人教版高中数学必修四 2.4 平面向量数量积的坐标表示 教案

课题：平面向量数量积的坐标表示授课人：林桂华目的要求：1、掌握平面向量数量积的坐标表示2、掌握向量垂直的坐标表示的充要条件教学重点：平面向量数量积的坐标表示及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示。教学难点：坐标法解决长度、角度、垂直等问题
用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地，体现了代数与几何的完美结合，通过本节学习，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律。温故而知新，学习总是与一定的知识背景相联系，利用学生已有知识和经验引出新知识，不但保持已获取的知识，而且迁移到陌生的情境中
教师引导过程：一、引入1、能说出我们学了向量的哪几部分内容吗？2、平面向量的数量积是如何定义的？它有什么几何意义？3、平面向量的数量积的性质是什么？4、练习
学生学习活动：向量
向量的加法与减法平面向量的坐标运算
平面向量的数量积及运算律定义：
=
cos几何意义：数量等于的长度与在方向上的投影
cos的乘积。①长度的表示：②角度的表示：cos
=③两平面向量垂直的充要条件：
=
0x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：又=
，=
，=
，
=
教师引导过程：我们知道，向量的表示形式不同，对其运算的表达形式也会改变，用坐标来表示向量，为我们解决向量的加、减带来了方便，那么向量的数量积能否用坐标表示呢？如果能，形式又是怎样呢？这节课我们探讨这个问题。二、新课讲解（一）平面向量数量积的坐标1、[问题]
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示分析：已知的是两向量坐标，要进行数量积运算，只须根据向量坐标的意义，用运算律解决。2、能把这个结论用文字表述吗？这是向量数量积的计算法则，什么时候适用？（二）有关性质有了数量积的坐标表示，我们就可以自己来探讨长度、角度、垂直的坐标表示（1）设，求教师引导过程：（2）如果表示向量=的有向线段的起点和终点的坐标分别为A、B，求（3）夹角能表示吗？（4）如何判定向量垂直？（用坐标表示）注意与向量共线的坐标表示的区别：向量共线的充要条件有哪两种形式？（要从意义上区别）由此可见，数量积有不同的表示形式，体现了数和形的美妙结合，但它的本质规律不会改变，数量积的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题架起了桥梁。下面我们利用这座桥解决问题。（三）应用例1：（1）直接运用法则解决问题（2）由此题我们得到什么结论？例2（1）此例结果与我们学过的什么知识有关？教师引导过程：（2）证
=
cos=即可注意，为的夹角（有两种情况）说明：此题有关平面内两个非零向量的夹角问题，代入式子计算即可cos
=说明：此题体现了向量的数量积的不同表示本质的一致性，三、课堂小结：（填表）这两种形式在解题时经常使用下节课我们解决两向量垂直问题及用向量证明平几问题四、作业：
学生学习活动：解：设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，，+++
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。知两向量坐标求数量积或学生学习活动：==（平面内两点间距离公式）cos
=∵
=0即x1x2
+
y1y2
=
0
∥
()（例题、练习以学生做老师、引导点评为主）例1（1）设，，求。（2）设，，，求和说明：平面向量的数量积不满足结合律，例2（1），，求学生学习活动：（2）证明：例3、已知，求的夹角例4、求证：+≤+数量积长度角度垂直定义形式坐标形式A组：1、课本121页第2题
2、已知向量同向，，=10，（1）求的坐标（2）求B组：求C组：已知向量，，（，且与大小相等，求（其中为非零实数）
充分体现学为主体，教为主导，启发学生实践，领会数学思维过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力。通过结论的推导过程培养学生归纳和能力。通过性质的推导过程培养学生归纳能力、类比推理能力和初步运用所学新知识的能力。知识的直接运用，有助于学生巩固新学的知识。用坐标法表示向量的数量积解决课本在上一节提出的问题，使学生初步体会到新知识的作用。设置阶梯，使学生能用向量证明已学的公式，体会到用向量解决问题特别是有关角度问题的优越性。使学生对知识的运用有一个质的飞跃，进一步提高学生运用向量的意识。第二种情况留给学生课后思考，培养学生学习的主动性。利用向量方法解几何题，特别是角度、长度问题，是本课重点之一，一方面体现向量的应用性，另一方面，能在应用中达到对向量知识的理解与掌握。通过几何形式和代数形式的互化，使学生透彻理解数量积的两种表达形式。通过表格对比两种表达形式进行小结，使学生对向量的数量积及有关性质的表示有清晰的认识。以便区分和应用。
x
y
P1
P2
1
x
y
P1
P2
1