2016年人教版九年级数学上册同步测试：21.1 一元二次方程（解析版）
文档属性
| 名称 | 2016年人教版九年级数学上册同步测试：21.1 一元二次方程（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 52.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-08-23 22:10:47 | ||
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文档简介
2016年人教版九年级数学上册同步测试：21.1
一元二次方程
一、选择题（共7小题）
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，则k的值是（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣1
2．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
3．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（ ）
A．2018
B．2008
C．2014
D．2012
4．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（ ）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
5．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．1或4
B．﹣1或﹣4
C．﹣1或4
D．1或﹣4
6．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（ ）
A．2
B．0
C．0或2
D．0或﹣2
7．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．0
D．﹣2
二、填空题（共16小题）
8．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为 ．
9．若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a= ．
10．关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2= ．
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= ．
12．已知m=1是一元二次方程m2+am+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是 ．
13．若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n= ．
14．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= ．
15．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k= ．
16．若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 ．
17．若关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，则a= ．
18．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a= ．
19．已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k= ．
20．已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m= ，另一个根为 ．
21．若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为 ．
22．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是﹣1，则m= ．
23．已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k= ．
三、解答题（共2小题）
24．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2016年人教版九年级数学上册同步测试：21.1
一元二次方程
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题）
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，则k的值是（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣1
【考点】一元二次方程的解．
【分析】知道方程的一根，把该根代入方程中，求出未知量k．
【解答】解：由题意知，
关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，
故4﹣2+k=0，
解得k=﹣2，
故选A．
【点评】本题主要考查了方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用．
2．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
3．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（ ）
A．2018
B．2008
C．2014
D．2012
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．
【解答】解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，
∴a 12+b 1+5=0，
∴a+b=﹣5，
∴2013﹣a﹣b=2013﹣（a+b）=2013﹣（﹣5）=2018．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．
4．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（ ）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【专题】待定系数法．
【分析】把x=2代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，
∴22+2p﹣2=0，
解得
p=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
5．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．1或4
B．﹣1或﹣4
C．﹣1或4
D．1或﹣4
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．
【解答】解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，
∴4+5a+a2=0，
∴（a+1）（a+4）=0，
解得a1=﹣1，a2=﹣4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．
6．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（ ）
A．2
B．0
C．0或2
D．0或﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【分析】直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【解答】解：∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，
∴4﹣4m+4=0，
∴m=2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
7．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．0
D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b=0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，
∴a﹣b=1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．
二、填空题（共16小题）
8．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为 ﹣3 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．
【解答】解：将x=1代入得：1+2+m=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入方程得到关于m的方程是解题的关键．
9．若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a= ﹣3 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据方程的根的定义将x=1代入方程得到关于a的方程，然后解得a的值即可．
【解答】解：将x=1代入得：1+2+a=0，
解得：a=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查的是方程的解（根）的定义和一元一次方程的解法，将方程的解代入方程是解题的关键．
10．关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2= 26 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到4n﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+=2，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，
所以n+=2，
所以原式=（n+）2﹣2
=（2）2﹣2
=26．
故答案为：26．
【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= 2015 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0得：a+b﹣2015=0，
即a+b=2015．
故答案是：2015．
【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
