或.
∵a＞0，b＞0
∴由
又由
但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾.
∴成立.
（三）课堂练习：
课本P91页
练习1、2
（四）课堂小结：
反证法的思考过程和特点。
（五）布置作业：
课本P91页
A组
4、B组1。