12．已知m=1是一元二次方程m2+am+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=1代入到x2+ax+b=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．
【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴12+a+b=0，
∴a+b=﹣1，
∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．
13．若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n= ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】先把x=1代入x2+3mx+n=0，得到3m+n=﹣1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可．
【解答】解：把x=1代入x2+3mx+n=0得：
1+3m+n=0，
3m+n=﹣1，
则6m+2n=2（3m+n）=2×（﹣1）=﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x的值代入，得到一个关于m，n的方程，不要求m．n的值，要以整体的形式出现．
14．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= 1 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】计算题；待定系数法．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2﹣1=0，
∴a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．
15．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k= 2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】待定系数法．
【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．
【解答】解：依题意，得
2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，
解得，k=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是通过代入法列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．
16．若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 5 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】把x=a代入方程x2﹣5x+m=0，得a2﹣5a+m=0①，把x=﹣a代入方程方程x2+5x﹣m=0，得a2﹣5a﹣m=0②，再将①+②，即可求出a的值．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，
∴a2﹣5a+m=0①，a2﹣5a﹣m=0②，
①+②，得2（a2﹣5a）=0，
∵a＞0，
∴a=5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
17．若关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，则a= 2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=﹣1代入原方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，
∴（﹣1）2+3×（﹣1）+a=0，
解得
a=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
18．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a= ﹣2或1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】判别式法．
【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．
【解答】解：根据题意得：2﹣a﹣a2=0
解得a=﹣2或1．
故答案为：﹣2或1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．
19．已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k= 9 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：把x=3代入方程x2﹣6x+k=0，可得9﹣18+k=0，
解得k=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，比较简单．
20．已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m= 2 ，另一个根为 2 ．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．
【专题】待定系数法．
【分析】根据方程有一根为1，将x=1代入方程求出m的值，确定出方程，即可求出另一根．
【解答】解：将x=1代入方程得：1﹣3+m=0，
解得：m=2，
方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得：x=1或x=2，
则另一根为2．
故答案为：2，2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
21．若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】根据x=﹣1是已知方程的解，将x=﹣1代入方程即可求出m的值．
【解答】解：将x=﹣1代入方程得：1﹣3+m+1=0，
解得：m=1．
故答案为：1
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
22．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是﹣1，则m= 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的另一个根a，利用根与系数的关系先求出a，再得利用根与系数的关系先求出m即可．
【解答】解：∵设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的另一个根a，
∴a×（﹣1）=﹣，解得a=，
∴+（﹣1）=，解得m=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是灵活运用根与系数的关系．
23．已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k= 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值．
【解答】解：根据题意，得
（﹣1）2+2×（﹣1）+k=0，
解得k=1；
故答案是：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
三、解答题（共2小题）
24．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】把x=﹣1代入已知方程列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值；然后结合根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x2，则
﹣1+x2=﹣1，
解得x2=0．
把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得
（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即m（m﹣2）=0，
解得m1=0，m2=2．
综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一元二次方程的解；一次函数综合题；正方形的性质；相似三角形的判定．
【专题】综合题．
【分析】（1）利用因式分解法解方程x2﹣14x+48=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB==10，根据线段垂直平分线的性质得到AC=AB=5．再由两角对应相等的两三角形相似证明△ACD∽△AOB，由相似三角形对应边成比例得出=，求出AD=，得到D点坐标（﹣，0），根据中点坐标公式得出C（3，4），然后利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
（3）分两种情况进行讨论：①当点Q与点B重合时，先求出BM的解析式为y=x+8，设M（x，
x+8），再根据BM=5列出方程（x+8﹣8）2+x2=52，解方程即可求出M的坐标；②当点Q与点A重合时，先求出AM的解析式为y=x﹣，设M（x，
x﹣），再根据AM=5列出方程（x﹣）2+（x﹣6）2=52，解方程即可求出M的坐标．
【解答】解：（1）解方程x2﹣14x+48=0，
得x1=6，x2=8，
∵OA＜OB，
∴A（6，0），B（0，8）；
（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB==10，
∵线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，
∴AC=AB=5．
在△ACD与△AOB中，
，
∴△ACD∽△AOB，
∴=，即=，
解得AD=，
∵A（6，0），点D在x轴上，
∴D（﹣，0）．
设直线CD的解析式为y=kx+b，
由题意知C为AB中点，
∴C（3，4），
∵D（﹣，0），
∴，解得，
∴直线CD的解析式为y=x+；
（3）在坐标平面内存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长．
∵AC=BC=AB=5，
∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合．分两种情况：
①当点Q与点B重合时，易求BM的解析式为y=x+8，设M（x，
x+8），
∵B（0，8），BM=5，
∴（x+8﹣8）2+x2=52，
化简整理，得x2=16，
解得x=±4，
∴M1（4，11），M2（﹣4，5）；
②当点Q与点A重合时，易求AM的解析式为y=x﹣，设M（x，
x﹣），
∵A（6，0），AM=5，
∴（x﹣）2+（x﹣6）2=52，
化简整理，得x2﹣12x+20=0，
解得x1=2，x2=10，
∴M3（2，﹣3），M4（10，3）；
综上所述，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（10，3）．
【点评】本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
一元二次方程
一、选择题（共7小题）
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，则k的值是（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣1
2．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
3．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（ ）
A．2018
B．2008
C．2014
D．2012
4．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（ ）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
5．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．1或4
B．﹣1或﹣4
C．﹣1或4
D．1或﹣4
6．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（ ）
A．2
B．0
C．0或2
D．0或﹣2
7．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．0
D．﹣2
二、填空题（共16小题）
8．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为 ．
9．若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a= ．
10．关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2= ．
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= ．
12．已知m=1是一元二次方程m2+am+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是 ．
13．若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n= ．
14．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= ．
15．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k= ．
16．若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 ．
17．若关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，则a= ．
18．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a= ．
19．已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k= ．
20．已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m= ，另一个根为 ．
21．若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为 ．
22．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是﹣1，则m= ．
23．已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k= ．
三、解答题（共2小题）
24．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2016年人教版九年级数学上册同步测试：21.1
一元二次方程
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题）
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，则k的值是（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣1
【考点】一元二次方程的解．
【分析】知道方程的一根，把该根代入方程中，求出未知量k．
【解答】解：由题意知，
关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0的一个根是2，
故4﹣2+k=0，
解得k=﹣2，
故选A．
【点评】本题主要考查了方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用．
2．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
3．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（ ）
A．2018
B．2008
C．2014
D．2012
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．
【解答】解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，
∴a 12+b 1+5=0，
∴a+b=﹣5，
∴2013﹣a﹣b=2013﹣（a+b）=2013﹣（﹣5）=2018．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．
4．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（ ）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【专题】待定系数法．
【分析】把x=2代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，
∴22+2p﹣2=0，
解得
p=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
5．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．1或4
B．﹣1或﹣4
C．﹣1或4
D．1或﹣4
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．
【解答】解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，
∴4+5a+a2=0，
∴（a+1）（a+4）=0，
解得a1=﹣1，a2=﹣4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．
6．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（ ）
A．2
B．0
C．0或2
D．0或﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【分析】直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【解答】解：∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，
∴4﹣4m+4=0，
∴m=2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
7．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．0
D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b=0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，
∴a﹣b=1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．
二、填空题（共16小题）
8．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为 ﹣3 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．
【解答】解：将x=1代入得：1+2+m=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入方程得到关于m的方程是解题的关键．
9．若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a= ﹣3 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据方程的根的定义将x=1代入方程得到关于a的方程，然后解得a的值即可．
【解答】解：将x=1代入得：1+2+a=0，
解得：a=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查的是方程的解（根）的定义和一元一次方程的解法，将方程的解代入方程是解题的关键．
10．关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2= 26 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到4n﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+=2，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，
所以n+=2，
所以原式=（n+）2﹣2
=（2）2﹣2
=26．
故答案为：26．
【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= 2015 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0得：a+b﹣2015=0，
即a+b=2015．
故答案是：2015．
【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
12．已知m=1是一元二次方程m2+am+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=1代入到x2+ax+b=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．
【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，
∴12+a+b=0，
∴a+b=﹣1，
∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．
13．若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n= ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】先把x=1代入x2+3mx+n=0，得到3m+n=﹣1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可．
【解答】解：把x=1代入x2+3mx+n=0得：
1+3m+n=0，
3m+n=﹣1，
则6m+2n=2（3m+n）=2×（﹣1）=﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x的值代入，得到一个关于m，n的方程，不要求m．n的值，要以整体的形式出现．
14．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= 1 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】计算题；待定系数法．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2﹣1=0，
∴a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．
15．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k= 2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】待定系数法．
【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．
【解答】解：依题意，得
2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，
解得，k=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是通过代入法列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．
16．若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 5 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】把x=a代入方程x2﹣5x+m=0，得a2﹣5a+m=0①，把x=﹣a代入方程方程x2+5x﹣m=0，得a2﹣5a﹣m=0②，再将①+②，即可求出a的值．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，
∴a2﹣5a+m=0①，a2﹣5a﹣m=0②，
①+②，得2（a2﹣5a）=0，
∵a＞0，
∴a=5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
17．若关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，则a= 2 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=﹣1代入原方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，
∴（﹣1）2+3×（﹣1）+a=0，
解得
a=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
18．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a= ﹣2或1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】判别式法．
【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．
【解答】解：根据题意得：2﹣a﹣a2=0
解得a=﹣2或1．
故答案为：﹣2或1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．
19．已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k= 9 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：把x=3代入方程x2﹣6x+k=0，可得9﹣18+k=0，
解得k=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，比较简单．
20．已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m= 2 ，另一个根为 2 ．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．
【专题】待定系数法．
【分析】根据方程有一根为1，将x=1代入方程求出m的值，确定出方程，即可求出另一根．
【解答】解：将x=1代入方程得：1﹣3+m=0，
解得：m=2，
方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得：x=1或x=2，
则另一根为2．
故答案为：2，2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
21．若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】根据x=﹣1是已知方程的解，将x=﹣1代入方程即可求出m的值．
【解答】解：将x=﹣1代入方程得：1﹣3+m+1=0，
解得：m=1．
故答案为：1
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
22．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是﹣1，则m= 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的另一个根a，利用根与系数的关系先求出a，再得利用根与系数的关系先求出m即可．
【解答】解：∵设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的另一个根a，
∴a×（﹣1）=﹣，解得a=，
∴+（﹣1）=，解得m=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是灵活运用根与系数的关系．
23．已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k= 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值．
【解答】解：根据题意，得
（﹣1）2+2×（﹣1）+k=0，
解得k=1；
故答案是：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
三、解答题（共2小题）
24．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】把x=﹣1代入已知方程列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值；然后结合根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x2，则
﹣1+x2=﹣1，
解得x2=0．
把x=﹣1代入x2+x+m2﹣2m=0，得
（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m=0，即m（m﹣2）=0，
解得m1=0，m2=2．
综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一元二次方程的解；一次函数综合题；正方形的性质；相似三角形的判定．
【专题】综合题．
【分析】（1）利用因式分解法解方程x2﹣14x+48=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB==10，根据线段垂直平分线的性质得到AC=AB=5．再由两角对应相等的两三角形相似证明△ACD∽△AOB，由相似三角形对应边成比例得出=，求出AD=，得到D点坐标（﹣，0），根据中点坐标公式得出C（3，4），然后利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
（3）分两种情况进行讨论：①当点Q与点B重合时，先求出BM的解析式为y=x+8，设M（x，
x+8），再根据BM=5列出方程（x+8﹣8）2+x2=52，解方程即可求出M的坐标；②当点Q与点A重合时，先求出AM的解析式为y=x﹣，设M（x，
x﹣），再根据AM=5列出方程（x﹣）2+（x﹣6）2=52，解方程即可求出M的坐标．
【解答】解：（1）解方程x2﹣14x+48=0，
得x1=6，x2=8，
∵OA＜OB，
∴A（6，0），B（0，8）；
（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB==10，
∵线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，
∴AC=AB=5．
在△ACD与△AOB中，
，
∴△ACD∽△AOB，
∴=，即=，
解得AD=，
∵A（6，0），点D在x轴上，
∴D（﹣，0）．
设直线CD的解析式为y=kx+b，
由题意知C为AB中点，
∴C（3，4），
∵D（﹣，0），
∴，解得，
∴直线CD的解析式为y=x+；
（3）在坐标平面内存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长．
∵AC=BC=AB=5，
∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合．分两种情况：
①当点Q与点B重合时，易求BM的解析式为y=x+8，设M（x，
x+8），
∵B（0，8），BM=5，
∴（x+8﹣8）2+x2=52，
化简整理，得x2=16，
解得x=±4，
∴M1（4，11），M2（﹣4，5）；
②当点Q与点A重合时，易求AM的解析式为y=x﹣，设M（x，
x﹣），
∵A（6，0），AM=5，
∴（x﹣）2+（x﹣6）2=52，
化简整理，得x2﹣12x+20=0，
解得x1=2，x2=10，
∴M3（2，﹣3），M4（10，3）；
综上所述，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（10，3）．
【点评】本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
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